專題三角形的五心匯總

1、專題：三角形的五心三角形五心將在本節(jié)詳細(xì)介紹，其難度較大，望量力而行三角形中有許多重要的特殊點(diǎn)，特別是三角形的五心”，在解題時(shí)有很多應(yīng)用，在本節(jié)中將分別給予介紹.三角形的五心”指的是三角形的外心，內(nèi)心，重心，垂心和旁心.1、三角形的外心三角形的三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的外心（外接圓圓心）.三角形的外心到三角形的三個(gè)頂點(diǎn)距離相等.都等于三角形的外接圓半徑.銳角三角形的外心在三角形內(nèi)；直角三角形的外心在斜邊中點(diǎn)；鈍角三角形的外心在三角形外.2、三角形的內(nèi)心三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的內(nèi)心（內(nèi)切圓圓心）.三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等，都等于三角形內(nèi)切圓半徑.內(nèi)切

2、圓半徑r的計(jì)算：1S設(shè)二角形面積為S,并記p=2（a+t+c）,則r=p.1特別的，在直角二角形中，有r=2（a+b-c）.3、三角形的重心三角形的三條中線交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的重心.上面的證明中，我們也得到了以下結(jié)論：三角形的重心到邊的中點(diǎn)與到相應(yīng)頂點(diǎn)的距離之比為1：2.4、三角形的垂心三角形的三條高交于一點(diǎn)，這點(diǎn)稱為三角形的垂心.斜三角形的三個(gè)頂點(diǎn)與垂心這四個(gè)點(diǎn)中，任何三個(gè)為頂點(diǎn)的三角形的垂心就是第四個(gè)點(diǎn).所以把這樣的四個(gè)點(diǎn)稱為一個(gè)垂心組5、三角形的旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)外角平分線交于一點(diǎn)，稱為三角形的旁心（旁切圓圓心）.每個(gè)三角形都有三個(gè)旁切圓.A類例題例1證明重心定理。

3、1證法1如圖，D、E、F為三邊中點(diǎn)，設(shè)BE、CF交于G,連接EF,顯然EF=2BC,由三角形相似可得GB=2GE,GC=2GF.又設(shè)AD、BE交于G',同理可證G'B=2G'E,G'A=2G'D,即G、G都是BE上從B至JE的三分之二處的點(diǎn),故G'、G重合.即三條中線AD、BE、CF相交于一點(diǎn)G.因?yàn)镋F=1BC,HI=1BC,證法2設(shè)BE、CF交于G,BG、CG中點(diǎn)為H、I.連EF、FH、HI、IE,所以EFHI為平行四邊形.所以HG=GE、IG=GF,GB=2GE,GC=2GF.同證法1可知AG=2GD,AD、BE、CF共點(diǎn).即定理證畢.鏈接

4、證明外心、內(nèi)心定理是很容易的。外心定理的證明：如圖，設(shè)AB、BC的中垂線交于點(diǎn)O,則有OA=OB=OC,故O也在AC的中垂線上,因?yàn)镺到三頂點(diǎn)的距離相等，故點(diǎn)O是ABC外接圓的圓心.因而稱為外心.內(nèi)心定理的證明：如圖，設(shè)/A、/C的平分線相交于I、過(guò)I作IDBC,IEXAC,IFXAB,則有IE=IF=ID.因此I也在/C的平分線上，即三角形三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn).上述定理的證法完全適用于旁心定理，請(qǐng)同學(xué)們自己完成.例2證明垂心定理分析我們可以利用構(gòu)造外心來(lái)進(jìn)行證明。證明如圖，AD、BE、CF為AABC三條高，過(guò)點(diǎn)A、B、C分別作對(duì)邊的平行線相交成A'B'C',顯然AD為

5、B'C'的中垂線；同理BE、CF也分別為A'C'、A'B'的中垂線，由外心定理，它們交于一點(diǎn)，命題得證.鏈接（1）對(duì)于三線共點(diǎn)問(wèn)題還可以利用Ceva定理進(jìn)行證明，同學(xué)們可以參考第十八講的內(nèi)容。（Ceva定理）設(shè)X、Y、Z分別為ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直線交于一點(diǎn)的充要條件是AZ-BXCY=1.ZBXCYA（2）對(duì)于三角形的五心，還可以推廣到n邊形，例如，如果我們稱n（方3）邊形某頂點(diǎn)同除該點(diǎn)以外的n-1個(gè)頂點(diǎn)所決定的n-1邊形的重心的連線，為n邊形的中線，（當(dāng)n-1=2時(shí)，n-1邊形退化成一線段，此時(shí)重心即為線段

6、的中心）那么重心定理可推廣如下：n邊形的各條中線（若有重合，只算一條）相交于一點(diǎn)，各中線被該點(diǎn)分為：（n-1）：1的兩條線段，這點(diǎn)叫n邊形的重心.請(qǐng)同學(xué)們自己研究一下其他幾個(gè)“心”的推廣。情景再現(xiàn)1 .設(shè)G為AABC的重心，M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，求證：四邊形GMAN和GBC的面積相等.2 .三角形的任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的二倍.B類例題例3過(guò)等1ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PM/CA交AB于M;弓IPN/BA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)P'.試證：P'點(diǎn)在ABC外接圓上.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題）分析分析點(diǎn)M和N的性質(zhì)，即能得到解題思路。證明由已

7、知可得MP'=MP=MB,NP'=NP=NC,故點(diǎn)M是P'BP的外心，點(diǎn)N是APPC的外心.于是有ZBP'P=1ZBMP/BAC,22ZPP'C=1-ZPNC/BAC.22:./BP'C=ZBP'P+/P'PC=ZBAC.從而，P'點(diǎn)與A、B、C共圓，即P'在ABC外接圓上.鏈接本題可以引出更多結(jié)論，例如P'P平分/BP'C、P'B:P'C=BP:PC等等.例4AD,BE,CF是AABC的三條中線，P是任意一點(diǎn)證明：在APAD,APBE,APCF中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和.

8、（第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克）證明設(shè)G為AABC重心，直線PG與AB,BC相交.從A,C,D,E,F分別作該直線的垂線，垂足為A',C',D',E',F'.易證AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC',.EE'=DD+FF'.有S1PGE=&PGD+SaPGF.兩邊各擴(kuò)大3倍，有Sapbe=Spad+Sapcf.H3,H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置（1992,全國(guó)高中聯(lián)賽）證明連接A2H1,A1H2,H1H2,記圓半徑為R.由AA2A3A4知A2Hl

9、sinA2A3Hl=2RA2Hl=2Rcos/A3A2A4；由AAiA3A4得AiH2=2Rcos/A3A1A4.但/A3A2A4=/A3A1A4,故A2Hi=AiH2.易證A2H1/A1A2,于是，A2H1=A1H2,故得H1H2=A2A1.設(shè)HiAi與H2A2的交點(diǎn)為M,故H1H2與A1A2關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.同理，H2H3與A2A3,H3H4與A3A4,H4H1與A4A1都關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱，兩者是全等四邊形，Hi,H2,H3,H4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為Q,Q與O也關(guān)于M成中心對(duì)稱.由O,M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.

10、例5設(shè)A1A2A3A4為。內(nèi)接四邊形，Hi,H2,H3,H4依次為AA2A3A4,AA3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心.求證：Hi,%,鏈接三角形的五心有許多重要性質(zhì)，它們之間也有很密切的聯(lián)系，如：(1)三角形的重心與三頂點(diǎn)的連線所構(gòu)成的三個(gè)三角形面積相等；(2)三角形的外心到三頂點(diǎn)的距離相等；(3)三角形的垂心與三頂點(diǎn)這四點(diǎn)中，任一點(diǎn)是其余三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的垂心；(4)三角形的內(nèi)心、旁心到三邊距離相等；(5)三角形的垂心是它垂足三角形的內(nèi)心；或者說(shuō)，三角形的內(nèi)心是它旁心三角形的垂心;(6)三角形的外心是它的中點(diǎn)三角形的垂心；(7)三角形的重心也是它的中點(diǎn)三角形的重心；(8)三角

11、形的中點(diǎn)三角形的外心也是其垂足三角形的外心.情景再現(xiàn)3 .在AABC的邊AB,BC,CA上分別取點(diǎn)P,Q,S.證明以AAPS,ABQP,ACSQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.(B-波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克).其逆亦真.4 .如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似C類例題H為ABC的垂心，D,E,F分別是BC,CA,AB的中心.一個(gè)以H為圓心的。H交直線EF,FD,DE于A1,Bi,B2,Ci,C2.求證：AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2.(1989,加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題)分析只須證明AA1=BB1=CC1BPW.證明設(shè)BC=a,C

12、A=b,AB=c,ABC外接圓半徑為R,OH的半徑為r.連HAi,AH交EF于M.AA,2=AM2+A1M2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2),又AM2-HM2=(2aHi)2-(AH-2AHi)2AH-AH1-AH2=AH2-AB-AH2=cosA-bc-AH1CC1=2(a2+b2+c2)-4R2+r2.,而AHsinABH=2RAH2=4R2cos2A,a=2RsinAa2=4R2sin2A.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a222AA12=r2+ca-2bc-bc-(4R2-a2)1=2(a2+b2+c2)-4R2+r221同理，BBi=(a2+b2+c2)-4R2

13、+r2,2故有AA1=BB1=CC1.例7已知。O內(nèi)接ABC,0Q切AB,AC于E,F且與0O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是AABC之內(nèi)心.(B波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克)證明如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q,.QK-AQ=MQ-QN,MQQNQK=AQ(2Rr)r.=sinr/sinBC中點(diǎn)K都在/BAC平分線上.易知(2Rr).rAQ=由RtAepq知PQ=sinr.PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R.PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是AABC這內(nèi)心.說(shuō)明在第20屆IMO中，美國(guó)提供的一道題實(shí)際上是例7的一種特例，但它增加了條件AB=AC.例8在直角三角形中，求證：

14、r+ra+rb+%=2p.式中r,Q,必分別表示內(nèi)切圓半徑及與a,b,c相切的旁切圓半徑，p表示半周.州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題)證明設(shè)RtABC中，c為斜邊，先來(lái)證明一個(gè)特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).11-p(p-c)=2(a+b+c)-2(a+b-c)1=4(a+b)2-c21.=2a"11(p-a)(p-b)=,(-a+b+c)-2(a-b+c)1 1=41c2-(a-b)2=2ab. p(p-c)=(p-a)(p-b).(T觀察圖形，可得%=AF-AC=p-b,rb=BG-BCpa,rc=CK=p.而r=2(a+b-c)=p-c. -r+ra+rb+rc=(p-c)+

15、(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例9M是AABC邊AB上的任意一點(diǎn).j,上，r分別是AAMC,BMC,ABC內(nèi)切圓的半徑，qnq2,q分別是上述三角形在/ACB內(nèi)r1上r部的外切圓半徑.證明-=.(IMO-12)qq2q證明對(duì)任意4A'B'C',由正弦定理可知5，.A'od=oa'-sin2.B'sin2=AB'-JsinA'O'B'.A'sin2=AB'O'E=A'B'ODO'E亦即有qi,A'.B'sinsin

16、2q2sinA'B'2A'B'coscos22sinA'B'2A'tg萬(wàn)tgA=tg-tgB'CMAtgCNBBtga例10銳角ABC中，O,G,H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d«,垂心到三邊距離和為d.+A+Btg77tgt=22求證：1-d垂+2,d外=3.d重.證明設(shè)ABC外接圓半徑為1,三個(gè)內(nèi)角記為A,B,C.易知d外=OOi+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,.2d外=2(cosA+cosB+cosC).(T.AHi=sinB-AB=sinB-(2sinC)=

17、2sinB-sinC,同樣可得BH2-CH3.3d重=AABC三條高的和=2-(sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB)BH=2,sinBCH.HHi=cosC-BH=2-cosB-cosC.同樣可得HH2,HH3.d垂=HHi+HH2+HH3=2(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB.即可.說(shuō)明本題用了三角法情景再現(xiàn)5 .設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=BC,CD=

18、DE,EF=FA.試證：AD,BE,CF三條對(duì)角線交于一點(diǎn)；AB+BC+CD+DE+EF+FA上AK+BE+CF.（1991,國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題）6 .4ABC的外心為O,AB=AC,D是AB中點(diǎn)，E是4ACD的重心.證明OE，CD.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題）7 .AABC中/C=30°,O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上的E點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI，DE,OI=DE.（1988,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題）習(xí)題171 .在ABC中，/A是鈍角，H是垂心，且AH=BC,則cos/BHC=（）A.22B.2J2C.D.22 .如果一個(gè)三角形的面積與周長(zhǎng)都被一條

19、直線平分，則此直線一定通過(guò)三角形的（）A.內(nèi)心B.外心C.重心D.垂心（1996年全國(guó)初中聯(lián)賽）3 .（1997年安徽省初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽）若0。<<90。，那么，以sin,cos,tancot為三邊的三角形有內(nèi)切圓、外接圓的半徑之和是（）Asn4c竺b.空舞C.2sincosD.22sincos4 .ABC中，/A=45,BC=a,高BE、CF交于點(diǎn)H,則AH=（）A.2aB.22aC.aD.種5,下面三個(gè)命題中：設(shè)H為ABC的高AD上一點(diǎn)，/BHC+/BAC=180,貝U點(diǎn)H是AABC的垂心;設(shè)G為AABC的中線AD上一點(diǎn)，且Saagb=S；abgc,則點(diǎn)G是ABC的重心；設(shè)E是AB

20、C的外角/BAK的角平分線與ABC的外接圓OO的交點(diǎn),ED是OO的直徑,I在線段AD上，且DI=DB,貝II是ABC的內(nèi)心.正確命題的個(gè)數(shù)是（）A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)6. 設(shè)AABC的/A=60,求證：ABC的外心O、內(nèi)心I、垂心H及點(diǎn)B、C五點(diǎn)在同一個(gè)圓上.7. 已知P是口ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，。為AC與BD的交點(diǎn)，M、N分別為PB、PC中點(diǎn)，Q為AN與DM的交點(diǎn).求證：P、Q、O三點(diǎn)在一條直線上；PQ=2OQ.8. I為ABC之內(nèi)心，射線AI,BI,CI交ABC外接圓于A',B',C'.則AA'+BB'+CC'>ABC周長(zhǎng).（19

21、82,澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克）9. 丁的三邊分別等于T的三條中線，且兩個(gè)三角形有一組角相等.求證這兩個(gè)三角形相似.（1989,捷克數(shù)學(xué)奧林匹克）10. I為ABC的內(nèi)心.取AIBC,AICA,IAB的外心O1,O2,O3.求證：0102ch與ABC有公共的外心.（1988,美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）11. AD為AABC內(nèi)角平分線.取AABC,ABD,ADC的外心0,。1,。2.則OO1O2是等腰三角形.12. AABC中/C<90°,從AB上M點(diǎn)作CA,CB的垂線MP,MQ.H是4CPQ的垂心.當(dāng)M是AB上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求H的軌跡.（IM0-7）本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答1 .證明如圖，連GA,因

22、為M、N分別為AB、CA的中點(diǎn)，所以AAMG的面積=AGBM的面積，GAN的面積=AGNC的面積，即四邊形GMAN和AGBC的面積相等.2 .證明如圖，O為AABC的外心，H為垂心，連CO交AABC外接圓于D,連DA、DB,貝IDAXAC,BDXBC,又AHBC,BHXAC,所以DA/BH,BD/AH,從而四邊形DAHB為平行四邊形。又顯然DB=2OM,所以AH=2OM.同理可證BH=2ON,CH=2OK.證畢.3 .提示：設(shè)Oi,O2,O3是AAPS,ABQP,CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3s后再由外心性質(zhì)可知/POiS=2/A,/QO2A2/B,/SO3Q=2/C.PO1S+/Q

23、O2P+/SO3Q=360°.從而又知/OiPO2+ZO2QO3+ZO3SOi=360°將O2QO3繞著。3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到KSO3,易判斷KSO盧O2PO1,1.同時(shí)可得OiO2O3AOiKO3.zO2OiO3=/KOiO3=22O201K1_1_、1,=2(/O2O1S+ZSOiK)=2(/O2O1S+/POQ2)=2ZPO1S=ZA;同理有/O1O2O3=/B.故4。10203sAABC.4 .提示：將ABC簡(jiǎn)記為,由三中線AD,BE,CF圍成的三角形簡(jiǎn)記為'.G為重心，連DE至H,使EH=DE,連HC,HF,則'就是AHCF.(1)a2,b2,c2成等差數(shù)列

24、“'.若ABC為正三角形，易證'.不妨設(shè)a>b>c,有1c222CF=v2a2bc,2將a2+c2=2b2,分別代入以上三式，得BE=v2c22a2b2,ad=1.2b22c222,.3.33CF=a,BE=b,AD=c.222故有，.CF:BE:AD=31b：c=a:b:c.222(2)a2,b2,c2成等差數(shù)列.當(dāng)中a上b上c時(shí),CF2=()2.據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的”，有一SCF23=3a2=4CF2=2a2+b2-c2a2+d=2b2.a45.證明連接AC,CE,EA,由已知可證AD,CF,EB是AACE的三條內(nèi)角平分線,再

25、由ARDF,易證BP,DQ,FS是它的三條高，I是它的垂心，利用ErdOB+DI+FI學(xué)2(IP+IQ+IS).不難證明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.BI+DI+FI上IA+IE+IC.aAB+BC+CD+DE+EF+FA=2(BI+DI+FI)I為ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.不等式有:a>(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點(diǎn)兩心6 .提示：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點(diǎn)F,E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè)CD交AM于G,G必為ABC重心.連GE,MF,MF交DC于K.易證：111DG:GK

26、=DC:()DC=2:1.323.DG:GK=DE:EFGE/MF.-.OD±AB,MF/AB,.-.OD±MFOD，GE.但OG±DEG又是ODE之垂心.易證OE±CD.+2(/BAC-60°)=12BAC=ZBAI=ZBEI.7 .提示：輔助線如圖所示，作/DAO平分線交BC于K.易證AIDAAIBAEIB,/AID=/AIB=ZEIB.利用內(nèi)心張角公式，有，一。1一。ZAIB=90巧/。=105,。,一。1一一。1_./DIE=360-105X3=45.；/AKB=30+夕/DAO=30二(BAC-/BAO)=30.AK/IE.由等腰AO

27、D可知DO±AK,，DO±IE,即DF是DIE的一條高.同理EO是ADIE之垂心，OI，DE.由/DIE=/IDO,易知OI=DE.習(xí)題17解答1 .B;2.A;3.A;4.C;5.選B,只有（3）是對(duì)的；6 .略；7.略；8.略；9.略；10.略；11.略；12.H的軌跡是一條線段.補(bǔ)充：第五講三角形的五心三角形的外心、重心、垂心、內(nèi)心及旁心，統(tǒng)稱為三角形的五心一、外心.三角形外接圓的圓心，簡(jiǎn)稱外心.與外心關(guān)系密切的有圓心角定理和圓周角定理.例1.過(guò)等1ABC底邊BC上一點(diǎn)P引PM/CA交AB于M;引PN/BA交AC于N.作點(diǎn)P關(guān)于MN的對(duì)稱點(diǎn)P'.試證：P

28、9;點(diǎn)在ABC外接圓上.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題）分析：由已知可得MP'=MP=MB,NP'=NP=NC,故點(diǎn)M是AP'BP的外心，點(diǎn)N是P'PC的外b.有/1/1,c/BPP=ZBMP=ZBAC,PPP'C=1ZPNC=1/BAC.22./BP'C=ZBP'P+/P'PC=ZBAC.從而，P'點(diǎn)與A,B,C共圓、即P'在ABC外接圓上.由于P'P平分/BP'C,顯然還有P'B:P'C=BP:PC.例2.在AABC的邊AB,BC,CA上分別取點(diǎn)P,Q,S,證明以APS,ABQP,C

29、SQ的外心為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似.（B-波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：設(shè)O1,O2,O3MAAPS,ABQP,CSQ的外心，作出六邊形O1PO2QO3s后再由外心性質(zhì)可知POiS=2/A,/QO2P=2/B,SO3Q=2/C.，/PO1S+/QO2P+/SO3Q=360°,從而又知/O1PO2+/O2QO3+/O3SOi=360°將AO2QO3繞著O3點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到KSO3,易判斷KSOiAO2POi,同時(shí)可得O1O2O3仁O1KO3.1-一/O2O1O3-/KO1O3/O2O1K21=(ZO2O1S+ZSO1K)21，、=(ZO2O1S+ZPO1O2)21一=/PO1S

30、=/A;2同理有/O1O2O3=/B.故4。10203sAABC.、重心三角形三條中線的交點(diǎn)，叫做三角形的重心,掌握重心將每條中線都分成定比2:1及中線長(zhǎng)度公式，便于解題例3.AD,BE,CF是ABC的三條中線，P是任意一點(diǎn),證明：在PAD,APBE,APCF中，其中一個(gè)面積等于另外兩個(gè)面積的和（第26屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：設(shè)G為AABC重心，直線PG與AB,BC相交,從A,C,D,E,F分別易證AA'=2DD',CC'=2FF',2EE'=AA'+CC作該直線的垂線，垂足為A',C.EE'=DD'+FF有SPGE=

31、SPGD+S*PGF.兩邊各擴(kuò)大3倍，有S&PBE=SPAd+SPCF.例4.如果三角形三邊的平方成等差數(shù)列，那么該三角形和由它的三條中線圍成的新三角形相似分析：將ABC簡(jiǎn)記為,由三中線AD,BE,CF圍成的三角形簡(jiǎn)記為'.G為重心，連DE至JH,使EH=DE,連HC,HF,則'就是4HCF.(1)a2,b2,c2成等差數(shù)列N若ABC為正三角形，易證不妨設(shè)a>b>c,有Of2a22b2c2心J2c22a2b2AD=12P_2ca22將a2+c2=2b2,分別代入以上三式，得CF=*a,BE=b,AD=c.蟲(chóng)b：3c,3.CF:BE:AD=a:2ab:c故有.

32、(2)a2,b2,c2成等差數(shù)列.CF23a243a2=4CF2=2a2+b2-c2二、垂心a2+c2=2b2.三角形三條高的交戰(zhàn)，稱為三角形的垂心.由三角形的垂心造成的四個(gè)等（外接）圓三角形，給我們解題提供了極大的便利例5.設(shè)AiA2A3A4為。0內(nèi)接四邊形，HnH2,H3,H4依次為A2A3A4,A3A4A1,A4A1A2,A1A2A3的垂心.求證：也，H2,H3,H4四點(diǎn)共圓，并確定出該圓的圓心位置（1992,全國(guó)高中聯(lián)賽）分析：連接A2H1,AiH2,H1H2,記圓半徑(區(qū))2.a據(jù)“三角形的三條中線圍成的新三角形面積等于原三角形面積的為R.由A2A3A4知A2H1=2RA2Hi=2R

33、cos/A3A2A4；sinA2A3Hl由AAiA3A4得AiH2=2RcosZA3A1A4.但/A3A2A4=/A3A1A4,故A2H1=AiH2.易證A2H1/A1A2,于是，A2H1A1H2,故得H1H2A2A1.設(shè)國(guó)Ai與H2A2的交點(diǎn)為M,故H1H2與A心關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.同理，H2H3與人2A3,H3H4與人3A4,H4Hl與A4A1都關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱.故四邊形H1H2H3H4與四邊形A1A2A3A4關(guān)于M點(diǎn)成中心對(duì)稱，兩者是全等四邊形，H1,H2,H3,H4在同一個(gè)圓上.后者的圓心設(shè)為Q,Q與O也關(guān)于M成中心對(duì)稱.由O,M兩點(diǎn)，Q點(diǎn)就不難確定了.例6.H為AABC的垂心，D,

34、E,F分別是BC,CA,AB的中心.一個(gè)以H為圓心的。H交直線EF,FD,DE于A1,A2,B1,C1,C2.求證：aa1=aa2=bb1=bb2=cc1=cc2.（1989,加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題）分析：只須證明AA1=BB1=CC1即可.設(shè)BC=a,CA=b,AB=c,AABC#接圓半徑為R,OH的半徑為r.連HA1,AH交EF于M.AA12=AM2+AiM2=AM2+r2-MH2=r2+(AM2-MH2),又AM2-HM2=(AHi)2-(AH-AHi)2AH-AHi-AH2=AH2-AB-AH2=cosA-bc-AH2,而AHsinABH=2RAH2=4R2cos2A,a=2Rsin

35、Aa2=4R2sin2A.-.AH2+a2=4R2,AH2=4R2-a2aA；="22ca2bc-bc-(4R2-a2)1=(a2+b2+c2)-4R2+r2.2同理，BB12=1(a2+b2+c2)-4R2+r2,221CC1=(a2+b2+c2)-4R2+r2.2四、內(nèi)心故有AA1=BB1=CC1.三角形內(nèi)切圓的圓心，簡(jiǎn)稱為內(nèi)心.對(duì)于內(nèi)心，要掌握張角公式，還要記住下面一個(gè)極為有用的等量關(guān)系:設(shè)I為AABC的內(nèi)心，射線AI交AABC外接圓于A',則有A'I=A'B=A'C.換言之，點(diǎn)A必是舊C之外心（內(nèi)心的等量關(guān)系之逆同樣有用）.例7.ABCD為圓內(nèi)

36、接凸四邊形，取DAB,AABC,ABCD,CDA的內(nèi)心Oi,Q,O3,O4.求證：O1O2O3O4為矩形.（1986,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題）證明見(jiàn)中等數(shù)學(xué)1992;4例8.已知。O內(nèi)接ABC,0Q切AB,AC于E,F且與0O內(nèi)切.試證：EF中點(diǎn)P是ABC之內(nèi)心.（B-波拉索洛夫中學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克）分析：在第20屆IMO中，美國(guó)提供的一道題實(shí)際上是例8的一種特例，但它增加了條件AB=AC.當(dāng)ABKAC,怎樣證明呢?如圖，顯然EF中點(diǎn)P、圓心Q,.QK-AQ=MQ-QN,MQQNQK=AQ(2Rr)r=sinr/sinrBC中點(diǎn)K都在/BAC平芬線上.易知AQ=sin(2Rr).由RtAepq知P

37、Q=sinr.PK=PQ+QK=sinr+sin(2Rr)=sin2R.PK=BK.利用內(nèi)心等量關(guān)系之逆定理，即知P是AABC這內(nèi)心.五、旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與另兩個(gè)內(nèi)角的外角平分線相交于一點(diǎn)，是旁切圓的圓心，稱為旁心.旁心常常與內(nèi)心聯(lián)系在一起,旁心還與三角形的半周長(zhǎng)關(guān)系密切例9.在直角三角形中，求證：r+ra+rb+rc=2p.式中r,ra,rb,rc分別表示內(nèi)切圓半徑及與a,b,c相切的旁切圓半徑，p表示半周.（杭州大學(xué)中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽習(xí)題）分析：設(shè)RtAABC中，c為斜邊，先來(lái)證明一個(gè)特性：p(p-c)=(p-a)(p-b).-p(p-c)=(a+b+c)(a+b-c)22一(a+b)

38、2-c241一ab；2(p-a)(p-b)=(-a+b+c)(a-b+c)2211=_c2-(a-b)2=_ab.42-p(p-c)=(p-a)(p-b).觀察圖形，可得ra=AF-AC=p-b,rb=BG-BC=p-a,rc=CK=p.H1，、而r=(a+b-c)2=p-c:r+ra+rb+rc=(p-c)+(p-b)+(p-a)+p=4p-(a+b+c)=2p.由及圖形易證.例10.M是AABC邊AB上的任意一點(diǎn).n,七，r分別是AMC,ABMC,AABC內(nèi)切圓的半徑，qnq2,q分別是上述三角形在/ACB內(nèi)一一一r1七r部的外切圓半徑.證明：=一.qq2q(IMO-12)分析：對(duì)任意A&

39、#39;B'C,由正弦定理可知OD=OAA'sin2=A'B.B'sin2sinA'O'B'A'sin2=A'BA'B'sin-sin22A'B'sin2O'E=ABA'B'coscos22A'B'sin2ODO'EA'B'tgltg?.亦即有rir2ACMACNBBq2一=tgtgtgtg一2A.Btgtg=22q六、眾心共圓這有兩種情況：（i）同一點(diǎn)卻是不同三角形的不同的心;例11.設(shè)在圓內(nèi)接凸六邊形ABCDFE中，AB=B

40、C,CD=DE,（2）同一圖形出現(xiàn)了同一三角形的幾個(gè)心.EF=FA.試證：（1）AD,BE,CF三條對(duì)角線交于一點(diǎn)；AB+BC+CD+DE+EF+FA上AK+BE+CF.（1991,國(guó)家教委數(shù)學(xué)試驗(yàn)班招生試題）分析：連接AC,CE,EA,由已知可證AD,CF,EB是ACE的三條內(nèi)角平分線，I為ACE的內(nèi)心.從而有ID=CD=DE,IF=EF=FA,IB=AB=BC.再由ARDF,易證BP,DQ,FS是它的三條高，I是它的垂心，利用不等式有:.BI+DI+FI學(xué)2(IP+IQ+E5dos不難證明IE=2IP,IA=2IQ,IC=2IS.BI+DI+FI上IA+IE+IC.AB+BC+CD+DE+

41、EF+FA=2(BI+DI+FI)>(IA+IE+IC)+(BI+DI+FI)=AD+BE+CF.I就是一點(diǎn)兩心例12.ABC的外心為O,AB=AC,D是AB中點(diǎn)，EAACD的重心.證明OE，CD.（加拿大數(shù)學(xué)奧林匹克訓(xùn)練題）分析：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點(diǎn)F,E必在DF上且DE:EF=2:1.設(shè)CD交AM于G,G必為ABC重心.連GE,MF,MF交DC于K.易證：111DG:GK=DC:()DC=2:1.323.DG:GK=DE:EFGE/MF.-.OD±AB,MF/AB,.-.OD±MFOD，GE.但OG±DEG又是ODE之垂心.易證OE±

42、CD.例13.AABC中/C=30°,O是外心，I是內(nèi)心，邊AC上的D點(diǎn)與邊BC上白EE點(diǎn)使得AD=BE=AB.求證：OI±DE,OI=DE.（1988,中國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克集訓(xùn)題）分析：輔助線如圖所示，作/DAO平分線交BC于K.易證AIDAAIBAEIB,Adb-nCZAID=ZAIB=ZEIB.利用內(nèi)心張角公式，有/AIB=90°+1/C=105°,2./DIE=360°-105°X3=45°KB=30-1/DAO2=30+1(/BAC-/BAO)2=30°+_(/BAC-60°)1一=ZBAC=ZBA

43、I=ZBEI.2.AK/IE.由等腰AOD可知DO±AK,.DO±IE,即DF是DIE的一條高.同理EO是ADIE之垂心，OI±DE.由/DIE=/IDO,易知OI=DE.例14.銳角ABC中，O,G,H分別是外心、重心、垂心.設(shè)外心到三邊距離和為d外，重心到三邊距離和為d直，垂心到三邊距離和為d電求證：1-d+2-d/=3"d野分析：這里用三角法.設(shè)ABC外接圓半徑為1,三個(gè)內(nèi)角記為A,B,C.易知d外=OOi+OO2+OO3=cosA+cosB+cosC,.2d外=2(cosA+cosB+cosC).AH1=sinB-AB=sinB(2sinC)=2

44、sinB-sinC,同樣可得BH2-CH3.，3d=AABC三條高的和=2(sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB)BH=2,sinBCH.HH1=cosC-BH=2-cosB-cosC.同樣可得HH2,HH3.d垂=HHi+HH2+HH3=2(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)欲證結(jié)論，觀察、，須證(cosB-cosC+cosC-cosA+cosA-cosB)+(cosA+cosB+cosC)=sinB-sinC+sinC-sinA+sinA-sinB.BPM.練習(xí)題1. I為AABC之內(nèi)心，射線AI,BI,CI交AABC外接圓于AB',

45、C'.則AA'+BB'+CC'>ABC周長(zhǎng).（1982,澳大利亞數(shù)學(xué)奧林匹克）2. 丁的三邊分別等于T的三條中線，且兩個(gè)三角形有一組角相等.求證這兩個(gè)三角形相似.（1989,捷克數(shù)學(xué)奧林匹克）3. I為AABC的內(nèi)心.取AIBC,ICA,IAB的外心Oi,O2,O3.求證：O1O2O3與AABC有公共白外心.（1988,美國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克）4. AD為ABC內(nèi)角平分線.取AABC,ABD,AADC的外心O,O1,O2.則OO1O2是等腰三角形.5. AABC中/C<90°,從AB上M點(diǎn)作CA,CB的垂線MP,MQ.H是ACPQ的垂心.當(dāng)M是A

46、B上動(dòng)點(diǎn)時(shí)，求H的軌跡.（IMO-7）6. AABC的邊BC=1（AB+AC）,取AB,AC中點(diǎn)M,N,G為重心，I為內(nèi)心.試證：過(guò)A,M,N三點(diǎn)的圓與直線GI相切.（第27屆莫斯2科數(shù)學(xué)奧林匹克）7. 銳角ABC的垂心關(guān)于三邊的對(duì)稱點(diǎn)分別是也，匕,H3.已知：也，H2,H3,求作ABC.（第7屆莫斯科數(shù)學(xué)奧林匹克）8. 已知ABC的三個(gè)旁心為Ii,£I3.求證：I1I2I3是銳角三角形.9. AB,AC切。于B,C,過(guò)OA與BC的交點(diǎn)M任作。O的弦EF.求證：（1）AAEF與ABC有公共的內(nèi)心；（2）AEF與ABC有一個(gè)旁心重合.三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，內(nèi)心和旁心稱之為三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，內(nèi)心定理，旁心定理的總稱。一、三角形重心定理三角形的三條邊的中線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的重心。三中線交于一點(diǎn)可用燕尾定理證明，十分簡(jiǎn)單。（重心原是一個(gè)物理概念，對(duì)于等厚度的質(zhì)量均勻的三角形薄片，其重心恰為此三角形三條中線的交點(diǎn)，重心因而得名）重心的性質(zhì)：1、重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。2、重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。即重心到三條邊的距離與三條邊的長(zhǎng)成反比。3、重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小