高一數(shù)學(xué)下冊(cè)第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)4.5反函數(shù)的概念課件滬教版

1、第四章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)4.5 反函數(shù)的概念反函數(shù)的概念假如假如設(shè)設(shè)v=2 千米千米/小時(shí)小時(shí),t表示時(shí)間表示時(shí)間,s表示位移表示位移.時(shí)間時(shí)間 t (小時(shí)小時(shí))位移位移 s(千米千米)1234位移位移 s (千米千米)時(shí)間時(shí)間 t (小時(shí)小時(shí))246824681234根據(jù)條件填圖根據(jù)條件填圖, ,并寫出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式并寫出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式. .ts2st21觀察兩式觀察兩式22勻速運(yùn)動(dòng)勻速運(yùn)動(dòng)引例引例：觀察這兩個(gè)關(guān)系式發(fā)現(xiàn)：觀察這兩個(gè)關(guān)系式發(fā)現(xiàn)：ts2st21在中在中t t是自變量是自變量,s,s是自變量是自變量t t的函數(shù)的函數(shù). .在中在中s s是自變量是自變量,t,t是自變量是自變量

2、s s的函數(shù)的函數(shù). .除此之外除此之外,我們還可發(fā)現(xiàn)的表達(dá)式我們還可發(fā)現(xiàn)的表達(dá)式可由的表達(dá)式變換而得可由的表達(dá)式變換而得,即從式即從式中求出中求出t即可即可.2.2stst這時(shí)我們就說是函數(shù)的反函數(shù)又例如又例如,y2x6(x0,1) ,.xyx又例如 在函數(shù)中是自變量是 的函數(shù)26(0,1)3(6,8)2yxxyxy由可以得到式子3(6,8)226(0,1).yxyyxx這時(shí)我們就說是函數(shù)的反函數(shù)得到反函數(shù)的概念得到反函數(shù)的概念,6,830,1yx這樣 對(duì)于 在中任何一個(gè)值,通過式子yx=， 在中都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)2,(6,8),.yyxy也就是說 可以把 作為自變量作為 的函數(shù)一、反函數(shù)

3、的概念一、反函數(shù)的概念一般地，對(duì)于函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)( ),(,)yf xxD yA若對(duì)于若對(duì)于 中任意一個(gè)值中任意一個(gè)值 ，都有，都有 中中唯一唯一的的A0yD0 x使得使得00()yf x，那么在，那么在 上就確定了上就確定了A( )yf x的的反函數(shù)反函數(shù)，記作，記作1( ),xfyyA例例( ),yf x xD1( ),xfyyA*2 ,yx xN的反函數(shù)就是的反函數(shù)就是,2yxy正偶數(shù)集正偶數(shù)集函數(shù)函數(shù)與函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)互為反函數(shù)！思考思考：函數(shù)：函數(shù) 的因變量的因變量 與自變量與自變量3,yxxRyx的對(duì)應(yīng)關(guān)系逆過來，能否構(gòu)成函數(shù)？的對(duì)應(yīng)關(guān)系逆過來，能否構(gòu)成函數(shù)？函數(shù)函數(shù) 的

4、因變量的因變量 與自變量與自變量2,yxxRyx的對(duì)應(yīng)關(guān)系逆過來，能否構(gòu)成函數(shù)？的對(duì)應(yīng)關(guān)系逆過來，能否構(gòu)成函數(shù)？反函數(shù)的存在性反函數(shù)的存在性例例1.判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)。判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)。(1)(2)(3)(4)3,0yxx21,yxxR42,yxxR,11xyxx (5)(6)xyOxyO存在存在不存在不存在存在存在存在存在存在存在不存在不存在二、一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的判定二、一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)的判定記記( ),(,)yf xxD yA(1)對(duì)于任意對(duì)于任意 ，若，若 ,則則12,x xD12xx12()()f xf x（或（或 若若 ，則，則 ）12()()f xf x12x

5、x(2)函數(shù)函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)是單調(diào)函數(shù).(充分非必要條件充分非必要條件)( )yf x(3)函數(shù)函數(shù) 的圖像符合的圖像符合“水平線檢驗(yàn)法水平線檢驗(yàn)法”( )yf x(4)由由 解得的解得的 也是一個(gè)函數(shù)也是一個(gè)函數(shù).( )yf x( )xy上述所有方法都可說明函數(shù)上述所有方法都可說明函數(shù)( )yf x( )yf x存在反函數(shù)，即存在反函數(shù)，即 是是“一對(duì)一一對(duì)一”的的.三、求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)三、求一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)例例 求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)的反函數(shù).1,0yxx解：解： 的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,0yxx1,)求求 得得x1xy所以反函數(shù)為所以反函數(shù)為1,1xyy為了在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出一個(gè)函數(shù)為了在

6、同一坐標(biāo)系內(nèi)作出一個(gè)函數(shù)x表示，因變量用表示，因變量用 表示表示.y因此，反函數(shù)改寫為因此，反函數(shù)改寫為1,1yxxxyO111,0yxx1,1yxx與其反函數(shù)的圖像，習(xí)慣上自變量用與其反函數(shù)的圖像，習(xí)慣上自變量用例例2.求下列函數(shù)的反函數(shù)求下列函數(shù)的反函數(shù).(1)42,yxxR(2)21,0yxx(3)22 ,0yxx x(4),11xyxx 解解: (1)yR24yx因此反函數(shù)為因此反函數(shù)為1,42xyxR1,)y(2)解得：解得：1xy解得：解得：因此反函數(shù)為因此反函數(shù)為1,1yxx例例2.求下列函數(shù)的反函數(shù)求下列函數(shù)的反函數(shù).(3)22 ,0yxx x(4),11xyxx 解解: (3

7、)0,)y2442yx因此反函數(shù)為因此反函數(shù)為11,0yxx(,1)(1,)y (4)解得：解得：1yxy解得：解得：因此反函數(shù)為因此反函數(shù)為,11xyxx11,11yxx 解畢解畢反函數(shù)的概念小結(jié)反函數(shù)的概念小結(jié)( ),(,)yf xxD yA1( ),xfyyA存在反函數(shù)的存在反函數(shù)的是是一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)的的x與與y函數(shù)函數(shù) 與函數(shù)與函數(shù)( ),yf x xD互為反函數(shù)互為反函數(shù).充要條件是：充要條件是：求求 的反函數(shù)的一般步驟為：的反函數(shù)的一般步驟為：( ),yf x xD求值域求值域(即反函數(shù)的定義域即反函數(shù)的定義域)求方程求方程 的解的解改寫為反函數(shù)改寫為反函數(shù)1( )xfx( )y

8、f x1( ),yfx xA(1)(2)(3)則則對(duì)應(yīng)法互逆，定義域、值域互反對(duì)應(yīng)法互逆，定義域、值域互反. 例例3：求函數(shù)：求函數(shù)211xy （ 1 x 0）的反函數(shù)的反函數(shù). 1 x 021x 211xy 22yyx211xy 22xxy解：解： 0 1 0 y 1解得解得( 1 x 0 )由由( 1 x 0)的反函數(shù)的反函數(shù)是：是：( 0 x 1 )0 x2 101 x2 1. 1) x (0 xxxxf)01(1)(1221(01)4.( 10)xxyxx 例 求函數(shù)的反函數(shù).反函數(shù)的練習(xí)：反函數(shù)的練習(xí)：211 .( )1,0 1 ,( ) . fxxxfx（ ） 已 知 ：且，則 其

9、 反 函 數(shù)1)x0( x-12 （2）函數(shù)）函數(shù)y=2|x|在下列哪個(gè)定義區(qū)間內(nèi)不存在在下列哪個(gè)定義區(qū)間內(nèi)不存在反函數(shù)？反函數(shù)？ （ ） （A）2，4； （B）-4，4 （C）0，+) （D（-，0B有時(shí)原函數(shù)和反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)有時(shí)原函數(shù)和反函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)（3）已知）已知 ，求，求2( )1,2f xxx 1(4)f解：解：1( )1,3fxxx 因此因此1(4)4 15f 解法二：設(shè)解法二：設(shè)1(4)fa因此因此( )4f a 即點(diǎn)即點(diǎn) 在在 圖像上圖像上( ,4)a( )f x即點(diǎn)即點(diǎn) 在在 圖像上圖像上(4, )a1( )fx214,2aa 解得

10、解得5a 解畢解畢1( )( )f abfba（第（第2課時(shí)）課前練習(xí)課時(shí)）課前練習(xí):的的反反函函數(shù)數(shù)。、求求函函數(shù)數(shù))1x0(x-1f(x)1 的的反反函函數(shù)數(shù)、求求函函數(shù)數(shù) 1)(x x1)x(0 1-2xf(x)22 21 ( 13( ) (1 16)(16)4 16 )(16) .xxf xxxxxf ，、已知函數(shù)，則例例1. 求函數(shù)求函數(shù)y=3x-2的反函數(shù)的反函數(shù),并畫出原函數(shù)和反函數(shù)的圖像并畫出原函數(shù)和反函數(shù)的圖像.解解 y=3x-2 函數(shù)函數(shù)y=3x-2(xR） 的反函數(shù)為的反函數(shù)為 y=32x x=32y1-2 -11-1-2xyy=3x-232xyxy xRR（一）例題講解

11、（一）例題講解反函數(shù)的圖像反函數(shù)的圖像.例例2.求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系中的反函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像畫出它們的圖像.1yxOxy1解：解：1yx的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,)21xy1yx的反函數(shù)是的反函數(shù)是21,0yxx1yx21,0yxx一、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系一、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系定理定理 函數(shù)函數(shù) 和它的反函數(shù)和它的反函數(shù) 的圖像的圖像( )yf x1( )yfx關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.yx證：證：設(shè)設(shè) 是是 的圖像上的圖像上任意一點(diǎn)任意一點(diǎn).( , )M a b( )yf x( )f ab因此因此1( )yfx是是 的反函數(shù)的反函數(shù)( )yf

12、 x1( )fba因此因此即即 在反函數(shù)在反函數(shù) 圖像上圖像上.( , )M b a1( )yfxyx( , )M a b( , )M b ayxO一、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系一、互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系定理定理 函數(shù)函數(shù) 和它的反函數(shù)和它的反函數(shù) 的圖像的圖像( )yf x1( )yfx關(guān)于直線關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.yxyx( , )M a b( , )M b a( )yf x1( )yfxyxO續(xù)證續(xù)證：( , )M a b對(duì)稱對(duì)稱.圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于圖像上任意一點(diǎn)關(guān)于( , )M b a1( )yfxyx( , )M a b是是 上任意一點(diǎn)，上任意一點(diǎn)，( )yf x( )yf x

13、直線直線 的對(duì)稱點(diǎn)都在的對(duì)稱點(diǎn)都在 的圖像上的圖像上.yx由于由于 與與 互為反函數(shù)，故以上結(jié)論互為反函數(shù)，故以上結(jié)論1( )fx( )f x反之也成立反之也成立. 與與 關(guān)于直線關(guān)于直線證畢證畢( , )P c c例例2.求函數(shù)求函數(shù) 的反函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系中的反函數(shù)，并在同一坐標(biāo)系中畫出它們的圖像畫出它們的圖像.1yxOxy1解：解：1yx的值域?yàn)榈闹涤驗(yàn)?,)21xy1yx的反函數(shù)是的反函數(shù)是21,0yxx思考思考 函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像函數(shù)的圖像與其反函數(shù)的圖像有什么有怎樣的位置關(guān)系？平移有何規(guī)律？有什么有怎樣的位置關(guān)系？平移有何規(guī)律？1yx21,0yxx例例.求函數(shù)求函數(shù)y=x

14、3(xR)的反函數(shù)的反函數(shù),并畫出并畫出原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象原來的函數(shù)和它的反函數(shù)的圖象.解：解：33yxxy )(3Rxxy 3xy 3xy xy xy11原函數(shù)與原函數(shù)與y=x的交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)？點(diǎn)個(gè)數(shù)？反函數(shù)與反函數(shù)與y=x的交的交點(diǎn)個(gè)數(shù)？點(diǎn)個(gè)數(shù)？原函數(shù)與反函數(shù)的原函數(shù)與反函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置？交點(diǎn)個(gè)數(shù)及位置？例例4.求證：函數(shù)求證：函數(shù) 的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線21( )2xf xxyx對(duì)稱對(duì)稱.分析分析：由于：由于存在反函數(shù)，且存在反函數(shù)，且1( )fxyx因此，即證因此，即證1( )( )fxf x證：證：21(2,2)2xyxyx令221yxyx 212yxy121( )

15、( )2xfxf xx因此因此 的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線 對(duì)稱對(duì)稱.( )f xyx與與 的圖像關(guān)于的圖像關(guān)于 對(duì)稱，對(duì)稱，21( )2xf xx( )f x證畢證畢若函數(shù)若函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，那么它存在反函數(shù)，且反對(duì)稱，那么它存在反函數(shù)，且反函數(shù)是它本身。函數(shù)是它本身。1( )( )f xaxbfxab若點(diǎn)(1,2)既在函數(shù)的圖像上，又在函數(shù)的反函數(shù)的圖像上，則 =_, =_.52mxyxmyx已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù) 的值。練習(xí)練習(xí)二、單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)的單調(diào)性二、單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)的單調(diào)性(選用選用)例例4.若函數(shù)若函數(shù) 是是 上的上的( )

16、,yf x xD yAD單調(diào)函數(shù)，探究單調(diào)函數(shù)，探究 單調(diào)性單調(diào)性.1( ),yfx xAyx1x( )yf x1( )yfxyxO2x證明：不妨設(shè)證明：不妨設(shè) 是增函數(shù)是增函數(shù)( )yf x1212,x xA xx存在唯一的存在唯一的12,y yD使得：使得：111122(),()fxyfxy1122(),()xf yxf y即即12xx12()()f yf y12yy( )f x是增函數(shù)是增函數(shù)1( )fx是增函數(shù)是增函數(shù)1x2x1y2y1y2y定理定理 單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)且兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性且兩個(gè)函數(shù)具有相同的單調(diào)性.yx( )yf x1( )

17、yfxyxOyx( )yf x1( )yfxyxO二、單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)的單調(diào)性二、單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)的單調(diào)性但單調(diào)區(qū)間不一定相同但單調(diào)區(qū)間不一定相同反函數(shù)中的奇偶性問題反函數(shù)中的奇偶性問題一般地，偶函數(shù)不存在反函數(shù)。一般地，偶函數(shù)不存在反函數(shù)。除了除了y=c，x 0，c為常數(shù)。為常數(shù)。奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，奇函數(shù)不一定存在反函數(shù)，若存在，反函數(shù)也是奇函數(shù)。若存在，反函數(shù)也是奇函數(shù)。如何證明？如何證明？ 復(fù)合函數(shù)中反函數(shù)問題復(fù)合函數(shù)中反函數(shù)問題1111( )( ) ,( )( ),( )2222(4)(4)xxxxffxfffxf x求，的反函數(shù)，的反函數(shù)111( )( ),( )( )(),

18、( )()yf xyfxxD f xAf fxx xAff xx xD與互為反函數(shù),則有1 ( ) ( )yfg xyf g x注：不是的反函數(shù)反函數(shù)結(jié)論總結(jié)反函數(shù)結(jié)論總結(jié)( )( )f xf x單調(diào)有反函數(shù)( )( )f xf x是一對(duì)一的有反函數(shù)1212()= ()( )f xf xxxf x有，無(wú)反函數(shù)原、反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法互逆，定義域、值域互反原、反函數(shù)的對(duì)應(yīng)法互逆，定義域、值域互反.求反函數(shù)求反函數(shù)3步驟：定義域，反解，改寫步驟：定義域，反解，改寫原、反函數(shù)圖像關(guān)于直線原、反函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x 對(duì)稱對(duì)稱.(a,b)在原函數(shù)圖像上，在原函數(shù)圖像上，(b,a)在反函數(shù)圖像上在反函數(shù)圖像上反函數(shù)結(jié)論總結(jié)（續(xù)）反函數(shù)結(jié)論總結(jié)（續(xù)）-1( )=( )( )f xfxf xy x原、反函數(shù)相同，即為自反函數(shù)圖像關(guān)于 = 對(duì)稱原、反函數(shù)交點(diǎn)或在直線原、反函數(shù)交點(diǎn)或在直線y=x上上，或成對(duì)出現(xiàn)或成對(duì)出現(xiàn)且關(guān)于直線且關(guān)于直線y=x 對(duì)稱對(duì)稱單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)性一單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)也是單調(diào)函數(shù)，且單調(diào)性一致，但單調(diào)區(qū)間不一定相同致，但單調(diào)區(qū)間不一定相同一般地，偶函數(shù)不存