新課標高考數學二輪復習專題三立體幾何第1講空間幾何體的三視圖表面積及體積學案文新人教A版

1、第1講空間幾何體的三視圖、表面積及體積湖高考真題晦明命題趨向做真題1. （2018高考全國卷出）中國古建筑借助樺卯將木構件連接起來.構件的凸出部分叫樺頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構件右邊的小長方體是樺頭.若如圖擺放的木構件與某一帶卯眼的木構件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構件的俯視圖可以是（）解析：選A.由題意知，在咬合時帶卯眼的木構件中，從俯視方向看，棒頭看不見，所以是虛線，結合棒頭的位置知選A.2. （2018高考全國卷I）某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上，從M到N的路徑中,最短路

2、徑的長度為（）B.25D.2A.2.17C.3解析：M廣二I0W選B.設過點M的高與圓柱的下底面交于點Q將圓柱沿MCW開，則MN的位置如圖所示，連接MN易知OM=2,ON=4,則從M到N的最短路徑為了OM+ON=22+42=24.3. （2018高考全國卷I）已知圓柱的上、下底面的中心分別為0,Q,過直線OQ的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A.12/兀B.12兀C.8,2兀D.1071解析：選B.因為過直線OO2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，所以圓柱的高為2啦，底面圓的直徑為2乖所以該圓柱的表面積為2XuX（J2）2+2J2tiX2f2=4. （

3、2019高考全國卷出）學生到工廠勞動實踐，利用3D打印技術制作模型.如圖，該模型為長方體ABCDABCD挖去四棱錐OEFGHt所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點，AB=BC=6cm,AA=4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3.g.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質量為解析：由題知挖去的四棱錐的底面是一個菱形，對角線長分別為6cm和4cm,故V挖去的四棱錐12(cm3).11=-x-X4X6X3=323又V長方體=6X6X4=144（cm）,所以模型的體積為3、V長方形一V挖去的四棱錐=14412=132（cm）,所以制作該模型所需原料的質量為13

4、2X0.9=118.8（g）答案：118.8明考情1 .“立體幾何”在高考中一般會以“兩小一大”或“一小一大”的命題形式出現，這“兩小”或“一小”主要考查三視圖，幾何體的表面積與體積，空間點、線、面的位置關系（特別是平行與垂直）.2 .考查一個小題時，此小題一般會出現在第48題的位置上，難度一般；考查兩個小題時，其中一個小題難度一般，另一個小題難度稍高，一般會出現在第1016題的位置上，此小題雖然難度稍高，主要體現在計算量上，但仍是對基礎知識、基本公式的考查.研考點考向G破重點難點空間幾何體的三視圖（基礎型）知識整合一個物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正（主）視圖的下面，長度與正（主）視圖的長

5、度一樣，側（左）視圖放在正（主）視圖的右面，高度與正（主）視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣.即“長對正、高平齊、寬相等”.考法全練1 .一個簡單幾何體的正視圖、側視圖如圖所示，則其俯視圖可能是（）正視圖側祝圖長、寬不相等的長方形；正方形；圓；橢圓.A.B.C.D.解析：選B.由題設條件知，正視圖中的長與側視圖中的長不一致，對于，俯視圖是長方形是可能的，比如此幾何體為一個長方體時，滿足題意；對于，由于正視圖中的長與側視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是正方形；對于，由于正視圖中的長與側視圖中的長不一致，故俯視圖不可能是圓形；對于，如果此幾何體是一個橢圓柱，滿足正視圖中的長與側視圖中的長不一致

6、，故俯視圖可能是橢圓.綜上知是可能的圖形.2 .某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成,正方形的邊長為2,俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為（）A.10B.12C.14D.16解析：選B.由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2,直三棱柱的高為2,三棱錐的高為2,易知該多面體有2個面是梯形，所以這些梯形的面積之和為(2+4)X22X2=12,故選B.3.如圖1,在三棱錐DABC已知AC=BG=CD=2,CDL平面AB

7、C/ACB=90°.若其正視圖、俯視圖如圖2所示，則其側視圖的面積為圖1的視圖圖2A.6B.2C.3D.2解析：選D.由題意知側視圖為直角三角形，因為正視圖的高即幾何體的高，所以正視圖的高為2,則側視圖的高，即側視圖一直角邊長也為2.因為俯視圖為邊長為2的等腰直角三角形，所以側視圖的另一直角邊長為平.所以側視圖的面積為R故選D.等次署空間幾何體的表面積與體積（綜合型）知識整合O柱體、錐體、臺體的側面積公式（1） S柱側=ch（c為底面周長，h為高）.-1.（2） S錐側=,ch（c為底面周長，h為斜局）._1（3）S臺側=2（c+c）h（c,c分別為上下底面的周長，h為斜局）.柱體、

8、錐體、臺體的體積公式（1） V柱體=Sh（S為底面面積，h為高）.一.1（2） V錐體=.Sh（S為底面面積，h為圖）.3（3） V臺=；（S+yjST+S'）h（S,S'分別為上下底面面積，h為高）（不要求記憶）.3典型例題例CD（1）（2019廣州市綜合檢測（一）一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和俯視圖中的四邊形是邊長為2的正方形，則該幾何體的表面積為（）A.13兀2C.15兀側視圖B.7兀D.8兀（2）（2019高考浙江卷）祖的I是我國南北朝時代的偉大科學家，他提出的“哥勢既同，則積不容異”稱為祖的I原理，利用該原理可以得到柱體的體積公式V柱體=Sh,其中S是柱體的

9、底面積，h是柱體的高.若某柱體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該柱體的體積（單位：cm5）是()B.162D.324A.158C.182【解析】(1)由三視圖可知該幾何體是一個圓柱體和一個球體的四分之一的組合體，則12一2一2所求的幾何體的表面積為X4兀X1+兀X1+兀X1+2兀*1><2=7兀,選B.(2)如圖，該柱體是一個直五棱柱，棱柱的高為6,底面可以看作由兩個直角梯形組合而成,其中一個上底為4,下底為6,高為3,另一個的上底為2,下底為6,高為3.則底面面積S=X3+4+62X3=27,因此，該柱體的體積V=27X6=162.故選B.【答案】(1)B(2)B方法(1)求幾

10、何體的表面積的方法求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉化為平面幾何問題，即空間圖形平面化,這是解決立體幾何的主要出發(fā)點.求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得此幾何體的表面積.(2)求空間幾何體體積的常用方法公式法：直接根據相關的體積公式計算.等積法：根據體積計算公式，通過轉換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易,或是求出一些體積比等.割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當分割或補形，轉化為易計算體積的幾何體.對點訓練1.（2019唐山市摸底考試）已知某幾何體的三視圖如圖所示（俯視圖中曲線為四分之一圓弧

11、），則該幾何體的表面積為（）正視圖側視圖俯視圖B.一兀3+萬C.2+4D.解析:選D.由題設知，該幾何體是棱長為一一一1圖所不，所以表面積S=2X（1X14X2.邊長為1一，、一,1的正萬體被截去底面半徑為1的圓枉后得到的,如兀X12)+2X(1X1)+T><2兀X1X1=4.故選D.（2019長春市質量監(jiān)測（二）一個幾何體的三視圖如圖中粗線所示，每個小方格都是1的正方形，則這個幾何體的體積為（）iJJ<-JJi_1«11111Aj1TvIkINNIIl>Ili1工葉口工:工-七AHm-1-r11iT)廠trtA.3264B.?D.832°.7Eii

12、解析：選B.如圖所示四棱錐P-ABCD該幾何體的直觀圖，底面ABCD!邊長為4的正方1形.取CD的中點為E,連接PE則P平面ABCD且PE=4.所以這個幾何體的體積V=-3.64X4X4X4=,故選B.33.（2019長春市質量監(jiān)測（一）已知一所有棱長都是寸2的三棱錐，則該三棱錐的體積為解析：記所有棱長都是5的三棱錐為P-ABC如圖所示，取BC的中點D,連接ADPD作POLADT點O,則POL平面ABC且OP=vx?=3羋，故三棱錐RABC勺體積V=SaabcOP33之梟何X孚/1答案：73與球有關的切、接問題（綜合型）典型例題例2（1）已知圓柱的高為2,底面半徑為由若該圓柱的兩個底面的圓周都

13、在同一個球面上，則這個球的表面積等于（）A.4兀c16B-Tt3D.16兀32C.三兀3（2）（2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考）四棱錐SABCD的所有頂點都在同一個球面上，底面ABCD正方形且和球心O在同一平面內，當此四棱錐的體積取得最大值時，其表面積等于+8霹，則球O的體積等于（）A.32兀"VB.322兀3C.16兀D.162兀3【解析】(1)如圖，由題意知圓柱的中心O為這個球的球心，于是，球的半徑r=OB=OA+AB=y/l2+(3)2=2.故這個球的表面積S=4兀產=16兀.故選D.(2)由題意得，當此四棱錐的體積取得最大值時，四棱錐為正四棱錐.如圖，連接AC則球心O為AC的中

14、點，連接SO設球O的半徑為R,則AC=2R,S0=R,所以AB=BC=小R取AB的中點為E連接OESE則OD2bC=乎R,SP”SO+OE=*R因為該四棱錐的體o16積取得最大值時，其表面積等于8+8小,所以(啦吊2+4*萬><,&RX勺r=8+83,解得R332兀,小工R=-3-.故選A.4=2,所以球O的體積等于三兀3【答案】(1)D(2)A解決與球有關的切、接問題的策略(1) “接”的處理構造正(長)方體，轉化為正(長)方體的外接球問題.(過球心，接點等).空間問題平面化，把平面問題轉化到直角三角形中，作出適當截面利用球心與截面圓心的連線垂直于截面定球心所在直線.(2

15、) “切”的處理體積分割法求內切球半徑.作出合適的截面(過球心，切點等)，在平面上求解.多球相切問題，連接各球球心，轉化為處理多面體問題.對點訓練1.已知圓錐的高為3,底面半徑為43,若該圓錐的頂點與底面的圓周都在同一個球面上，則這個球的體積等于（）A.8兀B系33C.16兀D.32兀解析：選B.設該圓錐的外接球的半徑為R,依題意得，F2=（3F）2+（、F）2,解得R=2,所以所求球的體積丫=.兀穴=可兀X2=%,故選B.3332.（2019重慶市學業(yè)質量調研）三棱錐S-ABC,SASBSC兩兩垂直，已知S-a,5SB=b,SC=2,且2a+b=5,則此三棱錐的外接球的表面積的最小值為（）A

16、.21兀D.6兀C. 4兀解析：選A.由題意，設三棱錐的外接球的半徑為R因為SASB,SC兩兩垂直，所以以SA=a,SB=b,SCSASBSC為棱構造長方體，其體對角線即三棱錐的外接球的直徑，因為=2,所以4F2=a+b+4=a+4+2a2-5-21)2+,所以當2=1時，(4F2)min=,所以三棱錐的外接球的表面積的最小值為一:,故選A.3.（2019福建五校第二次聯(lián)考）已知直三棱柱ABCABG的6個頂點都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB!ACAA=12,則球O的直徑為解析：如圖，設BC的中點為D,BC的中點為D,連接DD,取其中點O',連接ADAD,則DA=DB=DCD

17、A=DB=DC,且DD垂直于直三棱柱的上、下底面，所以點O'到直三棱柱的各個頂點的距離相等，即點O為直三棱柱的外接球的球心Q連接OB則球O的直徑為2BO=24bD+DO=2y1r叼=13.N叫c答案：13練典型習題。提數學素養(yǎng).一、選擇題1 .一個幾何體的正視圖和側視圖如圖所示，則這個幾何體的俯視圖不可能是正視圖則視圖A解析：選D.如果該幾何體是一個底面是等腰直角三角形,故A可能；如果該幾何體是一個圓柱，則其俯視圖必為圓，故且側棱與底面垂直的直三棱柱,B可能；如果該幾何體是一個正方體，則其俯視圖必為正方形，故C可能；如果該幾何體是一個長方體，則其正視圖和側視圖中必有一個為長方形，故D錯

18、誤；根據排除法可知，選項D符合題意.2 .某幾何體的三視圖中的三角形都是直角三角形.如圖所示，則該幾何體中直角三角形正視圖俯視圖的個數為（）B.D.4A.1C.3解析：選D.依題意，該幾何體是一個底面為直角三角形，一條側棱垂直于底面的三棱錐，其四個面均為直角三角形.3 .（2019武漢市調研測試）如圖，在棱長為1的正方體ABCDABCD中，M為CD的中點,14則三棱錐ABCM的體積VABCM=（）1A.21D.112解析：選C.VABCM=VC-ABM=Saabm-CC=1X1ABXADkGC=1.故選C.33264 .平面&截O的球面所得圓的半徑為1,球心O到平面&的距離為8

19、則球O的表面積為（）-10-A. 4兀B. 8兀C. 16兀D. 32兀解析：選C.如圖，因為球心與截面圓圓心的連線垂直于截面，所以所以球O的表面積S=4兀4=16兀R=(3)2+12=4,5.（2019蓉城名校第一次聯(lián)考）已知一個幾何體的正視圖和側視圖如圖1所示，其俯視圖用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖是一個直角邊長為1的等腰直角三角形（如圖2所示），則此幾何體的體積為（)正視圖圖1圖2A.1C.2B.2D. 222和/2的直角三角_13,所以體積V=q3解析：選B.根據直觀圖可得該幾何體的俯視圖是一個直角邊長分別是形（如圖所示），根據三視圖可知該幾何體是一個三棱錐，且三棱錐的高為3=/

20、2.故選B.1x32X6.某幾何體三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為正視圖8A.640+48兀C.640+16兀俯挑圖B.D.176兀704-11-解析：選C.由三視圖可知，該幾何體是上面是底面半徑為4,高是3的圓錐，下面是底面邊長為8的正方形，高是10的長方體，所以該幾何體的體積V=8X8X10+；x兀X42義33=640+16兀.7.某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（）俯視圖A.2市+4小+2B.2市+10C.10+7D.12+43A出解析：選B.由三視圖可知，該三棱錐的直觀圖P-ABCffl圖所示，其中三角形PA的三角1一1形PC助全等的直角三角形，其面積為2X2X4=4,

21、ABC等腰直角三角形，面積為2*2X21=2,PAE等腰三角形，面積為2X22X/14=277,所以表面積是4+4+2+2/7=10+2.7.18 .在二棱錐S-ABC中，SBLBCSALACSB=BCSA=ACAB=2SC且二棱錐S-ABC的體積為害,則該三棱錐的外接球半徑是（）A.1B.2C.3D.4解析：選C.取SC的中點O,連接OAOB則OA=OB=OC=OS即O為三棱錐的外接球球心，設半徑為r,則£x2rx平=呼，所以r=3.9 .在長方體ABCDABCQ中，AB=AD=2,AA=1,則點B到平面DAC的距離等于（）4b.£-12-C.1D.2解析:選B.如圖，連

22、接BD,易知DD就是三棱錐D-ABC勺高，AD=CD=、/5,取AC的中點O連接DO,則DO,AC所以DO=7ADAO=43.設點B到平面DAC的距離為h,則由VBDAC=VD-ABC即1SADAC-h=；&abc-DD,又SADAC=1DO-AC小66SABC33222AB-BC=1X2X2=2,所以h=*.故選B.2310. （2019湖南省五市十校聯(lián)考）某四棱錐的三視圖如圖所示，其側視圖是等腰直角三角形，俯視圖的輪廓是直角梯形，則該四棱錐的各側面中，面積的最大值為A.8C.82解析：選D.由三視圖可知該幾何體是一個底面為直角梯形，高為4的四棱錐，如圖，其中側棱PAL平面ABCDP

23、A=4,A氏4,BC=4,CD=6,所以AD=2乖,PD=6,PB=4也連接AC則AC=4啦，所以PC=473,顯然在各側面面積中PC曲面積最大，又PD=CD=6,所以PC邊上的高為勺不竽j=2侃所以斗但426=122,故該四棱錐的各側面中，面積的最大值為12版.故選D.-13-11. （2019洛陽尖子生第二次聯(lián)考）已知正三角形ABC的三個頂點都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABCW距離為1,點E是線段AB的中點，過點E作球O的截面，則截面圓面積的最小值是（）B.2兀D.3兀解析：選C.設正三角形ABCW中心為O,連接OQOAOA,由題意得00,平面ABC3OO=1,OA=2,所以在RtO

24、OA中，OA=®所以AB=3.因為E為AB的中點，所以AE=-.連接OE則OELAB過點E作千O的截面，當截面與。畫直時，截面圓的面積最小，此時截309兀.面圓的半徑r=2,可得截面圓面積的最小值為兀產=“，故選C.12. （2019河北省九校第二次聯(lián)考）已知正三棱柱ABCABCi的所有頂點都在球O的球面上，若球O的表面積為4兀，則該三棱柱的體積的最大值為（）A.1C.2B.3D.23解析:11選A.如圖，取ABC勺中心O',連接OO,OA,OA則OO±平面ABC設OO=x,球O的半徑為R,因為球O的表面積為4兀，所以4?？?4兀，所以R=1,0Vx<1,所以

25、AOCCC11=R_OO2=、1-x2,AB=-J3AO=小-：1-x2,所以三棱柱的體積V=SxABC-2OO=2單調遞增，在A百sin12x=324xx3),V，=笄3。一3x2),所以V在上單調遞減，所以Vnax=1,選A.二、填空題13. （一題多解）（2018高考天津卷）如圖，已知正方體ABCDABCQ的棱長為1,則四棱-14-錐Ai-BBDD的體積為4AB解析：法一：連接AC交BD于點E,則AE±BD,AiE±BB,則AE，平面BBDD,所以AE為四棱錐A-BBDD的高，且AE=挈矩形BBDD的長和寬分別為。2,1,故VA-BBDD121=鏟1X內乎=%323法二：連接BD,則四棱錐A-BBDD分成兩個三棱錐36口口與3人8口，VA-BBDD=VBADD+VBA1BD=3X2X1X1X1+3*2*1*1*1=g14. 已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為冊視圖正視圖34楣視圖解析：依題意，題中的幾何體是一個直三棱