隨機(jī)變量的數(shù)字特征歷年真題數(shù)學(xué)

1、隨機(jī)變量的數(shù)字特征歷年真題數(shù)學(xué)一:X的概率密度為1x22x11 （87,2分）已知連續(xù)型隨機(jī)變量f（x）則EX=，DX=。2（89，6分）設(shè)隨機(jī)變量X與Y獨(dú)立，且XN（1，2），YN（0，1），試求隨機(jī)變量Z=2X-Y+3的概率密度函數(shù)。3（90，2分）已知隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，且胡機(jī)變量Z=3X2，則EZ=。4（90，6分）設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在區(qū)域D：0X1,|y|x內(nèi)服從均勻分布，求關(guān)于X的邊緣概率密度函數(shù)及隨機(jī)變量Z=2X+1的方差DZ5（91，3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為2、方差為2的正態(tài)分布，且P2X40.3,則PX06（92，3分）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分

2、布，則E（Xe2x）o7（93，6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f（x）-e|x|,x2（1）求EX和DX（2）求X與|X的協(xié)方差，并問(wèn)X與|X是否不相關(guān)？（3）問(wèn)X與|X|是否相互獨(dú)立？為什么？8（94,6分）已知隨機(jī)變量XN（1,32），YN（0,42）,且X與Y的相關(guān)系數(shù)XY2(1)求EZ和DZ(2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)（3）問(wèn)X與Z是否相互獨(dú)立？為什么?9（95，3分）設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)，每次射中目標(biāo)的概率為0.4，貝VE(X2)=110（96，3分）設(shè)禾口是兩個(gè)相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布N（0，）的隨機(jī)變量,則E(|I)11（96，6分）設(shè)禾口是相互獨(dú)立且服從同一分布

3、的兩個(gè)隨機(jī)變量，已知的分布律為P（1i）-,i1,2,3又設(shè)Xmax（,）,Ymin（,）.3寫(xiě)出二維隨機(jī)變量（X,Y）的分布律；求EX（1）（2）12（97,3分）設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y的方差分別為4和2,則隨機(jī)變量3X-2Y的方差是（A）813（97，7分）紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是（B）16（C）28（D）44從學(xué)校乘汽車(chē)到火車(chē)站的途中有3個(gè)交通崗，假設(shè)在各個(gè)交通崗遇到2設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，求隨機(jī)變量X5的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。14（98,6分）設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y相互獨(dú)立，且都服從均值為0、方差為-的正2態(tài)分布,15求|X-Y|的方差。（00，3分）設(shè)二維

4、隨機(jī)變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量Y與XY不相關(guān)的充分必要條件為(A)E(X)E(Y)(B)E(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)2(C)E(X2)E(Y2)(D)E(X2)E(X)2E(Y2)E(Y)216（00，8分）某流水生產(chǎn)線上每個(gè)產(chǎn)品不合格的概率為p（0p1），各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立，當(dāng)出現(xiàn)一個(gè)不合格產(chǎn)品時(shí)即停機(jī)檢修。設(shè)開(kāi)機(jī)后第一次停機(jī)時(shí)已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為X，求E（X）和D（X）。17（01，3分）將一枚硬幣重復(fù)擲數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次(A)-118(02，7分)（C）-2設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為(B)0(D)119(03

5、，10分)已知甲、乙兩箱中裝有兩種產(chǎn)品，其中甲箱中裝有3件合格品和3其他1xf(x)嚴(yán)一,0對(duì)X獨(dú)立地重復(fù)觀察4次，用Y表示觀察值大于的次數(shù)，求Y2的數(shù)學(xué)期望。3件次品，乙箱中僅裝有3件合格品。從甲箱中任取3件產(chǎn)品放入乙箱后，求:(1) 乙箱中次品件數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。(2) 從乙箱中任取一件產(chǎn)品是次品的概率。20(04,4分)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則PX.DX=21(04,4分)設(shè)隨機(jī)變量X!,X2,Xn(n1)獨(dú)立同分布，且其方差為20.Xi，則i1(A)Cov(X1,Y)(B)Cov(X1,Y)(C)D(X1Y)22(04,9分)求:設(shè)A,B(D)D(X1Y)1,A發(fā)生，0,A不

6、發(fā)生;(I)為隨機(jī)事件，且P(A)Y1,B發(fā)生,0,B不發(fā)生.二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布;3，P(AB)12，令(II)X和Y的相關(guān)系數(shù)xy.數(shù)學(xué)三：1(87，4分)已知隨機(jī)變量X的概率密度為X2x厶壽2e,af(x)x00,x01求隨機(jī)變量Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)。2 (89,7分)已知隨機(jī)變量(X,Y的聯(lián)合密度為(xy)F(x,y)0,x0,y0其他試求：(1)PXY)；(2)E(XY)。3(91，3分)對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X和Y,若E(XY)E(X)?E(Y)，則(A)D(XY)D(X)?D(Y)。(B)D(XY)D(X)D(Y)(C)X與Y獨(dú)立。(D)X與Y不獨(dú)立。4(91，6分)設(shè)隨

7、機(jī)變量(XY)在圓域x2y2r2上服從聯(lián)合均勻分布。(1) 求(XY的相關(guān)系數(shù)p(2) 問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？5(92,5分)某設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30。設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求E(X)和D(X)。6(93，8分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，X的概率密度為f(x)32x80,0x2其他(1)已知事件AXa和bYa獨(dú)立,且PAB3求常數(shù)a；41(2)求2的數(shù)學(xué)期望。X27(94，8分)設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X(毫米)服從正態(tài)分布N(口，1)，內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其作為合格品，銷(xiāo)售每件合格

8、品獲利，銷(xiāo)售每件不合格品虧損。已知銷(xiāo)售利潤(rùn)T(單位：元)與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系：1,若x10T20,若10X125,若X12問(wèn)平均內(nèi)徑卩取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大？8(95，3分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y獨(dú)立同分布，記UXY,VXY,則隨機(jī)變量U與V必然（A）不獨(dú)立。（B）獨(dú)立。（C）相關(guān)系數(shù)不為零。（D）相關(guān)系數(shù)為零。9（96,7分）設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作。一周五個(gè)工作日，若無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；若發(fā)生兩次故障，獲利潤(rùn)0元；若發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)的利潤(rùn)期望。10（97,6分）游客

9、乘電梯從底層到電視塔的頂層觀光。電梯于每個(gè)整點(diǎn)的第5分鐘、第25分鐘和第55分鐘從底層起行。設(shè)一游客在早上八點(diǎn)的第X分鐘到達(dá)底層侯梯處，且X在0，60上服從均勻分布，求該游客等候時(shí)間的數(shù)學(xué)期望。11（97，6分）兩臺(tái)同樣的自動(dòng)記錄儀，每臺(tái)無(wú)故障工作的時(shí)間服從參數(shù)為5的指數(shù)分布。先開(kāi)動(dòng)其中一臺(tái)，當(dāng)其發(fā)生故障時(shí)停用而另一臺(tái)自動(dòng)開(kāi)動(dòng)。試求兩臺(tái)自動(dòng)記錄儀無(wú)故障工作的總時(shí)間T的概率密度f(wàn)（t）、數(shù)學(xué)期望和方差。12（98，10分）一商店經(jīng)銷(xiāo)某種商品，每周的進(jìn)貨量X與顧客對(duì)該種商品的需求量Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都服從區(qū)間10，20上的均勻分布。商店每售出一單位商品可得利潤(rùn)1000元；若需求量超過(guò)了

10、進(jìn)貨量，可以其他商店調(diào)劑供應(yīng)，這時(shí)每單位商品的售出獲利潤(rùn)為500元。試求此商店經(jīng)銷(xiāo)該種商品每周所得利潤(rùn)的期望值。13（99,3分）設(shè)隨機(jī)變量Xij（i,j1,2,n;n2）獨(dú)立同分布，EXj2,則行列式X11X12XmX21X22X2nXn1Xn2Xnn的數(shù)學(xué)期望EY=14(99，9分)假設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y)在矩形g(x,y)|0x2,0y1上服從均勻分布，記0,0,V若X2Y1,1,若X2Y（1）求U和V的聯(lián)合分布；（2）求U和V的相關(guān)系數(shù)r。15（00，3分）設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間卜1，2上服從均勻分布，隨機(jī)變量1,若X0丫0,若X01,若X0則方差DY=。16（00,8分）設(shè)A,B是二【

11、隨機(jī)事件，隨機(jī)變量1,若A出現(xiàn)1,若B出現(xiàn)X若A不出現(xiàn)Y若B不出現(xiàn)1,1,試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。17（01,3分）將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上和反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于1（A）-1（B）0（C）（D）1218（02，3分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為概率YX-10100.070.180.1510.080.320.20則X2和Y2的協(xié)方差cov（X2,Y2）19（02,8分）假設(shè)隨機(jī)變量U在區(qū)間-2，2上服從均勻分布，隨機(jī)變量x1,若U1,若U1,若U11,若U1試求（1）X和Y的聯(lián)合概率分布；（2）D（X+Y）。20 （0

12、2,8分）設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間時(shí)間（EX為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間21 （03,4分）系數(shù)為X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的2Y的分布函數(shù)F（y）。設(shè)隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)為0.9，若Z=X-0.4，則Y與Z的相關(guān)22（04,4分）設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的指數(shù)分布，則PXDX23（04，13分）設(shè)A,B為兩個(gè)隨機(jī)事件,且P（A）丄，P（B|A）-43P(A|B)2,令A(yù)發(fā)生，A不發(fā)生,Y1,B發(fā)生，0,B不發(fā)生.(I)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布；(n)X與丫的相關(guān)系數(shù)pxy;22(川)ZX

13、丫的概率分布24 (06,13分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為-,1x0212fxX,0x2,令丫X(88,7分)假設(shè)有十只同種電器元件，其中有兩只廢品。裝配儀器時(shí)，從這批元件中任取一只，若是廢品，則扔掉重新任取一只；若仍是廢品，則扔掉再取一只。試求在取到正品之前，已取出的廢品只數(shù)的概率分布、數(shù)學(xué)期望和方差。(89,3分)設(shè)隨機(jī)變量X、X、X3相互獨(dú)立，其中X1在區(qū)間0,6上服從均勻分布，X-N(0,22),X3服從參數(shù)為入=3的泊松分布，記Y=X-2茨+3X3，則D。(89,8分)已知隨機(jī)變量(X,Y的聯(lián)合分布為,FX,Y為二維隨機(jī)變量X,Y的分布函數(shù)40,其它求：(I)Y的概率密度f(wàn)Yy(n)

14、covX,Y1(川)F,42數(shù)學(xué)四：1 (87,8分)已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布為P(X=1)=0.2,P(X=2)=0.3,P(X=3)=0.5(1) 寫(xiě)出X的分布函數(shù)F(x);(2) 求X的數(shù)學(xué)期望和方差。(x,y)PXx,Yy)(0,0)(0,1)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)0.100.150.250.200.150.15試求：（1）X的概率分布;（2）X+Y的概率分布;（3）Z=sin（XY）的數(shù)學(xué)期望。25 （90,3分）設(shè)隨機(jī)變量XN-3,1）,YN2,1），且X與Y相互獨(dú)立。若Z=X-2Y+7,貝yz。6 （90,3分）已知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，且EX=2.4,

15、DX=1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n,p的值為(A)n=4,p=0.6(C)n=8,p=0.3(B) n=6,p=0.4(D)n=24,p=0.17 （91,7分）一輛汽車(chē)沿一街道行駛，要過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠信號(hào)燈的路口，每個(gè)信號(hào)燈為紅或綠與其他信號(hào)燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅、綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相等，以X表示該汽車(chē)首次遇到紅燈前已通過(guò)的路口的個(gè)數(shù)。求X的概率分布和E8 （92,7分）某設(shè)備由三大部件構(gòu)成，在設(shè)備運(yùn)轉(zhuǎn)中各部件需要調(diào)整的概率相應(yīng)為0.10,0.20和0.30。設(shè)各部件的狀態(tài)相互獨(dú)立，以X表示同時(shí)需要調(diào)整的部件數(shù)，試求E（X）和D（X）。9 （93,8分）設(shè)隨機(jī)變量X和Y相互獨(dú)立，都在區(qū)間

16、1,3上服從均勻分布。弓I進(jìn)事件A=Xa（1）已知P（AB）-，求常數(shù)a;91（2）求的數(shù)學(xué)期望。X10 （94,8分）設(shè)由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑X（毫米）服從正態(tài)分布N（口，1）,內(nèi)徑小于10或大于12為不合格品，其余為合格品。銷(xiāo)售每件合格品獲利，銷(xiāo)售每件不合格品虧損。已知銷(xiāo)售利潤(rùn)T（單元：元）與銷(xiāo)售零件的內(nèi)徑X有如下關(guān)系。1,若X10T20,若10X125,若X12問(wèn)平均內(nèi)徑口取何值時(shí)，銷(xiāo)售一個(gè)零件的平均利潤(rùn)最大?11 （95,3分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為1x,若1X0f(x)1x,若0X10,其他則DX=12 (96,7分)設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全

17、天停止工作。一周五個(gè)工作日，若無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元;若發(fā)生兩次故障，獲利潤(rùn)0元；若發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。求一周內(nèi)的利潤(rùn)期望。13 (97,3分)設(shè)X是一隨機(jī)變量EX=i,DX=/(口，/0是常數(shù))，則對(duì)任意常數(shù)C必有(A)E(X-C)2=eX-C?(B)E(X-C)2=E(X-口)2(C)E(X-C)2E(X-口)14 (97,8分)設(shè)隨機(jī)變量Y服從參數(shù)為入=1的指數(shù)分布，隨機(jī)變量0,若丫1,若Ykk(k1,2)求：(1)(X1,X2)的聯(lián)合概率分布；(2)E(X1+X2)。15 (98,9分)設(shè)某種商品每周的需求量X是服從區(qū)間10,30上均勻

18、分布的隨機(jī)變量，而經(jīng)銷(xiāo)商店進(jìn)貨數(shù)量為區(qū)間10,30中的某一整數(shù)，商店每銷(xiāo)售一單位商品可獲利500元；若供大于求則削價(jià)處理，每處理1單位商品虧損100元；若供不應(yīng)求，則可從外部調(diào)劑供應(yīng)，此時(shí)每1單位商品獲利300元。為使商店所獲利潤(rùn)期望值不少于9280元，試確定最少進(jìn)貨量。16 (98,7分)某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記Xi1,若抽到i等品0其他(i1,2,3)試求：(1)(X,X2)的聯(lián)合分布；(2)(X1,X2)的相關(guān)系數(shù)。17 (99,3分)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為入的泊松分布，且已知旦(X-1)(X-2)=1,貝廿入=。18 (9

19、9,3分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的方差存在且不等于0，貝UD(X+Y=DX+DY是X(A) 不相關(guān)的充分條件，但不是必要條件。(B) 獨(dú)立的必要條件，但不是充分條件。(C) 不相關(guān)的充分必要條件。(D) 獨(dú)立的充分必要條件。19 (00,3分)設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間-1,2上服從均勻分布，隨機(jī)變量1,Y0,1,則DY=.20（00,8分）設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為1f(x,y)1(x,y)2(x,y)其中i(x,y)和2(x,y)都是二維正態(tài)密度函數(shù)，且它們對(duì)應(yīng)的二維隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)分11別為3和-，它們的邊緣密度函數(shù)所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望都是。，方差都是4。(1)求隨機(jī)變量X和Y的密度

20、函數(shù)f3(x)和f2(y)，及X和Y的相關(guān)系數(shù)P(可以直接利用二維正態(tài)的性質(zhì))。(2)問(wèn)X和Y是否獨(dú)立？為什么？21 (00,8分)設(shè)A,B是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量1,若A出現(xiàn)1,若A不出現(xiàn)1,若B出現(xiàn)1,若B不出現(xiàn)試證明隨機(jī)變量X和Y不相關(guān)的充分必要條件是A與B相互獨(dú)立。22 (01,3分)將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上或反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于(A)-1(B)01(C) -(D)1223 (01,3分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合分布在以點(diǎn)(0,1),(1,0),(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域上服從均勻分布，試求隨機(jī)變量U=X+Y勺方差。24 (02,3分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y的聯(lián)合概率分布為-101010.070.080.180.320.150.20則X和Y的關(guān)系數(shù)p=。25 (02,8分)假設(shè)一設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間X服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間(EX)為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作2小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間Y的分布函數(shù)F(y)。26 (03,4分)設(shè)隨機(jī)變量X和Y都服從正態(tài)分布，且它們不相關(guān)，則(A)X與Y定獨(dú)立。(B)(X,Y)服從二維正態(tài)分布。(C)X與Y未必獨(dú)立。(D)X