第八章 靜定結(jié)構(gòu)位移計算

1、 8.1 概述概述8.2 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計算公式8.3 圖乘法圖乘法 8.4 支座移動引起的位移計算支座移動引起的位移計算8.5 互等定理互等定理 小小 結(jié)結(jié) 建筑結(jié)構(gòu)在施工和使用過程中，結(jié)構(gòu)桿件的形狀會發(fā)生改變，稱為結(jié)構(gòu)的變形。結(jié)構(gòu)變形時，結(jié)構(gòu)上某個點發(fā)生的移動或某個截面發(fā)生的移動或轉(zhuǎn)動，稱為結(jié)構(gòu)的位移結(jié)構(gòu)的位移。 8.1.1 位移的概念位移的概念 使結(jié)構(gòu)發(fā)生位移的因素主要有以下三種： （1）荷載作用。）荷載作用。 （2）溫度變化與材料收縮。）溫度變化與材料收縮。 （3）支座移動和制造誤差）支座移動和制造誤差。(a) 例如圖(a)所示的簡支梁，在

2、荷載作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形，梁的跨中截面的形心C移動了一段距離 ，稱為C點的線位移線位移或撓度 ；支座截面B轉(zhuǎn)動了一個角度 ，稱為截面的角位移角位移或轉(zhuǎn)角。CCB 又如圖(b)所示的剛架，在荷載作用下發(fā)生如圖中虛線所示的變形。剛架上的C點移動至 點，則稱 為點C的線位移，用C表示。CCC F（b）CVCHCHCCV還可將該線位移分解為沿水平方向和豎直方向的兩個分量，分別稱為點C的水平位移水平位移和豎向位移豎向位移，分別用CH和CV表示，幾何關(guān)系如圖（b）所示，圖中的 為截面C的轉(zhuǎn)角，稱為截面C的角位移，上述線位移和角位移統(tǒng)稱為絕對位移絕對位移。C此外，在計算中還將涉及到另一種位移，即相

3、相對位移對位移。例如圖所示的剛架，在荷載F作用下，發(fā)生如圖中虛線所示的變形。ABAABBAHBHFF為了方便起見，我們將上述的各種位移無論是線位移或是角位移，無論是絕對位移或是相對位移，統(tǒng)一稱為廣義位移廣義位移。 A、B兩點的水平位移分別為AH和BH，它們之和為(AB )H =AH+BH，稱為A、B兩點的水平相對線位移。A、B兩個截面的轉(zhuǎn)角分別為 和 ，它們之和為 ，稱為A、B兩個截面的相對角位移。ABBAAB 靜定結(jié)構(gòu)的位移計算是結(jié)構(gòu)分析的一個重要內(nèi)容，在工程設(shè)計和施工過程中，都需要計算結(jié)構(gòu)的位移。靜定結(jié)構(gòu)的位移計算也是超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力分析的基礎(chǔ)。概括地說，它有以下三個目的： 8.1.2 計算

4、位移的目的計算位移的目的 在結(jié)構(gòu)設(shè)計中，除了要考慮結(jié)構(gòu)的強度要求外，還要計算結(jié)構(gòu)的位移，以保證結(jié)構(gòu)滿足剛度要求，即結(jié)構(gòu)的變形不得超過允許的極限值，確保結(jié)構(gòu)在使用過程中不致發(fā)生過大變形。例如在房屋結(jié)構(gòu)中，梁的梁的最大撓度不應(yīng)超過跨度的1/400至1/200，否則梁下的抹灰層將發(fā)生裂痕或脫落。在計算超靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力時，除了要考慮結(jié)構(gòu)的平衡條件外，還必須要考慮結(jié)構(gòu)的位移條件，需要計算結(jié)構(gòu)的位移。因此，靜定結(jié)構(gòu)的位移計算是求解超靜定結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)。 在結(jié)構(gòu)的制作、架設(shè)等施工過程中，經(jīng)常需要預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取相應(yīng)的施工措施，因而也需要計算結(jié)構(gòu)的位移。 本章所研究的是線彈性變形體系的位移

5、計算問題。所謂線彈性變形體系是指位移與荷載成比例的結(jié)構(gòu)體系，荷載對這種體系的影響可以疊加，而且當(dāng)全部荷載撤出時，由其引起的位移也完全消失。這種體系的位移也是微小的，而且應(yīng)力與應(yīng)變的關(guān)系符合胡克定律。 在力學(xué)中功的定義是：一個不變的集中力所做的功，等于該力的大小與其作用點沿力的作用線方向所發(fā)生的相應(yīng)位移的乘積。當(dāng)物體沿直線有位移時如圖，作用于物體的常力F在位移上所做的功為 。 8.2.1 實功與虛功實功與虛功cosFW FF 如果一對大小相等方向相反的力F作用在圓盤的A、B兩點上（如圖）。設(shè)圓盤轉(zhuǎn)動時，力F的大小不變而方向始終垂直于直徑AB。當(dāng)圓盤轉(zhuǎn)過一角度 時，兩力所做的功為 W=2Fr =M

6、 式中：M=2Fr，即力偶所作的功等于力偶矩與角位移的乘積。由上述可知，功包含了兩個因素，即力和位移。若用F表示廣義力廣義力，用表示廣義位移廣義位移，則功的一般表達(dá)式為 W=F 從以上示例看出，一個廣義力可以是一個力或一個力偶，其對應(yīng)的廣義位移是一個線位移或一個角位移。故廣義力可有不同的量綱，相應(yīng)的廣義位移也可有不同的量綱。但在做功時廣義力與廣義位移的乘積卻恒具有相同的量綱，即功的量綱。其常用單位為牛頓米(Nm)或千牛頓米(kNm)。 既然功是力與位移的乘積，根據(jù)力與位移的關(guān)系可將功分為兩種情況： （1）位移是由做功的力引起的）位移是由做功的力引起的 例如圖所示簡支梁，在靜力荷載F1的作用下，

7、當(dāng)F1由零緩慢逐漸的加到其最終值時，其作用點沿F1方向產(chǎn)生了位移11，簡支梁達(dá)到平衡狀態(tài)，其變形如圖虛線所示，力F1在位移11上做了功。11F11 由于位移11是由做功的力F1引起的，我們把力在自身引起的位移上所做的功稱為實功。實功。F （2）位移不是由做功的力引起的，而是由其）位移不是由做功的力引起的，而是由其他因素引起的。他因素引起的。 若在如圖所示簡支梁的基礎(chǔ)上，又在梁上施加另外一個靜力荷載F2，梁就會達(dá)到新的平衡狀態(tài)，F(xiàn)1的作用點沿F1方向又產(chǎn)生了位移12如圖所示。112212FF 力F1(此時的F1不再是靜力荷載，而是一個恒力)在位移12上做了功。由于位移12不是F1引起的，而是由力

8、F2所引起的，我們把力在由其他因素引起的位移上所做的功稱為虛功虛功。在虛功中，既然做功的力和相應(yīng)的位移是彼此無因果關(guān)系的兩個因素，所以，可將二者看成是同一結(jié)構(gòu)的兩種獨立無關(guān)的狀態(tài)。其中，力系所屬的狀態(tài)稱為力狀態(tài)力狀態(tài)圖(a)，位移所屬的狀態(tài)稱為位移狀態(tài)位移狀態(tài)圖(b)。（a）力狀態(tài) （b）位移狀態(tài) 如果在力狀態(tài)中有集中力、集中力偶、均布力和支座反力等外力，統(tǒng)稱為廣義力，用Fi表示。i表示與廣義力Fi相應(yīng)的廣義位移，若用We表示外力虛功，則圖(a)所示的力狀態(tài)在圖(b)所示的位移狀態(tài)上所做的外力總虛功為 當(dāng)力與位移的方向一致時，虛功為正值，當(dāng)力與位移的方向相反時，虛功為負(fù)值。iiFWe 這里所說

9、的虛功并非不存在，而是強調(diào)做功過程中力與位移之間彼此無因果關(guān)系。使力做虛功的位移，可以是荷載引起的位移、溫度變化或支座移動等其他因素引起的位移，也可以是虛設(shè)的位移。但是上述的所有虛位移必須是約束條件所允許的微小位移。既然位移狀態(tài)可以虛設(shè)，同樣，力狀態(tài)也可以虛設(shè)。 變形體虛功原理是力學(xué)分析中廣泛應(yīng)用的一個十分重要的原理，現(xiàn)將其表述如下：對于變形對于變形體系，如果力狀態(tài)中的力系滿足平衡條件，位移體系，如果力狀態(tài)中的力系滿足平衡條件，位移狀態(tài)中的變形滿足約束條件，則力狀態(tài)中的外力狀態(tài)中的變形滿足約束條件，則力狀態(tài)中的外力在位移狀態(tài)中相應(yīng)的位移上所作的外力總虛功等在位移狀態(tài)中相應(yīng)的位移上所作的外力總虛

10、功等于力狀態(tài)中的內(nèi)力在位移狀態(tài)中相應(yīng)的變形上所于力狀態(tài)中的內(nèi)力在位移狀態(tài)中相應(yīng)的變形上所作的內(nèi)力總虛功，作的內(nèi)力總虛功，即 We= Wi8.2.2 變形體虛功原理變形體虛功原理 上式稱為變形體的虛功方程。式中：We表示外力虛功，即力狀態(tài)中的所有外力在位移狀態(tài)相應(yīng)的位移上所作的虛功總和；Wi表示內(nèi)力虛功，即力狀態(tài)中的所有內(nèi)力在位移狀態(tài)相應(yīng)的變形上所作的虛功總和。變形體系的虛功原理的證明從略。 需要指出的是，在推導(dǎo)變形體的虛功方程時，并未涉及到材料的物理性質(zhì)，只要在小變形范圍內(nèi)，對于彈性、塑性、線性、非線性的變形體系，上述虛功方程都成立。當(dāng)結(jié)構(gòu)作為剛體看待時，由于沒有變形，則內(nèi)力總虛功為零，即Wi

11、=0，于是變形體虛功原理變成了剛體的虛功原理剛體的虛功原理。變形體虛功方程變?yōu)閯傮w的虛功方程剛體的虛功方程，即 We=0。所以說剛體的虛功原理是變形體虛功原理的一個特例。 在工程實際中組成結(jié)構(gòu)的構(gòu)件都是變形體，結(jié)構(gòu)在荷載作用下不僅要發(fā)生變形，同時還產(chǎn)生相應(yīng)的內(nèi)力。因此，利用虛功原理求解變形體結(jié)構(gòu)問題時，不僅要考慮外力虛功，而且還要考慮與內(nèi)力有關(guān)的虛功。8.2.3 位移計算的一般公式位移計算的一般公式現(xiàn)在，我們結(jié)合如圖所示剛架，討論如何利用變形體虛功原理來建立計算平面桿件結(jié)構(gòu)位移的一般公式。如圖(a)中虛線表示剛架在荷載和支座移動等因素的作用下所發(fā)生的變形，這是結(jié)構(gòu)的實際位移狀態(tài)，簡稱實際狀態(tài)實

12、際狀態(tài)?，F(xiàn)在要求該狀態(tài)K點沿水平方向的位移K。 (a)利用虛功原理求解這個問題，首先要確定兩個彼此獨立的狀態(tài)，即力狀態(tài)和位移狀態(tài)。由于是求實際狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的位移，所以應(yīng)把結(jié)構(gòu)的實際狀態(tài)圖(a)作為結(jié)構(gòu)的位移狀態(tài)。(a)而力狀態(tài)則可以根據(jù)所求位移來虛設(shè)。為了便于求出位移和簡化計算，我們選取一個與所求位移相對應(yīng)的虛單位荷載，即在K點沿水平方向施加一個單位力 =1，如圖(b)所示。這是一個虛設(shè)的狀態(tài)，簡稱虛虛擬狀態(tài)擬狀態(tài)。KF(b)1KF在虛單位荷載 =1作用下，結(jié)構(gòu)將產(chǎn)生虛反力 和虛內(nèi)力 、 、 ，它們構(gòu)成了一個虛設(shè)力系。KFSFMNF(b)1KF2R3R1R根據(jù)變形體系的虛功原理，計算以上兩種狀態(tài)

13、中虛擬狀態(tài)的外力和內(nèi)力在相應(yīng)的實際狀態(tài)上所做的虛功。則有得 （a）式中：、k實際狀態(tài)中的軸向應(yīng)變、剪切應(yīng)變和彎曲應(yīng)變。式（a）即為平面桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。lllKKskMsFsFcRcRFdddSN2211cRskMsFsFlllKdddSN 由以上位移計算公式的建立過程，可歸納出用虛功原理求結(jié)構(gòu)位移的基本方法： (1)把結(jié)構(gòu)在實際各種外因作用下的平衡狀態(tài)把結(jié)構(gòu)在實際各種外因作用下的平衡狀態(tài)作為位移狀態(tài)，即實際變形狀態(tài)。作為位移狀態(tài)，即實際變形狀態(tài)。 (2)在擬求位移的某點處沿所求位移的方向上，在擬求位移的某點處沿所求位移的方向上，施加與所求位移相應(yīng)的單位荷載，以此作為結(jié)構(gòu)施加與所求位

14、移相應(yīng)的單位荷載，以此作為結(jié)構(gòu)的力狀態(tài)，即虛設(shè)力狀態(tài)。的力狀態(tài)，即虛設(shè)力狀態(tài)。 (3)分別寫出虛設(shè)力狀態(tài)上的外力和內(nèi)力在分別寫出虛設(shè)力狀態(tài)上的外力和內(nèi)力在實際變形狀態(tài)相應(yīng)的位移和變形上所做的虛功，實際變形狀態(tài)相應(yīng)的位移和變形上所做的虛功，并由虛功原理得到結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。并由虛功原理得到結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式。 我們把這種在沿所求位移方向施加一個單位力 =1的位移計算方法稱為單位荷載法單位荷載法。KF需要說明的是，上述平面桿系結(jié)構(gòu)位移計算的一般公式，不僅適用于靜定結(jié)構(gòu)，也適用于超靜定結(jié)構(gòu)；不僅適用于彈性材料，也適用于非彈性材料；不僅適用于荷載作用下的位移計算，也適用于由溫度變化、制造誤差

15、以及支座移動等因素影響下的位移計算。單位荷載法是計算結(jié)構(gòu)位移的一般方法，其不僅可用于計算結(jié)構(gòu)的線位移，也可以用來計算結(jié)構(gòu)任何性質(zhì)的位移，只要虛擬狀態(tài)中所設(shè)虛單位荷載與所求的位移相對應(yīng)，即保證廣義力與廣義位移的對應(yīng)關(guān)系即可。現(xiàn)舉出幾種典型的虛擬狀態(tài)如下： （1）若計算的位移是結(jié)構(gòu)上某一點沿某一方）若計算的位移是結(jié)構(gòu)上某一點沿某一方向的線位移，則應(yīng)在該點沿該方向施加一個單位向的線位移，則應(yīng)在該點沿該方向施加一個單位集中力集中力(a)。 （2）若計算的位移是桿件某一截面的角位移，）若計算的位移是桿件某一截面的角位移，則應(yīng)在該截面上施加一個單位集中力偶則應(yīng)在該截面上施加一個單位集中力偶圖圖(b)。1F

16、1eM（3）若計算的是桁架中某一桿件的角位移，則應(yīng)在該桿件的兩端施加一對與桿軸垂直的反向平行集中力使其構(gòu)成一個單位力偶，每個集中力的大小等于桿長的倒數(shù)圖(c)。（4）若計算的位移是結(jié)構(gòu)上某兩點沿指定方向的相對線位移，則應(yīng)在該兩點沿指定方向施加一對反向共線的單位集中力圖(d)。1F1F (5)若計算的位移是結(jié)構(gòu)上某兩個截面的相對角位移，則應(yīng)在這兩個截面上施加一對反向單位集中力偶圖(e)。 (e)1eM1eM (6)若計算的是桁架中某兩桿的相對角位移，則應(yīng)在該兩桿上施加兩個方向相反的單位力偶 圖(f)。 需要明確的是，虛擬狀態(tài)中單位荷載的指向是可以任意假設(shè)的，若按式（a）計算出來的結(jié)果是正值，則表

17、示實際位移的方向與虛擬荷載的方向相同，否則相反。 若靜定結(jié)構(gòu)的位移僅僅是由荷載作用引起的，沒有支座位移的影響（即c=0），則式(a)可簡化為8.2.4 荷載作用下的位移計算公式荷載作用下的位移計算公式 式中，微段的變形ds、ds、kds是由荷載引起。lllKskMsFsFdddSN(b)若用 FN、FS、M表示實際位移狀態(tài)中微段上由荷載產(chǎn)生的軸力、剪力和彎矩，在線彈性范圍內(nèi)，變形與內(nèi)力有如下關(guān)系： 式中：EA、GA、EI桿件的拉壓剛度、剪切 剛度、彎曲剛度，K為剪力分布不均勻系數(shù)，其與截面形狀有關(guān)。(c)EIMkGAFKEAF，SN 將式（c）代入式（b），得(d)sEIMMsGAFFKsEA

18、FFllldddSSNN 式（d）為靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下位移計算的一般公式。式中， 、 、 表示在虛擬狀態(tài)中由廣義單位荷載引起的虛內(nèi)力，這些虛內(nèi)力和原結(jié)構(gòu)由實際荷載引起的內(nèi)力，它們都可以通過靜力平衡條件求得。 NFSFM公式（d）綜合考慮了軸向變形、剪切變形和彎曲變形對結(jié)構(gòu)位移的影響。在實際應(yīng)用中，則根據(jù)不同形式的結(jié)構(gòu)特性，對不同形式的結(jié)構(gòu)分別采用不同的簡化計算公式。(1) 對梁和剛架而言對梁和剛架而言，彎曲變形是主要的變形，而軸向變形和剪切變形對結(jié)構(gòu)位移的影響很小，可以忽略不計。所以式（d）簡化為 ldsEIMM（*） (2) 對于桁架，對于桁架，由于各桿件均只有軸向變形，且每一桿件的軸力和

19、截面面積沿桿長不變，所以式（d）簡化為 EAlFFNN (3) 對于組合結(jié)構(gòu)對于組合結(jié)構(gòu)，梁式桿件主要承受彎矩，其變形主要是彎曲變形，可只考慮彎曲變形對位移的影響。而鏈桿只承受軸力，只有軸向變形，所以其位移計算公式簡化為 EAlFFsEIMMlNNd (4) 對于拱，對于拱，當(dāng)不考慮曲率的影響時，拱結(jié)構(gòu)的位移可以近似的按式（*）來計算。通常情況下，只需考慮彎曲變形的影響，按式（*）計算，其結(jié)果已足夠精確。僅在計算扁平拱的水平位移或者拱軸線與合理軸線接近時，才考慮軸向變形的影響，即llsEAFFsEIMMddNN 需要說明的是，在上述位移計算公式中，都沒有考慮桿件的曲率對變形的影響，這對直桿是正

20、確的，而對曲桿則是近似的。但是，在常用的結(jié)構(gòu)中，如拱結(jié)構(gòu)、曲梁和有曲桿的剛架等，這些結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的曲率對變形的影響都很小，可以略去不計?！纠纠?.1】 求圖（求圖（a）所示簡支梁的中點）所示簡支梁的中點C的豎向的豎向位移和截面位移和截面B的轉(zhuǎn)角。已知梁的彎曲剛度的轉(zhuǎn)角。已知梁的彎曲剛度EI為常量。為常量。 (a) 【解】【解】 1) 求點求點C的豎向位移的豎向位移CV 。 在點在點C沿豎向施加單位力沿豎向施加單位力 =1，作為虛擬力，作為虛擬力狀態(tài)如圖（狀態(tài)如圖（b）所示。）所示。 F(b)1Fl/2l/2A 分別建立虛設(shè)荷載和實際荷載作用下梁的彎分別建立虛設(shè)荷載和實際荷載作用下梁的彎矩方程。

21、取點矩方程。取點A為坐標(biāo)原點，當(dāng)為坐標(biāo)原點，當(dāng)0 xl/2時，有時，有xM211Fl/2Al/2x)(22xlxqMx由于該梁由于該梁C點左右對稱，所以點左右對稱，所以CV只需計算一只需計算一半，把結(jié)果乘半，把結(jié)果乘2倍，即得倍，即得EIqlxxlxqxEIlC3845d)(22124202V（） 2) 求截面求截面B的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角 。 在在B端施加一單位力偶端施加一單位力偶 ，作為虛擬力狀，作為虛擬力狀態(tài)如圖態(tài)如圖(c)所示。所示。B 1eM(c) ACB1eMl分別建立虛設(shè)荷載和實際荷載作用下梁的彎分別建立虛設(shè)荷載和實際荷載作用下梁的彎矩方程。矩方程。取取A點為坐標(biāo)原點，點為坐標(biāo)原點， 當(dāng)當(dāng)

22、0 xl時，則時，則 和和M的的方程為方程為lxMM ACB1eMlx）(22xlxqMx則則EIqlB243 計算結(jié)果為負(fù)值，計算結(jié)果為負(fù)值，說明實際的轉(zhuǎn)角說明實際的轉(zhuǎn)角 與所設(shè)與所設(shè)單位力偶的方向相反，即是逆時針方向。單位力偶的方向相反，即是逆時針方向。 B( ) 【例【例8.2】 求圖（求圖（a）所示剛架上點）所示剛架上點C的水的水平位移平位移CH 。已知各桿的。已知各桿的EI為常數(shù)。為常數(shù)。 (a)【解】在【解】在C點沿水平方向施加單位力點沿水平方向施加單位力 ，作，作為虛擬力狀態(tài)如圖為虛擬力狀態(tài)如圖(b)所示。所示。分別建立虛設(shè)荷載和實際荷載作用下剛架各分別建立虛設(shè)荷載和實際荷載作用

23、下剛架各桿的彎矩方程。桿的彎矩方程。AB桿桿 BC桿桿221，qlMxM221，0qxMM1F1F則點則點C的水平位移為的水平位移為 計算結(jié)果為負(fù)值，表明實際位移方向與所設(shè)單計算結(jié)果為負(fù)值，表明實際位移方向與所設(shè)單位荷載的方向相反位荷載的方向相反。EIqlxqlxEIxEIMMllC4d)21(1d402H（） 【例【例8.3】 求圖（求圖（a）所示桁架結(jié)點）所示桁架結(jié)點C的豎向位的豎向位移。已知各桿的彈性模量均為移。已知各桿的彈性模量均為E=2.1105MPa，截，截面面積面面積A=12cm2。 (a) 【解】在點【解】在點C沿豎向施加單位力沿豎向施加單位力 ，作為，作為虛擬力狀態(tài)如圖虛擬力

24、狀態(tài)如圖(b)所示。所示。 計算虛擬力狀態(tài)的桿件內(nèi)力如圖計算虛擬力狀態(tài)的桿件內(nèi)力如圖(b)所示。所示。 1F1F6565(b)2121-5/6-5/6-4/32/32/3 計算實際狀態(tài)的桿件內(nèi)力如圖（計算實際狀態(tài)的桿件內(nèi)力如圖（c）所示。）所示。(c)具體計算過程列表進(jìn)行，見下表。由于桁架及荷具體計算過程列表進(jìn)行，見下表。由于桁架及荷載的對稱性，計算總和時，在表中只計算了半個桁架。載的對稱性，計算總和時，在表中只計算了半個桁架。桿桿DE的長度只取一半。最后求位移時乘以的長度只取一半。最后求位移時乘以2。 桿桿 件件 /kN 桿長桿長l/mmmm A/mm2 E/(kNmm2) /mm AC A

25、D DE DC 2/3 -5/6 -4/3 5/6 60 -75 -60 0 4000 2500 0.54000 2500 1200 1200 1200 1200 2.1102 2.1102 2.1102 2.1102 0.63 0.62 0.63 0=1.88mmCV =21.88=3.76mm()NFNFEAlFFNN 【例【例8.4】 如圖所示為一等截面圓弧形曲桿，已如圖所示為一等截面圓弧形曲桿，已知桿的知桿的I和和A均為常數(shù)。求均為常數(shù)。求B點的豎向位移。并比較點的豎向位移。并比較剪切變形和軸向變形對位移的影響剪切變形和軸向變形對位移的影響B(tài)V。忽略曲率。忽略曲率的影響。的影響。 F

26、【解】【解】 1) 在在B點加單位豎向荷載點加單位豎向荷載 。分。分別計算在實際荷載和虛設(shè)單位荷載作用下的內(nèi)力。別計算在實際荷載和虛設(shè)單位荷載作用下的內(nèi)力。取取B點為坐標(biāo)原點，在與點為坐標(biāo)原點，在與OB成成角的任意截面上，角的任意截面上，兩種狀態(tài)下的內(nèi)力分別為兩種狀態(tài)下的內(nèi)力分別為1F(b)1F(a) 實際荷載狀態(tài)實際荷載狀態(tài) M=Frsin FS=Fcos FN=Fsin 虛設(shè)荷載狀態(tài)虛設(shè)荷載狀態(tài) =Frsin =Fcos =Fsin 2)計算位移計算位移BV。位移公式為。位移公式為將將ds=rd，代入位移公式。，代入位移公式。sEIMMsGAFFKsEAFFllldddSSNNMSFNFE

27、IFrEIFrM4dsin32023EAFrEAFrF4dsin202NGAFrKGAFrKF4dcos202S 為比較，分別計算為比較，分別計算M、FN、FS引起的位移，引起的位移，并用并用 、 、 表示。表示。NFSFM 設(shè)桿的截面為矩形設(shè)桿的截面為矩形(K=1.2)，寬度為，寬度為b，高度為，高度為h,并設(shè)并設(shè)G=0.4E，h/r=1/10，則，則EIFrhEAFrEAFrF484dsin2202NEIFrhGAFrKGAFrKF164dcos2202S120011212NrhMF4001412SrhMF 計算結(jié)果表明，當(dāng)截面高度計算結(jié)果表明，當(dāng)截面高度h遠(yuǎn)小于半徑遠(yuǎn)小于半徑r時，時，軸

28、向變形和剪切變形對位移的影響很小，可以忽略軸向變形和剪切變形對位移的影響很小，可以忽略不計。不計。 【例【例8.5】組合結(jié)構(gòu)如圖（】組合結(jié)構(gòu)如圖（a）所示。其中所示。其中CD、BD為二力桿，為二力桿，其拉壓剛度為其拉壓剛度為EA；AC為受彎桿件，為受彎桿件，其彎曲剛度為其彎曲剛度為EI。在。在D點有集中點有集中荷載荷載F作用。求作用。求D點的豎向位移點的豎向位移DV。 CDBAEIEAEAaaaF(a)(b)1F 【解】在【解】在D點沿豎向施加點沿豎向施加單位力單位力 ，作為虛擬力狀，作為虛擬力狀態(tài)如圖（態(tài)如圖（b）所示。）所示。 分別計算虛設(shè)荷載和實分別計算虛設(shè)荷載和實際荷載作用下鏈桿的軸力

29、際荷載作用下鏈桿的軸力圖圖(b，c)，并建立受彎桿的彎，并建立受彎桿的彎矩方程。矩方程。1FCDBAEIEAEAaaa(b)(c)F1F2F2FxMxM，F(xiàn)aMaM，BC 桿桿 AB 桿桿 1FCDBAEIEAEAaaaCDBAEIEAEAaaaxx)(334)221 (dd)2221 (1d2202NNVEIFaEAFaxEIFaxEIFxaFaFEAxEIMMlEAFFaaalD求得求得D點的豎向位移為點的豎向位移為 由上節(jié)知道，在計算由荷載作用引起的梁和剛架的位移時，需要建立彎矩方程和進(jìn)行繁瑣的積分運算，利用圖乘法求位移，可以避免這些繁瑣的計算。 在計算由荷載作用引起的梁和剛架的位移時，

30、需要計算積分 。8.3.1 圖乘公式及適用條件圖乘公式及適用條件lsEIMMd 式中 是兩個彎矩方程的乘積。若在滿足一定條件的情況下，能畫出兩種狀態(tài)下的彎矩圖，則上式可以轉(zhuǎn)換為用彎矩圖互乘的方法，即用圖乘法代替積分運算，這樣可使計算得到簡化?，F(xiàn)在對上面的積分式進(jìn)行分析： MM如果該桿截面的彎曲剛度EI為一常數(shù)，則 lsMMEId1如圖所示為直桿段 AB的兩個彎矩圖，假設(shè) 圖為一直線圖形，M圖為任意圖形。MtanxyM 這里tan為一常數(shù)，則有 由于 圖為一直線圖形，所以 圖中某一點的縱坐標(biāo)為 MMlllAxEIxMxEIsMMEIdtan1dtan1d1 式中，dA表示M圖的微面積（圖中陰影線

31、部分的面積）；積分 表示M圖的面積對于y軸的靜矩，它等于M圖的面積A乘以其形心C到y(tǒng)軸的距離xC，即 。所以lAxdClxAAxdtan1CxAEIClAyEIsEIMM1d 設(shè)M圖的形心C所對應(yīng)的M圖中的豎標(biāo)為yC，由圖有 CCyxtan對于由多個彎曲剛度EI為常數(shù)的桿段組成的結(jié)構(gòu)，用圖乘法計算位移的公式為ClAyEIsEIMM1d顯然，圖乘法是將積分運算問題簡化為求圖形的面積、形心和豎標(biāo)的問題。 需要說明的是，用圖乘法計算位移時，梁和剛架的桿件必須滿足以下條件：（1）桿段的彎曲剛度）桿段的彎曲剛度 EI為常數(shù)。為常數(shù)。（2）桿段的軸線為直線。）桿段的軸線為直線。（3）各桿段的）各桿段的 M

32、 圖和圖和 圖中至少有一個為直圖中至少有一個為直線圖形。線圖形。M對于等截面直桿，前兩個條件自然滿足。至于第三個條件，雖然在均布荷載的作用下M圖的形狀是曲線形狀，但 圖卻總是由直線段組成，只要分段考慮也可滿足。于是，對于由等截面直桿段所構(gòu)成的梁和剛架，在計算位移時均可應(yīng)用圖乘法。M應(yīng)用圖乘法時應(yīng)注意：(1)在圖乘前要先對圖形進(jìn)行分段處理，保證在圖乘前要先對圖形進(jìn)行分段處理，保證兩個圖形中至少有一個是直線圖形。兩個圖形中至少有一個是直線圖形。(2) A與與yC是分別取自兩個彎矩圖，豎標(biāo)是分別取自兩個彎矩圖，豎標(biāo)yC必必須取自直線圖形。須取自直線圖形。(3) 當(dāng)當(dāng)A與與yC在桿的同側(cè)時，乘積在桿的

33、同側(cè)時，乘積AyC取正號；取正號；A與與yC在桿的異側(cè)時，乘積在桿的異側(cè)時，乘積AyC取負(fù)號。取負(fù)號。下面給出了圖乘運算中幾種常見圖形的面積及其形心位置。在應(yīng)用圖示拋物線圖形的公式時，必須注意曲線在頂點處的切線應(yīng)與基線平行，即在頂點處剪力為零。 在圖乘運算中，經(jīng)常會遇到一些不規(guī)則的復(fù)雜圖形，這些圖形的面積和形心位置不易確定，在這種情況下，可采用圖形分塊或分段的方法，將復(fù)雜圖形分解為幾個簡單圖形，以方便計算。 8.3.2 圖乘技巧圖乘技巧（1）若兩個圖形都是直）若兩個圖形都是直線線，但都含有正、負(fù)兩部分如圖所示，可將其中一個圖形分解為ABD和ABC兩個三角形，分別與另一個圖形圖乘并求和。圖MM圖

34、ACDBC1C2yC2yC1（2）如果）如果M圖為梯形圖為梯形如圖所示如圖所示，可以把它分解為兩個三角形，然后把它們分別與 圖相乘，最后再求和，即 圖MC1C2ldcyC1CabDBAM圖M)12211CCyAyAEI（dcyalAC3132211，dcyblAC3231222，式中：yC2 （3）若）若M圖是非標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖是非標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形時圖形時，可以把AB段的彎矩圖分解為一個梯形和一個標(biāo)準(zhǔn)拋物線圖形如圖所示兩部分，這段直桿的彎矩圖與相應(yīng)簡支梁在兩端彎矩MA、MB和均布荷載q作用下的彎矩圖是一樣的。ABABqaABCDdxdxaqABMBMA82ql82ql 從上圖可以看出，以C、D連線為

35、基線的拋物線在形狀上雖不同于水平基線的拋物線，但兩者對應(yīng)的彎矩圖豎標(biāo)處處相等且垂直于桿軸，因此兩個拋物線圖形的面積大小和形心位置是相等的，即（不能采用上圖中的虛線CD長度）。 必須指出，所謂彎矩圖的疊加是指彎矩圖豎標(biāo)的疊加。 28132qaaA （4）如果桿件（或桿段）的兩種彎矩圖都不如果桿件（或桿段）的兩種彎矩圖都不是直線圖形，是直線圖形，其中一個圖形為折線形，應(yīng)按折線分段的方法進(jìn)行處理 如圖所示，然后分別進(jìn)行圖乘再求和。 另外，即使彎矩圖是直線圖形，但桿件為階梯桿，在這種情況下，由于各桿段的彎曲剛度不同，所以也應(yīng)分段圖乘。 【例【例8.6】 求圖示簡支梁中點求圖示簡支梁中點C的豎向位移的豎

36、向位移CV。梁的。梁的EI為常數(shù)。為常數(shù)。 【解】【解】 在簡支梁中點在簡支梁中點C加單加單位豎向力位豎向力 ，如圖，如圖(c)所示。所示。 分別作荷載產(chǎn)生的彎矩圖分別作荷載產(chǎn)生的彎矩圖M圖和單位力產(chǎn)生的彎矩圖圖和單位力產(chǎn)生的彎矩圖 圖，如圖（圖，如圖（b，c）所示。）所示。 圖Mc)(M1Fl41ly3251ly3252C1F 因因M圖是曲線，應(yīng)以圖是曲線，應(yīng)以M圖作為圖作為A ，而，而 圖是由圖是由折線組成，應(yīng)分兩段圖乘。但因圖形對稱，可計算折線組成，應(yīng)分兩段圖乘。但因圖形對稱，可計算一半再乘兩倍。一半再乘兩倍。 圖Mc)(M2482323221qlqllAAA325485llyC)(38

37、4532524121243VEIqllqlEIyAEIcC所以所以 【例【例8.7】 求圖示懸臂梁在求圖示懸臂梁在B點的豎向位移點的豎向位移BV。梁的。梁的EI為常數(shù)。為常數(shù)。 【解】在懸臂梁【解】在懸臂梁B點加豎向單點加豎向單位力位力 ，如圖，如圖(c)所示。所示。 分別作荷載產(chǎn)生的彎矩圖分別作荷載產(chǎn)生的彎矩圖M圖圖和單位力產(chǎn)生的彎矩圖和單位力產(chǎn)生的彎矩圖 圖，如圖圖，如圖(b，c)所示。所示。 M1FlABql21F圖乘時要注意，此時的圖乘時要注意，此時的M圖的圖的B點不是拋物線的頂點，因而面積點不是拋物線的頂點，因而面積和形心不能直接用公式。而是應(yīng)將和形心不能直接用公式。而是應(yīng)將M圖分解

38、為一個上邊受拉的三角形圖分解為一個上邊受拉的三角形A1和一個下邊受拉的拋物線圖形和一個下邊受拉的拋物線圖形A2。圖形的面積和縱坐標(biāo)計算如下：圖形的面積和縱坐標(biāo)計算如下：lABql2A1A2y1y21F 于是于是B點的豎向位移為點的豎向位移為)(247)212322(1)(14332211VEIqllqllqlEIyAyAEICCBlyqlqllAlyqlqllACC21，1283232，22123221321lABql2A1A2y1y21F 【例【例8.8】 求圖（求圖（a）所示外伸梁）所示外伸梁C點的豎向點的豎向位移位移CV。梁的。梁的EI為常數(shù)。為常數(shù)。 (a) 【解】【解】 在在C點加豎

39、向單點加豎向單位力，如圖位力，如圖(c)所示。所示。 分別作荷載及單位力所分別作荷載及單位力所產(chǎn)生的產(chǎn)生的M圖圖圖圖(b)和和 圖圖圖圖(c)。 M A1A282ql 圖包括兩段直線，所以，整個梁應(yīng)分為圖包括兩段直線，所以，整個梁應(yīng)分為AB和和BC兩段進(jìn)行圖乘。兩段進(jìn)行圖乘。AB段的段的M圖可以分解為圖可以分解為一個在基線上邊受拉的三角形一個在基線上邊受拉的三角形A1和一個在基線下和一個在基線下邊受拉的標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形邊受拉的標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形A2。MBC段的段的M圖則為一個標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形圖則為一個標(biāo)準(zhǔn)二次拋物線圖形A3。M圖中各分面積與相應(yīng)的圖中的縱坐標(biāo)分別計算如圖中各分面積與相應(yīng)的圖

40、中的縱坐標(biāo)分別計算如下：下： 于是于是C點的豎向位移為點的豎向位移為83243，4882314221，128323232，16821332323221321llyqlqllAllyqlqllAllyqlqllACCCEIqllqllqllqlEIC1288348)4(1231614333VA1A282ql（） yc3yc2yc1 【例【例8.9】 求圖（求圖（a）所示懸臂剛架梁中點）所示懸臂剛架梁中點D的的豎向位移豎向位移DV。各桿的。各桿的EI為常數(shù)。為常數(shù)。 F(a) 【解】在梁中點【解】在梁中點D加豎向加豎向單位力單位力圖圖(c)。 分別作荷載作用下的分別作荷載作用下的M圖圖圖圖(b)和

41、單位力作用的和單位力作用的圖圖圖圖(c)。 MFlFlFl0.5l0.5l0.5l(c)(b)1F在應(yīng)用圖乘法時，把單在應(yīng)用圖乘法時，把單位力產(chǎn)生的位力產(chǎn)生的 圖作為圖形的面圖作為圖形的面積，梁上的積，梁上的 圖面積作為圖面積作為A1，柱上的柱上的 圖面積作為圖面積作為A2圖圖(c)。 FlFlFl0.5l0.5l0.5lA1A2y1y2(c)(b)FlylllAFlylllACC222121，2265，82221MMM1F )(4829)2658(11322VFlEIFllFllEIAyEICC于是于是D點的豎向位移為點的豎向位移為 靜定結(jié)構(gòu)是無多余約束的幾何不變體系，支座移動對靜定結(jié)構(gòu)不產(chǎn)

42、生任何內(nèi)力和變形，只產(chǎn)生剛體位移。如圖所示，靜定剛架由于地基的沉陷，使支座A發(fā)生了豎向位移，整個剛架發(fā)生了如圖中虛線所示的剛體位移。 因此，靜定結(jié)構(gòu)在支座移動時的位移計算，屬于剛體的位移計算問題，位移計算公式可簡化為 式中： 虛擬狀態(tài)的支座反力； c 實際狀態(tài)的支座位移； 虛擬狀態(tài)下所有支座反力在實際狀 態(tài)的支座位移上所做的外力虛功之和。cRRcR在上式中，當(dāng)虛擬狀態(tài)的支座反力方向與實際支座位移的方向一致時乘積 取正號，否則取負(fù)號。 cR【例【例8.10】 如圖（如圖（a）所示結(jié)構(gòu)，若）所示結(jié)構(gòu)，若A端發(fā)生水端發(fā)生水平移動平移動a，豎向下沉，豎向下沉b，轉(zhuǎn)角，轉(zhuǎn)角 。求由此引起的點。求由此引起

43、的點B的水平位移的水平位移BH和豎向位移和豎向位移BV。 A(a)【解】【解】 1) 求求BH 。 在在B點加一水平單位力，如圖（點加一水平單位力，如圖（b）所示。）所示。 由結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，計算支座反力。由結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，計算支座反力。 AxFAyFAM（b）101AxFRX002AyFRYhMRMAA301F hahaB)1(H（） 位移位移BH為為 2) 求求BV 。 在在B點加一豎向單位力，如圖點加一豎向單位力，如圖（c）所示。）所示。 (c)AxFAyFAM1F lblbB)1(V 由結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，計算支座反力。由結(jié)構(gòu)的整體平衡條件，計算支座反力。 001AxFRX10

44、2AyFRYlMRMAA30位移位移BV為為（） (c)AxFAyFAM1F 本節(jié)介紹線彈性體系的三個互等定理，即功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。其中最基本的是功的互等定理，其余兩個定理可由功的互等定理推導(dǎo)得到。這幾個定理在計算位移和求解超靜定結(jié)構(gòu)時是很有用的，也是今后學(xué)習(xí)、研究其他有關(guān)內(nèi)容的基礎(chǔ)。設(shè)同一結(jié)構(gòu)分別受到兩組外力F1和F2的作用，如圖 (a，b)所示的兩種狀態(tài)。 8.5.1 功的互等定理功的互等定理（a）狀態(tài)IAB12（b）狀態(tài)IIAB12F1F2狀態(tài)中，在F1產(chǎn)生的內(nèi)力用FN1、FS1、M1表示，F(xiàn)1產(chǎn)生的與F2相應(yīng)的位移為21。狀態(tài)中，在F2產(chǎn)生的內(nèi)力用FN2、FS2

45、、M2表示，F(xiàn)2產(chǎn)生的與F2相應(yīng)的位移為12。（a）狀態(tài)I21AB12（b）狀態(tài)II12AB12F1F2若以We12表示狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上所做的虛功，則根據(jù)虛功原理可寫出虛功方程如下：sEIMMsGAFFKsEAFFWlllddd212S1S2N1N12e 反過來，若以We21表示狀態(tài)的外力在狀態(tài)的位移上所做的虛功，可寫出虛功方程如下：(a) lllsEIMMsGAFFKsEAFFWddd121S2S1N2N21e(b)比較(a)、(b)，可知以上兩式的右邊完全相同，故有We12 = We21 。或?qū)憺?F112=F221上式表明：第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所做的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所做