線性振動的近似計算方法

1、2022-5-5振動力學12022-5-5振動力學2 在線性多自由度系統(tǒng)振動中，振動問題歸結(jié)為剛度矩陣在線性多自由度系統(tǒng)振動中，振動問題歸結(jié)為剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的廣義特征值問題和質(zhì)量矩陣的廣義特征值問題缺點之一：當系統(tǒng)自由度較大時，求解計算工作量非常大缺點之一：當系統(tǒng)自由度較大時，求解計算工作量非常大 本章介紹幾種近似計算方法，可作為實用的工程計算方本章介紹幾種近似計算方法，可作為實用的工程計算方法對系統(tǒng)的振動特性作近似計算法對系統(tǒng)的振動特性作近似計算 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法2022-5-5振動力學3 鄧克利法鄧克利法- 由鄧克利（由鄧克利（Dunkerley）在實驗確定

2、多圓盤的橫向振動固有頻率）在實驗確定多圓盤的橫向振動固有頻率時提出的時提出的- 便于作為系統(tǒng)基頻的計算公式便于作為系統(tǒng)基頻的計算公式 0KXXM 0XXFM 0XXD 自由振動作用力方程：自由振動作用力方程：左乘柔度矩陣左乘柔度矩陣F = K -1，位移方程：，位移方程：定義定義D=FM 為系統(tǒng)的動力矩陣為系統(tǒng)的動力矩陣nRX作用力方程的特征值問題：作用力方程的特征值問題：MK2位移方程的特征值問題：位移方程的特征值問題：D線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-5-5振動力學4作用力方程的特征值問題：作用力方程的特征值問題：MK2位移方程的特征值問題：位移

3、方程的特征值問題：D特征值：特征值：22221nn21關(guān)系：關(guān)系：2/1ii位移方程的最大特征根：位移方程的最大特征根：211/1對應著系統(tǒng)的第一階固有頻率對應著系統(tǒng)的第一階固有頻率（基頻）（基頻） 位移方程的特征方程：位移方程的特征方程：0 ID展開：展開：0)() 1(1111nnnnnaaa其中：其中：Dtrdddann)(22111例如：例如：022211211dddd0)()() 1(21122211221122dddddd線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法D=FM2022-5-5振動力學5特征方程：特征方程：0)() 1(1111nnnnnaaa其中

4、：其中：Dtrdddann)(22111當當 M 為對角陣時：為對角陣時：)(FMDtrtr 特征方程又可寫為：特征方程又可寫為：0)()(21n niia11有：有：niiiiniimf11柔度系數(shù)柔度系數(shù) fii 的物理意義：沿第的物理意義：沿第 i 個坐標施加單位力時所產(chǎn)生個坐標施加單位力時所產(chǎn)生的第的第 i 個坐標的位移個坐標的位移2/1ii niiiiniimf1121線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法D=FM niiiimf1trD niiiimf12022-5-5振動力學6如果只保留第如果只保留第 i 個質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：個質(zhì)量

5、，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：niiiiniimf11iiiiiimfmk12例如：兩自由度系統(tǒng)例如：兩自由度系統(tǒng)（1）只保留）只保留 m1 時時柔度矩陣：柔度矩陣：2111111111kkkkkF1111kf1121mk（2）只保留）只保留 m2 時時122122111kkkf21222mkm1k1k2m2m1k1m2k1k2 niiiiniimf1121線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-5-5振動力學7如果只保留第如果只保留第 i 個質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：個質(zhì)量，所得的單自由度系統(tǒng)的固有頻率為：niiiiniimf11iiiii

6、imfmk12將將 代入：代入：2i22221121111nnii 對于梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，第二階及第二階以上的固有頻率通常遠大于對于梁結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，第二階及第二階以上的固有頻率通常遠大于基頻，因此左端可只保留基頻項，有：基頻，因此左端可只保留基頻項，有：22221211111n 鄧克利法鄧克利法得到的基頻是精確值的下限得到的基頻是精確值的下限 niiiiniimf1121線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-5-5振動力學822221121111nnii 解釋：解釋：22221211111n ba 21122322111na 22221111nbab 121因在鄧克

7、利法中忽略了因在鄧克利法中忽略了a，因此所得結(jié)果為基頻下限，因此所得結(jié)果為基頻下限得到的基頻是精確值的下限得到的基頻是精確值的下限線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-5-5振動力學9例：三自由度系統(tǒng)（教材例：三自由度系統(tǒng)（教材P104算例）算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常規(guī)方法，采用常規(guī)方法，固有頻率：固有頻率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23鄧克利法：鄧克利法： 當當 m1 單獨存在時單獨存在時mk /21當當 m2 單獨存在時單獨存在時mk/1222kkkkk

8、k21212112當當 m3 單獨存在時單獨存在時kkkkk25111132112352123kkmk52322221211111nmk /3535. 01代入鄧克利法公式：代入鄧克利法公式：mmkk2m2k線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 鄧克利法鄧克利法2022-5-5振動力學10 瑞利法瑞利法- 基于能量原理的一種近似方法基于能量原理的一種近似方法 - 可用于計算系統(tǒng)的基頻可用于計算系統(tǒng)的基頻 算出的近似值為實際基頻的上限算出的近似值為實際基頻的上限 - 配合鄧克利法算出的基頻下限，可以估計實際基頻的大致范圍配合鄧克利法算出的基頻下限，可以估計實際基頻的大致范圍 n 自由

9、度保守系統(tǒng)：自由度保守系統(tǒng)： 0KXXM nRX機械能守恒機械能守恒主振動主振動 ：)sin(tX動能與勢能：動能與勢能： XMXTT21 KXXTV21 最大值：最大值：MTT2max21KTV21maxmaxmaxVT2)(MKTTR瑞利商瑞利商線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-5-5振動力學112)(MKTTR瑞利商瑞利商對于第對于第 i 階模態(tài)：階模態(tài)：2)()()()()()(iiTiiTiiRMK當當 為一般向量時（不是實際模態(tài)），總能展開為為一般向量時（不是實際模態(tài)），總能展開為 n 個正個正則模態(tài)的線性組合：則模態(tài)的線性組合：)()2(2)

10、1(1nNNNNaaaTnaaa,21a代入瑞利商：代入瑞利商：aMaaKaNTNTNTNTR )(可以證明，可以證明， 和和 分別為瑞利商的極小值和極大值分別為瑞利商的極小值和極大值212n即：即：221)(nR線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法 njjNja1)(aN ,)()2()1(nNNNN IaaaaTT njjnjjjaa121222022-5-5振動力學12njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nR分析：分析：j1換為換為若將瑞利商右端分子內(nèi)的所有若將瑞利商右端分子內(nèi)的所有 是最低階固有頻率是最低階固有

11、頻率 1由于由于因此：因此：21121212)(njjnjjaaR21)(R 由瑞利商公式知，當由瑞利商公式知，當 確為第一階模態(tài)時，有：確為第一階模態(tài)時，有：)1(因此，瑞利商的極小值為因此，瑞利商的極小值為21同理可證明，瑞利商的極大值為同理可證明，瑞利商的極大值為2n線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-5-5振動力學13njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nRkjnjaakjj, 2 , 1，如果如果 接近第接近第 k 階真實模態(tài)階真實模態(tài) )(k比起比起 ak ，其它系數(shù)很小，其它系數(shù)很小1j代入，得

12、：代入，得：njjkjkR12222)()(線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-5-5振動力學14kjjaanjjkjkR12222)()(線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法解釋：解釋： 例如例如 k1njaajj, 21，222212222222121)(nnnaaaaaaRnjjnjjjaaR12122)(2222122123212221221232122222222211)()(nnnnn22222122222211)()1 (nniiin22222122211)(nniiiniii2212221)(222222222211

13、nnn21221222122122221222121aaaaaannn約去約去a1分子上加減分子上加減1項項2022-5-5振動力學15njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nRkjnjaakjj, 2 , 1，如果如果 接近第接近第 k 階真實模態(tài)階真實模態(tài) )(k比起比起 ak ，其它系數(shù)很小，其它系數(shù)很小1j代入，得：代入，得：njjkjkR12222)()(因此，若因此，若 與與 的差異為一階小量，則瑞利商與的差異為一階小量，則瑞利商與 的差別的差別為二階小量為二階小量)(k2k對于基頻的特殊情況，令對于基頻的特殊情況，令k1，則由于，則

14、由于 瑞利商在基頻處取極小值瑞利商在基頻處取極小值)2(0212njj利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必為實際基頻的上限利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必為實際基頻的上限愈接近系統(tǒng)的真實模態(tài)，算出的固有頻率愈準確愈接近系統(tǒng)的真實模態(tài)，算出的固有頻率愈準確線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-5-5振動力學16njjnjjjTTNTNTNTNTaaR12122)(IaaaaaMaaKa221)(nR解釋：解釋：njjkjkR12222)()(因為因為)2(0212njj 利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必為實際基頻的上限利用瑞利商估計系統(tǒng)的基頻所得的結(jié)果必

15、為實際基頻的上限愈接近系統(tǒng)的真實模態(tài)，算出的固有頻率愈準確愈接近系統(tǒng)的真實模態(tài)，算出的固有頻率愈準確例如例如 k1njjkjR222221)()(瑞利商：瑞利商：所以所以21)(R得證得證!線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-5-5振動力學17例：三自由度系統(tǒng)（教材例：三自由度系統(tǒng)（教材P106算例）算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常規(guī)方法，固有頻率：采用常規(guī)方法，固有頻率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23采用鄧克利法，基頻：采用鄧克利法，基頻：mk /3535. 01

16、取在取在2m質(zhì)量上施加力質(zhì)量上施加力P所產(chǎn)生的所產(chǎn)生的“靜變形曲線靜變形曲線”作為近似的第作為近似的第一階主振型，即：一階主振型，即：T5 . 2, 2, 1 MKTTR)(代入瑞利商公式：代入瑞利商公式：mkR142857. 0)(mk3780. 01與精確值相比，相對誤差與精確值相比，相對誤差1.34%mmkk2m2k線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 瑞利法瑞利法2022-5-5振動力學18 里茨法里茨法 里茲法是瑞利法的改進里茲法是瑞利法的改進 里茲法將對近似振型給出更合理的假設，從而使算出的基里茲法將對近似振型給出更合理的假設，從而使算出的基頻值進一步下降頻值進一步下降

17、 用里茲法不僅可以計算系統(tǒng)的基頻，還可以算出系統(tǒng)的前用里茲法不僅可以計算系統(tǒng)的基頻，還可以算出系統(tǒng)的前幾階頻率和模態(tài)幾階頻率和模態(tài) 瑞利法算出的基頻的精度取決于假設的振型對第一階主振瑞利法算出的基頻的精度取決于假設的振型對第一階主振型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限型的近似程度，而且得到的基頻總是精確值的上限線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學19里茲法基于與瑞利法相同的原理，但將瑞利使用的單個假設里茲法基于與瑞利法相同的原理，但將瑞利使用的單個假設模態(tài)改進為模態(tài)改進為若干個獨立的假設模態(tài)的線性組合若干個獨立的假設模態(tài)的線性組合： A

18、 rjjjrraaaa1)()()2(2)1(1rnrR ,)()2()1(121, rTrRaaaA1)( niR元素待定元素待定代入瑞利商：代入瑞利商： MKTTR )()()(ARR rrTR KKrrTR MM由于由于 在系統(tǒng)中的真實主振型處取駐值，所以在系統(tǒng)中的真實主振型處取駐值，所以 A 的各個元的各個元素應當從下式確定：素應當從下式確定： )(R)2 , 1(, 0rjaRj 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法AMAAKATTTT AMAAKATT 2 假設模態(tài)假設模態(tài) 2022-5-5振動力學20MKTTR )(), 2 , 1(, 0rjaRj 瑞

19、利商：瑞利商： 2)()( AMAAKAAMAAKAATTTTTTRR代入：代入： ), 2 , 1(, 0)()(2rjaaTjTj AMAAKA), 2 , 1(,2)(2)()()(rjaaaaTjTjjTTjTj AKeAKAAKAAKAAKA其中其中je是是 r 階單位矩陣的第階單位矩陣的第 j 列列 上面上面 r 個方程可合成為：個方程可合成為： AKAKAA2)( TA 表示將函數(shù)分別對表示將函數(shù)分別對 A 的各個元素依次求偏導，然后排列成的各個元素依次求偏導，然后排列成列向量列向量線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學21), 2

20、 , 1(, 0rjaRj 瑞利商：瑞利商： 2)()( AMAAKAAMAAKAATTTTTTRR), 2 , 1(, 0)()(2rjaaTjTj AMAAKA同理，有：同理，有：AKAKAA2)( TAMAMAA2)( T0)()(2 AMAAAKAATT兩項代入：兩項代入： 0AMK )(2可寫為：可寫為：線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學220AMK )(2由于由于 的階數(shù)的階數(shù) r 一般遠小于系統(tǒng)自由度數(shù)一般遠小于系統(tǒng)自由度數(shù) n，上式所示，上式所示的矩陣特征值問題比原來系統(tǒng)的矩陣特征值問題解起來容易的矩陣特征值問題比原來系統(tǒng)的矩

21、陣特征值問題解起來容易得多得多 MK、因此里茲法實際上是一種縮減系統(tǒng)自由度求解固有振動的近因此里茲法實際上是一種縮減系統(tǒng)自由度求解固有振動的近似方法似方法就是自由度縮減為就是自由度縮減為 r 的新系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣的新系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣 MK、), 2 , 1(,22rjjj 22221,r，可求出可求出 r 個特征根個特征根)()2()1(,rAAA及相應的特征向量及相應的特征向量原來系統(tǒng)的前原來系統(tǒng)的前 r 階固有頻率可近似取為：階固有頻率可近似取為：相應的前相應的前 r 階主振型近似取為：階主振型近似取為： ), 2 , 1(,)()(rjjj AA rjjjrraaaa1)

22、()()2(2)1(1線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學230AMK )(222jj ), 2 , 1(,)()(rjjj A正交性分析正交性分析得出的近似主振型式關(guān)于矩陣得出的近似主振型式關(guān)于矩陣 M 和和 K 相互正交相互正交 00)()()()( jTijTiAKAAMA，ji 時時成立成立jijTijTTijTi 當 0)()()()()()(AMAAMAM同理，有：同理，有：jijTijTTijTi 當 0)()()()()()(AKAAKAK因此：因此：線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5

23、振動力學24例：三自由度系統(tǒng)（教材例：三自由度系統(tǒng)（教材P106算例）算例）000220231012200010001321321xxxkxxxm 采用常規(guī)方法，固有頻率：采用常規(guī)方法，固有頻率：mk /3730. 01mk /3213. 12mk /0286. 23采用鄧克利法，基頻：采用鄧克利法，基頻：mk /3535. 01采用里茲法，基頻：采用里茲法，基頻：mk /3780. 01 將假設的振型取為：將假設的振型取為： 13221121）（）（ mmkk2m2k線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學25將假設的振型取為：將假設的振型取為：

24、 13221121）（）（ kkkk20444TK mmmmTT723MMKTTTMM 縮減后的新系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣：縮減后的新系統(tǒng)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣： 特征值問題：特征值問題：0072044234km20AMK )(2139853. 01860147. 22 T1,927547. 4)1( A T1,018449. 0)2( A 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學26 13221121）（）（0072044234km2139853. 01860147. 22 T1,927547. 4)1( A T1,018449. 0)2( Amk

25、mk691197. 1222 固有頻率：固有頻率：mkmk373969. 0111 主振型：主振型： T1860148. 1930074. 02)2()2( A T1860147. 0430073. 01)1()1( A12和和 是主振型歸一化時產(chǎn)生的常數(shù)，不必考慮是主振型歸一化時產(chǎn)生的常數(shù)，不必考慮 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學27mk /691197. 122 固有頻率：固有頻率：mk /373969. 011 主振型：主振型： T1860148. 1930074. 02)2()2( A T1860147. 0430073. 01)

26、1()1( Amkmk/3213. 1,/3730. 021 固有頻率精確值：固有頻率精確值：主振型精確值：主振型精確值： T18608. 04626. 0)1( T17458. 09339. 2)2( 采用鄧克利法，基頻：采用鄧克利法，基頻：mk /3535. 01采用瑞利法，基頻：采用瑞利法，基頻：mk /3780. 01 里茲法得到的基頻精度比用瑞利法的高，但第二階固有頻率的里茲法得到的基頻精度比用瑞利法的高，但第二階固有頻率的精度還欠佳精度還欠佳 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 里茲法里茲法2022-5-5振動力學28 傳遞矩陣法傳遞矩陣法- 傳遞矩陣法適用于計算傳遞

27、矩陣法適用于計算鏈狀結(jié)構(gòu)鏈狀結(jié)構(gòu)的固有頻率和主振型的固有頻率和主振型多個圓盤的扭振，連續(xù)梁，氣輪機和發(fā)電機的轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)多個圓盤的扭振，連續(xù)梁，氣輪機和發(fā)電機的轉(zhuǎn)軸系統(tǒng)- 特征：特征：可簡化為無質(zhì)量的梁上帶有若干個集中質(zhì)量的橫向振動可簡化為無質(zhì)量的梁上帶有若干個集中質(zhì)量的橫向振動- 特點：特點：將鏈狀結(jié)構(gòu)劃分為一系列單元，每對單元之間的傳遞矩將鏈狀結(jié)構(gòu)劃分為一系列單元，每對單元之間的傳遞矩陣的階數(shù)等于單元的運動微分方程的階數(shù)，因此傳遞矩陣法對陣的階數(shù)等于單元的運動微分方程的階數(shù)，因此傳遞矩陣法對全系統(tǒng)的計算分解為階數(shù)很低的各個單元的計算，然后加以綜全系統(tǒng)的計算分解為階數(shù)很低的各個單元的計算，然后加

28、以綜合，從而大大減少計算工作量合，從而大大減少計算工作量（1）軸盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)）軸盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)（2）梁的橫向彎曲振動系統(tǒng)）梁的橫向彎曲振動系統(tǒng)線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學29（1）軸盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)）軸盤扭轉(zhuǎn)振動系統(tǒng)(1)(2)(3)(n-2)(n-1)123n-1n 多盤扭振系統(tǒng)（多盤扭振系統(tǒng)（n-1個盤）個盤）(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 個單元個單元n-1個圓盤個圓盤將圓盤和軸自左至右編號將圓盤和軸自左至右編號第第 i-1 個和第個和第 i 個圓盤以及連接兩盤的軸段構(gòu)成個圓盤以及連接兩盤的軸段構(gòu)成第第

29、 i 個單元個單元Ji-1、 Ji：第：第 i-1 個圓盤和第個圓盤和第 i 個圓盤的轉(zhuǎn)動慣量個圓盤的轉(zhuǎn)動慣量li：第：第 i 個單元軸段的長度個單元軸段的長度 ki：第：第 i 個單元軸段的扭轉(zhuǎn)剛度個單元軸段的扭轉(zhuǎn)剛度軸不計質(zhì)量，只計剛度軸不計質(zhì)量，只計剛度線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學30(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 個單元個單元第第 i 個圓盤兩側(cè)的狀態(tài)變量滿足：個圓盤兩側(cè)的狀態(tài)變量滿足：第第 i 個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：定義狀態(tài)變量：定義狀態(tài)變量：定義：定義

30、：上角標上角標 L 和和 R 表示盤的左側(cè)和右側(cè)截面表示盤的左側(cè)和右側(cè)截面TT),( XiRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiikl：盤轉(zhuǎn)角：盤轉(zhuǎn)角：盤側(cè)面扭矩：盤側(cè)面扭矩TLiRi iiLiRiJTT ii2 iiLiRiJTT2 當圓盤以頻率當圓盤以頻率 作簡諧振動時，有：作簡諧振動時，有：LiiRiTJT 1012線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i個圓盤右端狀態(tài)個圓盤右端狀態(tài)第第i個圓盤左端狀態(tài)個圓盤左端狀態(tài)第第i-1個圓盤個圓盤右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個圓盤個圓盤 左端狀態(tài)左端狀態(tài)2022-5-5振動力學31(i-1)(i)ili k

31、iJiJi-1 第第 i 個單元個單元第第 i 個圓盤兩側(cè)的狀態(tài)變量滿足：個圓盤兩側(cè)的狀態(tài)變量滿足：第第 i 個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：定義狀態(tài)變量：定義狀態(tài)變量：定義：定義：上角標上角標 L 和和 R 表示盤的左側(cè)和右側(cè)截面表示盤的左側(cè)和右側(cè)截面TT),( XiRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiikl：盤轉(zhuǎn)角：盤轉(zhuǎn)角：盤側(cè)面扭矩：盤側(cè)面扭矩TLiRi iiLiRiJTT ii2 iiLiRiJTT2 LiPiRiXSX 1012iPiJS點傳遞矩陣點傳遞矩陣當圓盤以頻率當圓盤以頻率 作簡諧振動時，有：作簡諧振動時，有：LiiRiTJT

32、1012線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i-1個圓盤個圓盤右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個圓盤個圓盤 左端狀態(tài)左端狀態(tài)2022-5-5振動力學32第第 i 個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：第第 i 個軸段上扭矩平衡條件：個軸段上扭矩平衡條件：狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：TT),( X)(11RiLiiRiLikTT 1012iPiJS點傳遞矩陣點傳遞矩陣第第 i 個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX (i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 個單元個單元iRiTLiTiJL

33、iRi 1 RiT1 LiTiiklRiiLiTkT110/11 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i個圓盤左端狀態(tài)個圓盤左端狀態(tài) 第第i-1個圓盤右端狀態(tài)個圓盤右端狀態(tài)第第i-1個圓盤個圓盤右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個圓盤個圓盤 左端狀態(tài)左端狀態(tài)2022-5-5振動力學33第第 i 個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：第第 i 個軸段上扭矩平衡條件：個軸段上扭矩平衡條件：狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：TT),( X)(11RiLiiRiLikTT RiFiLi1 XSX 1012iPiJS點傳遞矩陣點傳遞矩陣 10/11iFikS場傳

34、遞矩陣場傳遞矩陣第第 i 個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX (i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 個單元個單元iRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiiklRiiLiTkT110/11 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i-1個圓盤個圓盤右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個圓盤個圓盤 左端狀態(tài)左端狀態(tài)2022-5-5振動力學34第第 i 個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：TT),( XRiFiLi1 XSX 1012iPiJS點傳遞矩陣

35、點傳遞矩陣 10/11iFikS場傳遞矩陣場傳遞矩陣第第 i 個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX 第第 i-1 個圓盤右側(cè)到第個圓盤右側(cè)到第 i 個圓盤右側(cè)的狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：個圓盤右側(cè)的狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：RiiRiFiPiRi11 XSXSSXFiPiiSSS 單元傳遞矩陣單元傳遞矩陣(i-1)(i)ili kiJiJi-1 第第 i 個單元個單元iRiTLiTiJLiRi 1 RiT1 LiTiikl線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i-1個圓盤個圓盤右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個圓盤個圓盤 左端狀態(tài)左端

36、狀態(tài)2022-5-5振動力學35第第 i 個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個軸段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：RiFiLi1 XSX 1012iPiJS點傳遞矩陣點傳遞矩陣 10/11iFikS場傳遞矩陣場傳遞矩陣第第 i 個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個圓盤左右兩側(cè)狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX 第第 i-1 個圓盤右側(cè)到第個圓盤右側(cè)到第 i 個圓盤右側(cè)的狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：個圓盤右側(cè)的狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：RiiRiFiPiRi11 XSXSSXFiPiiSSS 單元傳遞矩陣單元傳遞矩陣 )/(1/1110/11101222iiiiiiFiPiikJJkkJSSSn 個圓盤的軸系，最

37、左端和最右端狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：個圓盤的軸系，最左端和最右端狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：RRn1SXX S：第：第1至第至第n單元通路中所有單元傳遞矩陣的連乘積單元通路中所有單元傳遞矩陣的連乘積最后利用兩端邊界條件可確定固有頻率和模態(tài)最后利用兩端邊界條件可確定固有頻率和模態(tài)（ 的函數(shù)）的函數(shù)）11SSSS nn線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學36例：三圓盤扭振系統(tǒng)例：三圓盤扭振系統(tǒng)kkk 21用傳遞矩陣法求固有頻率和模態(tài)用傳遞矩陣法求固有頻率和模態(tài)1J3J2J1k2kJJJ 31JJ22 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩

38、陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學37例：三圓盤扭振系統(tǒng)例：三圓盤扭振系統(tǒng)kkk 211J3J2J1k2kJJJ 31JJ22 解：解：兩端無約束，邊界條件：兩端無約束，邊界條件：031 RLTT令：令：11 第一個圓盤左端狀態(tài)：第一個圓盤左端狀態(tài)： 011LT 1012iPiJSLiPiRiXSX 第一個圓盤右端狀態(tài)：第一個圓盤右端狀態(tài)： JJTR221101101線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學38kkk 211J3J2J1k2kJJJ 21JJ23 兩端邊界條件：兩端邊界條件：031 RLTT令：令：11 011LT JT

39、R211RiiRi1 XSX：、RR32XX )32(11212112222222kJJkJJkJJkTR )/(1/1122iiiiikJJkS )232142)32(1212112442224222223kJkJJkJkJkJJkJkJJkTR線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學391J3J2J1k2k兩端邊界條件：兩端邊界條件：031 RLTT令：令：11 011LT JTR211 )32(12222kJJkJTR )23214224422243kJkJJkJkJTR0)2322442 kJkJJ根據(jù)邊界條件：根據(jù)邊界條件： Jk

40、Jk/2/0321代入各單元狀態(tài)的第一個元素，得模態(tài)：代入各單元狀態(tài)的第一個元素，得模態(tài)： 111)1( 101)2( 111)3(線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學40（2）梁的橫向彎曲振動系統(tǒng)）梁的橫向彎曲振動系統(tǒng)) 1 (n)2(123)0() 1( n)2( n1 n)3()(n傳遞矩陣法可用于分析梁的橫向彎曲振動傳遞矩陣法可用于分析梁的橫向彎曲振動假定梁上有假定梁上有 n-1 個集中質(zhì)量個集中質(zhì)量將支座、梁段、集中質(zhì)量自左向右分別編號將支座、梁段、集中質(zhì)量自左向右分別編號梁段質(zhì)量不計，只計剛度梁段質(zhì)量不計，只計剛度第第 i-

41、1 個和第個和第 i 個質(zhì)量以及連接兩質(zhì)量的梁段構(gòu)成個質(zhì)量以及連接兩質(zhì)量的梁段構(gòu)成第第 i 個單元個單元狀態(tài)變量構(gòu)成：狀態(tài)變量構(gòu)成：TsFMy)( X集中質(zhì)量處梁的橫向位移、截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力集中質(zhì)量處梁的橫向位移、截面轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力第第 i 個梁段長個梁段長 li，抗彎剛度，抗彎剛度 EiIi，質(zhì)量分別為，質(zhì)量分別為mi-1、mii) 1( iiiiIEl1 im)(iim第第 i 個單元個單元Li 1 XRi 1 XLiXRiX線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學41) 1 (n)2(123)0() 1( n)2( n1 n)3

42、()(ni) 1( iiiiIEl1 im)(iim第第 i 個質(zhì)量兩側(cè)滿足：個質(zhì)量兩側(cè)滿足：第第 i 個質(zhì)量受力分析個質(zhì)量受力分析imLisF,RisF,RiMLiM iiLisRisLiRiLiRiLiRiymFFMMyy ,iiyy2 當系統(tǒng)以頻率當系統(tǒng)以頻率 作簡諧振動時：作簡諧振動時：iiLisRisymFF2, 第第 i 個質(zhì)量左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：個質(zhì)量左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX 點傳遞矩陣點傳遞矩陣第第 i 個單元個單元LisiRisFMymFMy 1000100001000012線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振

43、動力學42) 1 (n)2(123)0() 1( n)2( n1 n)3()(ni) 1( iiiiIEl1 im)(iim平衡條件：平衡條件：第第 i 個梁段受力分析個梁段受力分析RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 LiyilxyiRisRiLilFMM1,1 RisLisFF1, 梁段兩端位移和轉(zhuǎn)角分析梁段兩端位移和轉(zhuǎn)角分析設第設第 i 個梁段距離左端個梁段距離左端 x 遠的截面遠的截面的彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度分別為：的彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度分別為：)()()(xyxxMiii，對于彎矩，有：對于彎矩，有：xFMxMRisRii1,1)( 第第 i 個單元個單元Li 1 X

44、Ri 1 XLiXRiX線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i-1個質(zhì)量個質(zhì)量右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個質(zhì)量個質(zhì)量左端狀態(tài)左端狀態(tài)2022-5-5振動力學43設第設第 i 個梁段距離左端個梁段距離左端 x 遠的截遠的截面的彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度分別為：面的彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度分別為：)()()(xyxxMiii，對于轉(zhuǎn)角，由材料力學有：對于轉(zhuǎn)角，由材料力學有： xiiiRiidxxMIEx01)(1)(xFMxMRisRii1,1)( 21,11211xFIExMIERisiiRiiiRi 對于撓度：對于撓度： xiRiidxxyxy01)()(31,21116121

45、xFIExMIExyRisiiRiiiRiRi RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 Liyilxy線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學44設第設第 i 個梁段距離左端個梁段距離左端 x 遠的截遠的截面的彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度分別為：面的彎矩、轉(zhuǎn)角和撓度分別為：)()()(xyxxMiii，xFMxMRisRii1,1)( 21,11211)(xFIExMIExRisiiRiiiRii 31,21116121)(xFIExMIExyxyRisiiRiiiRiRii 令令)()(xyxii、中中 x=li：iiiRis

46、iiiRiRiLiIElFIElM221,11 iiiRisiiiRiiRiRiLiIElFIElMlyy6231,2111 RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 Liyilxy線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學45iRisRiLilFMM1,1 RisLisFF1, iiiRisiiiRiRiLiIElFIElM221,11 iiiRisiiiRiiRiRiLiIElFIElMlyy6231,2111 RisF1, LisF,LiMRiM1 Ri 1 LiRiy1 Liyilxy梁段受力平衡方程：梁段受力平

47、衡方程：第第 i 個梁段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個梁段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：RiFiLi1 XSX場傳遞矩陣場傳遞矩陣RisiiiiiiiiiiiiiiLisFMylIElIElIElIEllFMy12321000100)2/()/(10)6/()2/(1 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法第第i-1個質(zhì)量個質(zhì)量右端狀態(tài)右端狀態(tài)第第i個質(zhì)量個質(zhì)量左端狀態(tài)左端狀態(tài)2022-5-5振動力學46第第 i 個質(zhì)量左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：個質(zhì)量左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX 第第 i 個梁段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：個梁段左右兩端狀態(tài)變量的傳遞關(guān)系：R

48、iFiLi1 XSX第第 i -1 個質(zhì)量右側(cè)至第個質(zhì)量右側(cè)至第 i個質(zhì)量右側(cè)的狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：個質(zhì)量右側(cè)的狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：RiiRiFiPiRi11 XSXSSXFiPiiSSS 單元傳遞矩陣單元傳遞矩陣對于帶對于帶 n 個集中質(zhì)量得梁，總能利用各單元傳遞矩陣的連乘個集中質(zhì)量得梁，總能利用各單元傳遞矩陣的連乘積導出梁的最左端和最右端狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：積導出梁的最左端和最右端狀態(tài)變量傳遞關(guān)系：RRn1SXX 最后利用兩端邊界條件可確定固有頻率和模態(tài)最后利用兩端邊界條件可確定固有頻率和模態(tài)i) 1( iiiiIEl1 im)(iim第第 i 個單元個單元Li 1 XRi 1 XLiXRiX線

49、性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學47 1000100001000012iPimSFiPiiSSS 單元傳遞矩陣：單元傳遞矩陣： 1000100)2/()/(10)6/()2/(1232iiiiiiiiiiiiiiFilIElIElIElIEllS )6/(1)2/(100)2/()/(10)6/()2/(1322222232iiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiIElmIElmlmmlIElIElIElIEllS代入，得：代入，得：點傳遞矩陣點傳遞矩陣場傳遞矩陣場傳遞矩陣線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 /

50、傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學48例：用傳遞矩陣法求解固有頻率例：用傳遞矩陣法求解固有頻率梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度 EI mmlll線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學49例：用傳遞矩陣法求解固有頻率例：用傳遞矩陣法求解固有頻率梁的抗彎剛度梁的抗彎剛度 EI 解：解：對支座、質(zhì)量、梁段編號對支座、質(zhì)量、梁段編號 狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：兩端邊界已知條件：兩端邊界已知條件：0, 03300 LLRRMyMyTsFMy)( Xmmlll無量綱邊界條件：無量綱邊界條件：0, 03300 LLRRMyMy引入無量綱變量：引入無量綱變量

51、：EImlEIlFFEIMlMlyyss232, 無量綱狀態(tài)變量：無量綱狀態(tài)變量：TsFMy)( X) 1 ()2(123)0()3(R0XL1XR1XR2XL2XL3X線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學500, 03300 LLRRMyMy點傳遞矩陣和場傳遞點傳遞矩陣和場傳遞矩陣轉(zhuǎn)到無量綱域矩陣轉(zhuǎn)到無量綱域TsFMy)( X 100010000100001PiS 100011002/11106/12/111FiS) 1 ()2(123)0()3(R0XL1XR1XR2XL2XL3X無量綱變量：無量綱變量：EImlEIlFFEIMlM

52、lyyss232, 1000100001000012iPimS點傳遞矩陣點傳遞矩陣 1000100)2/()/(10)6/()2/(1232iiiiiiiiiiiiiiFilIElIElIElIEllS場傳遞矩陣場傳遞矩陣線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法2022-5-5振動力學510, 03300 LLRRMyMy點傳遞矩陣和場傳遞矩點傳遞矩陣和場傳遞矩陣轉(zhuǎn)到無量綱域，有：陣轉(zhuǎn)到無量綱域，有：TsFMy)( X 100010000100001PiS 100011002/11106/12/111FiS第第 i 個梁段左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：個梁段左右兩側(cè)的傳遞關(guān)

53、系：RiFiLi1 XSX兩支座之間的傳遞矩陣：兩支座之間的傳遞矩陣：FPFPF11223SSSSSS 梁段梁段1：RFL011XSX 梁段梁段2：RFL122XSX 梁段梁段3：RFL233XSX ) 1 ()2(123)0()3(R0XL1XR1XR2XL2XL3X質(zhì)量質(zhì)量1：兩支座之間的狀態(tài)關(guān)系：兩支座之間的狀態(tài)關(guān)系：RFL233XSX LPR111XSX 質(zhì)量質(zhì)量2：LPR222XSX 第第 i 個質(zhì)量左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：個質(zhì)量左右兩側(cè)的傳遞關(guān)系：LiPiRiXSX 線性振動的近似計算方法線性振動的近似計算方法 / 傳遞矩陣法傳遞矩陣法R0XS)(223LPFXSS)(1223RFPFXSSS)(11223LPFPFXSSSS)(011223RFPFPFXSSSSS2022-5-5振動力學520, 03300 LLRRMyMy點傳遞矩陣和場傳遞矩點傳遞矩陣和場傳遞矩陣轉(zhuǎn)到無量綱域，有：陣轉(zhuǎn)到無量綱域，有：TsFMy)( X 10