第6章線性系統(tǒng)的頻域分析法

1、第第6 6章章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法Frequency-response analysis of linear system頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念頻率特性的表示方法頻率特性的表示方法典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的繪制頻率域穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕度頻率域穩(wěn)定判據(jù)與穩(wěn)定裕度主要內(nèi)容主要內(nèi)容本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握頻率特性的概念與性質(zhì)、典型環(huán)節(jié)及系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的奈氏圖和波特圖的繪制和分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的頻域分析法、系統(tǒng)穩(wěn)定裕度的概念和求法、閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)的頻域分析法等。curuRC11)(TssGR

2、CTuudtduTuudtduRCrccrcc6.1 頻率特性頻率特性6.1.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52？tRtrsin)(設(shè)2211)(11)(sRTssRTssC此時)arctansin(1)(lim22TtTRtct 穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量)arctansin(11)(2222TtTReTTRtcTt00.511.522.53-5-4-3-2-1012345curuRC00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52 一個線性系統(tǒng)或元件，當(dāng)輸入為一個線性系統(tǒng)或元件，當(dāng)輸入為正弦正弦函數(shù)函數(shù)，輸

3、出的，輸出的穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值也是一個也是一個相同頻率的相同頻率的正弦函數(shù)正弦函數(shù)時，時，將輸出穩(wěn)態(tài)值與輸入量之比，將輸出穩(wěn)態(tài)值與輸入量之比，稱為系統(tǒng)的頻率特性稱為系統(tǒng)的頻率特性。一一 頻率特性的定義頻率特性的定義頻率特性的定義式：頻率特性的定義式： jVUeAjRjCjGj幅、相頻率特性)(jG 幅頻特性jGA相頻特性)()(jG 實(shí)頻特性jGURe 虛頻特性jGVIm二、頻率特性的性質(zhì)二、頻率特性的性質(zhì) 1、頻率特性反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力頻率特性反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力:同頻同頻變幅變幅相移相移2、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、頻率特性是一種穩(wěn)態(tài)響應(yīng)3、與傳遞函數(shù)一樣、與傳遞函數(shù)

4、一樣,頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型（4）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)）頻率特性具有明確的物理意義，它可以用實(shí)驗(yàn)的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或的方法來確定，這對于難以列寫微分方程式的元部件或系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。系統(tǒng)來說，具有重要的實(shí)際意義。（5）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形）由于頻率響應(yīng)法主要通過開環(huán)頻率特性的圖形對系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。對系統(tǒng)進(jìn)行分析，因而具有形象直觀和計(jì)算量少的特點(diǎn)。（6）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還）頻率響應(yīng)法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且還適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的

5、純滯后系統(tǒng)和部分非線性適用于傳遞函數(shù)不是有理數(shù)的純滯后系統(tǒng)和部分非線性系統(tǒng)的分析。系統(tǒng)的分析。微分微分方程方程頻率頻率特性特性G(j)傳遞傳遞函數(shù)函數(shù)G(s)系統(tǒng)系統(tǒng)jdtdjssdtd6.1.2 頻率特性與傳遞函數(shù)及微分程之間的關(guān)系頻率特性與傳遞函數(shù)及微分程之間的關(guān)系6.1.3 頻率特性的表示方法頻率特性的表示方法三、三、對數(shù)幅相頻率特性曲線對數(shù)幅相頻率特性曲線 Nichols chart 二、對數(shù)頻率特性曲線二、對數(shù)頻率特性曲線 Bode plot一、幅相頻率特性曲線一、幅相頻率特性曲線 Nyquist plot橫軸：均按lg分度，單位為rad/s（弧度/秒）縱軸：幅頻曲線：按L()=20

6、lg|G(j)|=20lgA（）線性 分度，單位是分貝（db）相頻曲線：按 線性分度，單位為度（）或弧度 （rad） 對數(shù)幅頻特性的“斜率“，是指頻率改變倍頻或十倍頻時L（）的分倍數(shù)的改變量，常用單位是（分貝/十倍頻） 二、對數(shù)頻率特性曲線（二、對數(shù)頻率特性曲線（Bode圖）圖） 增加增加10倍倍lg 增加增加1個倍頻程個倍頻程L 增加增加20dB (rad /s).lg L()A 增增加加十十倍倍A(). ALlog20)( (1/s). ()180o90o-90o 180o 6.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)幅相幅相頻率特性頻率特性:傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)： Ks

7、RsCsG00jKKejGj比例環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)的頻率特性其中幅值|G（j）|=k，相位移 ，并且均與無關(guān)，它表示輸出為輸入的k倍，且同相位。 0其相應(yīng)的用極坐標(biāo)圖表示的頻率特性為： G(j)=020lg|()|G j()G j20lgK對數(shù)幅頻特性L（）=20lg|G（j）|=20lg K（dB） 對數(shù)相頻特性 2. 積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)： ssG1ojtgtgjdBdBjjLejjG90) 0/1(1)(102010lg201lg20)1(0lg20|lg20|1|lg20)(11)(11222 0 0 0 -90 -1 0 1 -901 - 0 -9 00V ()U()| G(

8、j)| G(j)Im Re=01相位滯后90低頻放大，高頻衰減211)(jejjG積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)20lg|()|G j()G j-20dB/dec 3 微分環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：ssG)(ojtgtgjLejjG900)(10,201, 0lg200lg20|lg20)()(11222 0 90 1 0 1 901 0 0 0 9 00V ()U()| G(j)| G(j)Im Re=0=相位超前90低頻衰減高頻放大2)(jejjGBode圖Bode Diagram of G(jw)=jwFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-10010203

9、04020dB/dec10-11001011028989.59090.5914.慣性環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)：11)()()(TssRsCsGTjeTTTjTTjjGarctan2222221111111)(頻率特性： 0 0 0-90 -0.5 0.5 0.707-451/T 0 1 1 00Q ()P()| G(j)| G(j)G(j ) | G(j)| G(j) =0Im 0.5 1.0 Re=0.5慣性環(huán)節(jié) G(j) | G(j)|P()Q ()0 0 1 1 01/T -45 0.707 0.5 -0.5-90 0 0 0dBLTT01lg2011) 1 (）（時即當(dāng) dBLTdBLTTTLTT

10、2010lg2011001lg20)(1lg20lg20lg20)(112）（時當(dāng)時其中：當(dāng)時時，即當(dāng)1lg201lg201lg20| )(|lg20)(2222TTjGL對數(shù)幅頻特性：（2）表明，慣性環(huán)節(jié)在高頻段1/T s=tf(s); G=1000/(s*(s+10); w=logspace(0,3); bode(G,w) )100()10(1000:2ssssG已知 特性曲線、繪制)(L解： 將開環(huán)傳遞函數(shù)分解成各基本環(huán)節(jié)乘積的形式 可見K = 100,v = 2 101. 011 . 01002ssssG(2) 在坐標(biāo)軸上標(biāo)各個環(huán)節(jié)交接頻率10001. 01101 . 01212作圖：

11、在坐標(biāo)軸上標(biāo)各個環(huán)節(jié)交接頻率L1-1-2-2L2-2L3+110L4-11001L()-180-20-4020403.低頻漸近線的斜率為 當(dāng) 時， 即低頻漸近線的斜率為 ， 且過點(diǎn)（1，40）。4. 從低頻段開始每經(jīng)過一次交接頻率，斜率變化一次。 當(dāng) 時，斜率變?yōu)?當(dāng) 時，斜率變?yōu)閐ecdBdecvdB/40/201 dBKL40lg20decdB/40101decdB/201002decdB/40 lg40100lg20L-1-2-21L()-20-4020405. 繪制對數(shù)相頻特性曲線01. 01 . 0180)(1tgtg 1801800時時7 .140453 .84180)(1007

12、.1407 . 545180)(10時時 s=tf(s); G=(100*(s+10)/(s2*(s+100); w=logspace(0,3); bode(G,w)6.5 頻率穩(wěn)定判據(jù)n奈氏穩(wěn)定判據(jù)n應(yīng)用舉例n系統(tǒng)的穩(wěn)定裕量6.5.1奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(Nyquist Stability Criterion) ai i i C(s)R(s)G(s)H(s)閉環(huán)傳遞函數(shù)為)()(1)()()(sGsHsGsRsC為了保證系統(tǒng)穩(wěn)定，特征方程 0)()(1sGsHsF的全部根，都必須位于左半s平面。充要條件奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)正是將開環(huán)頻率響應(yīng))()(jGjH與)()(1sGsH在右半s平面內(nèi)的零點(diǎn)數(shù)和

13、極點(diǎn)數(shù)聯(lián)系起來的判據(jù)。這種方法無須求出閉環(huán)極點(diǎn)，得到廣泛應(yīng)用。 由解析的方法和實(shí)驗(yàn)的方法得到的開環(huán)頻率特性曲線，均可用來進(jìn)行穩(wěn)定性分析 奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)是建立在復(fù)變函數(shù)理論中的圖形影射基礎(chǔ)上的 設(shè)開環(huán)傳遞函數(shù)其中A(s)為s的n階多項(xiàng)式，B(s)為s的m階多項(xiàng)式(nm)特征函數(shù)方程為：式中： 為F（S）的極點(diǎn) 為F（S）的零點(diǎn))()()()(sAsBsHsG jnjinipszsKsAsBsAsAsBsHsGsF11)()()(1)()(1)(), 2 , 1(njpj), 2 , 1(nizi6.5.1特征函數(shù)2.特征函數(shù)F（s）的極點(diǎn)就是系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。 F（s）的零點(diǎn)就是系統(tǒng)的閉

14、環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)。3.由于F(s)和G(s)H(s)只差常數(shù)1,所以特征方程的閉合曲線 可由開環(huán)傳遞函數(shù)的閉和曲線沿實(shí)軸正方向平移一個單 位長度獲得。特征方程的閉合曲線包圍F(s)平面原點(diǎn)的 圈數(shù)等于開環(huán)傳遞函數(shù)閉合曲線包圍 F(s) 平面(-1,j0)點(diǎn) 的圈數(shù)。由此可見：F（S）的零點(diǎn) 和極點(diǎn) 的 1. 個數(shù)是相等的。),(21zzzn),(21pppn二、二、 控制系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性判據(jù)控制系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性判據(jù)1. 一階系統(tǒng)一階系統(tǒng)特征多項(xiàng)式特征多項(xiàng)式: D(s)=s+p s=-p R()jI()s = - pp 0 系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定R()jI()s=-pp 1時，N= N+ - N -

15、=1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定； K0db時相頻特性曲線自下而上（或自上而下）地穿越-180線。ImRe0 ( 1,0)j()()GjHj()L( ) dB00c四、伯德圖上的奈氏判據(jù)四、伯德圖上的奈氏判據(jù) 正負(fù)穿越可根據(jù)對數(shù)幅頻特性曲線在大于0dB頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線穿越-180線次數(shù)確定正穿越： 把開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L()0時,相頻特性自 下向上穿越(2k+1)線一次稱為正穿越（或 把增大時,相角增加的穿越稱為正穿越）.半次正穿越：把相頻特性自下向上止于或自下向上起于 (2k+1)線稱為半次正穿越。負(fù)穿越： 把開環(huán)對數(shù)幅頻特性 L()0時,

16、相頻特性自 上向下穿越(2k+1)線一次稱為負(fù)穿越（或 把增大時,相角減小的穿越稱為負(fù)穿越）。半次負(fù)穿越：把自上向下止于或自上向下起于 (2k+1)線稱為半次負(fù)穿越。 對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)：一個反饋控制系統(tǒng)其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個數(shù)Z可以根據(jù)開環(huán)傳函右半S平面極點(diǎn)數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻曲線與 (2k+1)線的正負(fù)穿越數(shù)之差N=N+-N-確定即：Z=P-2N,Z=0,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。例：某系統(tǒng)有兩個開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 P-2N = 2-2(-1) 0 所以，系統(tǒng)不穩(wěn)定。)(L0)(2P 例：反饋控制系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為：

17、試用對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性1)(2TSSKsGK 注意：當(dāng)GK(s)包含積分環(huán)節(jié)時，在對數(shù)相頻曲線為0+的地方，應(yīng)補(bǔ)畫一條從相角 到 的虛線，這里v 是積分環(huán)節(jié)個數(shù)。計(jì)算正負(fù)穿越數(shù)時，應(yīng)將補(bǔ)上的虛線看成對數(shù)相頻曲線 的一部分。 90)0()0(vjHjG)0()0(jHjGL()/dBL()/dB1/T1/T-40dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-60dB/dec20200 0-20-20()/()/(o o) )0 0-90-90-180-180 解: 2,220,)(11, 0,1800,0,)(根的個數(shù)為平面的閉環(huán)特征方程在右半系統(tǒng)不穩(wěn)定知又由的一部分。作為對數(shù)相

18、頻曲線的虛線到補(bǔ)畫處的在對數(shù)相頻曲線有兩個積分環(huán)節(jié)sNPZPsGNNNNNsGKK穩(wěn)定裕度: 所謂穩(wěn)定裕度即是指一個穩(wěn)定的系統(tǒng)離開穩(wěn)定邊界還有多大距離。 一相位裕度(Phase Margin) 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)幅相頻率特性曲線 G（j）H（j）與單位圓相交于 C點(diǎn)，C點(diǎn)處的頻率 稱為增益穿越頻率(Gain cross-over frequency) 。 處的相角 （負(fù)實(shí)軸）的相角差 稱為相位裕量，即： 當(dāng) 時，相位裕量是正的，反之，是負(fù)的，為使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，相位裕量必是正的。 CC180)(與C）（）（）（CC18018006.6 相對穩(wěn)定性分析圖中C點(diǎn) cccdBALjHjG0lg201相位移

19、是從正實(shí)軸算起，順時針方向取為負(fù)。 相位裕量 是從負(fù)實(shí)軸算起，逆時針方向規(guī)定 為正，順時針方向?yàn)樨?fù)。 C二. 增益裕量(Gain Margin) 當(dāng)開環(huán)幅相頻率特征曲線 G（j）H（j）與負(fù)實(shí)軸相交于 G點(diǎn)時，G點(diǎn)的頻率 g稱為相位穿越頻率(Phase cross-over frequency)。g 處的相角為 180:1）（）（滿足式中）（）（表示用的倒數(shù)稱為增益裕量，）（）（開環(huán)幅值gggggggjHjGjHjGhhjHjG,180)(）（）（幅值為gggjHjG的，時，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定，即）（）（當(dāng)。時，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，即）（）（當(dāng)1111hjHjGhjHjGgggg 上述相位裕量也可

20、以在對數(shù)幅相頻率特征圖上確定。在此圖中，相位裕量是指開環(huán)系統(tǒng)幅值為 0dB時，其相角大于-180的數(shù)值。增益裕量是指開環(huán)系統(tǒng)相角為-180 時，其副值低于 0dB 線的數(shù)值。 若以分貝表示增益裕量，則有)()(lg20)()(1lg20ggggjHjGjHjGh當(dāng) 時，增益裕量的分貝數(shù)為正值，表示閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的；當(dāng) 時，增益裕量的分貝值為負(fù)值，表示閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1)()(ggjHjG1)()(ggjHjGlg20201lg201lg20lg2010lg201111022）（畫圖解：、求）（）（）（例：LhssssGc cL()L()1 1101020204040:1290 36 .7829018090180180. 2111111）得（代入到（）（）處對應(yīng)相位穿越頻率（求）（gggggggcccCjGtgtgtghtgtgtgdBdBhdBjGdBhjGjjjjjjjGgggggg）到（）（到工程上一般）（）（）（）（）（）（）（64603020lg201010111011105.6開環(huán)對數(shù)頻率特性的基本性質(zhì)1. 開環(huán)對數(shù)幅頻特性的斜率和相頻特性的關(guān)系 開環(huán)對數(shù)幅頻特性和橫軸交