第5章 線性系統(tǒng)頻率響應(yīng)分析法

1、2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法1Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)選擇映射函數(shù)F(s)為特征函數(shù),即)()()( ,)()()()(1)(為開環(huán)傳函sAsBsGsAsBsAsGsFNyquist穩(wěn)定性判據(jù)：若開環(huán)系統(tǒng)G(s)有P個極點在右半S平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)特征函數(shù)F(s)=1+G(s)的映射曲線逆時針包圍F平面的坐標原點P周。注釋1：F的零點為閉環(huán)極點，F(xiàn)的極點為開環(huán)極點。選擇周線D包圍整個右半S平面注釋2：該周線稱為Nyquist周線。稱基于奈奎斯特周線所得開環(huán)函數(shù)的映射曲線為開環(huán)奈奎斯特曲線。注釋3：閉環(huán)穩(wěn)定有Z=0，于是N=Z-P=-P(逆時針P周)202

2、2-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法2Nyquist判據(jù)的延伸表述Nyquist判據(jù)1：若系統(tǒng)的開環(huán)函數(shù)G(s)有P個極點在右半S平面，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特曲線逆時針包圍G平面的(-1,j0)點P周。注釋1：F(s)=1+G(s)，兩映射曲線是平移單位1的關(guān)系，即F平面的坐標原點對應(yīng)G平面的(-1,j0)點。Nyquist判據(jù)2：若開環(huán)系統(tǒng)G(s)是穩(wěn)定的，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，系統(tǒng)的開環(huán)奈奎斯特曲線不包圍G平面的(-1,j0)點。注釋2：Z=0，P=0，則N=Z-P=0。2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法3Nyquist周線與Nyquist

3、曲線的關(guān)系虛軸上無開環(huán)函數(shù)G(s)極點的情況原像點為S平面的Nyquist周線像點(映射點)為G平面的Nyquist曲線0,:9090,:0,:321jssDessDjssDDj)(),()(),()(),()(321DsjGDsGDsjGsGj01D2D3DS平面XG平面jY02022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法4例5.10：分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析如下開環(huán)傳函的閉環(huán)穩(wěn)定性)0,( ,)1)(1)(1 ()(321321TTTKsTsTsTKsG解：首先繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(j)的起點和終點：2700)(,) 0(jGKjG（2）G(j)與負實軸的交點32133211

4、332212)(),(1,)(TTTTTTbTTTTTTajbaKjG1)/1/1/1)()(321321TTTTTTKjGxx3213210TTTTTTbxXjY02022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法5（續(xù)）（3）按對稱于實軸的方式補充繪制G(-j)曲線。另外，S平面奈氏周線D2段映射到G平面坐標原點。（4）如果 ，此時G(s)的奈氏曲線順時針包圍G平面上的(-1,j0)點，于是閉環(huán)系統(tǒng)有Z=N+P=2個極點在右半S平面，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1)(xjG（5）如果 ，此時G(s)的奈氏曲線不包圍G平面 (-1,j0)點，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1)(xjGXjY0) 0, 1(j202

5、2-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法6例5.11：分析閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析如下開環(huán)傳函G(s)的閉環(huán)穩(wěn)定性) 0,( ,1)(TKsTKsG解：繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(j)的起點和終點分別為900)(,) 0(jGKjGG(j)軌跡在G平面第三象限，因為180tg)(-1T（2）若K1，奈奎斯特曲線逆時針包圍(-1,j0)點一周，有N=-1，于是Z=N+P=0，所以閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。（3）若K1，奈氏曲線不包圍(-1,j0)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5XjYK=0.70K=22022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析

6、法7虛軸上含有G(s)極點的情況考慮v(0)型系統(tǒng)的情況奈奎斯特周線應(yīng)該避開使G(s)奇異的點(即S平面坐標原點)。9090,0:0,:9090,:0,:4321jjessDjssDessDjssDD)(),0()(),()(),()(),()(4321DsGDsjGDsGDsjGsGj0rR1D2D3D4D)2( ,) 1( ,)0(24vevesKGjjDsv結(jié)論：D4段為繞坐標原點無窮小半徑逆時針半周，則G(j0)為繞坐標原點無窮大半徑順時針v個半周。2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法8例5.12：1型系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)如下，分析其閉環(huán)穩(wěn)定性) 0,(

7、,)1)(1 ()(2121TTKsTsTsKsG解：繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(j)的起點和終點分別為2700)(,90) 0(jGjG（2）求取G(j)與負實軸的交點)1 ()()(212212TTjTTKjG212121)(1TTTKTjGTTxxXjY0繪制G(j)奈氏曲線2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法9（續(xù)）（3）按對稱于實軸方式補畫G(-j)的軌跡。并且S平面D2段映射為G平面坐標原點。（4）對1型系統(tǒng)，奈氏周線D4段映射為無窮大半徑順時針半周。（5）如果 ，此時奈氏曲線不包圍G平面上的(-1,j0)點，故此時閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。1)(xjG（6）如果 ，此

8、時奈氏曲線順時針包圍G平面 (-1,j0)點兩周，于是Z=N+P=2，所以閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1)(xjGXjY0) 0, 1(j2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法10例5.13：2型系統(tǒng)的穩(wěn)定性判別已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)為) 0,( ,)61)(31 ()1 ()(2TKssssTKsG解：繪制G(s)的奈奎斯特曲線（1）G(j)的起點和終點分別為2700)(,180)0(jGjG（2）求取G(j)與負實軸的交點422222281)181 () 918(9181)(TTjTKjGXjY0繪制G(j)奈氏曲線) 9( ,92)(,1892TTKTjGTTxx無交點時202

9、2-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法11（續(xù)）（3）按對稱于實軸繪G(-j)，且奈氏周線D2段映射為G平面坐標原點。（4）補充奈氏周線D4段的映射曲線G(j0)，即從=0-到=0+時順時針一周。XjY0XjY0（5） 時，奈氏曲線不包圍G平面(-1,j0)點。1)(xjG) 0, 1(j（6） 時呢？1)(xjG（7）無交點時呢？) 0, 1(j2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法12相對穩(wěn)定性的概念請回顧系統(tǒng)穩(wěn)定穩(wěn)定或不穩(wěn)定不穩(wěn)定與系統(tǒng)特征根的關(guān)系。1)(, 0)(1jGsGjs或者，當系統(tǒng)臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定時，必然存在虛數(shù)根，即有所以，稱G平面上(-1,j0)點為臨界穩(wěn)定點

10、。假設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在不改變系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定極點情況下，如果因系統(tǒng)參數(shù)變化而使開環(huán)奈氏曲線穿越負實軸之點發(fā)生跨越(-1,j0)點的變化，那么，系統(tǒng)將變?yōu)椴环€(wěn)定。如果系統(tǒng)開環(huán)奈氏曲線距離開環(huán)奈氏曲線距離(-1,j0)(-1,j0)點越遠點越遠，則需“更大”參數(shù)變化才能改變奈氏曲線對臨界點的包圍狀況，于是，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定程度越高。2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法13穩(wěn)定程度度量指標-相位裕度定義：開環(huán)頻率特性G(j)的幅值等于1（或者0分貝）時的頻率c稱為幅值穿越頻率幅值穿越頻率，此時有1)(cjG定義：開環(huán)頻率特性在幅穿頻率c處相角與-180之差稱為相位裕

11、度相位裕度，用Pm表示，即注釋：保持開環(huán)頻率特性的幅值不變，僅僅改變其相角，則當相角滯后Pm時，開環(huán)頻率特性在幅穿頻率處的幅值為1且相角為-180，或者即奈氏曲線穿越(-1,j0)(-1,j0)，于是，閉環(huán)系統(tǒng)變?yōu)榕R界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定。)(180)180()(ccmjGjGP2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法14相位裕度圖示-1.5-1-0.500.51-2-1.5-1-0.500.51XjY(c)Pm(=c)G(j)-150-100-50050L() (dB)10-310-210-1100101-270-225-180-135-90() (deg) (rad/sec)Pm=c系統(tǒng)相

12、位裕度為正，表明系統(tǒng)進一步滯后的相角在Pm內(nèi)時，系統(tǒng)仍然能夠保持穩(wěn)定；系統(tǒng)相位裕度為負，表明至少需要超前-Pm相角才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法15穩(wěn)定程度度量指標-幅值裕度定義：對于最小相位系統(tǒng)，開環(huán)頻率特性G(j)的相角等于-180時的頻率g稱為相角穿越頻率相角穿越頻率180)(gjG定義：開環(huán)頻率特性在相穿頻率g處幅值的倒數(shù)稱為絕對幅值裕度，或者該頻率處幅值分貝數(shù)與0分貝之差稱為相對幅值裕度，用Gm (dB)表示，即注釋：幅值裕度表明，保持開環(huán)相角特性不變時，閉環(huán)系統(tǒng)可以容忍多大的增益變化還能保持其原來的屬性。)()(lg200)dB()(/1)(/1g

13、gmggmLjGGMjGG或者，2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法16幅值裕度圖示系統(tǒng)幅值裕度為正，表明系統(tǒng)的開環(huán)增益放大在Gm(dB)值以內(nèi)時，系統(tǒng)仍然能夠保持穩(wěn)定；系統(tǒng)幅值裕度為負，表明至少需要衰減-Gm(dB)分貝才能使系統(tǒng)穩(wěn)定。-1-0.500.5-1.5-1-0.500.5XjYG(j)(=g)M(g)-150-100-50050L() (dB)10-310-210-1100101-270-225-180-135-90() (deg) (rad/sec)=gGm2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法17例5.14：計算幅值裕度和相位裕度已知如下二階系統(tǒng)開環(huán)傳遞

14、函數(shù)，計算幅相裕度)0,( ,)2()(2nnnsssG解：（1）計算幅穿頻率和相穿頻率242222141)2()(ncnccncM（2）計算幅值裕度和相位裕度gn1802tg90lim)(lim1)(lg20)dB(gmMG)214/2(tg)(180241cmP2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法18例5.15：計算幅值裕度和相位裕度已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)如下，計算幅相裕度) 2)(1(2 . 0)(ssssG解：使用MATLAB語句運算Gs = tf(0.2, conv(1 0,1 3 2)margin(Gs)-150-100-50050Magnitude (dB)10-210

15、-1100101102-270-225-180-135-90Phase (deg)Bode DiagramGm = 29.5 dB (at 1.41 rad/sec) , Pm = 81.5 deg (at 0.0994 rad/sec)Frequency (rad/sec)2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法19靈敏度和余靈敏度函數(shù)定義：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，則系統(tǒng)的靈敏度函數(shù)S(s)和余靈敏度函數(shù)T(s)分別為)(11)(sGsS)(sR)(sY)(sC)(sD)(sN)(sP)(sU)(sE)()()()(),()()()()()()(),()()(sSsPsDsEsS

16、sPsDsYsSsNsEsSsRsE)()()(sCsPsG)()()()()()(,sTsNsYsTsRsY)(1)()(sGsGsT2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法20最大靈敏度希望指令、擾動和噪聲對偏差的影響小，就是要求靈敏度函數(shù)小，或者系統(tǒng)偏差響應(yīng)對這些輸入不靈敏。S(j)幅值小的一種度量是其最大值有多大：ssMjGjSM1)(1min)(max，或者， 注釋：最大靈敏度表示開環(huán)奈氏曲線與臨界穩(wěn)定點的最短距離。顯然，系統(tǒng)的最大靈敏度越小，系統(tǒng)的相對穩(wěn)定程度就越高。-2.5-2-1.5-1-0.500.5-1.5-1-0.500.511.5XjY1/Ms2022-5-2第

17、5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法21例5.16：最大靈敏度值的計算計算如下開環(huán)系統(tǒng)的最大靈敏度：)2()(2nnsssG解：)( ,21)(2njjG2242224211)(1)(jGR28110)(2222ddR1814181412222minRMs2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法22最大余靈敏度余靈敏度函數(shù)既反映跟蹤指令行為，也反映抑制噪聲能力，二者不可兼得。定義：最大余靈敏度為余靈敏度函數(shù)頻率響應(yīng)的最大值，即)(maxjTMt2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法23最大余靈敏度值的計算單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳函如下，計算其最大余靈敏度)2()(2nnsssG解：余靈敏

18、度函數(shù)的頻率響應(yīng)為)( ,2)1 (1)(1)()(2njjGjGjT)1 (4)12(14)1 (1)(2222222222jT22121)(max21jTMtn2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法24第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析頻率響應(yīng)特性頻率響應(yīng)的Bode圖頻率響應(yīng)的Nyquist圖Nyquist穩(wěn)定性頻率響應(yīng)與系統(tǒng)性能2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法25開環(huán)頻率響應(yīng)與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為) 1)(1() 1)(1()(2121ppvzzsTsTssTsTKsG除開穩(wěn)定性，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能取決于系統(tǒng)的誤差系數(shù)：)(lim),(lim),(lim200

19、0sGsKssGKsGKsasvspL0pKlg20L01vdecdB /20vKlg20aKlg2001aLdecdB /40于是由伯德圖左邊第一段可得：0型系統(tǒng)1型系統(tǒng)2型系統(tǒng))0(lg201LKp) 1 (lg201LKvvvvKL0)() 1 (lg201LKa20)(aaaKL2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法26閉環(huán)頻率響應(yīng)與系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能單位反饋系統(tǒng)的跟蹤傳遞函數(shù)為 ，)(/ )()(sRsYs 其誤差信號為： 。)(1)()()()(ssRsYsRsE于是，單位階躍激勵時的穩(wěn)態(tài)誤差為：)0(1)(lim0ssEesss單位斜坡激勵時穩(wěn)態(tài)誤差為：) 1)0(),0()(1lim)(lim00ssssEessss單位加速度激勵時穩(wěn)態(tài)誤差為：)0)0(, 1)0( ,2)0(2)(lim)(1lim020 ssssessss2022-5-2第5章 線性系統(tǒng)的頻率響應(yīng)分析法27二階開環(huán)頻率響應(yīng)的動態(tài)性能典型二階系統(tǒng)開環(huán)傳函為：)2()(2nnsssG00.20.40.60.8100.20.40.60.811.21/Ms & Pm (rad) Pm1/Ms2212142tgmP1481