第8講-因動點產(chǎn)生的線段和差問題

1、第8講因動點產(chǎn)生的線段和差問題例1福州市中考第26題如圖1,拋物線y=x24x與x軸交于0、A兩點，P為拋物線上一點，過點P的直線y=x+m與拋物線的對稱軸交于點Q.(1)這條拋物線的對稱軸是，直線PQ與x軸所夾銳角的度數(shù)是;1(2) 若兩個三角形的面積滿足&OQp=-faq,求m的值；3(3) 當點P在x軸下方的拋物線上時，過點C(2,2)的直線AC與直線PQ交于點D，求:PD+DQ的最大值；PDDQ的最大值.思路點撥1 .第(2)題厶0QP與厶FAQ是同底三角形，把面積比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)高的比，進而確定線段0A的分點的位置，從而得到直線PQ與y軸的交點坐標.2.第(3)題中，CQD保持等腰直角三

2、角形的形狀.滿分解答(1)拋物線的對稱軸為直線x=2，直線PQ與x軸的夾角為45.(2)因為0QP與厶PAQ有公共邊PQ,所以它們的面積比等于對應(yīng)高的比.如圖2,作0M丄PQ于M,AN丄PQ于N.當SOQP=SPAQ時,30MAN設(shè)直線PQ與x軸交于點H，那么0HAH0M-AN由y=x24x=x(x4)，得A(4,0).所以0A=4.如圖2，當點H在線段0A上時，0H=1,H(1,0).此時m=1.如圖3，當點H在A0的延長線上時，0H=2,H(2,0).此時m=2.(3)如圖4,由A(4,0)、C(2,2)，得直線AC與x軸的夾角為45,點C在拋物線的對稱軸上.又因為直線PQ與x軸的夾角為4

3、5,所以CDQ是等腰直角三角形.作點Q關(guān)于直線AC的對稱點Q,那么CQQ是等腰直角三角形，CQ/X軸.所以DQ=DQ.因此PD+DQ=PD+DQ=PQ作PP丄CQ，垂足為P，那么厶PPQ是等腰直角三角形.因此當PP最大時，PQ也最大.當點P運動到拋物線的頂點（2,4）時，PP最大，最大值PP=6.此時PQ的最大值為62，即PD+DQ的最大值為6.、2.圖2圖3圖4由于PD+DQ6.2，設(shè)PD=a,那么DQ62-a.因此PDQDa(6、2-a)-(a-3-.2)218.所以當a=2時，PDQD的最大值為18.此時PD=DQ=3.2,P、Q兩點重合于拋物線的頂點.考點伸展第(3)題可以用代數(shù)法來解

4、：因為點P在拋物線y=x24x上，設(shè)P(n,n24n).將P(n,n24n)代入直線y=x+m,可得m=n25n.所以直線PQ可以表示為y=x+n25n,那么Q(2,2+n25n).聯(lián)立直線AC:y=x+4和直線PQ:y=x+n25n，可得2x=4n2+5n.于是PD+DQ=,2(Xd-Xp)、.2(Xd-冷)=、2(2Xd-冷-冷)=.2(4-n25n-2-n)=-.2(n-2)26.2.所以當n=2時，PD+DQ的最大值為62.當n=2時點P在拋物線的頂點.例2廣州市中考第24題已知平面直角坐標系中兩定點A(1,0)、B(4,0)，拋物線y=ax2+bx2(a豐0)過點A、B，頂點為C,點

5、P(m,n)(n2，當/APB為直角時，將該拋物線向左或向右平移t(0t5)個單位，點C、P平2移后對應(yīng)的點分別記為C、P,是否存在t,使得順次首尾連接A、B、P、C所構(gòu)成的多邊形的周長最短？若存在，求t的值并說明拋物線平移的方向；若不存在，請說明理由.思路點撥1.要探求/APB為鈍角時點P的范圍，需要先找到/APB為直角時點P的位置.2 直徑的兩個端點與圓內(nèi)一點圍成的三角形是鈍角三角形.3 求兩條線段的和最小，是典型的“牛喝水”問題本題的四條線段中，有兩條的長是定值，把不定的兩條線段通過“平行且相等”連接起來，就轉(zhuǎn)化為“牛喝水”問題.滿分解答(1) 因為拋物線y=ax2+bx2與x軸交于A(

6、1,0)、B(4,0)兩點，所以y=a(x+1)(x4)=ax23ax4a.所以一4a=2,b=3a.所以a=,b=221 2313225所以yxx-2(x)-2228頂點為c(3,-笑).28(2) 如圖1，設(shè)拋物線與y軸的交點為D.由A(1,0)、B(4,0)、D(0,2)，可知坐=生ODOB所以AODDOB.因此/ADO=ZDBO.由于/DBO與/BDO互余，所以/ADO與/BDO也互余.圖1于是可得/ADB=90.因此以AB為直徑的圓經(jīng)過點D.當點P在x軸下方圓的內(nèi)部時，/APB為鈍角，此時一1m0，或3m-，當/APB為直角時，點P與點D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，因此點P的坐標為(3,

7、22).如圖2,由于點A、B、P、C是確定的，BB、PC、PC平行且相等，所以A、B、P、C四點所構(gòu)成的四邊形中，AB和PC的長是確定的.如圖3,以PC、PB為鄰邊構(gòu)造平行四邊形CPBB,以直線_-25為對稱軸作點B的對稱點B8聯(lián)結(jié)AB、，那么AC+PB的長最小值就是線段AB。、25線段AB與直線y=一25的交點，就是四邊形周長最小時點C的位置.8點P(3,-2)先向左平移3個單位，再向下平移23個單位，再向下平移2聯(lián)結(jié)AB、，那么AC+PB的長最小值就是線段AB。、25線段AB與直線y=一25的交點，就是四邊形周長最小時點C的位置.8點P(3,-2)先向左平移3個單位，再向下平移23個單位，

8、再向下平移2如圖如圖如圖4,2,3,點B(4,0)先向左平移9個單位得到點C(?,空),82-989個單位得到點B(5_9).828所以點B的坐標為(N.如圖4,由AE258CE_B”FAF，得XC1418口2.解得XC9382由于-2由于-2931593，所以拋物線向左平移了824115個單位.41O:C1O:C1圖2考點伸展第(2)題不可回避要證明/ADB=90,也可以根據(jù)勾股定理的逆定理證明.由A(-1,0)、B(4,0)、D(0,-2)，得AB2=25,AD2=5,BD2=20.所以AB2=AD2+BD2.所以/ADB=90.第(3)題的運算量實在是太大了，很容易折磨同學(xué)們的自信.求點

9、B的坐標，我們用了坐標平移的方法，比較簡便.求點C的坐標，我們用了相似比的方法，回避了待定系數(shù)法更為繁瑣的計算過程.例3天津市中考第25題在平面直角坐標系中，已知點A(2,0),B(0,4)，點E在OB上，且/OAE=ZOBA.(1) 如圖1，求點E的坐標；(2) 如圖2，將AEO沿x軸向右平移得到厶AEO,連結(jié)AB、BE. 設(shè)AA=m,其中0vmv2,使用含m的式子表示AB2+BE2,并求出使AB2+BE2取得最小值時點E的坐標； 當AB+BE取得最小值時，求點E的坐標(直接寫出結(jié)果即可).圖1圖2思路點撥1圖形在平移的過程中，對應(yīng)點的連線平行且相等，EE=AA=m.2求AB2+BE2的最小

10、值，第一感覺是用勾股定理列關(guān)于m的式子.3求AB+BE的最小值，第一感覺是典型的“牛喝水”問題一一軸對稱，兩點之間線段最短.滿分解答(1) 由/OAE=ZOBA，/AOE=ZBOA，得AOEBOA.AOBO24所以.因此OEOAOE2解得OE=1所以E(0,1).(2) 如圖3,在RtAOB中，OB=4,OA=2m,所以AB2=16+(2m)2.在RtBEE中，BE=3,EE=m，所以BE2=9+m2.所以AB2+BE2=16+(2m)2+9+m2=2(m1)2+27.所以當m=1時，AB2+BE2取得最小值，最小值為27.此時點A是AO的中點，點E向右平移了1個單位，所以E(1,1).如圖4

11、,當AB+BE取得最小值時，求點E的坐標為考點伸展第(2)題這樣解：如圖4，過點B作y軸的垂線I，作點E關(guān)于直線I的對稱點E,所以AB+BE=AB+BE:當A、B、E三點共線時，AB+BE取得最小值，最小值為線段AE在RtAOE中，AO=2,OE=7,所以AE=J53.當A、B、E三點共線時，A0A0.所以-.BOEO4788解得-二一此時E(-,1).77例4濱州市中考第24題如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(2,4)、0(0,0)、B(2,0)三點.(1)求拋物線y=ax2+bx+c的解析式；(2)若點M是該拋物線對稱軸上的一點，求AM+OM的最小值.答案(1)

12、圖1圖2圖3例5.山西省中考第26題如圖1在平面直角坐標系中，拋物線y=x2+2x+3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,點D是拋物線的頂點.（1）求直線AC的解析式及B、D兩點的坐標；（2）點P是x軸上的一個動點，過P作直線I/AC交拋物線于點Q.試探究：隨著點P的運動，在拋物線上是否存在點Q,使以A、P、Q、C為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請直接寫出符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由；（3）請在直線AC上找一點M,思路點撥1第（2）題探究平行四邊形，按照AP為邊或者對角線分兩種情況討論.2第（3）題是典型的“牛喝水”問題，構(gòu)造點B關(guān)于“河流”AC的對稱點B,那么M落在BD上

13、時，MB+MD最小，MBD的周長最小.滿分解答(1)由y=x2+2x+3=(x+1)(x3)=(x1)2+4,得A(1,0)、B(3,0)、C(0,3)、D(1,4).直線AC的解析式是y=3x+3.(2)Q1(2,3),Q2(1、7,-3),Q3(1-7,-3).（3）設(shè)點B關(guān)于直線AC的對稱點為B,聯(lián)結(jié)BB交AC于F.聯(lián)結(jié)BD,BD與交AC的交點就是要探求的點M.作BE丄x軸于E,那么BBEsBAFCAO.在RtBAF中，址二BE=_AB,ab=4，所以BF二2.13怖710在RtBBE中，旦工=匹=畀,BB=2BF=-2i，所以,BE=些.1310.1055所以O(shè)E=BE_OB=蘭_3二

14、21.所以點B的坐標為/21!?）.5555因為點M在直線y=3x+3上，設(shè)點M的坐標為（x,3x+3）.DDMM由BDBM4，得yyByM-yB.所以_LxDxBxM-xB心211+一53x3解得x=l所以點M的坐標為（2132）.353535考點伸展第（2）題的解題思路是這樣的：Q的坐 如圖4,當AP是平行四邊形的邊時，CQ/AP，所以點C、Q關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，點標為（2,3）. 如圖5,當AP是平行四邊形的對角線時，點C、Q分居x軸兩側(cè)，C、Q到x軸的距離相等.-3).圖4圖5【強化訓(xùn)練】121如圖，拋物線yxbx-2與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且A(-1,0)(1) 求拋物線的解析式及定點D的坐標；(2) 點M(m,0)是x軸上的一個動點，當MC+MD的值最小時，求m的值請說明理由;(德州24)如圖，已知拋物線y=mx2+4x+2m與x軸交于點A(口，0)、B(P,0)兩點，且丄丄二2.(1)求拋物線的解析式;a戸(2)拋物線的對稱軸為I，與y軸上的點N，使四邊形DNME的周長最??？若存