新課標(biāo)高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積及體積學(xué)案文新人教A版

1、第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積湖高考真題晦明命題趨向做真題1. （2018高考全國卷出）中國古建筑借助樺卯將木構(gòu)件連接起來.構(gòu)件的凸出部分叫樺頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）解析：選A.由題意知，在咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件中，從俯視方向看，棒頭看不見，所以是虛線，結(jié)合棒頭的位置知選A.2. （2018高考全國卷I）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A,圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B,則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中,最短路

2、徑的長度為（）B.25D.2A.2.17C.3解析：M廣二I0W選B.設(shè)過點(diǎn)M的高與圓柱的下底面交于點(diǎn)Q將圓柱沿MCW開，則MN的位置如圖所示，連接MN易知OM=2,ON=4,則從M到N的最短路徑為了OM+ON=22+42=24.3. （2018高考全國卷I）已知圓柱的上、下底面的中心分別為0,Q,過直線OQ的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A.12/兀B.12兀C.8,2兀D.1071解析：選B.因?yàn)檫^直線OO2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2啦，底面圓的直徑為2乖所以該圓柱的表面積為2XuX（J2）2+2J2tiX2f2=4. （

3、2019高考全國卷出）學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長方體ABCDABCD挖去四棱錐OEFGHt所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=6cm,AA=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.g.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個(gè)菱形，對(duì)角線長分別為6cm和4cm,故V挖去的四棱錐12(cm3).11=-x-X4X6X3=323又V長方體=6X6X4=144（cm）,所以模型的體積為3、V長方形一V挖去的四棱錐=14412=132（cm）,所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為13

4、2X0.9=118.8（g）答案：118.8明考情1 .“立體幾何”在高考中一般會(huì)以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現(xiàn)，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系（特別是平行與垂直）.2 .考查一個(gè)小題時(shí)，此小題一般會(huì)出現(xiàn)在第48題的位置上，難度一般；考查兩個(gè)小題時(shí)，其中一個(gè)小題難度一般，另一個(gè)小題難度稍高，一般會(huì)出現(xiàn)在第1016題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現(xiàn)在計(jì)算量上，但仍是對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本公式的考查.研考點(diǎn)考向G破重點(diǎn)難點(diǎn)空間幾何體的三視圖（基礎(chǔ)型）知識(shí)整合一個(gè)物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖的長

5、度一樣，側(cè)（左）視圖放在正（主）視圖的右面，高度與正（主）視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對(duì)正、高平齊、寬相等”.考法全練1 .一個(gè)簡單幾何體的正視圖、側(cè)視圖如圖所示，則其俯視圖可能是（）正視圖側(cè)祝圖長、寬不相等的長方形；正方形；圓；橢圓.A.B.C.D.解析：選B.由題設(shè)條件知，正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，對(duì)于，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何體為一個(gè)長方體時(shí)，滿足題意；對(duì)于，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是正方形；對(duì)于，由于正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是圓形；對(duì)于，如果此幾何體是一個(gè)橢圓柱，滿足正視圖中的長與側(cè)視圖中的長不一致

6、，故俯視圖可能是橢圓.綜上知是可能的圖形.2 .某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為（）A.10B.12C.14D.16解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個(gè)組合體，下面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個(gè)底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2,直三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個(gè)面是梯形，所以這些梯形的面積之和為(2+4)X22X2=12,故選B.3.如圖1,在三棱錐DABC已知AC=BG=CD=2,CDL平面AB

7、C/ACB=90°.若其正視圖、俯視圖如圖2所示，則其側(cè)視圖的面積為圖1的視圖圖2A.6B.2C.3D.2解析：選D.由題意知側(cè)視圖為直角三角形，因?yàn)檎晥D的高即幾何體的高，所以正視圖的高為2,則側(cè)視圖的高，即側(cè)視圖一直角邊長也為2.因?yàn)楦┮晥D為邊長為2的等腰直角三角形，所以側(cè)視圖的另一直角邊長為平.所以側(cè)視圖的面積為R故選D.等次署空間幾何體的表面積與體積（綜合型）知識(shí)整合O柱體、錐體、臺(tái)體的側(cè)面積公式（1） S柱側(cè)=ch（c為底面周長，h為高）.-1.（2） S錐側(cè)=,ch（c為底面周長，h為斜局）._1（3）S臺(tái)側(cè)=2（c+c）h（c,c分別為上下底面的周長，h為斜局）.柱體、

8、錐體、臺(tái)體的體積公式（1） V柱體=Sh（S為底面面積，h為高）.一.1（2） V錐體=.Sh（S為底面面積，h為圖）.3（3） V臺(tái)=；（S+yjST+S'）h（S,S'分別為上下底面面積，h為高）（不要求記憶）.3典型例題例CD（1）（2019廣州市綜合檢測（一）一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該幾何體的表面積為（）A.13兀2C.15兀側(cè)視圖B.7兀D.8兀（2）（2019高考浙江卷）祖的I是我國南北朝時(shí)代的偉大科學(xué)家，他提出的“哥勢既同，則積不容異”稱為祖的I原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的

9、底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：cm5）是()B.162D.324A.158C.182【解析】(1)由三視圖可知該幾何體是一個(gè)圓柱體和一個(gè)球體的四分之一的組合體，則12一2一2所求的幾何體的表面積為X4兀X1+兀X1+兀X1+2兀*1><2=7兀,選B.(2)如圖，該柱體是一個(gè)直五棱柱，棱柱的高為6,底面可以看作由兩個(gè)直角梯形組合而成,其中一個(gè)上底為4,下底為6,高為3,另一個(gè)的上底為2,下底為6,高為3.則底面面積S=X3+4+62X3=27,因此，該柱體的體積V=27X6=162.故選B.【答案】(1)B(2)B方法(1)求幾

10、何體的表面積的方法求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化,這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(diǎn).求不規(guī)則幾何體的表面積時(shí)，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺(tái)體，先求這些柱、錐、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差得此幾何體的表面積.(2)求空間幾何體體積的常用方法公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算.等積法：根據(jù)體積計(jì)算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計(jì)算更容易,或是求出一些體積比等.割補(bǔ)法：把不能直接計(jì)算體積的空間幾何體進(jìn)行適當(dāng)分割或補(bǔ)形，轉(zhuǎn)化為易計(jì)算體積的幾何體.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.（2019唐山市摸底考試）已知某幾何體的三視圖如圖所示（俯視圖中曲線為四分之一圓弧

11、），則該幾何體的表面積為（）正視圖側(cè)視圖俯視圖B.一兀3+萬C.2+4D.解析:選D.由題設(shè)知，該幾何體是棱長為一一一1圖所不，所以表面積S=2X（1X14X2.邊長為1一，、一,1的正萬體被截去底面半徑為1的圓枉后得到的,如兀X12)+2X(1X1)+T><2兀X1X1=4.故選D.（2019長春市質(zhì)量監(jiān)測（二）一個(gè)幾何體的三視圖如圖中粗線所示，每個(gè)小方格都是1的正方形，則這個(gè)幾何體的體積為（）iJJ<-JJi_1«11111Aj1TvIkINNIIl>Ili1工葉口工:工-七AHm-1-r11iT)廠trtA.3264B.?D.832°.7Eii

12、解析：選B.如圖所示四棱錐P-ABCD該幾何體的直觀圖，底面ABCD!邊長為4的正方1形.取CD的中點(diǎn)為E,連接PE則P平面ABCD且PE=4.所以這個(gè)幾何體的體積V=-3.64X4X4X4=,故選B.33.（2019長春市質(zhì)量監(jiān)測（一）已知一所有棱長都是寸2的三棱錐，則該三棱錐的體積為解析：記所有棱長都是5的三棱錐為P-ABC如圖所示，取BC的中點(diǎn)D,連接ADPD作POLADT點(diǎn)O,則POL平面ABC且OP=vx?=3羋，故三棱錐RABC勺體積V=SaabcOP33之梟何X孚/1答案：73與球有關(guān)的切、接問題（綜合型）典型例題例2（1）已知圓柱的高為2,底面半徑為由若該圓柱的兩個(gè)底面的圓周都

13、在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的表面積等于（）A.4兀c16B-Tt3D.16兀32C.三兀3（2）（2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考）四棱錐SABCD的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，底面ABCD正方形且和球心O在同一平面內(nèi)，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，其表面積等于+8霹，則球O的體積等于（）A.32兀"VB.322兀3C.16兀D.162兀3【解析】(1)如圖，由題意知圓柱的中心O為這個(gè)球的球心，于是，球的半徑r=OB=OA+AB=y/l2+(3)2=2.故這個(gè)球的表面積S=4兀產(chǎn)=16兀.故選D.(2)由題意得，當(dāng)此四棱錐的體積取得最大值時(shí)，四棱錐為正四棱錐.如圖，連接AC則球心O為AC的中

14、點(diǎn)，連接SO設(shè)球O的半徑為R,則AC=2R,S0=R,所以AB=BC=小R取AB的中點(diǎn)為E連接OESE則OD2bC=乎R,SP”SO+OE=*R因?yàn)樵撍睦忮F的體o16積取得最大值時(shí)，其表面積等于8+8小,所以(啦吊2+4*萬><,&RX勺r=8+83,解得R332兀,小工R=-3-.故選A.4=2,所以球O的體積等于三兀3【答案】(1)D(2)A解決與球有關(guān)的切、接問題的策略(1) “接”的處理構(gòu)造正(長)方體，轉(zhuǎn)化為正(長)方體的外接球問題.(過球心，接點(diǎn)等).空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當(dāng)截面利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線.(2

15、) “切”的處理體積分割法求內(nèi)切球半徑.作出合適的截面(過球心，切點(diǎn)等)，在平面上求解.多球相切問題，連接各球球心，轉(zhuǎn)化為處理多面體問題.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1.已知圓錐的高為3,底面半徑為43,若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于（）A.8兀B系33C.16兀D.32兀解析：選B.設(shè)該圓錐的外接球的半徑為R,依題意得，F(xiàn)2=（3F）2+（、F）2,解得R=2,所以所求球的體積丫=.兀穴=可兀X2=%,故選B.3332.（2019重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研）三棱錐S-ABC,SASBSC兩兩垂直，已知S-a,5SB=b,SC=2,且2a+b=5,則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為（）A

16、.21兀D.6兀C. 4兀解析：選A.由題意，設(shè)三棱錐的外接球的半徑為R因?yàn)镾ASB,SC兩兩垂直，所以以SA=a,SB=b,SCSASBSC為棱構(gòu)造長方體，其體對(duì)角線即三棱錐的外接球的直徑，因?yàn)?2,所以4F2=a+b+4=a+4+2a2-5-21)2+,所以當(dāng)2=1時(shí)，(4F2)min=,所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為一:,故選A.3.（2019福建五校第二次聯(lián)考）已知直三棱柱ABCABG的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB!ACAA=12,則球O的直徑為解析：如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D,BC的中點(diǎn)為D,連接DD,取其中點(diǎn)O',連接ADAD,則DA=DB=DCD

17、A=DB=DC,且DD垂直于直三棱柱的上、下底面，所以點(diǎn)O'到直三棱柱的各個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即點(diǎn)O為直三棱柱的外接球的球心Q連接OB則球O的直徑為2BO=24bD+DO=2y1r叼=13.N叫c答案：13練典型習(xí)題。提數(shù)學(xué)素養(yǎng).一、選擇題1 .一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的俯視圖不可能是正視圖則視圖A解析：選D.如果該幾何體是一個(gè)底面是等腰直角三角形,故A可能；如果該幾何體是一個(gè)圓柱，則其俯視圖必為圓，故且側(cè)棱與底面垂直的直三棱柱,B可能；如果該幾何體是一個(gè)正方體，則其俯視圖必為正方形，故C可能；如果該幾何體是一個(gè)長方體，則其正視圖和側(cè)視圖中必有一個(gè)為長方形，故D錯(cuò)

18、誤；根據(jù)排除法可知，選項(xiàng)D符合題意.2 .某幾何體的三視圖中的三角形都是直角三角形.如圖所示，則該幾何體中直角三角形正視圖俯視圖的個(gè)數(shù)為（）B.D.4A.1C.3解析：選D.依題意，該幾何體是一個(gè)底面為直角三角形，一條側(cè)棱垂直于底面的三棱錐，其四個(gè)面均為直角三角形.3 .（2019武漢市調(diào)研測試）如圖，在棱長為1的正方體ABCDABCD中，M為CD的中點(diǎn),14則三棱錐ABCM的體積VABCM=（）1A.21D.112解析：選C.VABCM=VC-ABM=Saabm-CC=1X1ABXADkGC=1.故選C.33264 .平面&截O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面&的距離為8

19、則球O的表面積為（）-10-A. 4兀B. 8兀C. 16兀D. 32兀解析：選C.如圖，因?yàn)榍蛐呐c截面圓圓心的連線垂直于截面，所以所以球O的表面積S=4兀4=16兀R=(3)2+12=4,5.（2019蓉城名校第一次聯(lián)考）已知一個(gè)幾何體的正視圖和側(cè)視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個(gè)直角邊長為1的等腰直角三角形（如圖2所示），則此幾何體的體積為（)正視圖圖1圖2A.1C.2B.2D. 222和/2的直角三角_13,所以體積V=q3解析：選B.根據(jù)直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個(gè)直角邊長分別是形（如圖所示），根據(jù)三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，且三棱錐的高為3=/

20、2.故選B.1x32X6.某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為正視圖8A.640+48兀C.640+16兀俯挑圖B.D.176兀704-11-解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是上面是底面半徑為4,高是3的圓錐，下面是底面邊長為8的正方形，高是10的長方體，所以該幾何體的體積V=8X8X10+；x兀X42義33=640+16兀.7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（）俯視圖A.2市+4小+2B.2市+10C.10+7D.12+43A出解析：選B.由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖P-ABCffl圖所示，其中三角形PA的三角1一1形PC助全等的直角三角形，其面積為2X2X4=4,

21、ABC等腰直角三角形，面積為2*2X21=2,PAE等腰三角形，面積為2X22X/14=277,所以表面積是4+4+2+2/7=10+2.7.18 .在二棱錐S-ABC中，SBLBCSALACSB=BCSA=ACAB=2SC且二棱錐S-ABC的體積為害,則該三棱錐的外接球半徑是（）A.1B.2C.3D.4解析：選C.取SC的中點(diǎn)O,連接OAOB則OA=OB=OC=OS即O為三棱錐的外接球球心，設(shè)半徑為r,則£x2rx平=呼，所以r=3.9 .在長方體ABCDABCQ中，AB=AD=2,AA=1,則點(diǎn)B到平面DAC的距離等于（）4b.£-12-C.1D.2解析:選B.如圖，連

22、接BD,易知DD就是三棱錐D-ABC勺高，AD=CD=、/5,取AC的中點(diǎn)O連接DO,則DO,AC所以DO=7ADAO=43.設(shè)點(diǎn)B到平面DAC的距離為h,則由VBDAC=VD-ABC即1SADAC-h=；&abc-DD,又SADAC=1DO-AC小66SABC33222AB-BC=1X2X2=2,所以h=*.故選B.2310. （2019湖南省五市十校聯(lián)考）某四棱錐的三視圖如圖所示，其側(cè)視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為A.8C.82解析：選D.由三視圖可知該幾何體是一個(gè)底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側(cè)棱PAL平面ABCDP

23、A=4,A氏4,BC=4,CD=6,所以AD=2乖,PD=6,PB=4也連接AC則AC=4啦，所以PC=473,顯然在各側(cè)面面積中PC曲面積最大，又PD=CD=6,所以PC邊上的高為勺不竽j=2侃所以斗但426=122,故該四棱錐的各側(cè)面中，面積的最大值為12版.故選D.-13-11. （2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考）已知正三角形ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABCW距離為1,點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是（）B.2兀D.3兀解析：選C.設(shè)正三角形ABCW中心為O,連接OQOAOA,由題意得00,平面ABC3OO=1,OA=2,所以在RtO

24、OA中，OA=®所以AB=3.因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以AE=-.連接OE則OELAB過點(diǎn)E作千O的截面，當(dāng)截面與。畫直時(shí)，截面圓的面積最小，此時(shí)截309兀.面圓的半徑r=2,可得截面圓面積的最小值為兀產(chǎn)=“，故選C.12. （2019河北省九校第二次聯(lián)考）已知正三棱柱ABCABCi的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，若球O的表面積為4兀，則該三棱柱的體積的最大值為（）A.1C.2B.3D.23解析:11選A.如圖，取ABC勺中心O',連接OO,OA,OA則OO±平面ABC設(shè)OO=x,球O的半徑為R,因?yàn)榍騉的表面積為4兀，所以4?？?4兀，所以R=1,0Vx<1,所以

25、AOCCC11=R_OO2=、1-x2,AB=-J3AO=小-：1-x2,所以三棱柱的體積V=SxABC-2OO=2單調(diào)遞增，在A百sin12x=324xx3),V，=笄3。一3x2),所以V在上單調(diào)遞減，所以Vnax=1,選A.二、填空題13. （一題多解）（2018高考天津卷）如圖，已知正方體ABCDABCQ的棱長為1,則四棱-14-錐Ai-BBDD的體積為4AB解析：法一：連接AC交BD于點(diǎn)E,則AE±BD,AiE±BB,則AE，平面BBDD,所以AE為四棱錐A-BBDD的高，且AE=挈矩形BBDD的長和寬分別為。2,1,故VA-BBDD121=鏟1X內(nèi)乎=%323法二：連接BD,則四棱錐A-BBDD分成兩個(gè)三棱錐36口口與3人8口，VA-BBDD=VBADD+VBA1BD=3X2X1X1X1+3*2*1*1*1=g14. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為冊(cè)視圖正視圖34楣視圖解析：依題意，題中的幾何體是一個(gè)直三棱