2.4離散傅里葉變換ppt課件

1、2.4離散傅里葉變換2.4.1 數(shù)字信號、模數(shù)字信號、模/數(shù)數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換和數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)/模模(D/A)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換 若信號幅值和獨(dú)立變量均離散，并且用二進(jìn)制數(shù)來表示信號的幅值，若信號幅值和獨(dú)立變量均離散，并且用二進(jìn)制數(shù)來表示信號的幅值，則該信號為數(shù)字信號。則該信號為數(shù)字信號。 在工程測試中，數(shù)字信號一般來自于模擬信號，因此需要將模擬信號在工程測試中，數(shù)字信號一般來自于模擬信號，因此需要將模擬信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，然后進(jìn)行必要的數(shù)據(jù)處理，處理后的數(shù)字信號常需要還轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號，然后進(jìn)行必要的數(shù)據(jù)處理，處理后的數(shù)字信號常需要還原成模擬信號。原成模擬信號。 模擬信號到數(shù)字信號、數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換分

2、別稱為信號的模模擬信號到數(shù)字信號、數(shù)字信號到模擬信號的轉(zhuǎn)換分別稱為信號的模/數(shù)數(shù)(A/D)轉(zhuǎn)換和數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)/模模(D/A)轉(zhuǎn)換轉(zhuǎn)換其中其中A：Analog ；D：Digitalv采樣：將模擬信號變?yōu)殡x散時間信號，在各離散時刻上得到采樣：將模擬信號變?yōu)殡x散時間信號，在各離散時刻上得到連續(xù)信號的樣值。連續(xù)信號的樣值。2.4離散傅里葉變換 axt假設(shè)假設(shè) 為采樣器的輸入，則輸出為為采樣器的輸入，則輸出為 為采樣時為采樣時間間隔，常稱為采樣間隔或采樣周期。間間隔，常稱為采樣間隔或采樣周期。 , assxnTx nTv量化：將離散時間連續(xù)幅值的信號量化：將離散時間連續(xù)幅值的信號 變?yōu)殡x散時間離散幅變?yōu)殡x

3、散時間離散幅值的數(shù)字信號值的數(shù)字信號 。 x n qxn 和量化器的輸出和量化器的輸出 之間的插值稱為量化誤差。之間的插值稱為量化誤差。 x n qxnv編碼：將每一個量化值編碼：將每一個量化值 用用 b 位二進(jìn)制序列表示，便于位二進(jìn)制序列表示，便于數(shù)據(jù)處理。數(shù)據(jù)處理。 qxn2.4離散傅里葉變換圖圖2.38分別繪出了模擬信號、離散時間信號和數(shù)字信號的例子分別繪出了模擬信號、離散時間信號和數(shù)字信號的例子 D/A轉(zhuǎn)換是對數(shù)字信號進(jìn)行某種內(nèi)插方轉(zhuǎn)換是對數(shù)字信號進(jìn)行某種內(nèi)插方式的處理以連接逐個樣值的端點(diǎn)，從而得到式的處理以連接逐個樣值的端點(diǎn)，從而得到近似的模擬信號，近似的程度取決于所采用近似的模擬信

4、號，近似的程度取決于所采用的內(nèi)插方式。圖的內(nèi)插方式。圖2.39表示一種簡單的內(nèi)插方表示一種簡單的內(nèi)插方式，稱為零階保持或階梯近似。式，稱為零階保持或階梯近似。2.4離散傅里葉變換2.4.2 離散傅里葉變換的圖解表示離散傅里葉變換的圖解表示v時域采樣時域采樣v 模擬信號的采樣有多種方法，以周期或均勻采樣的方法應(yīng)用最模擬信號的采樣有多種方法，以周期或均勻采樣的方法應(yīng)用最多，表示為多，表示為 v 式中：式中： 為采樣后的離散時間信號或采樣信號，是對模擬信為采樣后的離散時間信號或采樣信號，是對模擬信號號 v 每隔每隔 秒采樣得到，該過程如圖秒采樣得到，該過程如圖2.40所示。所示。 對模擬信號進(jìn)行離散

5、傅里葉變換對模擬信號進(jìn)行離散傅里葉變換Discrete Fourier Transform, DFT）,一般可概括為三個步驟：時域采樣、時域截?cái)嘁话憧筛爬槿齻€步驟：時域采樣、時域截?cái)嗪皖l域采樣。和頻域采樣。 ()asx nx nT x n axtsT 然而，由于量化是非可逆的或單項(xiàng)的處理，會引起信號的失真，然而，由于量化是非可逆的或單項(xiàng)的處理，會引起信號的失真，失真的大小取決于失真的大小取決于A/D轉(zhuǎn)換器的精度。在實(shí)際中影響進(jìn)度選擇的因轉(zhuǎn)換器的精度。在實(shí)際中影響進(jìn)度選擇的因素是成本和采樣速度，通常成本是隨著精度和采樣速度的提高而增素是成本和采樣速度，通常成本是隨著精度和采樣速度的提高而增加的

6、。加的。2.4離散傅里葉變換 axt asx nxnT1ssTf圖2.40 模擬信號的周期采樣 為采樣周期， 稱為采樣速度(每隔采樣次數(shù))或采樣頻率(單位為Hz)。sT1SsTf 采樣過程可以看作用等間隔的單位脈沖序列去乘模擬信號。采樣過程可以看作用等間隔的單位脈沖序列去乘模擬信號。這樣，各采樣點(diǎn)上的信號大小就變成脈沖序列的權(quán)值，這些權(quán)值這樣，各采樣點(diǎn)上的信號大小就變成脈沖序列的權(quán)值，這些權(quán)值將被量化成相應(yīng)的二進(jìn)制編碼。將被量化成相應(yīng)的二進(jìn)制編碼。 在數(shù)學(xué)上，時域采樣表示為間隔為在數(shù)學(xué)上，時域采樣表示為間隔為 的周期脈沖序列的周期脈沖序列 乘乘模擬信號模擬信號 即即 sT g t x t 0,

7、 1, 2,sng ttnTn 由由函數(shù)的篩選特性式函數(shù)的篩選特性式(2-66)可知：可知：采樣信號采樣信號 在各采樣時刻在各采樣時刻 的幅值的幅值 。信號的時域采樣如圖。信號的時域采樣如圖2.41所所示。示。 () 0, 1, 2,sssx tg tx tt nT dtx nTn ssxnTsnTsx tnT2.4離散傅里葉變換其中其中g(shù)(t)為采樣函數(shù)。為采樣函數(shù)。Ts稱為采樣間隔，或采樣周期，稱為采樣間隔，或采樣周期，1/Ts=fs稱為采樣頻率。稱為采樣頻率。 在時域采樣中，采樣函數(shù)在時域采樣中，采樣函數(shù) 的傅里葉變換如圖的傅里葉變換如圖2.41b所示。所示。由信號的頻域卷積特性可知，模

8、擬信號由信號的頻域卷積特性可知，模擬信號 乘以采樣函數(shù)乘以采樣函數(shù) 后的后的采樣函數(shù)采樣函數(shù) 的傅里葉變換，等于的傅里葉變換，等于 的頻譜的頻譜 和和 的頻譜的頻譜 的的 卷積，即卷積，即由由函數(shù)與其它函數(shù)卷積的特性，采樣信號函數(shù)與其它函數(shù)卷積的特性，采樣信號 的頻譜可表示為的頻譜可表示為如圖如圖2.41c所示。所示。 g t x t g tssxnT x tXjf g tG jf ssxnTx tg tXjfG jfssxnT)(tx)( jfX)()()(tgtxnTxss)()(*)()(*)(nssnssnffXfnfffjfXjfGjfX2.4離散傅里葉變換nsnTttg)()(ss

9、fT1)()(1)(nssnssnfffTnfTjfGv時域截?cái)鄷r域截?cái)鄓 采樣信號采樣信號 理論上為時間無限長的離散序列，即理論上為時間無限長的離散序列，即 而實(shí)際而實(shí)際上為了存儲、分析和處理的方便，只是取有限長度的采樣序列，所以必須從采樣上為了存儲、分析和處理的方便，只是取有限長度的采樣序列，所以必須從采樣信號的時間序列截取有限長的一段來處理，其余部分視為零而不予考慮。這相當(dāng)信號的時間序列截取有限長的一段來處理，其余部分視為零而不予考慮。這相當(dāng)于把采樣信號于把采樣信號 乘以一個矩形窗函數(shù)乘以一個矩形窗函數(shù) ，如圖，如圖2.43a所示。所示。2.4離散傅里葉變換0,1,2,3,n ssxnT

10、 RwtssxnT窗寬為窗寬為T，所截取的時間序列點(diǎn)數(shù)為，所截取的時間序列點(diǎn)數(shù)為N=T/TS，N稱為序列長度。稱為序列長度。采樣信號采樣信號xs(nTs)被截取后的信號被截取后的信號xsw(nTs)表示為表示為由信號的頻域卷積特性可知由信號的頻域卷積特性可知xsw(nTs)的頻譜為的頻譜為窗函數(shù)窗函數(shù)wR(t)的幅頻譜的幅頻譜WR(jf)為為2.4離散傅里葉變換圖圖2.43 窗函數(shù)及其頻譜窗函數(shù)及其頻譜圖圖2.44 時域采樣截?cái)嗪蟮男盘柤捌漕l譜時域采樣截?cái)嗪蟮男盘柤捌漕l譜sincv頻域采樣頻域采樣v 經(jīng)過時域采樣和截?cái)嗵幚?，模擬信號經(jīng)過時域采樣和截?cái)嗵幚?，模擬信號x(t)變成了有限長的離散變成

11、了有限長的離散時間序列時間序列xsw(nTs), n=1,2,N。而從頻域上看，。而從頻域上看，xsw(nTs)的頻譜的頻譜Xsw(jf)仍為周期性連續(xù)頻譜。但計(jì)算機(jī)或數(shù)字信號處理儀只能處理仍為周期性連續(xù)頻譜。但計(jì)算機(jī)或數(shù)字信號處理儀只能處理離散數(shù)據(jù)，因此，需要對離散數(shù)據(jù)，因此，需要對Xsw(jf)進(jìn)行頻域采樣。進(jìn)行頻域采樣。v 頻域采樣在理論上是對周期性連續(xù)頻譜頻域采樣在理論上是對周期性連續(xù)頻譜Xsw(jf)乘以周期序列乘以周期序列脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)如圖如圖2.45b 2.4離散傅里葉變換圖圖2.45 2.45 頻域采樣函數(shù)及其時域函數(shù)頻域采樣函數(shù)及其時域函數(shù)2.4離散傅里葉變換由信號的卷積特

12、征可知，與由信號的卷積特征可知，與Xsw(jf)p相對應(yīng)的時域信號相對應(yīng)的時域信號xsw(t)p為為頻域采樣形成頻域采樣形成Xsw(jf)頻域的頻域的離散化，相應(yīng)的離散化，相應(yīng)的把時域信號周期把時域信號周期化了，因而化了，因而xsw(t)p是一個是一個周期信號，如圖周期信號，如圖2.46所示。所示。其時域表示為其時域表示為如圖如圖2.45aXsw(jf)頻域采樣后的實(shí)際輸出頻域采樣后的實(shí)際輸出Xsw(jf)p為為圖圖2.46 Xsw(jf)2.46 Xsw(jf)頻域采樣后的時域和頻域表示頻域采樣后的時域和頻域表示2.4離散傅里葉變換 上述圖解表示過程解釋了離散傅里葉變換的演變過程。從最后上述

13、圖解表示過程解釋了離散傅里葉變換的演變過程。從最后的結(jié)果可以看出，信號時域、頻域的離散化導(dǎo)致了對時域和頻域的的結(jié)果可以看出，信號時域、頻域的離散化導(dǎo)致了對時域和頻域的周期化處理。周期化處理。DFT實(shí)際上是把一個有限長序列做周期序列的一個周實(shí)際上是把一個有限長序列做周期序列的一個周期來處理。期來處理。 從以上過程可以看出，原來希望獲得模擬信號的頻譜，但由于從以上過程可以看出，原來希望獲得模擬信號的頻譜，但由于計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是序列長度為計(jì)算機(jī)的數(shù)據(jù)是序列長度為N的離散時間信號的離散時間信號xsw(nTs), 計(jì)算機(jī)輸出計(jì)算機(jī)輸出的是的是Xsw(jf)p,而不是而不是X(jf)，用，用Xsw(jf)p

14、來近似來近似X(jf)。處理過程中的。處理過程中的每一個步驟每一個步驟采樣、截?cái)唷⒉蓸?、截?cái)?、DFT計(jì)算都會引起失真或誤差。計(jì)算都會引起失真或誤差。2.4離散傅里葉變換2.4.3 頻率混疊和采樣定理頻率混疊和采樣定理 采樣間隔的選擇是一個重要的問題。采樣間隔太小(采樣頻率高)，則對定長的時間記錄來說其數(shù)字序列就很長(即采樣點(diǎn)數(shù)多)，使計(jì)算工作量增大；如果數(shù)字序列長度一定，則只能處理很短的時間歷程，可能產(chǎn)生很大的誤差。 若采樣間隔太大(采樣頻率低)，則可能丟失有用的信息?！纠纠?.10】對模擬信號】對模擬信號x1(t)=10sin(210t)和和x2(t)=10sin(250t)進(jìn)行采樣處進(jìn)行

15、采樣處理理 ，采樣間隔，采樣間隔Ts=1/40，即采樣頻率，即采樣頻率fs=40Hz。試比較兩信號采樣后的離散時間。試比較兩信號采樣后的離散時間信號的狀態(tài)。信號的狀態(tài)。解：因采樣頻率解：因采樣頻率fs=40Hz,那么那么stnT因此因此v頻率混疊頻率混疊v 由圖由圖2.42可知，設(shè)模擬信號可知，設(shè)模擬信號x(t)為帶限信號，如果采樣間隔為帶限信號，如果采樣間隔Ts太大，即采樣頻率太低，頻率平移距離太大，即采樣頻率太低，頻率平移距離fs過小，則過小，則x(t)的頻譜的頻譜X(jf)移移至至nfs，n=0,1,2，處的頻譜處的頻譜fs X(jf)就會有一部分相互交疊，就會有一部分相互交疊，使新合成

16、的使新合成的X(jf)* G(jf)圖形與圖形與fs X(jf)不一致，這種現(xiàn)象稱為混疊。不一致，這種現(xiàn)象稱為混疊。發(fā)生混疊后，改變了原來頻譜的部分幅值，這樣就不可能準(zhǔn)確地從發(fā)生混疊后，改變了原來頻譜的部分幅值，這樣就不可能準(zhǔn)確地從采樣信號中恢復(fù)原來的模擬信號了。采樣信號中恢復(fù)原來的模擬信號了。2.4離散傅里葉變換 也就是說，不通頻率的模擬信號在采樣頻率也就是說，不通頻率的模擬信號在采樣頻率fs=40Hzfs=40Hz的采樣情的采樣情況下，得到了沒有區(qū)別的離散時間信號，即產(chǎn)生了信號的不確定性。況下，得到了沒有區(qū)別的離散時間信號，即產(chǎn)生了信號的不確定性。這樣，從時域的角度來看便造成了這樣，從時域

17、的角度來看便造成了“頻率混疊頻率混疊景象。景象。2.4離散傅里葉變換 設(shè)帶限信號設(shè)帶限信號x(t)的最高頻率的最高頻率fc為有限值，以采樣頻率為有限值，以采樣頻率fs=1/Ts2fc進(jìn)行采樣，那進(jìn)行采樣，那么采樣信號么采樣信號xs(t)的頻譜的頻譜Xs(jf)=X(jf)*G(jf)就不會發(fā)生混疊，如圖就不會發(fā)生混疊，如圖2.48所示，其中所示，其中fs/2稱為折疊頻率。如果將該頻譜通過一個中心頻率為零稱為折疊頻率。如果將該頻譜通過一個中心頻率為零(f=0)，帶寬為，帶寬為 fs/2的的理想低通濾波器，就可以把原信號完整的頻譜取出來，才有可能從采樣信號中準(zhǔn)理想低通濾波器，就可以把原信號完整的頻

18、譜取出來，才有可能從采樣信號中準(zhǔn)確的恢復(fù)原信號的波形。確的恢復(fù)原信號的波形。 如果模擬信號如果模擬信號x(t)為無限帶寬信號，即信號的最高頻率為無限帶寬信號，即信號的最高頻率fc max，則無論采，則無論采樣頻率樣頻率fs多大，采樣信號多大，采樣信號xs(t)的頻譜的頻譜Xs(jf)都會出現(xiàn)混疊。都會出現(xiàn)混疊。 Xs(jf)中凡超過折疊頻中凡超過折疊頻率率fs/2的頻譜部分都將每隔的頻譜部分都將每隔fs疊加在一起，出現(xiàn)混疊。疊加在一起，出現(xiàn)混疊。v采樣定理采樣定理v 2.4離散傅里葉變換如果確知測試信號中的高頻成分是由噪聲干擾引起的，為滿足采如果確知測試信號中的高頻成分是由噪聲干擾引起的，為滿

19、足采樣定理并不使數(shù)據(jù)過長，常在信號采樣前使用低通濾波器先進(jìn)行濾樣定理并不使數(shù)據(jù)過長，常在信號采樣前使用低通濾波器先進(jìn)行濾波預(yù)處理，人為降低信號中的最高頻率，這種濾波器稱為抗混濾波波預(yù)處理，人為降低信號中的最高頻率，這種濾波器稱為抗混濾波器。而如果只對某一頻帶感興趣，那么可用低通濾波器或帶通濾波器。而如果只對某一頻帶感興趣，那么可用低通濾波器或帶通濾波器濾掉其它頻率成分，這樣就可以避免混疊并減少信號中其它成分器濾掉其它頻率成分，這樣就可以避免混疊并減少信號中其它成分的干擾。的干擾。csff2v模擬信號經(jīng)采樣后在時間上已離散，但其幅值仍為連續(xù)的模擬電模擬信號經(jīng)采樣后在時間上已離散，但其幅值仍為連續(xù)

20、的模擬電壓值。量化是對信號的幅值量化，就是將模擬信號壓值。量化是對信號的幅值量化，就是將模擬信號x(t)在在nTs時刻采時刻采樣的電壓幅值樣的電壓幅值x(t=nTs)變成為離散的二進(jìn)制數(shù)碼，其二進(jìn)制數(shù)碼只變成為離散的二進(jìn)制數(shù)碼，其二進(jìn)制數(shù)碼只能表達(dá)有限個相應(yīng)的離散電平稱之為量化電平）。能表達(dá)有限個相應(yīng)的離散電平稱之為量化電平）。v把采樣信號把采樣信號x(nTs)經(jīng)過舍入或者截尾的方法變?yōu)橹挥杏邢迋€有效經(jīng)過舍入或者截尾的方法變?yōu)橹挥杏邢迋€有效數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化。若信號數(shù)字的數(shù)，這一過程稱為量化。若信號x(t)可能出現(xiàn)的最大值為可能出現(xiàn)的最大值為A，令其分為令其分為D個間隔，則每個間隔的長

21、度為個間隔，則每個間隔的長度為R=A/D，R稱為量化增長稱為量化增長或量化步長。當(dāng)采樣信號或量化步長。當(dāng)采樣信號x(nTs)落在某一小間隔內(nèi)，經(jīng)過舍入或截落在某一小間隔內(nèi)，經(jīng)過舍入或截尾的方法而變?yōu)橛邢拗禃r，則產(chǎn)生量化誤差。尾的方法而變?yōu)橛邢拗禃r，則產(chǎn)生量化誤差。v一般又把量化誤差看成模擬信號作數(shù)字處理時的可加噪聲，故而一般又把量化誤差看成模擬信號作數(shù)字處理時的可加噪聲，故而又稱之為舍入噪聲或截尾噪聲。量化增量又稱之為舍入噪聲或截尾噪聲。量化增量R越大，則量化誤差越大，越大，則量化誤差越大，量化增量大小，一般取決于計(jì)算機(jī)量化增量大小，一般取決于計(jì)算機(jī)A/D轉(zhuǎn)換卡的位數(shù)。轉(zhuǎn)換卡的位數(shù)。2.4.4

22、 量化和量化誤差量化和量化誤差2.4離散傅里葉變換v截?cái)?、泄露和窗函?shù)截?cái)?、泄露和窗函?shù)v 信號的長度可能很長甚至是無限的，而計(jì)算機(jī)處理的數(shù)據(jù)長度是有限的，因信號的長度可能很長甚至是無限的，而計(jì)算機(jī)處理的數(shù)據(jù)長度是有限的，因此只能從信號中提取其中一段來考察分析，并以此來考察整個信號歷程，這稱為此只能從信號中提取其中一段來考察分析，并以此來考察整個信號歷程，這稱為時域截?cái)嗷驎r域截?cái)嗷颉凹哟凹哟啊??！按暗囊馑际侵竿高^窗的意思是指透過“窗口可以窗口可以“看到外景原始看到外景原始信號的一部分，而把信號的一部分，而把“窗口以外的信號均視為零。窗口以外的信號均視為零。2.4離散傅里葉變換2.4.5 截?cái)唷?/p>

23、泄露和窗函數(shù)截?cái)唷⑿孤逗痛昂瘮?shù)X(t)X(t)WR(t)X(t)WR(t)g(t)2.4離散傅里葉變換頻譜能量泄露：頻譜能量泄露：把原來集中的能把原來集中的能量分散到附近的量分散到附近的頻帶范圍的現(xiàn)象。頻帶范圍的現(xiàn)象。)(tWR0212t矩形窗函數(shù)矩形窗函數(shù) -10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)主瓣主瓣 旁瓣旁瓣 2.4離散傅里葉變換-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-10123tmm(a)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=3)-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm(b)窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)旁瓣旁瓣 旁瓣旁瓣 2.4離散傅里葉變換2.4離散傅里葉變換-10 -9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910-0.500.51tmm窗 函 數(shù) 頻 譜 圖 (T=1)主瓣主瓣 旁瓣旁瓣 v頻率分辨率、柵欄效應(yīng)和整周期截取頻率分辨率、柵欄效應(yīng)和整周期截取v 頻率采樣間隔頻率采樣間隔f是頻率分辨力的指標(biāo)。間隔越小，頻率是頻率分辨力的指標(biāo)。間隔越小，頻率分辨力越高。分辨