數學物理方法-第三章ppt課件

1、第三章、復數級數第三章、復數級數補充作業(yè)在后面補充作業(yè)在后面引言 我們在高等數學中學習級數時,已經知道級數和數列有著密切的關系,在復數范圍內,級數和數列的關系與實數范圍內的情況十分類似.我們即將看到,關于復數項級數和復變函數項級數的某些概念和定理都是實數范圍內的相應內容在復數范圍內的直接推廣. 這一章的主要內容是: 除了介紹關于復數項和復變函數項級數的一些基本概念與性質以外,著重介紹復變函數項級數中的冪級數和由正負整次冪項所組成的Laurent級數,并圍繞如何將解析函數展開為冪級數或洛朗級數這一中心內容來進行.這兩類級數都是研究解析函數的重要工具,也為下一章留數的學習打下良好的基礎.復數項級數

2、復數項級數定義：各項均為復數的無窮級數稱為復定義：各項均為復數的無窮級數稱為復( (數項數項) )級數級數. .0120kkkwwwww其中通項為：.kkkwuiv部分和：無窮級數的前部分和：無窮級數的前 n n 項和稱為該級數的部分和。項和稱為該級數的部分和。0nnkkSw3-1 3-1 復數級數復數級數復數級數及其收斂判據復數級數及其收斂判據總結總結因為部分和可以表示為：00,nnnkkkkSuiv 故復數項級數的收斂性可歸結為兩個實數項級數的收斂性問題(復變函數極限的基本定理)；因而實數項級數的許多性質可以直接用于復數項級數。復數級數收斂判據復數級數收斂判據幾個重要結論級數收斂判別方法級

3、數收斂判別方法為與n無關的常數用比較判別法判斷注意調和級數注意調和級數1( 1)nnn112nn1( 1)nnn解：解： 因為因為，都收斂，故原級數收斂，但因都收斂，故原級數收斂，但因為條件收斂，所以原級數為條件收斂。為條件收斂，所以原級數為條件收斂。3-2 3-2 冪冪 級級 數數冪級數收斂定理冪級數收斂定理畫圖說明證明：證明：AbelAbel第一定理第一定理 (同學們自己看)務必掌握證明：比值法證明：比值法例：冪級數收斂范圍例：冪級數收斂范圍補充用比值法或者根值法求冪級數的收斂半徑31313311()11111,nnnnnnnzncncnznnnn并討論在收斂圓周上的情形)解:因為liml

4、im所以收斂半徑R=1,也就是原級數在圓z內收斂,圓外發(fā)散.在圓周z上 級數是收斂的.所以原級數在收斂圓上是處處收斂的.10(1)(0,1)(cos)nnnnzznin z并討論時的情形同學們自己做重點復變冪級數的四則運算復變冪級數的四則運算同學們應注意這一點復變冪級數復合運算、性質復變冪級數復合運算、性質22231:(),1:1111.()()11,11()()111111()()()()(kkzaabzbzbzazbzabababazabazazazazababababazazazbbababab kk=0例把函數寫出形如c的冪級數 其中 與 是不相等的復常數.解:把函數寫成如下的形式當時

5、由等比級數可得從而得到1()kkzaa總結:首先要把函數做代數變形,使其分母中出現量z-a,因為我們要展成z-a的冪級數,再把它按照展開式為已知的函數11z的形式寫成11,( ),( ).1( )1zag zzg zg zbaz其中然后把展開式中的 換成2222/120110001:( )1,(2)1111( ).1(2)3(1)9(1)311()( 1)( 1)(1)1( 1)(1)( 1) (1)11( )( 1) (1)()( 193nnnnnnnnnnnnnnnf zzzf zzzzznzzznznzzf zn 例 把展開為的冪級數 并指出它的收斂半徑解:而所以201)(1) ,311

6、,133nnnnnzzz即201:11nnzzzz 注3-3 Taylor3-3 Taylor級數級數 上一節(jié)我們看到,復變冪級數的和函數在其收斂圓的內部是一個解析函數.那么其逆是否為真呢?即任何一個解析函數是否能用冪級數來表達.因此有下面的Taylor定理,即把一個解析函數展開為Taylor冪級數. 高階導數公式TaylorTaylor展開的唯一性展開的唯一性幾個重要的 Maclaurin 級數201212240212135020111, !2!( 1)11( 1)cos1, (2 )!2!4!(2 )!( 1)11( 1)sin, (21)!3!5!(21)!11, 11nznnnnnnn

7、nnnnnnnnzezzzznnzzzzzznnzzzzzzznnzzzzzz 幾種常用初等函數的泰勒展開式幾種常用初等函數的泰勒展開式注：間接展開法最常用。也可利用柯西乘積求得,具體見課本補充例題3-5 Laurent3-5 Laurent級數級數圖示見課本(6)單值解析函數沿閉合曲線的積分值與包圍奇點的圍到形狀無關只有一個奇點時）注意注意 在實際應用中,常會遇到在某點z0不解析,但在z0的去心鄰域內解析的函數f(z),可將f(z)在圓環(huán)域內展開為洛朗級數.00zzLaurentLaurent展開的唯一性展開的唯一性Laurent Laurent 展開的方法展開的方法10011111.(1)

8、1nnnnnnzzzz zzzz 22200211111.( )1(1)1nnnnnnzzz zzzzz 1z 當時，1z 當0時，112z12222222000221111111.()()11(1)nnnnnnnnzzzzzzzz（1）（2）解：1z 當時，例題有感:同一函數在不同的圓環(huán)域內的洛朗展開式可能不同,這與洛朗展開式的唯一性不要混淆.函數的洛朗級數展開式對同一圓環(huán)域而言是唯一的,而在不同的圓環(huán)域內的展開式是不同的.關于洛朗級數展開的說明補充例題補充例題00352101( )()sin22!( 1)3!5!(21)!izizkkkkkkkeeizizziikkzzzzk0035210

9、1( )()sin22!( 1)3!5!(21)!izizkkkkkkkeeizizziikkzzzzk131323313323( )0.:( )012!3!110,.1111(1)2!3!zznznf zz ezf zz ezzzzznzzzzz ezzzzn z z把函數在內展開為洛朗級數解 函數在內是處處解析的,又因為e而在內解析,所以把上式中的z換成兩邊同乘以即得所求的洛朗展開式例題具體見課本總結利用洛朗級數求積分的步驟 利用洛朗級數求積分,首先先找一個積分的圓環(huán),使函數在圓環(huán)內解析，并且使積分圍道在圓環(huán)內部。然后把函數在圓環(huán)內進行洛朗展開,則洛朗展開系數b-1乘以2i 即為所求的積分

10、.補充例題(不講)321(1)(4)1:( )4,3(1)(4),( )i.1111( )(1)(4)1443(1)12(4)111143 (1)48(1)41111(1433484zdzz zzf zzzz zzf zABCf zz zzzzzzzzzzzzzzzz-1解 函數在圓環(huán)域1內解析 且在次圓環(huán)域內 所以在此圓環(huán)域內洛朗展開式的系數b 乘以2即為所求的積分213)1611111,2.()4312(1)(4)126zzibdziz zz 由此可見即同學們自己看，此題與我們的例題相似 留數理論是復變函數的積分與級數相結合的產物，是復變函數的重要組成部分，留數的理論與方法在復變函數中占有

11、重要的地位，也是解決有關實際問題的有力工具。在物理光學，統(tǒng)計物理，量子力學，固體物理乃至量子場論中有著極其廣泛的應用。引言關于函數的奇點及其在孤立奇點鄰域內性質的研究對于許多問題的求解有著重要意義。 這一章先根據Lanrent級數將奇點分類,在此基礎上研究留數理論,然后應用留數理論計算積分。 3-5單值函數的孤立奇點3524sin11111()13!5!3!5!zzzzzzzz 232111111(1)12!3!2!3!zezzzzzzzz 1123111112!(1)3!(1)zezzz 0)(lim0bzfzz孤立奇點z0為可去奇點的充要條件是函數f(z)在z0的鄰域內有界,即 可去奇點是可以除去的，事實上，不論f(z)原來在z0是否有定義，如果令f(z0)=b0 ,則在圓域內，總有f(z)=b0+b1(z-z0)+b2(z-z0)2+,因此f(z)就成了在圓域內收斂的冪級數的和函數，因此它在該圓域內解析，當然在z0處也解析，所以z0為可去奇點。極點的階數的判斷方法也可以用sinz的展開式來判斷補充例題見教案書上的作業(yè)題，見教案注意字的寫法！(10) 無窮遠點與有限遠點分類總結 與有限區(qū)域中的三類孤立奇點的定義相比較，按極限性質的分類方法是相同的，按洛朗展開性質的分類方法也只是將展開式中的負冪項改為正冪項，這正是無窮遠點與有