第二章 21 212 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件 新人教A版必修2

1、第二章2.12.1.2理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二 立交橋是伴隨高速公路應(yīng)運(yùn)而生的立交橋是伴隨高速公路應(yīng)運(yùn)而生的城市的立交橋不僅大大方便了交通，而城市的立交橋不僅大大方便了交通，而且成為城市建設(shè)的美麗風(fēng)景為了車流且成為城市建設(shè)的美麗風(fēng)景為了車流暢通，并安全地通過(guò)交叉路口，暢通，并安全地通過(guò)交叉路口，19281928年，年，美國(guó)首先在新澤西州的兩條道路交叉處修建了第一座苜蓿葉美國(guó)首先在新澤西州的兩條道路交叉處修建了第一座苜蓿葉形公路交叉橋形公路交叉橋.1930.1930年，芝加哥建起了一座立體交叉橋年，芝加哥建起了一座立體交叉橋.1931.1931年至年

2、至19351935年，瑞典陸續(xù)在一些城市修建起立體交叉橋從此，年，瑞典陸續(xù)在一些城市修建起立體交叉橋從此，城市交通開(kāi)始從平地走向立體城市交通開(kāi)始從平地走向立體問(wèn)題問(wèn)題1 1：在同一平面內(nèi)，兩直線有怎樣的位置關(guān)系？：在同一平面內(nèi)，兩直線有怎樣的位置關(guān)系？提示：平行或相交提示：平行或相交問(wèn)題問(wèn)題2 2：若把立交橋抽象成一直線，它們是否在同一平面：若把立交橋抽象成一直線，它們是否在同一平面內(nèi)？有何特征？?jī)?nèi)？有何特征？提示：不共面，即不相交也不平行提示：不共面，即不相交也不平行問(wèn)題問(wèn)題3 3：觀察一下，教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、：觀察一下，教室內(nèi)日光燈管所在直線與黑板的左、右兩側(cè)所在直線，是否

3、也具有類似特征？右兩側(cè)所在直線，是否也具有類似特征？提示：是提示：是1 1異面直線異面直線(1)(1)定義：不同在定義：不同在 的兩條直線的兩條直線(2)(2)異面直線的畫(huà)法異面直線的畫(huà)法任何一個(gè)平面內(nèi)任何一個(gè)平面內(nèi)2 2空間兩條直線的位置關(guān)系空間兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系位置關(guān)系特點(diǎn)特點(diǎn)相交相交同一平面內(nèi)，有且同一平面內(nèi)，有且只有只有 公共公共點(diǎn)點(diǎn)平行平行同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)， 公共公共點(diǎn)點(diǎn)異面直線異面直線不同不同在在 內(nèi)，內(nèi)， 公共公共點(diǎn)點(diǎn)一個(gè)一個(gè)沒(méi)有沒(méi)有任何一個(gè)平面任何一個(gè)平面沒(méi)有沒(méi)有 1 1在初中學(xué)過(guò)，在同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第在初中學(xué)過(guò)，在同一平面內(nèi)，若兩條直線都與第三條直線平行

4、，那么這兩條直線互相平行三條直線平行，那么這兩條直線互相平行 問(wèn)題問(wèn)題1 1：在空間中，是否也有類似規(guī)律？：在空間中，是否也有類似規(guī)律？ 提示：是提示：是 問(wèn)題問(wèn)題2 2：能否利用某一空間幾何體舉出符合這一規(guī)律：能否利用某一空間幾何體舉出符合這一規(guī)律的例子？的例子？ 提示：可以，例如教室墻面與墻面的交線之間提示：可以，例如教室墻面與墻面的交線之間2觀察下圖中的觀察下圖中的AOB與與AOB. 問(wèn)題問(wèn)題1 1：這兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位：這兩個(gè)角對(duì)應(yīng)的兩條邊之間有什么樣的位置關(guān)系？置關(guān)系？ 提示：分別對(duì)應(yīng)平行提示：分別對(duì)應(yīng)平行 問(wèn)題問(wèn)題2 2：測(cè)量一下，這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何？：測(cè)量一下

5、，這兩個(gè)角的大小關(guān)系如何？ 提示：相等提示：相等平行平行平行線的傳遞性平行線的傳遞性ac 2等角定理等角定理 空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng) ，那么這兩，那么這兩個(gè)角個(gè)角 或或 3異面直線所成的角異面直線所成的角 (1)定義：已知兩條異面直線定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線作直線aa，bb，我們把，我們把a(bǔ)與與b所成的所成的 (或或 )叫做異面直線叫做異面直線a與與b所成的角所成的角(或夾角或夾角)平行平行相等相等互補(bǔ)互補(bǔ)銳角銳角直角直角(2)異面直線所成的角異面直線所成的角的取值范圍：的取值范圍： .(3)當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，a與與b

6、互相垂直，記作互相垂直，記作 .090ab 1 1對(duì)于異面直線的定義的理解對(duì)于異面直線的定義的理解 異面直線是不同在任何一個(gè)平面異面直線是不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線注意異面直線定義中內(nèi)的兩條直線注意異面直線定義中“任何任何”兩字，它指空間中的所有平兩字，它指空間中的所有平面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一面，因此異面直線也可以理解為：在空間中找不到一個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過(guò)個(gè)平面，使其同時(shí)經(jīng)過(guò)a a、b b兩條直線例如，如圖所兩條直線例如，如圖所示的長(zhǎng)方體中，棱示的長(zhǎng)方體中，棱ABAB和和B B1 1C C1 1所在的直線既不平行又不所在的直線既不平行又不相交，找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)

7、過(guò)這兩條棱所在的直線，相交，找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條棱所在的直線，故故ABAB與與B B1 1C C1 1是異面直線是異面直線 2 2對(duì)平行公理與等角定理的理解對(duì)平行公理與等角定理的理解 公理公理4 4表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直表明了平行的傳遞性，它可以作為判斷兩直線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩直線平行的一種證線平行的依據(jù)，同時(shí)也給出了空間兩直線平行的一種證明方法等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到明方法等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是公理的，它是公理4 4的直接應(yīng)用，并且當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方的直接應(yīng)用，并且當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同時(shí)，它們相等，否則它們

8、互補(bǔ)向分別相同時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ) 例例11如圖，正方體如圖，正方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，判斷下列直線的位置關(guān)系：中，判斷下列直線的位置關(guān)系： 直線直線A A1 1B B與直線與直線D D1 1C C的位置關(guān)系的位置關(guān)系是是_； 直線直線A A1 1B B與直線與直線B B1 1C C的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_； 直線直線D D1 1D D與直線與直線D D1 1C C的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_； 直線直線ABAB與直線與直線B B1 1C C的位置關(guān)系是的位置關(guān)系是_. _. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥 利用直線異面、平行、相交這三種不利用直線異面、

9、平行、相交這三種不同關(guān)系的判斷方法，結(jié)合正方體圖形特點(diǎn)直觀判斷同關(guān)系的判斷方法，結(jié)合正方體圖形特點(diǎn)直觀判斷 精解詳析精解詳析直線直線D1D與直線與直線D1C相交于相交于D1點(diǎn)，所以點(diǎn)，所以應(yīng)該填應(yīng)該填“相交相交”；直線；直線A1B與直線與直線D1C在平面在平面A1BCD1中，且中，且沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以應(yīng)該填沒(méi)有交點(diǎn)，則兩直線平行，所以應(yīng)該填“平行平行”；點(diǎn)；點(diǎn)A1、B、B1在一個(gè)平面在一個(gè)平面A1BB1內(nèi)，而內(nèi)，而C不在平面不在平面A1BB1內(nèi)，則直內(nèi)，則直線線A1B與直線與直線B1C異面同理，直線異面同理，直線AB與直線與直線B1C異面所異面所以應(yīng)該填以應(yīng)該填“異面異面” 答案答案

10、平行異面相交異面平行異面相交異面 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 判定兩條直線的位置關(guān)系時(shí)若要判定兩條直線的位置關(guān)系時(shí)若要判定直線平行或相交可用平面幾何中的定義和方法判定直線平行或相交可用平面幾何中的定義和方法處理判定異面直線的方法往往用定義和反證處理判定異面直線的方法往往用定義和反證法借助幾何模型判定兩直線的位置關(guān)系，也是常法借助幾何模型判定兩直線的位置關(guān)系，也是常用的一種方法，更直觀用的一種方法，更直觀1 1不平行的兩條直線的位置關(guān)系是不平行的兩條直線的位置關(guān)系是 ( () )A A相交相交B B異面異面C C平行平行 D D相交或異面相交或異面解析：解析：若兩直線不平行，則直線可能相交，也可能異面若兩直線

11、不平行，則直線可能相交，也可能異面答案：答案：D D2 2如圖所示，在長(zhǎng)方體如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCDABCDA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，與中，與AAAA1 1異異面的是面的是 ( () )AAB BBB1CDD1 DB1C1解析：解析：由異面直線的定義知，與由異面直線的定義知，與AA1異面的異面的直線應(yīng)為直線應(yīng)為B1C1.答案：答案：D3已知直線已知直線AB、CD是異面直線，求證：直線是異面直線，求證：直線AC、BD是異面直線是異面直線證明：證明：假設(shè)假設(shè)AC和和BD不是異面直線，不是異面直線，則則AC和和BD在同一平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)平在同一平面內(nèi)，設(shè)這個(gè)平面為面為(如圖

12、如圖)AC，BD，A、B、C、D四點(diǎn)都在四點(diǎn)都在內(nèi)，內(nèi)，AB，CD，這與已知中這與已知中AB和和CD是異面直線矛盾，是異面直線矛盾，故假設(shè)不成立故假設(shè)不成立直線直線AC和和BD是異面直線是異面直線 例例2已知已知E，E1分別是正方體分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱的棱AD，A1D1的中的中點(diǎn)求證：點(diǎn)求證：BECB1E1C1. 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥欲證兩個(gè)角相等，欲證兩個(gè)角相等，可先證角的兩邊分別平行，然后再通可先證角的兩邊分別平行，然后再通過(guò)等角定理來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)角相等過(guò)等角定理來(lái)說(shuō)明這兩個(gè)角相等 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)空間中，如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)

13、角相等或互補(bǔ)，當(dāng)兩個(gè)角的兩邊方平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，當(dāng)兩個(gè)角的兩邊方向都相同時(shí)或都相反時(shí)，兩個(gè)角相等，否則兩個(gè)角互向都相同時(shí)或都相反時(shí)，兩個(gè)角相等，否則兩個(gè)角互補(bǔ)，因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，只說(shuō)明兩個(gè)角的兩補(bǔ)，因此，在證明兩個(gè)角相等時(shí)，只說(shuō)明兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的邊分別對(duì)應(yīng)平行是不夠的4. 如圖所示，在三棱錐如圖所示，在三棱錐SMNP中，中，E、F、G、H分別是棱分別是棱SN、SP、MN、MP的中點(diǎn)，則的中點(diǎn)，則EF與與HG的位置關(guān)系的位置關(guān)系是是 ()A平行平行 B相交相交C異面異面 D平行或異面平行或異面解析：解析：E、F分別是分別是SN和和SP的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，EFPN.

14、同理可證同理可證HGPN，EFHG.答案：答案：A 例例3(12分分)在正方體在正方體ABCDA1B1C1D1中，求：中，求：(1)A1B與與B1D1所成的角；所成的角；(2)AC與與BD1所成的角所成的角 思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥利用正方體的圖形特點(diǎn)，把異面直線利用正方體的圖形特點(diǎn)，把異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角后進(jìn)行求解所成的角轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角后進(jìn)行求解 (2)連接連接BD交交AC于點(diǎn)于點(diǎn)O，取，取DD1中點(diǎn)中點(diǎn)E，連接，連接EO、EA、EC. O為為BD的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， OEBD1. (8分分) EDA90EDC， EDED，ADDC， EDA EDC. (9分分) EAEC.在

15、等腰在等腰EAC中，中，O是是AC的中點(diǎn)的中點(diǎn)EOAC.EOA90. (10分分)又又EOA是異面直線是異面直線AC與與BD1所成的角，所成的角，AC與與BD1所成的角為所成的角為90. (12分分) 一點(diǎn)通一點(diǎn)通 異面直線所成角的定義明確給出了異面直線所成角的定義明確給出了異面直線所成角的范圍及求異面直線所成角的方法，異面直線所成角的范圍及求異面直線所成角的方法，即平移法作出異面角后轉(zhuǎn)化為解三角形求角，體現(xiàn)即平移法作出異面角后轉(zhuǎn)化為解三角形求角，體現(xiàn)了空間角轉(zhuǎn)化為平面角求法的基本思想了空間角轉(zhuǎn)化為平面角求法的基本思想6.過(guò)正方體過(guò)正方體ABCDA1B1C1D1的的 頂點(diǎn)頂點(diǎn)A作直線作直線l，

16、使，使l與棱與棱AB， AD，AA1所成的角都相等，所成的角都相等， 這樣的直線這樣的直線l可以作可以作 () A1條條B2條條 C3條條 D4條條解析：解析：以以AA1為棱補(bǔ)三個(gè)全等的正方體，則四個(gè)為棱補(bǔ)三個(gè)全等的正方體，則四個(gè)正方體各有一條符合條件的直線正方體各有一條符合條件的直線答案：答案：D7.如圖所示，空間四邊形如圖所示，空間四邊形ABCD中，中， ABCD，ABCD，E、F分別分別 為為BC、AD的中點(diǎn)，求的中點(diǎn)，求EF和和AB 所成的角所成的角ABCD，EGGF.EGF90.EFG為等腰直角三角形為等腰直角三角形GFE45，即即EF與與AB所成的角為所成的角為45. 1 1證明兩線平行的方法：證明兩線平行的方法：(1)(1)定義法定義法( (多用反證多用反證法法) )，(2)(2)利用公理利用公理4 4即平行傳遞性即平行傳遞性 2 2等角定理為兩條異面直線所成的角的定義提等角定理為兩條異面直線所成的角的定義提供了可能性與唯一性供了可能性與唯一性 3 3求兩條異面直線所成的