1.5.3定積分的概念(張用)

1、1.5.2 定積分的概念求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2) 近似代替近似代替:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高個(gè)小曲邊梯形的面積用高為為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的小矩形面積的小矩形面積f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (4)取極限：取極限：所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的面積面積S為為 （3）求和：求和：取取n個(gè)小矩形面積個(gè)小矩形面積的和作為曲邊梯形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：的近似值：xiy=f(x)x yObaxi+1xixD1lim( )niniSfxx=D1( )ni

2、iSfxx=D (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn)個(gè)點(diǎn),將它等分成將它等分成n個(gè)小區(qū)間個(gè)小區(qū)間: 每個(gè)小區(qū)間寬度每個(gè)小區(qū)間寬度xban-= 11211,iina xx xxxxb-二、汽車行駛的路程二、汽車行駛的路程1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD思思考考：結(jié)結(jié)合合求求曲曲邊邊梯梯形形面面積積的的過過程程，你你認(rèn)認(rèn)為為汽汽車車行行駛駛的的路路程程 S 與與由由直直線線0,1,0ttv=和和曲曲線線22vt= -所所圍圍成成的的曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積有有什什么么關(guān)關(guān)系

3、系？ 思考思考一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為數(shù)為 vv t=， 那么我們也可以采用分割、 近似代， 那么我們也可以采用分割、 近似代替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”替、求和、取極限的方法，利用“以不變代變”的方法及無限逼近的思想，求出它在的方法及無限逼近的思想，求出它在a atb b內(nèi)內(nèi)所作的位移所作的位移S 結(jié)論結(jié)論三、定積分的定義三、定積分的定義 11( )( )nniiiibafxfnxx=-D =小矩形面積和S=如果當(dāng)如果當(dāng)n時(shí)，時(shí)，S 的無限接近某個(gè)常數(shù)，的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a

4、, b上的定積分，記作上的定積分，記作 ba (x)dx，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步曲曲”:分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限得到解決取極限得到解決.1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號(hào)，叫做積分號(hào)， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達(dá)式，叫做被積表達(dá)式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a,

5、b 叫做積分區(qū)間。叫做積分區(qū)間。1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即Oabxy)(xfy = = = =baIdxxf)(iinixfD D = =)(lim10 x x 被積函數(shù)被積函數(shù)被積表達(dá)式被積表達(dá)式積分變量積分變量積分下限積分下限積分上限積分上限 S=baf (x)dx； 按定積分的定義，有按定積分的定義，有 (1) (1) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y y= =f f( (x x) () (f f( (x x) ) 0) 0) ，直線，直線x x= =a a、x x= =b b及及x x軸所圍成的曲邊梯形的面積為軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) (2) 設(shè)物體

6、運(yùn)動(dòng)的速度設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的速度v v= =v v( (t t) )，則此物體在時(shí)間區(qū)間，則此物體在時(shí)間區(qū)間 a a, , b b 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離s s為為 s=bav(t)dt。 定積分的定義：定積分的定義：Oab( )vv t=tv1( )lim( )ninibaf x dxfnx=-=ba即112001( )3Sf x dxx dx=根據(jù)定積分的定義右邊圖形的面積為1x yOf(x)=x213S =1SD2SD2( )2v tt= -+O Ov t t12gggggg3SDjSDnSD1n2n3njn1nn-4SD112005( )(2)3Sv t dttdt=-=根據(jù)定積分的定義左

7、邊圖形的面積為baf(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 說明：說明： (1) 定積分是一個(gè)數(shù)值定積分是一個(gè)數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積分變量的記法無關(guān)，即而與積分變量的記法無關(guān)，即（2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b ba af f( (x x) )dxdx = = b ba af f ( (x x) )dxdx - -(3)(3)定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：Ox yab y=f (x)baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的

8、面積。 當(dāng) f(x)0 時(shí)，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當(dāng) a=b 時(shí)，有baf (x)dx=0。 當(dāng)當(dāng)f(x) 0時(shí)，由時(shí)，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方，x yOdxxfSba)(-=-，dxxfba)(ab y=f (x) y=-f (x)dxxfSba)(-=baf (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S上述曲邊梯形面積的負(fù)值。上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：積分 b ba af f ( (x x) )dxdx 在幾

9、何上表在幾何上表示示 b ba af f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S S當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù) f (x)在在 x a, b 有正有負(fù)時(shí)有正有負(fù)時(shí), 定積分定積分 幾何意義幾何意義badxxf)(3 32 21 1b ba aS SS SS Sf f( (x x) )d dx x即即-=就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的就是圖中幾個(gè)曲邊圖形面積的代數(shù)和代數(shù)和,(x軸上方面積取正號(hào)軸上方面積取正號(hào),x軸下方面積取負(fù)號(hào)軸下方面積取負(fù)號(hào)) OXS2S1yS3 1求下列定積分求下列定積分: (1) -504)dx4)

10、dx(2x(2xdxx-1121)3(例題分析例題分析: 20s si in nx xd dx x (2)求定積分，只要求定積分，只要理解被積函數(shù)和理解被積函數(shù)和定積分的意義，定積分的意義，并作出圖形，即并作出圖形，即可解決可解決。用定積分表示下列陰影部分面積用定積分表示下列陰影部分面積 S=_;S=_;S=_;y=sinxXOyXOy5-1y=x2-4x-5XOy2-23y=cosx0sindxx-512)54(dxxx-23222coscosdxxdxxab y=f (x)Ox y( )y g x=探究探究:根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示如何用定積分表示圖中陰影

11、部分的面積圖中陰影部分的面積?ab y=f (x)Ox y1()baSfx dx=( )y g x=12( )( )bbaaS S Sf xdxg xdx= -=-2( )baSg x dx=定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(fba = =babadx)x(gdx)x(f性質(zhì)性質(zhì)2. 2. badx)x(kf = =badx)x(fk 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 = =bccabadx)x(fdx)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. = =2121 ccbccabadx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(fOx ya

12、b y=f (x)定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(0)(12=xfaxxf解：dxxAa20=0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(21)(22-=xfxxf解：dxxA221-=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影

13、部分面積積為義，可得陰影部分的面根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且，在）在圖中，被積函數(shù)（, 0)(1)(3=xfbaxf解：dxAba=0000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義，上，在上，上連續(xù)，且在，在）在圖中，被積函數(shù)（0)(20, 0)(01211) 1()(42-=xfxfxxf解：dxxdxxA-=- 1) 1( 1) 1(2202010000ayxyxyxyx-12ab-12f(x)=x2f(x)=x2f(x)=1f(x)=(x-1)2-1例

14、2.用定積分表示圖中四個(gè)陰影部分面積成立。說明等式利用定積分的幾何意義0sin22=-xdx例3：解：所以并有上，在上，上連續(xù)，且在，在在右圖中，被積函數(shù), 0sin20, 0sin0222sin)(21AAxxxxf=-=0)(1222=-=-AAdxxf2-22A1Axyf(x)=sinx1-1 利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分 值的正、負(fù)號(hào)。20sinxdx-212dxx利用定積分的幾何意義，說明下列各式。 成立：0sin20=xdx=200sin2sinxdxxdx1）2）.1）2）.練習(xí)：試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。0yxy=x21 20 xy=f(x)y=g(x)aby例例2dxx - -1021計(jì)算積分計(jì)算積分義義知知，該該積積分分值值等等于于解解：由由定定積積分分的的幾幾何何意意的的面面積積（見見下下圖圖）所所圍圍及及軸軸，曲曲線線10,12= = =- -= =xxxxyx1y面積值為圓的面積的面積值為圓的面積的4141102 = =- - dxx所以所以研一研一題題 通一類通一類 解：解：