機械設計優(yōu)化作業(yè)

1、1、優(yōu)化概述優(yōu)化設計是用數(shù)學規(guī)劃理論和計算機自動選優(yōu)技術的有機結合來求解最優(yōu)化問題。對工程問題進行優(yōu)化設計，首先需要將工程問題轉化成數(shù)學模型，即用優(yōu)化設計的數(shù)學表達式描述工程設計問題。然后，按照數(shù)學模型的特點選擇合適的優(yōu)化方法和計算程序，運用計算機求解，獲得最優(yōu)設計方案。2、優(yōu)化設計與傳統(tǒng)設計的比較機械產品設計工作的任務就是使設計的產品既具有優(yōu)良的技術性能指標，又能滿足生產的工藝性、使用的可靠性和安全性要求，且消耗和成本最低等。機械產品的設計，一般需要經過需求分析、市場調查、方案設計、結構設計、分析計算、工程繪圖和編制技術文件等一系列工作過程。傳統(tǒng)設計方法通常是在調查分析的基礎上，參照同類產品

2、，通過估算、經驗類比或試驗等方法來確定產品的初步設計方案，然后對產品的設計參數(shù)進行強度、剛度和穩(wěn)定性能分析計算，檢查各項性能是否滿足設計指標要求。如果不能滿足要求，則根據(jù)經驗或直觀判斷對設計參數(shù)進行修改。整個傳統(tǒng)設計的過程是人工試湊和定性分析比較的過程。實踐證明，按照傳統(tǒng)方法得出的設計方案，可能存在有較大改進和提高的余地。在傳統(tǒng)設計中也存在“優(yōu)選”的思想，設計人員可以在有限的幾種合格設計方案中，按照一定的設計指標進行分析評價，選出較好的方案。但是由于傳統(tǒng)設計方法受到計算方法和條件的限制，設計者不得不依靠經驗，進行類比、推斷和直觀判斷等一系列智力工作，這是很難找出最優(yōu)設計方案的。優(yōu)化設計理論的研

3、究和應用實踐，使傳統(tǒng)設計方法發(fā)生了根本變革，從經驗、感性和類比為主的傳統(tǒng)設計方法過渡到科學、理性和立足于計算分析的現(xiàn)代設計方法，機械產品設計正在逐步向自動化、集成化和智能方向發(fā)展。3、機械優(yōu)化設計中的方法3.1一維搜索方法一維搜索方法是機械優(yōu)化方法中最基本一種優(yōu)化方法，也是優(yōu)化方法的基礎。其中試探方法和插值方法為主要方法。常見的一維搜索方法有：黃金分割法、裴波納契法、二次插值法、三次插值法等等。3.2無約束優(yōu)化方法無約束優(yōu)化方法是最優(yōu)化技術中幾位重要和基本的內容之一，是求解復雜優(yōu)化問題的基礎。幾種典型的無約束優(yōu)化方法有：最速下降法、牛頓型方法、共軛梯度法、變尺度法、坐標輪換法、鮑威爾法、單純形

4、法等。3.3約束優(yōu)化方法機械優(yōu)化中的大多數(shù)問題都屬于有約束的，約束優(yōu)化方法是求解復雜優(yōu)化問題的重要方法。典型的約束優(yōu)化方法有方向搜索法、復合形法、可行方向法、懲處函數(shù)法、增廣乘子法等。約束優(yōu)化中的直接解法包括隨機方向搜索法、復合形法、可行方向法等。它的思路是直接從優(yōu)化問題的可行域內選擇初始點，決定可行搜索方向得到目標函數(shù)下降的新點，完成一次迭代后再進行下一次的搜索。直接法原理簡單，方法適用。直接法迭代過程無論合適停止都將獲得比初始點好的點。約束優(yōu)化中的間接法有懲處函數(shù)法和增廣乘子法等。它的基本思路是將約束優(yōu)化問題中的函數(shù)進行特殊加權處理后，和目標函數(shù)結合起來，構成一個新的目標函數(shù)，即將原來的優(yōu)

5、化問題轉化成一個或者一系列的無約束優(yōu)化問題，再對新函數(shù)進行無約束計算，從而獲得原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。間接法可以有效的處理具有等式約束條件的約束優(yōu)化問題，并且算法的效率和數(shù)值計算穩(wěn)定性很好。但由于加權因子比較難確定，選取不當會影響收斂速度和計算精度，甚至會導致計算失敗。3.4多目標函數(shù)優(yōu)化方法多目標優(yōu)化方法是求解多目標優(yōu)化問題的重要方法。在機械優(yōu)化設計中，某個設計并不是只有一項設計指標要求最優(yōu)化。例如汽車變速箱齒輪常常要求：齒輪質量盡可能小、齒輪抗疲勞點蝕的能力盡可能高、相互嚙合的齒輪的彎曲強度盡可能相同、大小齒輪其齒根的磨損量盡可能相同、變速箱中間軸的軸向力盡可能相等、制造成本盡可能低。像這

6、樣盡可能達到幾個的設計指標的最優(yōu)化問題，稱作多目標函數(shù)優(yōu)化問題。多目標函數(shù)優(yōu)化問題的解決方法很多，其中主要的有兩大類，一類是把多目標函數(shù)優(yōu)化問題轉化成一個或者一系列單目標函數(shù)優(yōu)化問題求解，以此解作為多目標函數(shù)優(yōu)化問題的解；另一類是直接求出非劣解，然后從中選擇較好解。3.5離散變量的優(yōu)化設計方法離散變量優(yōu)化方法是指專門研究變量集合中的某些或全部變量自定義在離散值域上的一種數(shù)學規(guī)劃方法。主要離散變量的優(yōu)化方法有：1按照連續(xù)變量處理和修整的優(yōu)化方法，如湊整解法、擬離散法、離散懲罰函數(shù)法；2離散變量隨機型優(yōu)化方法，如離散變量隨機實驗法、隨機離散搜索法；3離散變量搜索優(yōu)化方法，如啟發(fā)式組合優(yōu)化方法、整數(shù)

7、梯度法、離散變量復合形法；4其他離散變量優(yōu)化方法，如非線性隱枚舉法、分支定界法、網(wǎng)格法。3.6模糊優(yōu)化設計模糊優(yōu)化設計法是將模糊信息和因素量化，建立由模糊約束條件、模糊變量以及模糊目標函數(shù)組成的模糊數(shù)學模型，再通過從模糊到非模糊的變化來實現(xiàn)模糊數(shù)學模型的轉化，最終利用優(yōu)化算法進行求解。4、懲罰函數(shù)法懲罰函數(shù)法是一種使用很廣泛、很有效的求解約束優(yōu)化問題的間接解法，其特點是基本構思簡單，可求解等式約束、不等式約束以及兩種約束兼有的優(yōu)化問題。4.1懲罰函數(shù)法的基本原理懲罰函數(shù)法的基本原理是將約束優(yōu)化問題minf（X）XeRns.t.g（X）<0（j二1,2,m）jh（X）二0（k二1,2,.1

8、<n）kr(k),r(k)=f(X)+r(k送(X)LrCt正Hh(X)2kk=1中的不等式和等式約束函數(shù)經過加權轉化后,和原目標函數(shù)結合成新的目標函數(shù)一一懲罰函數(shù)，即卩121jj=1即將約束優(yōu)化問題轉化成minr（）,r（）12的無約束優(yōu)化問題，通過求解無約束優(yōu)化問題，以期得到原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。為此,需按一定的法則改變加權因子的值，構成一系列無約束優(yōu)化問題，求得一系列的無約束最優(yōu)解，并不斷地逼近原約束優(yōu)化問題的最優(yōu)解。因此懲罰函數(shù)法又稱序列無約束極小化方法,即SUMT法。式中的rGg(X)和r(k送根據(jù)它們在懲罰函數(shù)中的作用，分別稱為1/2kj=1k=1障礙項和懲罰項。障礙項的作

9、用是當?shù)c在可性域內時，在迭代過程中將阻止迭代點越出可性域；懲罰項的作用是當?shù)c在非可性域或不滿足等式約束條件時，在迭代過程中將迫使迭代點逼近約束邊界或等式約束面。根據(jù)懲罰函數(shù)在迭代過程中迭代點是否為可行點，懲罰函數(shù)點又分為內點懲罰函數(shù)法,外點懲罰函數(shù)法和混合懲罰函數(shù)法。4.2內點懲罰函數(shù)法內點懲罰函數(shù)法將懲罰函數(shù)定義于可行域內,序列迭代點在可行域內逐步逼近約束邊界上的最優(yōu)點。內點法只能求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。4.2.1內點懲罰函數(shù)法的形式對于只有不等式約束的優(yōu)化問題minf(X)XeRns.t.g(X)<0(j=1,2,m)j轉化后的懲罰函數(shù)的形式為r()=f(X)-r()&

10、#163;j=1式中r(k)懲罰因子，它滿足如下關系:r(o)>rG)>rC)>0和minr()T0kTa由于內點法的迭代過程在可行域內進行，障礙項的作用是阻止迭代點越出可行域。由障礙項的函數(shù)形式可知，當?shù)c趨于邊界時，起作用約束函數(shù)的值趨近于0,導致障礙項的值陡然增加，并趨近于無窮大，這就好像在可行域邊界上筑起了一道“圍墻”使迭代點始終在可行域內，因此，也只有當懲罰因子r(k)趨近于0時，才能求得約束邊界上的最優(yōu)解。4.2.2內點法的計算步驟選取適當?shù)某跏紤土P因子r(0)，遞減系數(shù)c，計算精度j,82。(2) 在可行域內選擇一個初始點X(0)，令ku0。(3) 構造懲罰函

11、數(shù)r«),選擇適當?shù)臒o約束優(yōu)化方法，從X(k)點出發(fā)求minQ,r(k)的最優(yōu)點X*/®)。rR(4)用終止準則判別迭代是否終止，若滿足終止準則，則終止迭代計算，并以X*(r(k),f*(作為原問題的約束最優(yōu)解；否則，轉向下一歹。（5）計算r°+i）ucrQ），X（o）uX*C），kuk+1，轉向步驟（3）。C開始）輸入：r（0），X（o）,££C'1'2'Rku0minr()得X*C)I*Ykuk+1V.rJI+r(+1)ucr(k)X(o)uX*(rQ)NXX<£YN<£?Yr(k-i

12、)。*,r(k)-Q(XQ'X*,r(k-i)內點法的程序框圖如圖4.1所示，其中R為預先給定的某個實數(shù)，當懲罰因子r大于此值時,不需要經過終止準則的判斷。X*uX丄（）結束圖4.1內點法程序框圖內點法有一個突出的優(yōu)點，就是當給定一個可行方案之后，通過迭代計算，可給出一系列逐步改進的可行設計方案。因此，只要實際設計要求允許，就可以選擇其中任何一個無約束最優(yōu)點X*C（k）作為原問題的設計方案，而不一定選擇最后的約束最優(yōu)點x*作為原問題的設計方案，這樣，一方面擴大了設計人員選擇方案的余地，另一方面也可使所選的設計方案留有一定的儲備能力。5、工程實例的應用如圖5.1所示的人字架由兩個鋼管組成

13、，其頂點受外力2F=3X105N。已知人字架跨度2B=152cm,鋼管壁厚T=0.25cm,鋼管材料的彈性模量E=2.1X105MPa,材料密度p=7.8X103kg/m,許用壓應力&y=420MPa。求鋼管壓應力&不超過許用壓應力&y和失穩(wěn)臨界應力6c的條件下，人字架的高h和鋼管平均直徑D使鋼管總質量m為最小。圖5.1人字架的受力（1）建立優(yōu)化設計數(shù)學模型設計變量取X=x1x1-2所設計的空心傳動軸應滿足以下條件:強度約束條件：經整理得穩(wěn)定性約束條件:兀hTD取值范圍:所以數(shù)學模型為目標函數(shù)minf(X)=V=2TnDJB2+h2=2nTx,B2+x12gi約束函數(shù)兀

14、hTD-420<0g(x)=壓+h2兀2e(t2+D)2F(B2+x2兀2E(T2+x)<°g2兀hTD8(B2+h2)兀hTx?8(B2+x2)-12g(x)=-x<03 1g(x)=-x<04 2(2) 優(yōu)化方法綜合上述分析可得優(yōu)化數(shù)學模型是一個具有2個設計變量，4個約束條件的有約束非線性最優(yōu)化問題，屬于小型優(yōu)化設計，選用內點懲罰函數(shù)法，能用來求解具有不等式約束的優(yōu)化問題。(3) 編程首先編制兩個函數(shù)文件，分別保存為目標函數(shù)和約束函數(shù)。目標函數(shù)文件：functionf=objfun(x)B=760;T=2.5;Pl=7.8e-3;f=Pl*2*T*pi*x

15、(l)*sqrt(B2+x(2)人2);約束函數(shù)文件:functionG,ceq=confun(x)B=760;T=2.5;P=150000;E=2.1e5;S=P*sqrt(B2+x(2)人2)/x(2);R=S/(pi*T*x)；G(1)=R-420;N=0.125*piA2*E*(x(1)A2+TA2)/(BA2+x(2)A2);G(2)=R-N;ceq=;在MATLAB命令窗口給出搜索值和線性約束，并調用優(yōu)化程序:x0=100;700;vlb=O;O;vub=;options=optimset('Algorithm','interior-point',&

16、#39;Display','iter');x,fval=fmincon('objfun',xO,vlb,vub,'confun',options)(4) 結果分析在matlab中運算結果如圖5.2、5.3所示。亠+4NL、亠JL%“亠“亠亠“皿J亠亠1.、亠亠74亠亠1.、J3亠7尸亠J亠JJ4尸,kjfval=fmineon1objfunJzOj,jJjjvlbjvubjJconfunJ,options)First-orderNormofIterF-countf(x)Feasibilityoptimalitystep031.265956

17、e+040.OOOe+QO1.211e+02167.354031e+036.549e+011.145e+024.192e+01297.103828e+038.259e+017.641e+001.980e+Q03127.438288e+035.992e+011.220e+012.894e+Q04158.365642e+036.486e+0u1.475e+018.518e+005188.491484e+038.597e-028.961e-011.949e+0u6218.492020e+030.OOOe+QO8.702e-011.331e+Q0l'248.486215e+032.270e-027.596e-016.403e+Q08278.463284e+034.147e-014.147e-012.794e+019308.46540De+031.585e-011.585e-011.841e+0110338.468547e+031.216e-031.216e-031.717