數(shù)列的十種典型遞推式

1、創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日1十年夜遞推數(shù)列求通項：之答祿夫天創(chuàng)作創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日等差數(shù)列：an=an-i+d例1:已知：數(shù)列an中ai=1,an=an-i+3,(n2).求an的通項公式.答an=3n-2.等比數(shù)列：an=an-iq例2：已知：數(shù)列an中ai=1,an=2an-i,(n2).求an的通項公式.答an=2n1.似等差數(shù)列：an=an-i+f(n)用疊加法.例3:已知：數(shù)列an中ai=1,an=an-i+3n+1,(n2).求an的通項公式.2L-答an=3n5n6.2線性數(shù)列：an=pan-i+q構(gòu)造等比數(shù)列.例4：已知：數(shù)列an中ai=3,an=2an-i-1

2、,(n2).求an的通項公式.答an=2n1.似等比數(shù)列：an=an-if(n)疊乘法.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日例5:已知：數(shù)列an中ai=3,an=nan-i,(n2).求an的通項公式.答an=3n!.(6)三項遞推：an=pan-i+qan-2設(shè)an+i-xan=y(an-xan-i),構(gòu)造一個或二個等比數(shù)列再通過等差數(shù)列或解方程組求出.例6:已知：數(shù)列an中ai=i,a2=3,an=3an-i-2an-2,(nA3).求an的通項公式.答an=2n-i.例7：已知：數(shù)列an中ai=i,a2=3,an=4an-i-4an-2,(n3).求an的通項公式

3、.答an=(n+1)2n-2.例8:已知：數(shù)列an中ai=1,a2=4,an=4an-i-4an-2,(n3).求an的通項公式.答an=n2n-1.例9:已知：數(shù)歹！Jan中ai=2,a2=3,an=5an-i-6an-2,(nA3).求an的通項公式.答an=3x2n-1-3n-1.例10：已知：數(shù)列an中ai=a,a2=b,an=an-i-an-2,(nA3).求an的通項公式.答周期為6.例.11(2006年普通高等學(xué)校夏季招生考試數(shù)學(xué)(文史類)福建卷(新課程)(22)已知數(shù)列滿足%二L%二3逐I=弘1a.i-2%創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日(I)證明：

4、數(shù)列，+4)是等比數(shù)列；(II)求數(shù)列的通項公式；(m)若數(shù)列間滿足次印士舉“二(4+內(nèi)國五證明是等差數(shù)列.似線性數(shù)列：an+i=pan+f(n),釀成旦娛之孚，即化為(3)型.ppp特別地an1panbnc型，還可以令anix(n1)yp(anxny),待定系數(shù)x,y,構(gòu)造等比數(shù)列，要比通法簡單.an1panqnb型，還可以令anixqn1yp(anxqny),待定系數(shù)x,y,構(gòu)造等比數(shù)列，要比通法簡單.例12：已知：數(shù)列an中ai=5,an=3an-i+3n-1,(n2).求an的通項公式.答an(n工)3n-22指數(shù)數(shù)列：an+1=pank,取對數(shù),化為(4)型.例13:已知：數(shù)列an中

5、ai=4,an=n一3an-i3,(n4(n1)3n12).求an的通項公式.答an=2n2.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日（9）分式遞推:danman1,banc原理：設(shè)anirsr),先待定s,r的值，再取banc倒數(shù).得：_JCb,令bni，化an1rs(anr)sanir為：bn+1=abn+C型，下略.求法：在上述原理中，稱r為anidanm的特征banc根.特征根的求法除按上述方法逐步進(jìn)行外，也可令x皿5，解關(guān)于x的方程，得出方程的根xi,X2即bxc為特征根ri,2.至此法（i）令anixis（anxi）,再根據(jù)原式中分子banc的an的系數(shù)待定出s

6、,既可求解.法（五）令bn,得an=xi,將該式代入anxibn已知等式即得bn的遞推關(guān)系.先求出bn,再求an.注：該法更容易用.例i4（2006年奧林匹克競賽山東省賽區(qū)預(yù)選賽i9題，即最后一*題）創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日已知：數(shù)列an滿足an+ian+3an+i+an+4=0,(n2).(1)當(dāng)ai=-1時，求an的通項公式.(2)當(dāng)ai=-2.03時，求an的最小值和最年夜值(3)當(dāng)az.是an中的最小項時,求ai的取值范圍.答(1)an=-2+L(2)a34最小為-5;a35最年夜為-ni40ii40i3.(3)a220052006例i5在數(shù)列an中

7、，ai=4,且an+i=3an:,求an.答：an5ni2n5ni2n例i6已知曲線C：xyi,過C上一點An(xn,yn)作斜率kn為的直線交曲線C于另一點Xn2Ai(Xni,yni),點列A(n32,3,)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列Xn其中XiU.7(I)求Xn與Xni的關(guān)系式；(n)求證：1是等比數(shù)列；Xn23(田)求證：23n*(i)X(i)X2(i)X3(i)Xni.(nN,ni).創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間:謎底:)Xn12Xn11Xn123(m)由(n)知an(2)n(i)當(dāng)n為偶數(shù)時，1尸41(1)nXn1Qn112-332n122n12n1n13222n11)xi(1)2X

8、231)X3n1)Xn322324(ii)當(dāng)綜上所述:1)X1(1)2X2(1)3X3(n1)Xn1.(n1).(10)f(an,Sn)=0構(gòu)造f(an-1,Sn-1)=0,兩式相減.(11)兩個數(shù)列的遞推.若數(shù)列an,bn滿足anka1bnmen1k2bn1m?bn1(n2).構(gòu)造an+Xbn=y(an-1+Xbn-1)創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日bn14bni求解.例16已知：數(shù)列an,bn滿足an2an1bn3ani(n2)且ai=2,b1=3，求an,bn的通項公式.答：an75n3,bn3(5n1).44421.anTan1二bn1例17已知：數(shù)列an

9、,bn滿足33bn二an1二bn133(nA2)且a=10,b1=8，求an,bn的通項公式.答：1 .1an=9+?,bn=9-3n13n1(12)周期數(shù)列例18已知：數(shù)列an中a=a,a2=b,an=an-1-an-2,(n3).求an的通項公式.答：a1=a,a2=b,a3=b-a,a4=-a,a5=-b,a6=a-b,a7=a,a8=b,故an是周期為6的數(shù)列.例19已知：數(shù)列an中a1=a,an=%石，(n2).,3an11求an的通項公式.答：a1a,a2自3aa故an是周期為33a13a1的數(shù)列.注：特別地，a1=0時，常為考題.創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日創(chuàng)作時間：二零二一年六月三十日例20已知：數(shù)列an中ai=1,a2).求an的通項公式答：ai=1,a?2.3,a332,a41,a2.3,a62/3,a71.故an是周期為6的數(shù)列.例21已知：數(shù)列an中a1=a,an=a1,(n2).求an11工41一a,a5a.故an是周期為a1aan的通項公式.答：aa,a2a1,a3a14的數(shù)列.2數(shù)列求和中經(jīng)常使用的拆裂項方法(1)若an成等差數(shù)列，則(2)1anan1).an11anan1an2工(_2danan1an1an2).，(.a，b)(3)Cabm=c-cm+