一階線性微分方程組

1、第4章 一階線性微分方程組一 內(nèi)容提要1 基本概念一階微分方程組：形如（3.1）的方程組，（其中是關(guān)于的未知函數(shù)）叫做一階微分方程組。若存在一組函數(shù)使得在a,b上有恒等式成立，則稱(chēng)為一階微分方程組(3.1)的一個(gè)解含有n任意常數(shù)的解稱(chēng)為(3.1)通解。如果通解滿方程組則稱(chēng)這個(gè)方程組為（3.1）的通積分。滿足初始條件的解，叫做初值問(wèn)題的解。令n維向量函數(shù)Y=，F(xiàn)（，Y）=，則（3.1）可記成向量形式 (3.2)初始條件可記為Y()=,其中則初值問(wèn)題為: (3.3)一階線性微分方程組:形如 (3.4)的一階微分方程組,叫做一階線性微分方程組.令A(yù)()=及F(=則(3.4)的向量形式: (3.5)F

2、( 時(shí) (3.6)稱(chēng)為一階線性齊次方程組,(3.5)式稱(chēng)為一階線性非齊次方程組。在（35）式A(即A( (3.7)叫做常系數(shù)線性非齊次微分方程組. (3.8)叫做常系數(shù)線性齊次微分方程組.2 一階線性微分方程組的通解結(jié)構(gòu).定理1（一階線性微分方程組解存在唯一性定理）：如果線性微分方程組 中的A及F在區(qū)間I=上連續(xù)，則對(duì)于上任一點(diǎn)以及任意給定的Y，方程組 的滿足初始條件的解在上存在且唯一。1)向量函數(shù)線性相關(guān)性及其判別法則定義：設(shè)是m個(gè)定義在區(qū)間I上的n維向量函數(shù)。如果存在m個(gè)不全為零的常數(shù)使得恒成立，則稱(chēng)這m個(gè)向量函數(shù)在區(qū)間I上線性相關(guān)；否則它們?cè)趨^(qū)間I上線性無(wú)關(guān)。判別法則：定義法朗斯基（Wr

3、onski）行列式判別法：對(duì)于列向量組成的行列式通常把它稱(chēng)為n個(gè)n維向量函數(shù)組的朗斯基（Wronski）行列式。定理1 如果n個(gè)n維向量函數(shù)組在區(qū)間I線性相關(guān)，則們的朗斯基（Wronski）行列式在I上恒等于零。逆定理未必成立。如：朗斯基行列式在I上恒等于零，但它們卻是線性無(wú)關(guān)。定理2 如果n個(gè)n維向量函數(shù)組的朗斯基（Wronski）行列式在區(qū)間I上某一點(diǎn)處不等于零，即則向量函數(shù)組在區(qū)間I線性無(wú)關(guān)。逆定理未必成立。同前例。但如果是一階線性齊次微分方程組的解，則上述兩定理及其逆定理均成立。即定理3 一階線性齊次微分方程組的解是線性無(wú)關(guān)的充要條件是它們的朗斯基（Wronski）行列式在區(qū)間I上任一

4、點(diǎn)處不等于零；解是線性相關(guān)的充要條件是它們的朗斯基（Wronski）行列式在區(qū)間I上任一點(diǎn)處恒等于零2).基本解組及其有關(guān)結(jié)論定義：一階線性齊次微分方程組的n個(gè)線性無(wú)關(guān)解稱(chēng)為它的基本解組判別：一階線性齊次微分方程組的解是一個(gè)基本解組的充要條件是它們的朗斯基（Wronski）行列式在區(qū)間I上任一點(diǎn)處不等于零。結(jié)論：一階線性齊次微分方程組必存在基本解組?；窘饨M有無(wú)窮多個(gè)。3）一階線性齊次微分方程組通解的結(jié)構(gòu) 定理：如果是線性齊次微分方程組的基本解組，則其線性組合Y是線性齊次微分方程組的通解。 結(jié)論： 線性齊次微分方程組的解的全體構(gòu)成一n維線性空間。4）解與系數(shù)的關(guān)系，即劉維爾公式 定理：如果是線

5、性齊次微分方程組的解，則這n個(gè)解的朗斯基行列式與線性齊次微分方程組的系數(shù)的關(guān)系是： 此式稱(chēng)為劉維爾（Liouville）公式.由此公式可以看出n個(gè)解的朗斯基行列式或者恒為零，或者恒不為零稱(chēng)為矩陣A的跡。記作。一階線性非齊次方程組的通解結(jié)構(gòu)定理（通解結(jié)構(gòu)定理）：線性非齊次方程組的通解等于對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的通解與的一個(gè)特解之和。即的通解為Y其中為對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的通解，是的一個(gè)特解。求通解的方法拉格朗日常數(shù)變易法：對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的一個(gè)基本解組構(gòu)成基本解矩陣齊次微分方程組的通解為 其中線性非齊次方程組的通解為。 結(jié)論：線性非齊次方程組解的全體并不構(gòu)成n+1維線性空間。3 常系數(shù)線性微分

6、方程組的解法 常系數(shù)線性齊次微分方程組的解法：若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方法（基本解組的求解方法） 求特征根：即特征方程式det(A-的解。根據(jù)特征根的情況分別求解：特征根都是單根時(shí)，求出每一個(gè)根所對(duì)應(yīng)的特征向量，即可求出基本解組；單復(fù)根時(shí)，要把復(fù)值解實(shí)值化；有重根時(shí)，用待定系數(shù)法求出相應(yīng)的解。（詳略）常系數(shù)線性非齊次微分方程組的解法：求相應(yīng)的齊次微分方程組的基本解組； 用待定系數(shù)法求特解。（詳略）二典型例題及解題方法簡(jiǎn)介（1）化一階線性微分方程組:有些高階線性微分方程或高階線性微分方程組，可以通過(guò)合理的函數(shù)代換，化為一階線性微分方程組。例1 化如下微分方程為一階線性微分方程組：解：令則原微分方程化為等價(jià)的一

7、階線性微分方程組：例2化如下微分方程組為一階線性微分方程組：解：令則有原微分方程組化為等價(jià)的一階線性微分方程組：（一） 一般線性微分方程組的求解問(wèn)題對(duì)于一般線性齊次微分方程組，如何求出基本解組，至今尚無(wú)一般方法。一些簡(jiǎn)單的線性微分方程組可以化為前面兩章學(xué)過(guò)的微分方程來(lái)求解。消元法（化方程組為單個(gè)方程的方法）例3 求解方程組解：有前一個(gè)方程解出y并求導(dǎo)，有代入后一方程化簡(jiǎn)得假定則有，積分得原方程組的通解為常系數(shù)線性微分方程組在教材中介紹了若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方法，其實(shí)兩個(gè)方程構(gòu)成的簡(jiǎn)單常系數(shù)線性微分方程組我們還可以用消元法求解。例4 解方程組解：由前一方程得代入后一方程，得常系數(shù)二階線性方程其通解為從而所

8、以通解為例5解方程組解：由第二式得代入第一式得從而可求得代入得將代入上述兩式得解得所以原方程組的解為（三）常系數(shù)線性齊次微分方程組的通解問(wèn)題雖然一般線性齊次微分方程組，如何求出基本解組，至今尚無(wú)一般方法，但是常系數(shù)線性齊次微分方程組通過(guò)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型方法，從理論上已經(jīng)完全解決，根據(jù)特征根情形分別采取不同的求解方法，教材上都一一作了詳細(xì)的講解，在此不再多講。在此我們介紹一種通用的方法待定系數(shù)法步驟：解特征方程式det(A-，得特征根；根據(jù)根的重?cái)?shù)，求出對(duì)應(yīng)于每一個(gè)根的解式 設(shè)是線性齊次微分方程組是k重根（單根為k=1），則線性齊次微分方程組對(duì)應(yīng)的解式為 其中為待定常數(shù)，將此解式代入中，比較兩端同類(lèi)項(xiàng)

9、的系數(shù)，得一關(guān)于的線性代數(shù)方程組，解之即可定出。 把對(duì)應(yīng)于每一個(gè)根的解式相加，即可得到的通解。例6 （均為單根的情形，教材170頁(yè)例3.5.1）解方程組解：特征方程為=0即解之得特征根（均為一重）時(shí)令待定解為代入原方程組，化簡(jiǎn)得解得，若為任意常數(shù)，對(duì)應(yīng)于的解式為：同理對(duì)應(yīng)于的解式為：對(duì)應(yīng)于的解式為：通解為：例7 （特征方程有復(fù)根的情形）解方程組：解：特征方程為=0即都是單根象例6可得對(duì)應(yīng)的特解：因?yàn)樵}是實(shí)系數(shù)的方程組，所以是的特解且為原題的實(shí)線性無(wú)關(guān)解。（注：若則記Rez=a,Imz=b）所以復(fù)通解為實(shí)通解為：例8 （特征方程有重根的情形）解方程組解：特征方程為=0即解得=3是兩重根即k=2對(duì)應(yīng)的待定解式為代入原方程并比較兩邊的同次冪的系數(shù)，得解得，。令得通解為（四）常系數(shù)線性非齊次微分方程組的通解問(wèn)題根據(jù)常系數(shù)線性非齊次方程組的通解等于對(duì)應(yīng)的常系數(shù)齊次微分方程組的通解與的一個(gè)特解之和。即的通解為Y+其中為對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的通解。前面已經(jīng)介紹了對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的通解問(wèn)題，只須用拉格朗日常數(shù)變易法求出一個(gè)特解即可。例9解方程組解：特征方程為=特征根為易于求得對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的齊次微分方程組的通解為根據(jù)拉格朗日常數(shù)變易法，令原方程組的特解為代入原方程組得解之得