2021年高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編2：數(shù)列

1、2013年全國各省市高考理科數(shù)學(xué)試題分類匯編：數(shù)列、選擇題1 1 . (2013年高考上海卷（理）在數(shù)列an中，an 2n 1,若一個7行12列的矩陣的第i行第j列的元素a- ai ajai aj,（ i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12 ）則該矩陣元素能取到的不同數(shù)值的個數(shù)為（）（A）18【答案】A.(B)28(C)48(D)632 2 . (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）已知數(shù)列 an滿足3an 1 an4 w0, a2，則3an的前10項(xiàng)和等于(A) 6 1 310(B)9131010(C)3 1 3 10(D)3 1+3 103

2、3 . （2013年高考新課標(biāo)（理）設(shè)AnBnCn的三邊長分別為an,bn,Cn, AA。的面積為 Sn, n1,2,3,L ,若 b1 G,bi C1 2a1, an 1an, bn 1Cn an -bnan2, n 12，則（）A. S為遞減數(shù)列B.C. S2n-1為遞增數(shù)列, S2n為遞減數(shù)列【答案】BS為遞增數(shù)列D. Sn-1為遞減數(shù)列, S2n為遞增數(shù)列WORD版）函數(shù)y=f （x）的圖像如圖所示，在4 4 . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純區(qū)間a,b上可找到n（n 2）個不同的數(shù)x,x2.,xn,使得f（x1） f（x2） f （xn）-上二一二一，則n

3、的取值范圍是x1x2xn(A) 3,4(B)2,3,4(C)3,4,5(D)2,3【答案】B5 5 . (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD 版）已知等比數(shù)列an的公比為q,記bnam(n 1)1am(n 1) 2am(n 1) m,Cnam(n 1)CCC/fc. I * 一 、一、1 ?am(n 1) 2?.?am(n 1) m(m,n N )，則以下結(jié)論一定正確的是(A.數(shù)列bn為等差數(shù)列，公差為qmB. 數(shù)列bn為等比數(shù)列，公比為q2m2C.數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為qmmD.數(shù)列cn為等比數(shù)列，公比為q【答案】C6 6 . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)

4、考試新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為 Sn,已知 S3 a2 10al, a59,則 ai1（A）3【答案】C(B)7 7 . (2013A.3【答案】C(C)9(D)年高考新課標(biāo)1 （理）設(shè)等差數(shù)列an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,Sm12,Sm 0,Sm1 3,則 m ()B.4C.5D.68 . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（word版）下面是關(guān)于公差d 0的等差數(shù)列 an的四個命題：P1：數(shù)列an是遞增數(shù)列;P2 ：數(shù)歹Inan是遞增數(shù)列;P3：數(shù)列 州 是遞增數(shù)列;nP4：數(shù)歹Ian 3nd是遞增數(shù)列;其中的真命題為(A) P1

5、, P2(B)P3, P4(C)P2, P3(D)P1, P4【答案】D8 9 . （2013年高考江西卷（理）)等比數(shù)列 x,3x+3,6x+6,.的第四項(xiàng)等于A.-24B.0【答案】AC.12D.24二、填空題10. （2013年高考四川卷（理）在等差數(shù)列an中，a?a18 ,且a4為a2和a3的等比中項(xiàng)，求數(shù)列an的首項(xiàng)、公差及前n項(xiàng)和.【答案】解：設(shè)該數(shù)列公差為d ,前n項(xiàng)和為sn.由已知，可得22a1 2d 8, a1 3da d a18d.所以4 d 4,d d 3al0,解得ai4,d0,或a11,d3,即數(shù)列an的首相為4,公差為0,或首相為1,公差為3.2所以數(shù)列的前n項(xiàng)和s

6、n 4n或sn 3n一n211.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)（理）（純WORD版含答案）等差數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn,已知So 0, §525 ,則nSn的最小值為【答案】4912. （2013年高考湖北卷（理）古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家研究過各種多邊形數(shù).如三角形數(shù)1,3,6,10, 第n個三角形數(shù)為1人 ,，一一，一一n.記第n個k邊形數(shù)為N n,k k 3 ,以下列出了部分k邊形數(shù)中第n2個數(shù)的表達(dá)式三角形數(shù)N n,3正方形數(shù)n,4五邊形數(shù)n,5六邊形數(shù)n,62n2可以推測n, k的表達(dá)式，由此計算N 10,24選考題【答案】100013. （2013

7、年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純WORD版含附加題）在正項(xiàng)等比數(shù)列、，1八Ian中，a5 -, a6 a7 3,則滿足 a12【答案】12a2anaa2an的最大正整數(shù)n的值為14. （2013年高考湖南卷（理）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，Snn 1(1) anN ,則(1) a3；(2)S1S2S100111二;-(710016 3 21)15. (2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）當(dāng)x R,|x 1時，有如下表達(dá)兩邊同時積分得：121dx012 xdx01222x dx .012 n2 x dx .0dx.x從而得到如下等式:1 1

8、 22(2)2請根據(jù)以下材料所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法0 1 11 z12 12,1、3Cn 2 2Cn （2）3Cn （2）1八()32，計算:111少1ln 2.n 1C【答案】1 （3）n1 1 n 1 216 .（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試重慶數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知an是等差數(shù)列，& 1,公差d 0, Sn為其前n項(xiàng)和，若明e2, a5成等比數(shù)列，則S8 【答案】6417 . （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷 （含答案）若等差數(shù)列的前 6項(xiàng)和為23,前9項(xiàng)和為57,則數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn =.5 27【答案】5n2 7 n6 618 .（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考

9、試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷償WORD版）在等差數(shù)列 an中，已知a3 a8 10 ,貝（J 3a5 a7 .【答案】2019 . （2013年高考陜西卷（理）觀察下列等式：12 112 2232_2212 36222 212 3 410（-1）n 1照此規(guī)律，第n個等式可為 12 - 22 32 -（-1） n2） n（n 1）.一2【答案】12 - 22 32 -（-1）n-1n2（L11n（n 1）22120 . （2013年圖考新喋標(biāo)1 （理）若數(shù)列an 的前n項(xiàng)和為陟=an一，則數(shù)列an 的通項(xiàng)公式是an=.33【答案】an =（ 2）n 1.21 . （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試安

10、徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版）如圖，互不-相同的點(diǎn) A,A2K ,Xn,K和Bi,B2K ,Bn,K分別在角O勺兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn A1的面積均相等.設(shè)OAn an.若a1 1,a2 2,則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是 .【答案】an ,3n 2,n N*22.（2013年高考北京卷（理）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20, a3+a5=40,則公比q二;前n項(xiàng)和sn=【答案】2, 2n 1 223.（2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試遼寧數(shù)學(xué)（理）試題（WORD版）已知等比數(shù)列 an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和，若a, a3是方程x2 5x 4 0的兩個根，

11、則&【答案】63三、解答題24. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)考試安徽數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD 版）設(shè)函數(shù)fn (X)122左人K _2.2K23n三(x R, n Nn),證明: n（I）對每個Nn,存在唯一的Xn 2,1,滿足 fn(Xn)30；（n）對任意Nn,由（I ）中Xn構(gòu)成的數(shù)列Xn滿足0XnXn【答案】解：（n二是單調(diào)遞增的nfn(x)2X223X32nX-y是x的單 n調(diào)遞增函數(shù)，也是n的單調(diào)遞增函數(shù).且fn(0)0,fn(1)存在唯一 Xn(0,1,滿足 fn(Xn)0,X1X2X3xn當(dāng)X(0,1).時，fn(x)1 X2X223X224X22n X 220

12、fn(Xn)2.Xn1 Xn411 Xn(Xn2)(3Xn2) 0Xni1綜上，對每個nNn,存在唯一的2，Xn q,1,滿足 fn(Xn)0 ;(證畢)（n）由題知12xnXn Xn p0, fn(xn )1 Xn 2234Xn Xn_ 223242n Xn -2 nfn p(xnp)1xn23p24 xn pn xn pxnn 1n p p0上式相pxn pxnpxn(n223422 n(n1)2p)2234n234nn 1n p減：xnxnxnxnxnxn pxn pxn pxn pxnpxnpxn2232422 np2232422 n(n1)2(np)2223344nnn 1n pxn

13、 -xn p（七p - xnxnp - xnxnp -xnxnp -xn2Jn(上(npxn p2)p)2232421)2(n1111xn - xn pn n p nn法二：2也解析：iff明；對警個r e N，LV >out. /；M） = 1+-+-' + - > Ih 故人（0在（明+oc）內(nèi) n n球謂遞增.由于力（i）=。.吊”時*務(wù)11+ 3 >必戰(zhàn)&占必又盤&4FJ4七=2k=2所以存在唯一的與e|,滿足%J 一 口，j.n+1當(dāng)工> 0B寸右a1c 2,求a2及a3;(2)求證：對任意n N 冏1anc,; Zn十4上）工1（為+

14、 JJF % AM*敵/什叫力>= fn+1（工口+。= 口-由人"（力在m.+g）內(nèi)履啊遞增知. < 工也依為眼調(diào)遞減讓列一從而時仔苴山£ N）< 二對任趣HE N3由于= 1 +金（1 +竟+* 4e=0，2- rr,3式減去之式并移原.劃用1< “_£ L心25. （2013年高考上海卷（理）（3 分+6分+9分）給定常數(shù)C 0,定義函數(shù)f（x）2|x c 4| |x c|,數(shù)列*a1，a2,a3,L 滿足 an 1 f (an),n N(3)是否存在國,使得a1,a2,L an,L成等差數(shù)列？若存在，求出所有這樣的a1，若不存在,說

15、明理由.【答案】：(1)因?yàn)?c 0,a1(c 2),故22f(a1) 21al c 4| |a1 c| 2,a3 f(ai) 21a2 c 41 |a2 c| c 10(2)要證明原命題，只需證明f(x) x c對任意x R都成立，f(x) x c 21 x c 4| | x c | x c即只需證明2 | x c 4 | | xc | +x c若 x c 0,顯然有 2 | x c4 | | x c | +xc=0 成立；若 x c 0,則 2|x c 4|x c| +x cx c 4xc顯然成立綜上，f(x) x c恒成立，即對任意的n N ,an1 an c 由(2)知，若an為等差數(shù)

16、列，則公差d c 0,故n無限增大時，總有an 0此時，an 1 f (an) 2(an c 4) c) an c 8即d c 8故 a2 f(a1) 21alc411al c |a1c 8,即 2 1al c 411alc |a1c 8,當(dāng)a c 0時，等式成立，且n 2時，an 0,此時an為等差數(shù)列，滿足題意；若 a1c 0,則 1ale 4 | 4a1c 8,此時，a2 0,a3 c 8,L ,an (n 2)(c 8)也滿足題意；綜上，滿足題意的a1的取值范圍是c, ) c 8.26. (2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷(數(shù)學(xué))(已校對純 WORD版含附加題)本小題滿

17、分10分.6 4 4 4 7個4 4 4 8設(shè) 數(shù) 列an1,-2, -2,3,3,3,-4,-4,-4,-4,L ,(-1)k-1k,L,(-1)k-1k, 即 當(dāng)"1)k nk(k 1) k N 時，an(-1) k1k,記S0aa?Lann N ,對于l N，定義集合22PnSn是an的整數(shù)倍，n N ,且1 n l(1)求集合P11中元素的個數(shù)；(2)求集合P2000中元素的個數(shù).本題主要考察集合問題能力及推理論證能力. 數(shù)列的概念與運(yùn)算. 計數(shù)原理等基礎(chǔ)知識 , 考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決(1)an得: a11 , a22, a32, a43, a53, a63,

18、a74 , a84, a94 , a104, a11S11,S21, S33, S40, S53 , S66,S72, S82, S96,S1010, S11S11?a1, S40?a4, S51?a5, S62 ?a6 , S111 ?a11集合P11 中元素的個數(shù)為5(2) 證明 : 用數(shù)學(xué)歸納法先證Si(2 i 1) i (2i1)事實(shí)上 , 當(dāng) i 1時, Si(2i 1)S31?(2 1)3 故原式成立 假設(shè)當(dāng) i m 時, 等式成立 , 即 Sm(2m 1)m ? (2m 1) 故原式成立則：i m 1,時,S(m 1)2(m 1) 1 S(m1)(2 m 3Sm(2m 1)(2m

19、221)2 (2m 2)2m(2m 1)(2m1)22(2m 2)22(2m2 5m 3)(m1)(2m 3)綜合得: Si (2i 1)i (2i1) 于是S(i 1) 2i 1Si(2i 122(2i 1)2 i(2i 1) (2i1)2(2i 1)(i1)由上可知：Sg 1是(2i 1)的倍數(shù)而 a(i 1)(2i1 j2i 1(j1,2,2i 1),所以Si(2i 1)Si(2i 1)j(2i 1)是a (i 1)( 2i 1j(j1,2, ,2i 1) 的倍數(shù)又 S(i 1 )2i1(i 1)(2i 1)不是 2i 2的倍數(shù) ,而 a(i 1)(2i1 j(2i 2)( j 1,2,

20、 ,2i 2)所以S(i 1)(2i 1)j S(i 1)(2i 1) j(2i 2)(2i1)(i1)j(2i2) 不是 a(i 1)( 2i1 j (j1,2,2i 2) 的倍數(shù)故當(dāng) li(2i1)時，集合Pl中元素的個數(shù)為12i -1)l i(2i 1) j (1 j 2i1)時,集合Pl 中元素的個數(shù)為2ij又 2000 31 (2 31 1) 47故集合P2000 中元素的個數(shù)為312 47 1008知a110,且a1, 2a2 2,5a3成等比數(shù)列求d,an ；(2) 若 d 0,求|a1 |an|.【答案】解：(I)由已知得到：(2a2 2y 5a1a34(ai1)250(a12

21、d)(11d)225(5d)121 22d d2 12525dd23d(n)由知，當(dāng)d 0時，an11當(dāng)1n 11時,an 0ggga1a2a3當(dāng)12n時,an 0|a11 |a2 I |a3l 期 |an I 為a2a32(a1a2a?ggga11)(a1 a2 a3gggan)an4ngffl ana11(a12an11 nn(10 11 n)n(21 n)2a13 期 an)11(21 11) n(21 n)21n 2202所以，綜上所述：|a1 | a31 ggg |an |n(212 n2) ,(1n 11)21n 220,(n 12)28. (2013年高考湖北卷(理)已知等比數(shù)列

22、 an滿足：a2 a3 10, a1a2a3 125.(I)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(II)是否存在正整數(shù)m,使得1 ?若存在，求m的最小值；若不存在，說明理由.a2am【答案】解：(1)由已知條件得:a25,又 az|q 1| 10, q1 或3,所以數(shù)列an的通項(xiàng)或an5 3n,.11(II)右 q 1 , La1a2am1_一或0,不存在這樣的正整數(shù) m ;5111若 q 3, 1 , L -aa2am旦1109一,不存在這樣的正整數(shù) m .10S44s2,a2 n2an 1 .（I）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；H前n項(xiàng)和為Tn ,且Tna 1（為常數(shù)）.令cnb2n （n N）.求數(shù)列Cn的前

23、n項(xiàng)和2Rn.解：（I）設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為由s44s2a2n2an 1 得ai4al(2n6 d 8a1 4d1)2a12(n 1)d 1解得,因此an2n1 (nTn（n）由題意知：所以nc bn2時,TnTn12n 2cn故，b2n2n22n(n1)(1)n14(nRn所以(4)0(4)1(4)2(4)3(n1) (1)n14（尸(4)2(4)3(n 2)(4)n(n 1) (;)n4(n4整理得Rn3Rn 49(43n 1,n 1 )4(1)n14(n 1)(4)n所以數(shù)列數(shù)列。的前n項(xiàng)和R 1(4號30. (2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷(數(shù)學(xué))(已校

24、對純 WORD版含附加題)本小題滿分16nS分.設(shè)an是首項(xiàng)為a,公差為d的等差數(shù)列(d 0), &是其前n項(xiàng)和.記4 n，其中c為實(shí)數(shù).若c 0,且b, b2, b4成等比數(shù)列，證明：Snkn2Sk( k,n N*);(2)若bn是等差數(shù)列，證明：c0.Sn, b1,證明：an是首項(xiàng)為b2, b4成等比數(shù)列. 11rI20一一ad d0.24n(n 1)H, , Snnad2，左邊=Snk (nk)2a，左邊 =右邊.二原式成立a，公差為d的等差數(shù)列(d 0) , &是其前Ud2b22b1b411-d(a -d) 0na n(n 1)9ana 2a2n2k2a(2)上是等差數(shù)

25、列.設(shè)公差為b1(n1)d1nSn2 n一' (d1 cd1bid1(a2c n a.2右邊=n Skd1,bn13-d)nn項(xiàng)和bi(bi加2 a(a |d)21 2n k a(n 1)d1帶入 bn12d1 a d)n 22anSn2 n得: ccd1nc(d1bi)對 n N恒成立cd10c(d1b1)由式得：d1由式得：c1d20d1法二：證：(1)若c 0,則an(n 1)d, Snn(n 1)d 2a，bn(n 1)d 22a當(dāng)口，以b4成等比數(shù)列，b22bh,即：a3d2a a ,倚：d22ad，又 d 0 ,故 d2a.由此：Snn2a, Snk(nk)2a n2k2a

26、, n2Skn2k2a.故：Snkn2Sk(k,n N*).2 (n 1)d 2a（2）bnnSn-2 n cn 22n c2 (n n 1)d 2a-2(n 1) d 2a22n cc(n 1)d22a(n 1)d 2a(n 1)d 2a c 22n2 c若bn是等差數(shù)列，則bn An Bn型.觀察（X）式后一項(xiàng)，分子哥低于分母哥,（n 1）d 2a土心力 c 2（n 1）d 2a （n 1）d 2a 故有：一 0,即 c- 0,而豐0,n2 c22故c 0.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)c 0時bn是等差數(shù)列.31. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試大綱版數(shù)學(xué)（理）WORD版含答案（已校對）等差數(shù)列 an

27、的前n項(xiàng)和2為Sn,已知S3=a2，且S1,S2,S4成等比數(shù)列，求an的通項(xiàng)式.【答案】解*設(shè)范的公差為由S-" 博；故外。成由S1 & $ 成等比數(shù)列得S : -如X Sd.事 2口才一/.S* = 49工tt （2的一（布-蘇泄hm3,所以uo,此時s.=o.不含題意若 ” =3財（6 42 = （3 -+d，0 建 d=z.因比g）的通項(xiàng)公式為或g= 2e-L32. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試天津數(shù)學(xué)（理）試題（含答案）已知首項(xiàng)為 旦的等比數(shù)列an不是遞減2數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn（n N*）,且S + a3, S5 + a5, 9 + a4成等差數(shù)列.（I）

28、求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1(n)設(shè)Tn a (n N*),求數(shù)列T的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值 s【答案】22233. (2013年高考江西卷(理)正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和an滿足：Sn(n n 1)Sn (n n)(1)求數(shù)列a n的通項(xiàng)公式an；. n 15(2)令bn 2-,數(shù)列bn的刖n項(xiàng)和為Tn.證明：對于任意的n N ,都有Tn(n 2) a64【答案】(1)解：由S2 (n2 n 1)Sn (n2n) 0,得 Sn (n2 n) (Sn 1) 0.由于an是正項(xiàng)數(shù)列，所以Sn 0,Sn n2 n.于是 aiSi2, n 2 時，an一 一2,.2,.、一Sn Sn 1 n n (n 1)

29、(n 1) 2n.綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)an 2n .(2)證明：由于an2n, bnn 1(n 2)2a2則bn2222 24n2(n 2)216 n2 (n 2)2111111 1_ 一一2-2,2八2_21632435111122 -222(n 1) (n 1) n (n 2)1/1111 1、512 2 2(12)1622 (n 1)2 (n 2)216226434. （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試廣東省數(shù)學(xué)（理）卷（純WORD版）設(shè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn.已知(i)(n)an求a2的值;求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；、一，1117(出)證明：對一切正整數(shù)n,有,2L 7 .a a2

30、an 42s一1 c 2【答案】.(1)解：Q -Sn an 1 1 n2 n -, n N n331,2-當(dāng) n 1 時，2a1 2sl a2 1 a2 233又 a11, a242S1 c 2(2)解:Q n an1 1n2 n 2, n Nn332Sn1 322nan 1 n n - n nan 133n 1 n n 1當(dāng) n 2 時，2Sn1 n 1 an 3由一，得 2Sn 2Sn 1 nan 1n 1 an n n 1Q 2an 2Sn 2Sn 12an nan 1n 1 an n n 1_a_L an 1 數(shù)列且是以首項(xiàng)為電1,公差為1的等差數(shù)列 n 1 nn1a2 一1 1 n

31、 1 n, an n n 2 n 2*當(dāng)n 1時，上式顯然成立. an n , n N證明：由(2)知，an n2,n N 17.當(dāng)n 1時，一 1 ,原不等式成立當(dāng)2時,原不等式亦成立.當(dāng)3時,a1a23時，,aia2Q n2an1221 2 n原不等式亦成立.，1117綜上，對一切正整數(shù)n,有'L 7.aa2an4n項(xiàng)之35. (2013年高考北京卷(理)已知a是由非負(fù)整數(shù)組成的無窮數(shù)列，該數(shù)列前n項(xiàng)的最大值記為 A,第后各項(xiàng)an 1, an 2,的最小值記為 B, &=A- B .(I)若an為2,1,432,1,4,3,是一個周期為4的數(shù)列(即對任意nN*, an 4an),寫出d1,d2, d3,d4的值(II)設(shè)d為非負(fù)整數(shù)，證明：dn=-d(n=1,2,3)的充分必要條件為a