高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)(多元函數(shù)的微分法)

1、歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料高等數(shù)學(xué)下冊總復(fù)習(xí)(二)多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用主要內(nèi)容歷年考題 鄙視為考試學(xué)習(xí)鄙視為考試學(xué)習(xí)歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料主要內(nèi)容主要內(nèi)容是指十年來考題涉及的內(nèi)容也是該章的重點內(nèi)容和難點內(nèi)容歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1 1、區(qū)域、區(qū)域 設(shè)設(shè)),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一個個點點， 是是某某一一正正數(shù)數(shù)，與與點點),(000yxP距距離離小小于于 的的點點),(yxP的的全全體體，稱稱為為點點0P的的 鄰鄰域域，記記為為),(0 PU，（1）鄰域）鄰域),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyx

2、xyx 0P 連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域連通的開集稱為區(qū)域或開區(qū)域（2）區(qū)域）區(qū)域歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料（3）聚點）聚點 設(shè)設(shè) E 是是平平面面上上的的一一個個點點集集，P 是是平平面面上上的的一一個個點點，如如果果點點 P 的的任任何何一一個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)總總有有無無限限多多個個點點屬屬于于點點集集 E，則則稱稱 P 為為 E 的的聚聚點點.（4）n維空間維空間歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料2 2、多元函數(shù)概念、多元函數(shù)概念定義定義當(dāng)當(dāng)2 n時時，n元元函函數(shù)數(shù)統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為多多元元函函數(shù)數(shù).類似地可定義三元及三元以上函數(shù)類似地可定義三元及三元以上函數(shù)歷年考題與各章

3、后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的定定義義域域為為,D),(000yxP是是其其聚聚點點，如如果果對對于于任任意意給給定定的的正正數(shù)數(shù) ，總總存存在在正正 數(shù)數(shù) ， 使使 得得 對對 于于 適適 合合 不不 等等 式式 20200)()(|0yyxxPP的的 一一 切切點點，都都有有 |),(|Ayxf成成立立，則則稱稱A為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 當(dāng)當(dāng)0 xx ，0yy 時時的的極極限限，記記為為 Ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( Ayxf這這里里|0PP ）. .3 3、多元函數(shù)的極限、多元函數(shù)的極限歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)

4、習(xí)材料說明：說明：（1）定義中）定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限）二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似4 4、極限的運算、極限的運算).0()()().3(;)()().2(;)()().1(,)(,)(0 BBAPgPfBAPgPfBAPgPfBPfAPfPP則則時時，設(shè)設(shè)歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料5 5、多元函數(shù)的連續(xù)性、多元函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)設(shè)0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的定定義義域域的的聚聚點點，如如果果)(Pf在在點點0P處處

5、不不連連續(xù)續(xù)，則則稱稱0P是是函函數(shù)數(shù))(Pf的的間間斷斷點點.歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介上取得介于這兩值之間的任何值至少一次于這兩值之間的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理6 6、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)、多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的

6、復(fù)習(xí)材料7 7、偏導(dǎo)數(shù)概念、偏導(dǎo)數(shù)概念歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料同理可定義函數(shù)同理可定義函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx處對處對y的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)， 為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為00yyxxyz ，00yyxxyf ，00yyxxyz 或或),(00yxfy.00yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點點),(yx處處對對x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的

7、函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記作作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料、高階偏導(dǎo)數(shù)、高階偏導(dǎo)數(shù)),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy ),(2yxfyxzxzyxy ).,(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義 二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全增

8、增量量),(),(yxfyyxxfz 可可以以表表示示為為)( oyBxAz ，其其中中 A,B 不不依依賴賴于于yx ,而而僅僅與與yx,有有關(guān)關(guān)，22)()(yx ，則則稱稱函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx可可微微分分，yBxA 稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yx的的全全微微分分，記記為為dz，即即 dz=yBxA .、全微分概念、全微分概念歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1010、全微分的

9、應(yīng)用、全微分的應(yīng)用,),(),(yyxfxyxfdzZyx .),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 有有很很小小時時當(dāng)當(dāng),yx 主要方面主要方面:近似計算與誤差估計近似計算與誤差估計.歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1111、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為dtdz歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料 如如果果),(yxu 及及),(yxv 都都在在點點),(yx具具有有對對x和和y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且函函數(shù)數(shù)),(vufz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(vu具具有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)),(),(

10、yxyxfz 在在對對應(yīng)應(yīng)點點),(yx的的兩兩個個偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，且且可可用用下下列列公公式式計計算算 xvvzxuuzxz ， yvvzyuuzyz .歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1212、全微分形式不變性、全微分形式不變性 無論無論 是自變量是自變量 的函數(shù)或中間變量的函數(shù)或中間變量 的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的的函數(shù)，它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、dvvzduuzdz .歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料0),()1( yxF隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理 1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且某一鄰域

11、內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且0),(00 yxF，0),(00 yxFy，則方程，則方程0),( yxF在點在點),(00yxP的的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù))(xfy ，它滿足條件，它滿足條件)(00 xfy ，并，并有有 yxFFdxdy . .隱函數(shù)的求導(dǎo)公式隱函數(shù)的求導(dǎo)公式1313、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2 2 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(zyxF在點在點,(0 xP),00zy的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且,(

12、0 xF0),00 zy，0),(000 zyxFz，則方程，則方程,(yxF0) z在點在點),(000zyxP的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確的某一鄰域內(nèi)恒能唯一確定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)定一個單值連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)),(yxfz ，它滿足條件，它滿足條件),(000yxfz ，并有并有 zxFFxz ， zyFFyz . .0),()2( zyxF 0),(0),()3(vuyxGvuyxF歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1414、微分法在幾何上的應(yīng)用、微分法在幾何上的應(yīng)用切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為. 0)

13、()()(000000 zztyytxxt (1)空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:tztytx 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料()曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線. 0),(: zyxF 切平面方程為切平面方程為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx法線方程為法線方程為.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1515、多元函數(shù)的極值、多元函數(shù)的極值 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域

14、內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；定義定義極極大大值值、極極小小值值統(tǒng)統(tǒng)稱稱為為極極值值.使使函函數(shù)數(shù)取取得得極極值值的的點點稱稱為為極極值值點點.歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料定定理理 1 1（必必要要條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx具

15、具有有偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且在在點點),(00yx處處有有極極值值，則則它它在在該該點點的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必然然為為零零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .多元函數(shù)取得極值的條件多元函數(shù)取得極值的條件 定義定義一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為多元一階偏導(dǎo)數(shù)同時為零的點，均稱為多元函數(shù)的函數(shù)的駐點駐點.極值點極值點注意注意駐點駐點歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 y

16、xfy， 令令A(yù)yxfxx ),(00，Byxfxy ),(00，Cyxfyy ),(00，則則),(yxf在在點點),(00yx處處是是否否取取得得極極值值的的條條件件如如下下：（1 1）02 BAC時時有有極極值值， 當(dāng)當(dāng)0 A時時有有極極大大值值， 當(dāng)當(dāng)0 A時時有有極極小小值值；（2 2）02 BAC時時沒沒有有極極值值；（3 3）02 BAC時時可可能能有有極極值值. .歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第第一一步步 解解方方程程組組, 0),( yxfx0),( yxfy求求出出實實數(shù)數(shù)解解，得得駐駐點點.第第二二步步

17、 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的值值CBA、.第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料拉拉格格朗朗日日乘乘數(shù)數(shù)法法 要要找找函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在條條件件0),( yx 下下的的可可能能極極值值點點，先先構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其其中中 為為某某一一常常數(shù)數(shù)，可可由由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解解出出 , yx，其其中中yx,就就是是可可能能的的極極值值點點的的坐坐標(biāo)標(biāo).條件極

18、值條件極值：對自變量有附加條件的極值：對自變量有附加條件的極值歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料方向?qū)?shù)該內(nèi)容沒有考過定理如果函數(shù)定理如果函數(shù)),(yxfz 在點在點),(yxP是可微分是可微分的，那末函數(shù)在該點沿任意方向的，那末函數(shù)在該點沿任意方向 L L 的方向?qū)?shù)都的方向?qū)?shù)都存在，且有存在，且有 sincosyfxflf ， 其中其中 為為x軸到方向軸到方向 L L 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料歷年考題 1）自1996年至2008年考題 2）重復(fù)的考題只在最早的年份中講,在后面 的年份中若再出現(xiàn)以往的考題就不講 3）歷年考題涉及的知識點就是該章的重點和難點

19、,特別要注意幾乎年年考的知識點歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)6() 1 , 1, 2(2 ) 11996(22分處的切平面方程在點求曲面yxz222),(yxzzyxF解：設(shè)1,2,zyxFyFxF那么)1 ,2,2()1 ,1,2(n0)1()1(2)2(2zyx切平面方程為0122zyx化簡為 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)10( 分的距離的平方和為最小到三條直線的平方和為解：點 M2) 1(),(222yxyxyxf0) 1(2),(0) 1(2),(yxyyxfyxxyxfyx解)41,41(得到唯一的駐點41)41,41(f是所求的點，此時由實際意義得該駐點就

20、 2220000000),(CBADCzByAxdDCzByAxzyx的距離公式到直線點2200000),(BADByAxdDByAxyx的距離公式到直線點 01, 0, 0 ) ,( )21996(yxyxyxMxoy，使它到三條直線平面上求一點在(x,y)xy該點就為所求. 0,3, 1, 3; 3, 1, 32ABACCBAfffyyxyxx歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)10(sin) 31996(233分，求設(shè)yxzyeyxzxxyeyxxzsin32解：xeyxyxzcos322yxyxzsin3223 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料 ,)2(cos2 1)-(

21、19972yzxzyxz，求設(shè))2sin(2)2cos()2sin(4yxyxyxxz解：)2sin()2cos()2sin(2yxyxyxyz )2cos(1yxz注：也可以先變換：歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料處的切平面方程上點求曲面在),( )21997(00022zyxbyaxz1,2,2,),(22zxxFbyFaxFbyaxzzyxF那么解：設(shè))1 ,2,2(00byaxn所以，0)()(2)(200000zzyybyxxax所以切面方程為：022202000byaxzybyxax化簡得：022000zzybyxax或 20200:byaxznote歷年考題與各章后的總習(xí)

22、題是最好的復(fù)習(xí)材料極小值點并指出是極大值點還是的極值點，求22)(4),(3)-(1997yxyxyxf)2, 2(024024得駐點解：解yfxfyx8)2, 2(f）是極大值點，所以極值點（22 2, 0, 2yyxyxxfff02, 0, 22BACCBA是極大值又, 02A歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料duaxauayzx求設(shè)),0(ln1)-(1998ayazuazayuxaaaxuyzxyzxyzxln,ln,ln解：adzyaadyzadxxaaayzxyzxyzxlnln)ln( dzzudyyudxxudu歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料的極大值或極小值求函

23、數(shù)xyxyxyxf3),( 2)-(200822) 12(02032，得駐點解：解yxfyxfyx3)1,2(f-2, 1, 2CBA該駐點是極值點,2BAC是極小值又,02A2, 1, 2yyxyxxfff歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料dydzdxdzeyxyarctgzx, , ),(3)-(1998求設(shè))()(11),()(2xxxxxeexedxdzxearctgxyarctgz得解：由) 1(lnln11),ln()(22yyydydzyyarctgxyarctgz得由 tan)(tanarctan,tggentarctg歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)6(, 0

24、932),( )41998(2222222分求所確定，由設(shè)yzxzzxyzyxyxzz16,4,2, 932),(222zFxyFyxFzxyzyxzyxFzyx則解：設(shè)164,162zxyFFyzzyxFFxzzyzx所以322222) 16()2(6) 16(2) 16(6)2() 16(2)162(zyxzzxzyxzzyxxxz322222)16()4(6)16(4)16(6)4()16(4)164(zxyzzyzxyzzxyyyz歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)10( )33,2, 1 (5)-(199822分并求最短距離的距離最短，上找一點，使它到點在曲面yxz)()33

25、()2() 1(),(22222yxzzyxzyxf解：設(shè)函數(shù))32, 22 , 2(323222200)33(20)2(20) 1(2222222即唯一駐點為得到解zyxyxzzfyxyyfyxxxfzyx點，此時最短距離所以該駐點就為所求的定存在，該駐點又唯一由實際意義，最值點一6)3332()222() 12(222d歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)6( )0 , 0()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),( 6)-(19982233分但不可微處偏導(dǎo)數(shù)存在，在原點試證：yxyxyxyxyxf10lim) 0 , 0 () 0 ,(lim) 0 , 0 (00 xxxfx

26、ffxxx證明：1) 0 , 0 (), 0 (lim) 0 , 0 (lim00yyyfyffyyy偏導(dǎo)數(shù)存在在所以函數(shù))0 , 0(),(yxf1)0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(),()0 , 0()0 , 0(,)0 , 0(),(0, 02233yfxffyxfyxyfxfyxyxfyxffyxyxyx可微，那么在若函數(shù)yfxffyxkkxyyxyx)0 , 0()0 , 0(lim,0,0那么設(shè) )2( , 111)1()1()1(lim220022330,0limkkkkxkxkxkyxyx例如取點不可微所以函數(shù)不在)0 , 0(歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)

27、材料全微分求函數(shù))sin(1)-(199922yxzdyyzdxxzdz解： dyyxydxyxx)cos(2)cos(22222歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料處的切平面與法線方程在求曲面) 1 , 1 , 1 (332)-(1999222zyxzFyFxFzyxzyxFzyx2,2,6, 33),(222解：設(shè)) 1, 1 , 3(2)2, 2 , 6(n所以0)1()1()1(3zyx切平面方程033zyx即：法線方程1)1(1)1(3)1(zyx 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料切平面方程為：上的一點，則過該點的為曲面證明：設(shè)0),(),(00,0zyxFzyx) 1.

28、(0)(,()(,()(,(000030000200001zzzyxFyyzyxFxxzyxF求導(dǎo)有兩邊同時對方程tzyxFttztytxFk),(),()2.().,(),(),(),(1321zyxFkttztytxzFtztytxyFtztytxxFk得代入把)2(1,000tzzyyxx) 3(0),(),(),(),(00000, 000002000010zyxkFzyxFzzyxFyzyxFx)4.(0),(),(),() 1 ()3(000300020001zzyxFyzyxFxzyxF整理得切平面方程為代入把上的點是切平面方程即滿足方程顯然)4()0 , 0 , 0(),4(0

29、, 0, 0zyx)0 , 0 , 0(O點，所有切平面相交于原由選取點的任意性可得 )6)(0( 0),().( ),(),( ,),( )31999(222分設(shè)點交于一定上任意一點的切平面相試證曲面是自然數(shù)有且對任意實數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)設(shè)zyxkFFFzyxFkzyxFttztytxFtzyxF歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料yzxzxyxyz和求設(shè) ),cos(.)12000()sin()cos(22xyxyxyxyxz解：)sin()cos(xyyxxyyz 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料處的切平面和法線方程上點求曲面)1,2, 1 (8232)-(2000222zxzy

30、yzxzxzyyzxzyxF823),(222解：設(shè)84,6,22222xzyxFyzxFzxyzFzyx)14,11, 6(n量所以切平面的一個法向0) 1(14)2(11) 1(6zyx切平面方程為：0214116zyx即14)1(11)2(6)1(zyx法線方程為 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料)8( ),(sin),( 3)-(2000分連續(xù)的一階偏導(dǎo)，求有所確定，其中由方程函數(shù)yzfyzxyfyxzyxzz),(sin),(yzxyfyxzzyxF解：設(shè)221,cosfxFfxfyFzy221cosfxfxfyFFyzzy所以 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料yfx

31、feyxfxy ) ,( 1)-(20013，求設(shè)33xyeyxf解：323xyexyyf歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料 dzyxzxyvyxuvuxfz的全微分對求復(fù)合函數(shù)設(shè), ,2),(2)-(2001dyxffdxyfffdyyzdxxzdzxffyzyfffxz)()2(,23232132321所以- 解：歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料2242yxz132zyx)42(14)132(),(),(2222yxzzyxzyxdzyxf解：設(shè)函數(shù)146141142zyx得唯一駐點：)5(2421)2)(1 (yxyx得解題思路過程：由) 6(6442432) 4() 3)

32、(2(22yzzyyxy得結(jié)合由141) 4() 6)(5(y得：代入2222224207) 132(304247) 132(20427) 132(yxzzyxfyxyzyxfyxxzyxfzyx解：)4(42) 3(07) 132( 3)2(04247) 132(2) 1 (0427) 132(222222yxzzyxfyxyzyxfyxxzyxfzyx2002-1(10分)在曲面上求一點，使它到平面的距離最近。 點所以該駐點就為所求的定存在，該駐點又唯一由實際意義，最值點一歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料,222zyxeuysinxz2xuyxyxzyxeeu2422222sin解

33、：yxyxeyxxxu2422sin23)sin42(222)sin42(zyxeyzxx或(2003-1)設(shè)而,求. 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料1,tttttzeyex解：)1 , 1, 1(0nt點的一個切向量是在11111zyx切線方程：0)1()1(zyx法平面方程：0zyx化簡tzeyextt,0t(2003-2).求曲線,對應(yīng)于點處的切線和法平面方程。)0 , 1 , 1 (0點對應(yīng)的直角坐標(biāo)為在 t歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料0)40(0zyx上，在邊界0)40(0zxy上，在邊界在內(nèi)部0)4 (0)4 (2222yxyxxyzyxyxxyxz解12yx

34、得唯一駐點4)124(122z該點函數(shù)值04，最少值為所以最大值為0,)40(04zxyx上解：在邊界)4(2yxyxz4, 0, 0yxyx(2003-3)求函數(shù)在閉域上的最大值及最小值。 yx4 yx歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料 )( 1)-(2004xdyydxedzezxyxy則，設(shè) ln) 22004(zxzxzyzzx則，設(shè)xzzxzzxzzxzxzx)(2求導(dǎo)：方程兩邊同時對.65)( 65 )( 31)( 31 )( ). B () 1 1( )2ln() ( 3)-(2004DCBAfxyxyxfx，則，設(shè)21231) 1(211 () 1(2111)21 (21

35、22xyxyxfx歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料.) 1 2 1 (3 4)-(2004222及法線方程處的切平面，在點求曲面zxzyx1 3) ( 222zxzyxzyxF，令解解1 0643 )1 (6 0) 1()2(4) 1(3 化簡錯扣，即切平面方程zyxzyx)3(4 2 2 2zxFyFzxFzyx，則)1 (5 1 4 3 ，故n)1 (7 114231zyx法線方程歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料. 01, 0, 0 ) ,( 5)-(2004并求其最小值的距離平方和為最小，使它到三條直線平面上求一點在yxyxyxMxoy3 2) 1() ( 222yxyx

36、yxfM，為到三條直線距離平方和點 解解 )1 (8 41)41 41( ，且最小值為 f)1 (7 )41 41(，求點為由問題實際意義可得所)2(6 )41 41(，得唯一駐點)1 (5 012)1 (4 012yxyfyxxfyx解歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料，則，設(shè)， )cos( ) 12005()2 1(2xzyxz，的極值點為函數(shù) 3) 3( )(6 )22005(22yxyxz. )( )( )( )( ). () () ( ) () () (3)-(2005000000條件既非充分條件又非必要充要條件，必要條件，充分條件，在該點連續(xù)的，存在是，、，處偏導(dǎo)數(shù)，在點，d

37、cbadyxfyxfyxfyxyxfyx xyyxxz2)sin(22, 0, 226026yyxyxxyxzzzyzxz歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料. 0 0) () (4)-(2005yzxzzyvzxuFFFzyzxFyxzzvu，求，其中，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，確定的隱函數(shù)，是由方程，設(shè)) () ( zyzxFzyxf ，令令解解： ，則則vuzvyuxFFfFfFf vuuzxFFFffxz vuvzyFFFffyz 0)()1( 0) ( xzFxzFxzyzxFvu求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)得得：兩兩邊邊對對，或或?qū)uuFFFxz vuvFFFyz 同同理理可可求求 歷年考題與

38、各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料.)0()52005(之和為常數(shù)在三個坐標(biāo)軸上的截距上任一點處的切平面證明曲面aazyxazyxzyx 000000 ) ( 則則，設(shè)設(shè)曲曲面面上上任任一一點點為為解解：azyxzyxF ) (，令令zFyFxFzyx21 21 21 ，則則 21 21 21000zyxn，法法向向量量為為 0)(21)(21)(21000000 zzzyyyxxx切切平平面面方方程程為為00000zxyxxa 的的截截距距分分別別為為切切平平面面在在三三個個坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸上上，00000zyyxyb 00000zyzxzc 000000000222zyzxyxzyxcba 故故截

39、截距距和和為為結(jié)結(jié)論論成成立立， )(2000azyx ， 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料2006級級_ )sin( 1 dzxyz則則，設(shè)設(shè)、)(cos(xdyydxxy 8)2 , 2(, 4)0 , 2(, 4)2 , 0(, 0)0 , 0(ffff方法二：），），（，），（，），（，駐點（0222200006306322yyfxxfyx)2 0( D. )0 2( C. )0 0( B. )2 2( A.) A(33) ( 12233，的極小值點為的極小值點為，函數(shù)函數(shù)、yxyxyxf 過程復(fù)雜方法一：,yyxyxxfCfBfA歷年考題與各章后的總習(xí)題是最好的復(fù)習(xí)材料方方程程處處的的切切線線方方程程與與法法平平面面，在在點點求求曲曲線線、)1 2 1( 2 132 xzxy , 3 4 2xzxy，解： 3 4 1T ，切向量 314211 zyx切線方程為0) 1(3)2(41zyx法平面方程為01234 zyx即 切線方程為切線方程為.)()()(000000tzztyytxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000 zztyytxxt 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面).(),(),(:tztytx 歷年考題與各章后的總習(xí)題是最