幾個函數(shù)求導法

1、第三節(jié)第三節(jié) 幾個函數(shù)求導法幾個函數(shù)求導法一、隱函數(shù)求導法一、隱函數(shù)求導法二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法三、參數(shù)方程求導法三、參數(shù)方程求導法四、高階導數(shù)的概念及求四、高階導數(shù)的概念及求法法一、隱函數(shù)求導法一、隱函數(shù)求導法 定義定義2.5 2.5 由二元方程由二元方程 所所確定的確定的y與與x的關系式稱為隱函數(shù)的關系式稱為隱函數(shù). .( , )0F x y 例如例如: :sin0 xyxy 。229,xyee30,xyy 討論：隱函數(shù)如何求導？討論：隱函數(shù)如何求導？1.( , )0F x y 方法方法：按照顯函數(shù)的方法求導?。喊凑诊@函數(shù)的方法求導！2.( , )0F x y 不不能能顯顯化化或或不

2、不易易顯顯化化，如如何何求求導導？方法方法：用復合函數(shù)求導法，兩邊直接對方：用復合函數(shù)求導法，兩邊直接對方 程兩邊求導。程兩邊求導。顯化顯化( )yf x 隱函數(shù)隱函數(shù)求導方法求導方法具體如下：具體如下：兩邊兩邊對對x求導求導 y是是x的函數(shù)的函數(shù)( , )0F x y d( , )0dF x yx ( (含導數(shù)含導數(shù) 的的方程方程) ) y從方程中解出從方程中解出 y例例2.24 設設 ，求，求 . .esin30 xxyy y ()()(sin )0 xxyey ，cos0 xyxyeyy ，即即解解 兩邊關于兩邊關于 求導得求導得xecosxyyxy 。1cosyyxyxy解解 方程兩邊

3、方程兩邊對對 求導求導，于是有，于是有x解出解出 ，得到得到 . .(cos)1y yxyxy y 將將 ， 代入代入上式，得上式，得3x 1y (,1)31(1cos)332(3)113y 。例例2.25 設設 . .求求 ， . .lnsinyxyxy (,1)3y 例例2.26 設設 , ,求求 . .xyxye y 解解 方程方程 兩邊關于兩邊關于 求導求導，得：，得：xxyxye (1)x yyxyey ，(1)(1)x yx yyeyxyexx y 。即即例例2.27 設設 ，求求 . .sin()yxy y 解解 方程方程 兩邊關于兩邊關于 求導求導，得：，得：sin()yxy

4、xcos() (1)yxyy ，cos ()1cos()xyyxy 。即即所以所以故所求切線方程為故所求切線方程為例例2.28 求求曲線曲線 在在點點 處處的切線方程的切線方程. .2221yx (1,1) 解解 方程方程 兩邊關于兩邊關于 求導求導，得：，得：2221yx x 即即即即42yyx ，(0 . )2xyyy 11(1),2yx (1,1)12y 。210 xy 。方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), , 然后利用隱函數(shù)然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)的求導方法求出導數(shù). .-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法( )( ).v

5、xu x多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函數(shù)數(shù)的的情情形形觀察函數(shù)觀察函數(shù)3sin2(1)1,.(4)xxxxyyxxe 由由隱函數(shù)的求導法則有隱函數(shù)的求導法則有兩邊乘以兩邊乘以 ，有有ylnlnyxx 解解 將函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得將函數(shù)式兩邊取對數(shù)，得例例2.29 設設 ，求，求 . .y (0)xyxx (ln1)yyx ，1ln1yxy ，(ln1)xyxx 。將將 代入代入得到得到: :xyx 說明說明對對冪指函數(shù)冪指函數(shù)用用對數(shù)求導法求導對數(shù)求導法求導 : :vyu lnlnyvu ，lnyu vvuyu ，lnvu vyuvuu 。兩邊取對數(shù)兩邊取對數(shù):兩邊對兩邊對 求導，求

6、導， 是是 的函數(shù)的函數(shù):xxy解解由于由于2334(1) (2)ln| ln(1) (2)xxyxx 例例2.30 設設 ，求，求 . .y 2334(1) (2)(1) (2)xxyxx 2ln|(1)| 3ln|3|3ln|1| 4ln|2|xxxx 上式兩邊上式兩邊關于關于 求導求導數(shù)得數(shù)得x12334 1312yyxxxx ，2334(1) (3)2334(1) (2)1312xxyxxxxxx 。解解 兩邊取對數(shù)，得兩邊取對數(shù)，得兩邊同時兩邊同時對對 求導求導數(shù)，得數(shù)，得x 513111115241324xxyxxxxxx 。11111151324yyxxxx 1lnln(1)ln

7、(3)ln(2)ln(4)5yxxxx 例例2.31 求求 的的導數(shù)導數(shù). .5(1)(3)(2)(4)xxyxx 三、參數(shù)方程求導三、參數(shù)方程求導法法( )( ),.xtyxyt 若若參參數(shù)數(shù)方方程程確確定定 與與 間間的的函函數(shù)數(shù)關關系系 稱稱此此為為由由參參數(shù)數(shù)方方程程所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)例如例如消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導? ?2xt 22 ,xtyt t24x 22()2xyt 12yx 。 定理定理2.6 2.6 對對于于參數(shù)方程參數(shù)方程 如果如果 在在 內內可導，可導，并且并且 嚴格單調嚴格單調 ，則，則 關于關于 可可

8、導，導，且且d( )d( )ytxt 。， ( )0t ( )xt , ( )( )ytxt ，( )()( )xttyt ， yxddd1( )( )ddd( )( )yytttxtxtt 。 證明證明 因為因為 在在 嚴格單調嚴格單調、可可導，所以導，所以 有有連續(xù)的連續(xù)的反函數(shù)反函數(shù) 所所以以 由由反函數(shù)和復合反函數(shù)和復合函數(shù)的求導法則可知函數(shù)的求導法則可知1( ),tx 1( )( ),ytx ( )xt , ( )xt 解解22 sin cos3 cossinbttatt 223 cos3 cosbbatat 。ddddddyytxxt 例例2.32 設設參數(shù)方參數(shù)方程程求求 . .

9、ddyx32cos()sinxattybt 為為參參數(shù)數(shù) ，解解2222dln(1)211d(arctan )11tyttxtttt ，例例2.33 已知參數(shù)已知參數(shù)方程方程d.dyx求求2arctanln(1)xttyt ，解解 由參數(shù)方程確定函數(shù)的導數(shù)公式得由參數(shù)方程確定函數(shù)的導數(shù)公式得ddcosdcotddsindyybtbttxxatat ， 例例2.34 求橢圓求橢圓 4t 在在cos02sinxattybt , , 處的切線方程和法線方程處的切線方程和法線方程. .,.22ab 將將 代入代入?yún)?shù)參數(shù)方程方程得切點坐標為得切點坐標為4t 于是，切線方程為于是，切線方程為22bbax

10、yb ，20bxayab 即即。22abbxya ，所求法線方程所求法線方程為為221()02ax byab 即即。速度速度即即加速度加速度即即四、高階導數(shù)的概念及求四、高階導數(shù)的概念及求法法vs ，d,dsvt 引例：引例：變速直線運動變速直線運動( )ss t ( )as 。dd()ddstt ，ddvat 即即或或()yy 22d,dyyx 或或 定義定義2.6 2.6 若函數(shù)若函數(shù) 的導數(shù)的導數(shù) 可可導，則稱導，則稱 的導數(shù)為的導數(shù)為 的二的二階導數(shù)，階導數(shù)，記作記作( )yf x ( )f x ( )yf x ( )yf x 22ddd()dddyyxxx 。或或( ),nyn1n

11、類似類似地地 , , 二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階二階導數(shù)的導數(shù)稱為三階導數(shù)導數(shù) , ,依次類推，依次類推， 階導數(shù)的導數(shù)稱階導數(shù)的導數(shù)稱為為 階導數(shù)階導數(shù) , ,分別記作分別記作(4),y,y d.dnnyx，44d,dyx33d,dyx例例2.35 2.35 設函數(shù)設函數(shù) 21.ln(2, )xyxyy 求求222ln(2)2xyxx ，222222222(2)4422(2)(2)xxxxyxxx ，21224212(21 )9xy 。解解1,nynx 12()()(1)nnyynxn nx ，解解不防假設不防假設, ,(1)(1)(2)kyn nnk 1,n kx ( )(1)1()( (1)

12、(2)kkn kyyn nnkx 那么有那么有例例2.36 2.36 設冪函數(shù)設冪函數(shù) ( (n為正整數(shù)為正整數(shù)) )，求求 . .nyx ( )ky (1)(1)n kn nn kx ，(k n)當當 時時， kn ( )( )(1)(2)(1)!knn nyyn nnnnxn 當當 時時，因為，因為 為為常量函數(shù)，常量函數(shù)，所所以以 . .kn ( )!nyn (1)0ny 所以所以 ( (k n).).( )0ky 例例2.37 設設 ，求求 . .sinyx nycossin2yxx 2sincossinsin22222yxxxx ，2223sincossinsin22222yxxxx ，(4)3334sincossinsin22222yxxxx ，用數(shù)學歸納法可用數(shù)學歸納法可得得 . .( )s