四章中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用ppt課件

1、第第 四章四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)運(yùn)用中值定理與導(dǎo)數(shù)運(yùn)用4.1 微分中值定理微分中值定理一、羅爾一、羅爾(Rolle)(Rolle)定理定理1. 費(fèi)馬引理費(fèi)馬引理 . 0)()()()()()()()(0000000 xfxfxfxfxfxUxxxUxxf那么，或，有處可導(dǎo)，如果對(duì)任意的并且在內(nèi)有定義，的某鄰域在點(diǎn)設(shè)函數(shù) 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf滿足滿足 （1 1） 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)；上連續(xù)； （2 2）在開(kāi)區(qū)間）在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)；內(nèi)可導(dǎo)； （3 3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等，即)()(bfaf , ,那么那么在在),(ba內(nèi) 至 少 有 一 點(diǎn)

2、內(nèi) 至 少 有 一 點(diǎn))(ba , , 使 得使 得 0)( f 2. 羅爾羅爾Rolle定理定理 幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,軸在該點(diǎn)處的切線平行于至少有一點(diǎn)線存在，則此曲線弧上軸的切垂直于若除端點(diǎn)外處處均有不上，續(xù)曲線弧在兩端點(diǎn)高度相同的連xCxABC留意留意:假設(shè)羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足假設(shè)羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論能夠不成立其結(jié)論能夠不成立.例如例如,;2 , 2, xxy,)0(2 , 2的一切條件的一切條件滿足羅爾定理滿足羅爾定理不存在外不存在外上除上除在在f . 0)(2-2 xf使使內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)能能，但但在在區(qū)區(qū)間間

3、.1 , 0, xxy;0, 01 , 0(,1 xxxy又例如又例如,.10125的正實(shí)根一個(gè)小于有且僅有證明方程例 xx.0230102120022130的正根少有一個(gè)小于至，證明方程根有正如果方程例xaxaxaxxaxaxa二、拉格朗日二、拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)中值定理中值定理拉拉格格朗朗日日（L La ag gr ra an ng ge e）中中值值定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù) f(x)在在 閉閉區(qū)區(qū)間間,ba上上連連續(xù)續(xù), ,在在開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間),(ba內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo), ,那那么么在在 ),(ba內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一點(diǎn)點(diǎn))(ba ，使使等等式式 )()()(abf

4、afbf 成成立立. . )1()2().()(:bfaf 去去掉掉了了與與羅羅爾爾定定理理相相比比條條件件中中注注意意).()()( fabafbf結(jié)結(jié)論論亦亦可可寫(xiě)寫(xiě)成成ab1 2 xoy)(xfy ABCD幾何解釋幾何解釋:.,ABCx處曲線的切線平行于弦在該點(diǎn)有一點(diǎn)切線的曲線弧上，至少軸的有不垂直于在連續(xù)且除端點(diǎn)外處處證明證明 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxF ,)(滿足羅爾定理的條件滿足羅爾定理的條件xF. 0)(,),( Fba使使得得內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或

5、拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式留意留意: :拉氏公式準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的拉氏公式準(zhǔn)確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系. .,),(,)(內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)，在在設(shè)設(shè)babaxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也也可可寫(xiě)寫(xiě)成成.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 拉格朗日中值定理又稱有限增量定理拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理微分中值定理)(

6、)()()(0000 xxxfxxfdyyxfxf留意：函數(shù)在點(diǎn)留意：函數(shù)在點(diǎn) 的微分是表示函數(shù)在點(diǎn)的微分是表示函數(shù)在點(diǎn) 的增量的近似值。的增量的近似值。0 x0 x.)(,)(是一個(gè)常數(shù)上在區(qū)間那末導(dǎo)數(shù)恒為零上的在區(qū)間如果函數(shù)定理IxfIxf).11(2arccosarcsin4xxx證明例證明恒等式的普通方法證明恒等式的普通方法.1,0)(33值并求滿足定理的上的正確性，在區(qū)間中值定理對(duì)函數(shù)驗(yàn)證例xxfLagrange.)1ln(1,05xxxxx 時(shí)證明當(dāng)例)0.()()(,)(6axfaxfLimKxfLimxx求設(shè)例xoy )()(xfYxFX)(xFNM)(aFA)(bFB)(2

7、F)(1 Fxoy)(xfy ABx1 2 MN).()()()(axabafbfafy 弦弦AB的普通方程為的普通方程為弦弦AB的參數(shù)方程的參數(shù)方程為為)()()()()()()(aFxFaFbFafbfafy)()()()(aFbFafbfdXdY在參數(shù)方程下，弦在參數(shù)方程下，弦AB的斜率為的斜率為柯西（柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF滿滿足足( (1 1) )在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), , ( (2 2) )在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), , ( (3 3) ) 對(duì)對(duì)),(ba內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)均均有有)(xF不為

8、零，不為零，那么那么在在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( FfaFbFafbf 成立成立. . 三、柯西三、柯西(Cauchy)(Cauchy)中值定理中值定理)(1 F)(2 Fxoy )()(xfYxFX)(aFA)(bFBCD.端點(diǎn)的連線該點(diǎn)處的切線平行于兩，在上，至少存在一點(diǎn)連續(xù)曲線弧CAB幾何解釋幾何解釋:.2ln4)1ln(arctan12172成立時(shí)，不等式，證明當(dāng)例xxx.)(1)0()()()()(8xexffxfxfxf則，且滿足關(guān)系式內(nèi)，在證明：若函數(shù)例).10( ,)()(0)0()0()0(0)(9)()1(！證

9、明：，試用柯西中值定理階導(dǎo)數(shù)，且具有的某鄰域內(nèi)在設(shè)函數(shù)例nxfxxffffnxxfynnn證：證：1111,)(0)0()()(nnnnnfxfxfxxf在在(0,x)之間，之間，22221111111,) 1()(0)0()()( nnnnnnfnnffnf在在 之間，之間，), 0(1.在在(0,x)之間，之間，nnnnnfxxf,)()(!)(因此，因此，, 10 ,xn從而有從而有) 10( ,)()(!)(nxfxxfnn小結(jié)小結(jié)Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理

10、、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；留意定理成立的條件；留意定理成立的條件；留意利用中值定理證明等式與不等式的步驟留意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.2. 設(shè)設(shè),0)(Cxf且在),0(內(nèi)可導(dǎo), 證明至少存在一點(diǎn), ),0(使.cot)()(ff提示提示: 由結(jié)論可知, 只需證0cos)(sin)(ff即0sin)(xxxf驗(yàn)證)(xF在,0上滿足羅爾定理?xiàng)l件.設(shè)xxfxFsin)()(3. 假假設(shè)設(shè))(xf可導(dǎo), 試證在其兩個(gè)零點(diǎn)間一定有)()(xfxf的零點(diǎn). 提示提示: 設(shè)設(shè),0)()(2121xxxfxf欲證:, ),(21xx使0)()(ff只需證0)()(f

11、fee亦即0 )(exxxf作輔助函數(shù), )(e)(xfxFx驗(yàn)證)(xF在,21xx上滿足羅爾定理?xiàng)l件.費(fèi)馬費(fèi)馬(1601 1665)費(fèi)馬 法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他是一位律師, 數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余喜好. 他興趣廣泛, 博覽群書(shū)并擅長(zhǎng)思索, 在數(shù)學(xué)上有許多艱苦奉獻(xiàn). 他特別喜好數(shù)論, 他提出的費(fèi)馬大定理:,2無(wú)整數(shù)解方程時(shí)當(dāng)nnnzyxn歷經(jīng)358年, 直到1993年才由美國(guó)普林斯頓大學(xué)的安德魯.懷爾斯教授經(jīng)過(guò)十年的潛心研討才得到處理 .引理是后人從他研討處理最值的方法中提煉出來(lái)的.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論, 解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的奉獻(xiàn), 近百余年來(lái),

12、 數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的任務(wù), 他是對(duì)分析數(shù)學(xué) 產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.柯西柯西(1789 1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家, 他對(duì)數(shù)學(xué)的奉獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),共有 27 卷. 其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué) 校編寫(xiě)的, , 等, 有思想有創(chuàng)建, 響廣泛而深遠(yuǎn) .對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一, 他為微積分所奠定的根底推進(jìn)了分析的開(kāi)展. 復(fù)變函數(shù)和微分方程方面 . 終身發(fā)表論文800余篇, 著書(shū) 7 本 , 備用題備用題求證存在, ) 1 ,0(. 0)()(ffn使1. 設(shè)設(shè) 1 , 0可導(dǎo)，且,0) 1 (f在延續(xù)，) 1 ,0()(xf證證: 設(shè)輔助函數(shù)設(shè)輔助函數(shù))()(xfxxn, ) 1 ,0(因此至少存在顯然)(x在 上滿足羅爾