附錄：張量分析

1、內(nèi)容梗概內(nèi)容梗概換標(biāo)符ij排列符e erst 符號ij符號erst啞標(biāo)求和約定:多項(xiàng)簡寫自由標(biāo):多個方程簡寫自由標(biāo)【坐標(biāo)變換揭示各類量的性質(zhì)、張量方程的特點(diǎn)等】張量分析引論張量分析引論 力學(xué)中常用的物理量分成三類三類： 標(biāo)量標(biāo)量只有大小沒有方向性的物理量： 溫度T、密度、時間t等。 矢量矢量既有大小又有方向性的物理量： 矢徑r r、位移u u、速度v v、力F F等。 張量張量具有多重方向性的物理量：應(yīng)力張量、應(yīng)變張量等（常用黑體表示）A.1 A.1 矢量和張量的記法，求和約定矢量和張量的記法，求和約定張量分析以簡潔的表達(dá)形式和清晰的推導(dǎo)過程描述復(fù)雜問題，被近代力學(xué)文獻(xiàn)和教科書普遍采用。本附錄

2、著重介紹笛卡兒坐標(biāo)系和正交曲線坐標(biāo)系中的張量。(1)(1)實(shí)體記法：實(shí)體記法： u u 矢(張)量的三種記法：位移u u為例三三種種記記法法iiieu31u uu1e e1 1+u2e e2 2+u3e e3=分量和基矢量(2)(2)分解式記法：分解式記法：(3)(3)分量記法：分量記法： ui(i1，2，3)的集合張量是具有多個分量的復(fù)雜物理量，為表達(dá)簡潔，需引入一些記號記號和約定約定指標(biāo)符號指標(biāo)符號： 對于一組性質(zhì)相關(guān)的對于一組性質(zhì)相關(guān)的n n個量用個量用相同的字母相同的字母加不同的指標(biāo)符號加不同的指標(biāo)符號來表示來表示約約 定：定：若不標(biāo)明取值范圍 拉丁指標(biāo)i,j,k,3D（取值1，2，3

3、） 希臘指標(biāo), 2D（取值1，2） 指標(biāo)符號指標(biāo)符號 a a的n個分量 al，a2，an (比如n維空間中的加速度) 可縮寫成 ai(i1，2，n) i1，2,n;為指標(biāo)的取值范圍；n是空間維數(shù)W = fs = f 1s1+f 2s2+f 3s3 = f is ii=13記x, y , z 為x1, x2, x3, xi ; 各軸的基矢為e e1,e e2,e e3, e ei,; 矢量v v 的分量記為v1, v2, v3, vi,; 應(yīng)力分量 ij ; 其它例子：舉例舉例例如例如 線性變換的表達(dá)式為：用啞標(biāo)代替求和號用啞標(biāo)代替求和號，( (A A4)4) 式簡化成式簡化成通過通過啞指標(biāo)啞指

4、標(biāo)可把可把多個項(xiàng)多個項(xiàng)縮寫成縮寫成一項(xiàng)一項(xiàng)代數(shù)方程組求解、坐標(biāo)變換，及一點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變等，都含有代數(shù)方程組求解、坐標(biāo)變換，及一點(diǎn)處的應(yīng)力、應(yīng)變等，都含有大量的分量大量的分量；利用指標(biāo)符號可以大大利用指標(biāo)符號可以大大地簡化表達(dá)式地簡化表達(dá)式。愛因斯坦愛因斯坦( (A AEinstein)Einstein)求和約定：求和約定： 如果在表達(dá)式的如果在表達(dá)式的某項(xiàng)某項(xiàng)中，中，某指標(biāo)某指標(biāo)重復(fù)地出現(xiàn)重復(fù)地出現(xiàn)兩次兩次，則該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍，則該項(xiàng)在該指標(biāo)的取值范圍內(nèi)內(nèi) 遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡稱遍歷求和。該重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)，簡稱啞標(biāo)啞標(biāo)（如（如j j）。一、求和約定、啞標(biāo)一、求和約定、

5、啞標(biāo)【利用啞標(biāo)可把多個項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)】二、自由標(biāo)二、自由標(biāo)自由指標(biāo)自由指標(biāo)：在表達(dá)式或方程中的：在表達(dá)式或方程中的不同項(xiàng)內(nèi)不同項(xiàng)內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)的重復(fù)出現(xiàn)的同名指標(biāo)同名指標(biāo)自由指標(biāo)只表示對取值范圍輪流取值，無論其取何字母，關(guān)系式始終成立；二、自由標(biāo)二、自由標(biāo)【利用自由標(biāo)方程組可進(jìn)一步縮寫成】 (2)(2)自由指標(biāo)必須自由指標(biāo)必須整體換名整體換名 方程或表達(dá)式中的同名自由指標(biāo)需全部改為同一個新名字; 而啞指標(biāo)可以成對地局部換名 例例：通過通過自由指標(biāo)自由指標(biāo)又把又把多個方程多個方程縮寫成縮寫成一個方程一個方程換自由指標(biāo)時應(yīng)注意( (A A5)5)（只要k和i的取值范圍相同）因此(A5)式通過換標(biāo)，可寫成

6、： (1)(1)同時取值的指標(biāo)同時取值的指標(biāo)必須同名必須同名，獨(dú)立取值的指標(biāo)應(yīng)防止重名，獨(dú)立取值的指標(biāo)應(yīng)防止重名 例例： c=a+b=c=a+b=(a1+b1)e e1+(a2+b2)e e2+(a3+b3)e e3 ci=ai+bi 或 ck=ak+bk【指標(biāo)符號的正確用法】 同一項(xiàng)中出現(xiàn)兩對（或兩對（或幾對幾對）的不同啞標(biāo)，表示重復(fù)求和。(共九項(xiàng)求和) 指標(biāo)符號也適用于微分表達(dá)式微分表達(dá)式。例如，三維空間中線元長度ds和其分量dxi之間的關(guān)系 三、其他應(yīng)用舉例三、其他應(yīng)用舉例 若對在同項(xiàng)內(nèi)同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次以上兩次以上的指標(biāo)進(jìn)行遍歷求和，一般應(yīng)加求和號，或者，在多余指標(biāo)下加一橫，表示該指標(biāo)不計

7、指標(biāo)數(shù)。如： 當(dāng)自由指標(biāo)在同項(xiàng)內(nèi)出現(xiàn)兩次時，應(yīng)申明該指標(biāo)不求和?；蛘?，在其中一個指標(biāo)下加一橫，表示該指標(biāo)不求和。例如：saii原表示sa11+a22+a33 , 但如果ai特定取值時(A12)式可成立，如 可取(a1，a2，a3)=(1，0，0) b1 c1 ：通過啞指標(biāo)啞指標(biāo)可把多多個個項(xiàng)項(xiàng)縮寫成一項(xiàng)一項(xiàng)，通過自由指標(biāo)自由指標(biāo)又把多多個個方程方程縮寫成一個方程一個方程。指標(biāo)符號使書寫簡潔，但也必須小心，因?yàn)樵S多重要的含義往往只表現(xiàn)在指標(biāo)的細(xì)微變化上。 一般地說，不能由等式“兩邊消去兩邊消去a ai i(A13)(A12)1 1同理，若取(a1，a2，a3)=(0，1，0) b2 c2 (a1

8、，a2，a3)=(0，0，1) b3 c3 所以(A13)式成立的前提是“ai任意”而不是簡單地“消去ai” 本節(jié)介紹兩個張量分析中的常用符號本節(jié)介紹兩個張量分析中的常用符號一、符號一、符號ij ，稱為，稱為“Kronecker deltaKronecker delta”【使重復(fù)下標(biāo)求和約定更加方便】 ij的分量集合對應(yīng)于單位矩陣。例如，的分量集合對應(yīng)于單位矩陣。例如，3 3D D： ij定義定義： 定義表明它對指標(biāo)定義表明它對指標(biāo)i i和和j j是對稱的，即是對稱的，即 ij具有換標(biāo)作用（換標(biāo)符號）具有換標(biāo)作用（換標(biāo)符號） 即利用即利用ij可以把線元長度平方的公式改寫成可以把線元長度平方的公

9、式改寫成: : A.2 符號符號ij與與e erst ij的性質(zhì)：的性質(zhì)：ij起換標(biāo)作用：起換標(biāo)作用：如果如果符號的兩個指標(biāo)之一和符號的兩個指標(biāo)之一和同項(xiàng)中同項(xiàng)中其他因子的某其他因子的某指標(biāo)相重指標(biāo)相重，則該因子的那個相，則該因子的那個相重指標(biāo)可重指標(biāo)可替換成替換成的另一個指標(biāo)的另一個指標(biāo)，而，而自動消失。自動消失。 11dx1dx1+12dx1dx2+13dx1dx3 +21dx2dx1+22dx2dx2+ 23dx2dx3 +31dx3dx1+32dx3dx2+ 33dx3dx3利用利用ij定義，可以驗(yàn)證：定義，可以驗(yàn)證：同理有：同理有：練習(xí)練習(xí) 11dx1dx1+22dx2dx2+33d

10、x3dx3 dx1dx1+dx2dx2+dx3dx3 dxidxi 二、排列（置換）符號二、排列（置換）符號e erst 符號符號e erst三種三種定義：定義： 當(dāng)三個指標(biāo)輪流換位時(相當(dāng)于指標(biāo)連續(xù)對換偶次)， erst 的值不變：erst稱為排列符號排列符號或置換符號置換符號。它共有27個元素，其中只有三個元素為l，三個元素為一l，其余的元素都是0。 定義表明， erst 對任何兩個指標(biāo)都是反對稱的（相當(dāng)于指標(biāo)互換奇次），即： e e 恒等式：恒等式：上式按行列式相乘展開，并注意到有一對啞標(biāo)，如有一對啞標(biāo)，如r=i，則按行列式展開則按行列式展開有二對啞標(biāo)，再令有二對啞標(biāo)，再令t=k，則則有

11、二對啞標(biāo)，如再令有二對啞標(biāo)，如再令s=j，則則導(dǎo)得：1 1正交標(biāo)準(zhǔn)化基，具有重要性質(zhì)：正交標(biāo)準(zhǔn)化基，具有重要性質(zhì)：其中，i，j，k的正序排列對應(yīng)右手系，逆序排列對應(yīng)左手系。三、三、 ij與與e erst的的應(yīng)用實(shí)例：應(yīng)用實(shí)例：(3)(3)當(dāng)ei，ej ，ek 構(gòu)成右手系時有 當(dāng)ei， ej ，ek 構(gòu)成左手系時有用erst 統(tǒng)一寫成：(1)(1)每個基矢量的模為：(2)(2)不同基矢量互相正交：用ij 統(tǒng)一寫成：2 2兩個矢量的兩個矢量的點(diǎn)積點(diǎn)積( (標(biāo)量標(biāo)量) )：【ij】3 3兩個矢量的兩個矢量的叉積叉積( (矢量矢量) ) ： 【erst】 a a=aje ej ; b b=bke ek 應(yīng)用ij與e