專題質(zhì)數(shù)那些事含答案

1、專題01質(zhì)數(shù)那些事閱讀與思考一個(gè)大于 1 的自然數(shù)如果只能被 1 和本身整除，就叫作質(zhì)數(shù)（也叫素?cái)?shù)）；如果能被 1 和本身以外的自然數(shù)整除，就叫作合數(shù)；自然數(shù) 1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)，叫作單位數(shù).這樣，我們可以按約數(shù)個(gè)數(shù)將正整數(shù)分為三類：關(guān)于質(zhì)數(shù)、合數(shù)有下列重要性質(zhì)：1 .質(zhì)數(shù)有無窮多個(gè)，最小的質(zhì)數(shù)是 2,但不存在最大的質(zhì)數(shù)，最小的合數(shù)是 4.2 .1 既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)；2 是唯一的偶質(zhì)數(shù).3 .若質(zhì)數(shù)p|ab,則必有p|a或p|b.4 .算術(shù)基本定理：任意一個(gè)大于 1 的整數(shù) N 能唯一地分解成k個(gè)質(zhì)因數(shù)的乘積（不考慮質(zhì)因數(shù)之間的順序關(guān)系）：N=P1alF2a2LPak，其中RP2

2、LR,Pi為質(zhì)數(shù)，4為非負(fù)數(shù)（i=1,2,3,，k）.正整數(shù) N 的正約數(shù)的個(gè)數(shù)為（1+a1）（1+a1）（1+a1）,所有正約數(shù)的和為（1+P,+-+Pa1）（1+P2+Pa2）（1+Pk+Pak）.例題與求解【例 1】已知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c滿足 a+b+c+abc=99,那么abbcca的值等于（江蘇省競賽試題）解題思想：運(yùn)用質(zhì)數(shù)性質(zhì)，結(jié)合奇偶性分析，推出a,b,c的值.【例 2】若p為質(zhì)數(shù)，p3+5 仍為質(zhì)數(shù)，則p5+7 為（）A.質(zhì)數(shù) B.可為質(zhì)數(shù)，也可為合數(shù)C.合數(shù) D.既不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)（湖北省黃岡市競賽試題）解題思想：從簡單情形入手，實(shí)驗(yàn)、歸納與猜想.【例 3】求這樣的質(zhì)數(shù)，

3、當(dāng)它加上 10 和 14 時(shí)，仍為質(zhì)數(shù).（上海市競賽試題）解題思想：由于質(zhì)數(shù)的分布不規(guī)則，不妨從最小的質(zhì)數(shù)開始進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，另外，需考慮這樣的質(zhì)數(shù)是否唯,按剩余類加以深入討論.【例 4】將 1,2,，2004 這 2004 個(gè)數(shù)隨意排成一行，得到一個(gè)數(shù)n,求證：n一定是合數(shù).若n是大于 2 的正整數(shù)，求證：2n1 與2n+1 中至多有一個(gè)質(zhì)數(shù).求 360 的所有正約數(shù)的倒數(shù)和.（江蘇省競賽試題）解題思想：將 1 到 2004 隨意排成一行，由于中間的數(shù)很多，不可能一一排出，不妨找出無論怎樣排，所得數(shù)都有非 1 和本身的約數(shù)；只需說明2n1 與2n+1 中必有一個(gè)是合數(shù)，不能同為質(zhì)數(shù)即可；逐個(gè)求解正

4、約數(shù)太麻煩，考慮整體求解.112【例 5】設(shè)x和y是正整數(shù)，xwy,p是奇質(zhì)數(shù)，并且，求 x+y的值.xyp解題思想：由題意變形得出p整除x或y,不妨設(shè)xtp.由質(zhì)數(shù)的定義得到 2t1=1 或 2t1=p.由xWy及 211為質(zhì)數(shù)即可得出結(jié)論.【例 6】若一個(gè)質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼經(jīng)任意排列后仍然是質(zhì)數(shù)，則稱它是一個(gè)“絕對質(zhì)數(shù)”如 2,3,5,7,11,13（31）,17（71）,37（73）,79（97）,113（131,311）,199（919,991）,337（373,733）,都是質(zhì)數(shù),求證：絕對質(zhì)數(shù)的各位數(shù)碼不能同時(shí)出現(xiàn)數(shù)碼 1,3,7,9.（青少年國際城市邀請賽試題）解題思想：一個(gè)絕對質(zhì)數(shù)

5、如果同時(shí)含有數(shù)字 1,3,7,9,則在這個(gè)質(zhì)數(shù)的十進(jìn)制表示中，不可能含有數(shù)字 0,2,4,5,6,8,否則，進(jìn)行適當(dāng)排列后，這個(gè)數(shù)能被 2 或 5 整除.能力訓(xùn)練A級2.22.222221 .右a,b,c,d為整數(shù)，abcd=1997,則abcd=.2.在 1,2,3,， n 這個(gè) n 自然數(shù)中， 已知共有p個(gè)質(zhì)數(shù)，q個(gè)合數(shù)，k個(gè)奇數(shù)，m 個(gè)偶數(shù)，則（qm)+(p-k尸33 .設(shè)a,b為自然數(shù)，滿足 1176a=b，則a的最小值為（“希望杯”邀請賽試題）6114 .已知p是質(zhì)數(shù)，并且p+3 也是質(zhì)數(shù)，則p48 的值為（北京市競賽試題）5 .任意調(diào)換 12345 各數(shù)位上數(shù)字的位置，所得的五位數(shù)

6、中質(zhì)數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.4B.8C.12D.06 .在 2005,2007,2009 這三個(gè)數(shù)中，質(zhì)數(shù)有（）A.0 個(gè) B.1 個(gè) C.2 個(gè) D.3 個(gè)（“希望杯”邀請賽試題）7 .一個(gè)兩位數(shù)的個(gè)位數(shù)字和十位數(shù)字變換位置后，所得的數(shù)比原來的數(shù)大 9,這樣的兩位中，質(zhì)數(shù)有（）A.1 個(gè) B.3 個(gè) C.5 個(gè) D.6 個(gè)（“希望杯”邀請賽試題）8 .設(shè)p,q,r都是質(zhì)數(shù)，并且p+q=r,pq.求p.9 .寫出十個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，使得個(gè)個(gè)都是合數(shù).（上海市競賽試題）10 .在黑板上寫出下面的數(shù) 2,3,4,，1994,甲先擦去其中的一個(gè)數(shù)，然后乙再擦去一個(gè)數(shù)，如此輪流下去，若最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則

7、甲勝；若最后剩下的兩個(gè)數(shù)不互質(zhì)，則乙勝，你如果想勝，應(yīng)當(dāng)選甲還是選乙？說明理由.（五城市聯(lián)賽試題）11 .用正方形的地磚不重疊、無縫隙地鋪滿一塊地，選用邊長為xcm 規(guī)格的地磚，恰用n塊，若選用邊長為ycm 規(guī)格的地磚，則要比前一種剛好多用 124 塊，已知x,y,n都是正整數(shù)，且（x,y）=1,試問這塊地有多少平方米？（湖北省荊州市競賽試題）B級12 若質(zhì)數(shù)m,n滿足 5m+7n=129,則 m+n的值為pqpq兒13.已知p,q均為質(zhì)數(shù)，并且存在兩個(gè)正整數(shù)m,n,使得p=m+n,q=mxn,則上一的mn值為.14自然數(shù)a,b,c,d,e都大于 1,其乘積abcde=2000,則其和 a+b

8、+c+d+e的最大值為,最小值為.（“五羊杯”競賽試題15 機(jī)器人對自然數(shù)從 1 開始由小到大按如下的規(guī)則染色：凡能表示為兩個(gè)合數(shù)之和的自然數(shù)都染成紅色，不合上述要求的自然數(shù)都染成黃色，若被染成紅色的數(shù)由小到大數(shù)下去，則第 1992 個(gè)數(shù)是.（北京市“迎春杯”競賽試題）115.若a,b均為質(zhì)數(shù)，且滿足a+b=2089,則 49b-a=.A.0B,2007C.2008D.2010（“五羊杯”競賽試題）2一26.設(shè)a為質(zhì)數(shù)，并且 7a+8 和 8a+7 也都為質(zhì)數(shù)，記x=77a+8,y=88a+7,則在以下情形中，必定成立的是（）A.x,y 都是質(zhì)數(shù) B.x,y 都是合數(shù)C.x,y一個(gè)是質(zhì)數(shù)，一個(gè)

9、是合數(shù) D.對不同的a,以上皆可能出現(xiàn)（江西省競賽試題）2.22.2abcd,求證：a+b+c+d一定是合數(shù).（北京市競賽試題）8 .請同時(shí)取六個(gè)互異的自然數(shù)，使它們同時(shí)滿足：6 個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)；7.設(shè)a,b,c,d是自然數(shù)，并且6 個(gè)數(shù)任取 2 個(gè)，3 個(gè)，4 個(gè)，5 個(gè)，6 個(gè)數(shù)之和都是合數(shù)，并簡述選擇的數(shù)符合條件的理由.9 .已知正整數(shù)p,q都是質(zhì)數(shù)，并且 7p+q與pq+11 也都是質(zhì)數(shù)，試求pqqp的值.(湖北省荊州市競賽試題)10 .41 名運(yùn)動(dòng)員所穿運(yùn)動(dòng)衣號碼是 1,2,，40,41 這 41 個(gè)自然數(shù)，問：(l)能否使這 41 名運(yùn)動(dòng)員站成一排，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號

10、碼之和是質(zhì)數(shù)？(2)能否讓這 41 名運(yùn)動(dòng)員站成一圈，使得任意兩個(gè)相鄰運(yùn)動(dòng)員的號碼之和都是質(zhì)數(shù)？若能辦到，請舉出一例；若不能辦到，請說明理由.專題01質(zhì)數(shù)那些事例 134區(qū) J2C區(qū) J33 符合要求提示：當(dāng) p=3k+1 時(shí)，p+10=3k+11,p+14=3(k+5),顯然 p+14 是合數(shù)，當(dāng) p=3k+2 時(shí)，p+10=3(k+4)是合數(shù)，當(dāng) p=3k 時(shí)，只有 k=1 才符合題意.4(1)因 1+2+2004=1X2004X(1+2004)=1002X2005 為 3 的倍數(shù)，故無論怎樣交換這 2004 個(gè)2數(shù)的順序，所得數(shù)都有 3 這個(gè)約數(shù).(2)因 n 是大于 2 的正整數(shù)，則2

11、nQ7,2n1、212n+1 是不小于 7 的三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，其中必有一個(gè)被 3 整除，但 3 不整除2n,故2n1 與2n+1 中至多有一個(gè)數(shù)是質(zhì)數(shù).b,d1，d2,d3,，dn為 a 的正約數(shù)從小到大的排列，于是1中各分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)dn=a,故dnb11701義(1+5)=1170.-=3一.a3604y22xy、，一=一，倚x+y=k.(k 為正整數(shù)),可得 2xy=kp,所以 p 整除 2xy 且 p 為奇質(zhì)數(shù),xypxv2或 2t1=p.右 2t1=,得 t=1,x=y=p,與 xwy 矛盾；右 2t1=p，貝 1=一,(3)設(shè)正整數(shù) a 的所有正約數(shù)之和為dn=a.由于Sd

12、1d2d3S=S=dndn1dnd1d1d2dndndnb右*=一，而aa=360=23325,故 b=(1+2+22+23)(1+3+32)整除 x 或 y,不放設(shè)x=tp,貝 1tp+y=2ty,得 y=tp2t-為整數(shù).又 t 與 2t1 互質(zhì)，故 2t-1 整除 p,p 為1質(zhì)數(shù)，所以 2t-1=12xy=p(x+y).;p 是奇質(zhì)數(shù)，則 x+y 為偶數(shù)，x、y 同奇偶性，只能同為 xy=-p-y 必有某數(shù)含因y31,或y1xy62xy2x16x,或32y15y30(舍)數(shù) p.令 x=ap,ay=apy,2ay=ap+y.y=ap,故 a,2a1 互質(zhì)，2a1 整除 p,又 p 是質(zhì)

13、數(shù),22a1貝 12a1=p,a=,故 x=-22/2.x+y=ppW=3_2221,3,7,9 的絕對質(zhì)數(shù).因?yàn)閗0=7931,k、=1793,k2=9137,ka=7913,k4=7193,k5=1937,k6=7139 除以 7 所得余數(shù)分別為 0,1,2,3,4,5,6.故如下 7 個(gè)正整數(shù):NoC1C2Cn47931=LL104ko,N1CCCn41793=LL104k1,N6C1C2Cn47139=LL104k6,其中，一定有一個(gè)能被 7 整除，則這個(gè)數(shù)就不是質(zhì)數(shù)，故矛盾.A級1.19982.13.634.20005.D6,A7,B8 .由 r=p+q 可知 r 不是最小的質(zhì)數(shù)，則

14、為奇數(shù)，故 p,q 為一奇一偶，又因?yàn)?py(x,y)=1./22、.，22222,._,(x,y)=1(xy,y)=1 得xyI124222-124=2x31,xy=(x+y)(xy)p=pp12例 6 設(shè) N 是一個(gè)同時(shí)含有數(shù)字10.選甲.提示：相鄰的兩個(gè)自然數(shù)總是互質(zhì)數(shù),把相鄰自然數(shù)兩兩分為一組,這兩數(shù)總是互質(zhì)的，（2,3）,(4,5),(6,7),，(1992,1993)此時(shí) n=124y2=9Q0 xy2_222 S=nx=900X16=230400cm=23,04m。B級1 .19 或 25231提示：q=mn,則 m、n 只能一個(gè)為 1,另一個(gè)為 q.33 .133234.200

15、1115.B 提不：唯有 a=2,b=2089-2=2089-2048=41 是質(zhì)數(shù)，符合題意.2、，.、一21.226.A 提不：當(dāng) a=3 時(shí)，符合題意；當(dāng) aw3 時(shí)，a被 3 處余 1,設(shè)a=3n+1,則 7a+8=21n+15,8a+7=24n+15,它們都不是質(zhì)數(shù)，與條件矛盾.故 a=3.222222227.a-a,bb,c-c,dd 都是偶數(shù)，即 M=abcd(a+b+c+d)是偶數(shù).因?yàn)?2222222222222ab=cd,所以abcd=2(ab)是偶數(shù)，從而有 a+b+c+d=abcd2 2-M=2(ab)M,它一定是偶數(shù)，但 a+b+c+d2,于是 a+b+c+d 是個(gè)合

16、數(shù).8,取六個(gè)數(shù) ai=ix(1X2X3X4X5X6)+1(i=1,2,，6),則其中任意兩個(gè)數(shù)都是互質(zhì)的，事實(shí)上，假設(shè)a2與 a5不互質(zhì)，設(shè) d 是 a2與 a5的最大公約數(shù)，則 d 必是(52)X1x2X3X4X5X6,即 3X1X2X3X4X5x6 的一個(gè)因子，但從a2=2X1X2X3x4X5x6+1 知，d 不整除 m,這與假設(shè) d 是 a2與 a5的最大公約數(shù)矛盾，故 a2與 a5互質(zhì).9 .由 pq+1111 且 pq+11 是質(zhì)數(shù)知，pq+11 必為正奇數(shù)，從而 p=2 或 q=2.若 p=2,此時(shí) 7p+q 及 2q+11 均為質(zhì)數(shù).設(shè) q=3k+1,則 q+14=3(k+5)不是質(zhì)數(shù);設(shè) q=3k+2,則 2q+11=3(2k+5)不是質(zhì)數(shù)，因此 q應(yīng)為 3k 型的質(zhì)數(shù)，當(dāng)然只能是 q=3.(2)若q=2,此時(shí) 7p+q 與 2P+11 均為質(zhì)數(shù)，設(shè) p=3k+1,則 7p+2=3(7k+3)不是質(zhì)數(shù);設(shè) p=3k+2,則 2p+11=3(2k+5)不是質(zhì)數(shù)，因此，p 應(yīng)為 3k 型的質(zhì)數(shù)，p=3.綜合(1),(2)知 p=3,q=2 或 p=2,q=3,所以 pq十 qp=17.10.(1)能辦到提示：注意到 41 與 43 都是質(zhì)數(shù)，據(jù)題意，要使相鄰兩數(shù)的和