斷裂力學(xué)講義三維破裂張應(yīng)力判據(jù)

1、7.4三維脆性破裂的張應(yīng)力判據(jù)7.4.1 引言7.3的實(shí)驗(yàn)和Sommer(1969),Knauss(1970)的實(shí)驗(yàn)都顯示出,三維裂紋不沿自身平面擴(kuò)展,而是在前緣形成大量扭曲拐折式張破裂，每個(gè)破裂面與原始裂紋平面有兩條明顯岔開的交線，這說明這些初始破裂面不是平面，而是空間曲面.Knauss(1970)和Palaniswamy(1978)曾用似螺旋面(parahelical)來形容他們在實(shí)驗(yàn)中觀察到的純出型初始破裂面.在7.2中我們已經(jīng)指出，Palaniswamy(1978)的擬合方法不能充分解釋三維裂紋的破裂面為什么是空間曲面，而不是平面.這是因?yàn)橛迷摲椒ㄖ荒芮蟪銎屏衙娴钠骄呦颍荒芙o出初始

2、破裂面的完整解.因此,Palaniswamy提出的計(jì)算方法不能說是完備的據(jù)此，我們對拉應(yīng)力判據(jù)進(jìn)行了補(bǔ)充，找出了更好的擬合方法，求出了初始破裂面的完整解(李世愚,1990,1991).7.4.2 理論模型假定介質(zhì)是均勻、各向同性、理想脆性的，處于低(或零)圍壓之下.材料的局部抗拉強(qiáng)度遠(yuǎn),它們(7.4)低于局部抗剪切強(qiáng)度.筆者對拉應(yīng)力判據(jù)提出的補(bǔ)充假定是：初始破裂是某些點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)應(yīng)滿足下列必要條件：這些點(diǎn)位于原始裂紋端部的第一主微分面M1(即與5作用方向垂直的微分面)的延伸與破裂點(diǎn)O重合.初始破裂的路徑上，最大主應(yīng)力的臨界值為二1-m其中om為材料局部抗拉強(qiáng)度.圖7.9原始裂紋局部坐標(biāo)系M

3、一原始裂紋面,0X1X3.根據(jù)相應(yīng)于補(bǔ)充后的拉應(yīng)力判據(jù)，作者提出第一主微分面定點(diǎn)法.令0X3為裂紋前緣的切線面與原始裂紋面M重合.在以0x3為軸的圓柱坐標(biāo)系中(圖7.9),P(r,H,z)為一近場點(diǎn)Williams(1972)的重整化原理，(參見第八章)rMr。部分被視為非線性區(qū)淇中r0為臨界值，它是材料常數(shù).根據(jù)Williams應(yīng)力函數(shù)(范天佑，1978)可知，在裂紋端部應(yīng)力分量為K.%7f,gij0。)i，j=1,2,3,h=I,n,m(7.5)式中KhS為應(yīng)力強(qiáng)度因子.上式如僅保留奇異項(xiàng)，則就是(6.11)式，本文只考慮平面應(yīng)變的情況.主應(yīng)力玨(i=1,2,3)為應(yīng)力張量矩陣T的特征值，

4、求解過程參見第二章2.1.4.ni為歸一化的特征向量.玨是特征方程det二j二ij)-0(7.6)的根，最大主應(yīng)力?？梢詫懗?00Kejks1/2仃1=一一+1+o(r),.rn1是第一主微分面M1的法向，其表達(dá)式由(2.26)式取i=1得到，各個(gè)分量參見(2.27)式.和純I型裂紋問題相比較,I型裂紋端部日=0二處，僅保留奇異項(xiàng)，在臨界條件下.一Kic-1-m-,0其中Kic為斷裂韌性，r為相應(yīng)于I型斷裂的臨界值.因而(7.7)(7.8)0=Kic:-m(7.9)以r,縱參變量，令P點(diǎn)的坐標(biāo)為rP-lrcosi,rsinu,乙r,一二其中0WrErm,180”MHW+180：P點(diǎn)的第一主微分

5、面M1的方程為n1x1-rcost)+n2x2-sin；：n3x3-乙=0令x=X2=X3=0,得M1過O點(diǎn)的必要條件為(7.10)(7.11)nicos?n2sin1n3(7.12)若O點(diǎn)附近的裂紋前緣平直，則一般地，由點(diǎn)(0,0,x3)產(chǎn)生的初始破裂面SP為(n1cos6+n2sin9)Rp=rcos8,rsinH,x3(7.13)和(7.10)式相比較，它只是過O點(diǎn)的Sp沿著z軸平移了x3.(7.10)、(7.12)、(7.13)式只適用于n30的情形，以后將證明，KmW0是名才0的充要條件.Sp的前緣可以近似地視為破裂面上巴的等值線.將(7.4)代入(7.7)式，得到方程KeMKiiK

6、ii,391m(7.14)解出的rm(6)就是初始破裂面Sp的外緣在r-日平面上的投影.用rm(8)替換(7.13)中的r,并將(7.12)代入，就得到Sp的母線長度-2八八242rp=Rp一+3丁間1n3J(7.15)顯然，只要應(yīng)力張量唧已知，且在除裂紋面以外的區(qū)域連續(xù)，4、rp和rm(6)等參數(shù)就都可以用連續(xù)函數(shù)的解析式表出，因而初始破裂面Sp在-180=0+180二的范圍內(nèi)必然是連續(xù)、光滑的空間曲面.在(7.14)式中忽略零階項(xiàng)，并代入(7.8)式，就得到Ke,Ki,Kii,Kiii二(/口i.r(7.16)如果我們規(guī)定上式中的熊值應(yīng)滿足rm(0)為極大值，此時(shí)日=60,rm(80=r。

7、就得到了Ke的極小值(這是為了取破裂的最安全值)為Ke,Ki,Kii,Kiii=Kic(7.17)這個(gè)方程給出了在臨界條件下Ki、Kii和Kiii的關(guān)系，在OKiKiiKiii坐標(biāo)系中，(7.17)構(gòu)成了一個(gè)空間曲面.這里的Ke是從(7.7)式中得到的.我們稱Ke為等效應(yīng)力強(qiáng)度因子，(7.17)為復(fù)合型裂紋問題的irwin準(zhǔn)則(K判據(jù))1012容易看出，在三維，f#況下(足才0),裂紋端部所有點(diǎn)的第一主微分面Mi都無例外地與原始裂紋前緣相交，每個(gè)Mi面與0X3軸必有，且只有一個(gè)交點(diǎn).可以證明，滿足n30的條件有兩種可能：(1) 013和C23不同時(shí)為零；或者(2)二33成為最大主應(yīng)力.如果在某

8、個(gè)點(diǎn)這兩個(gè)條件都得不到滿足，則在這一點(diǎn)上必有n3=0,這時(shí)，該點(diǎn)的Mi面必然與0x3軸平行或是重合.因此，這兩個(gè)條件是否處處成立是區(qū)別二維與三維問題的分界標(biāo)志我們給出如下證明：當(dāng)O13W0或O23W0時(shí)，n3不可能為零.因?yàn)槿绻鹡3=0,則由(2.27)就可以得出O口。怪兩個(gè)解，它們與。13和023無關(guān)，由應(yīng)力張量不變量I=5+。2+03可知，O盧仃13和的也無關(guān)，但特征方程(7.6)表明，仃點(diǎn)013和023必然有關(guān)，這只能得出113=C23=0，但這又和CT13和33不同時(shí)為零的假定矛盾，因此n3不可能為零.反之，若O13=023=0,則由(2.21),特征向量n1,n2的分量有非平凡解的條

9、件是det(二pq-；二pq)=0p,q=1,2(a)由(2.27)式，W3=仃2(。11+仃22&一仃122十。11,可以看出，(a)式恰好就是W3=0,由(2.26),n3=W3/H,由此必然得出n3=0.證畢.由于V1/2,由(6.1),63的奇異項(xiàng)不能構(gòu)成最大主應(yīng)力，當(dāng)K|=0時(shí)，53和63肯定同時(shí)為零，因此在只考慮應(yīng)力的奇異項(xiàng)時(shí)，KillW0是n3W0的充要條件.按照上述理論，在有限區(qū)間內(nèi)，破裂點(diǎn)z可取無數(shù)個(gè)，裂紋前緣有限區(qū)間內(nèi)可以產(chǎn)生無窮多個(gè)初始破裂面，它們彼此互不相交，當(dāng)然，這只是實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的理想模型.這樣，本文就從理論上首次給出了三維裂紋初始破裂的完整的解析解7.4.3純田型裂紋

10、為了簡明起見，本文在下面的實(shí)例分析中暫時(shí)忽略應(yīng)力分量中的r0項(xiàng)，并假定在z變化不大的范圍內(nèi)，應(yīng)力強(qiáng)度因子Ki(i=123)的改變量可以忽略.將Ki=Kii=0,KiiiW0代入(6.1)(7.15)式，得到一系列精確解，其中最大主應(yīng)力為(7.18)_Km，r,相應(yīng)的主微分面M1的法向矢量為2.5=-sin,cos,1,(7.19)222初始破裂面Sp的矢量表示為(日)rp=Ircos6,rsin“-rsin：(7.20)p5時(shí)，初始破裂面Sp上大部分區(qū)域的切平面走向與第一主微分面M1的走向已十分接近.這正是Sommer(1969)的實(shí)驗(yàn)條件.本文的計(jì)算圖示(圖7.11)再現(xiàn)了Sommer在實(shí)驗(yàn)

11、中觀察到的雙長矛(doublelances)狀初始破裂.初始破裂面的外緣rm(9有兩個(gè)對稱分布的極大值，其方位角日用stress.for程序進(jìn)行數(shù)值計(jì)算結(jié)果由表11.1給出.103表11.1斷裂角日。與Ki/Kiii的關(guān)系Kii=0,v=0.25Ki/Kiii0.010.10.20.40.50.60.80.91.0器48.7252.5155.3159.5759.5260.2161.0461.2761.43Ki/Kiii2.04.05.06.07.08.010.015.020.0貼61.3360.5660.3860.2860.2160.1660.1160.0560.03Kh=Ki/Kic(h=1

12、,2,3,i=I,n,HI),泊松比=0.25.7.4.5 H-m復(fù)合型裂紋將ki=0,KuKm第0代入(6.11)-(7.15)式，得到的數(shù)值計(jì)算結(jié)果(圖7.12)與第十章的實(shí)驗(yàn)結(jié)果符合得很好.可以看出，初始破裂面關(guān)于OX1X3面呈不對稱畸變，rm(9)只有一個(gè)極大值，位于&180。，在這個(gè)方向上母線長度作|也最長，而在生+180。處，rm(6)則出現(xiàn)極小值，在這個(gè)方向上作也最短.比值Ki/Kiii越大，不對稱畸變越強(qiáng).這種不對稱畸變很好地解釋了在我們的實(shí)驗(yàn)(本文第十章)中次級(jí)破裂呈反對稱分布(即只朝I、出象限延伸)的現(xiàn)象.圖7.12口-HI復(fù)合型裂紋初始破裂理論模擬kh=Ki/Kic(h=

13、1,2,3,i=I,口，m),泊松比卡0.25.(李世愚，1990,1991)(a)和實(shí)驗(yàn)觀測(b).7.4.6 I-n復(fù)合型裂紋104將Kiii=0,Km=0,KiKii00代入(6.11)(7.15)式，此時(shí)三維裂紋退化為二維裂紋問題.如果在應(yīng)力分量中只保留奇異項(xiàng)，裂紋前緣極坐標(biāo)中的應(yīng)力分量為：1-cosK11cos?-3Knsin1I(7.27)1,二二=cosK1Kii3cosn-1J(7.28)2、2r2按照本文的拉應(yīng)力判據(jù)，取O?g=0,得到的判定方程是cos|KiKii3cOS1-1.1-0(7.29)上式的一個(gè)解為：cos(e/2)=0,9=卻.但此解無意義，所以斷裂角也(如圖

14、6.1)所示決定于方程Kisine+KI|(3cosH_1)=0,這正是(6.2)式.由此得出，如果在應(yīng)力分量中只保留奇異項(xiàng)，則拉應(yīng)力判據(jù)和最大周向應(yīng)力判據(jù)(Erdogan,1963)等價(jià).取也上。.可以求出斷裂角8。代回(7.27)，取r=r0,就得到臨界值仃的.由此，我們可以照搬Erdogan導(dǎo)出的純n型裂紋破裂的臨界條件：3KiicKk(7.30)值得注意的是，5(r,a廬5(06)中并不是極大值，例如純I型裂紋由max=土60二，但它們的主微分面不通過裂紋前緣，裂紋不沿這兩個(gè)方向擴(kuò)展，而是沿6(=0的方向擴(kuò)展，該方向上的主微分面恰好是通過裂紋前緣的.因此Palaniswamy等(197

15、8)主張把最大拉應(yīng)力判據(jù)改為拉應(yīng)力判據(jù).由(7.29)我們得到，當(dāng)K|=0(純II型裂紋)，即Kii/KiT8時(shí),入二cos(1/3)=7032(7.31)這個(gè)結(jié)果和亂2最大周向應(yīng)力理論得到的(6.3)式的結(jié)果完全相同.現(xiàn)在，我們回過頭來看Roesler(1956)的印痕接觸實(shí)驗(yàn)，就可以很好地解釋這個(gè)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果.可以看出，由于印痕器邊緣對丙烯酸樹脂玻璃表面強(qiáng)制性的壓迫，造成破裂的每一段微弧線都是內(nèi)部向下的位移，其方向與樣品表面垂直，因此該破裂就是純II型破裂.破裂擴(kuò)展路徑的軸對稱性使之形成圓錐狀，其母線與樣品法向的夾角就是斷裂角如),實(shí)驗(yàn)觀測到的比廣68.5,與(7.31)式的理論結(jié)果有2。的

16、偏差，我們認(rèn)為其原因，除觀測誤差外，主要是現(xiàn)有的理論只考慮了裂紋端部應(yīng)力的奇異項(xiàng)，而沒有將非奇異項(xiàng)也計(jì)算進(jìn)去.關(guān)于這個(gè)問題的討論，在第八章8.8中將予以介紹.7.4.7本文的方法、結(jié)果和Palaniswamy的方法、結(jié)果的比較前面我們已經(jīng)指出，Palaniwamy(1978)采用調(diào)整拉張破裂方向歐拉角搜索的方法來尋找最大拉應(yīng)力以擬合純III型裂紋的三維破裂(圖7.4).該方法中對于每個(gè)子面需要三個(gè)自由度.在Palaniwamy(1978)的原文中，只標(biāo)出了破裂面旋轉(zhuǎn)軸與x軸的交角川破裂面走向與z軸的夾角%,實(shí)際上還少標(biāo)了第三個(gè)自由度.但無論如何，Palaniwamy搜索的結(jié)果仍然只是一個(gè)解，這樣的解只能是平面解，不能解釋實(shí)驗(yàn)觀測到的三維破裂的曲面形狀，其原因在于，當(dāng)三個(gè)歐拉角中某個(gè)參數(shù)確定時(shí)，所得到的解只有一個(gè)，但當(dāng)該參數(shù)的值變化時(shí)，所得到的解并不重復(fù).換言之，三維破裂面的解本來并不唯一，而Palaniwamy沒有能指出這一點(diǎn).我們的方法表明，對于同一個(gè)破裂起始點(diǎn)，滿足張破裂判據(jù)的破裂擴(kuò)展路徑不是唯一的，而是無窮多個(gè).這無窮多個(gè)路徑的組合，才構(gòu)筑成了三維破裂曲面.7.4.8三維破裂在斷層中的應(yīng)用前景三維破裂涉及到斷層未穿透到地面或未穿透到地幔軟流層情況下的脆性破裂問題.部分地震105破裂很可能發(fā)生在這些斷層邊緣弧線上，大量的破裂面為螺旋外緣，