多元函數積分法學習教案

1、會計學1多元多元(du yun)函數積分法函數積分法第一頁，共38頁。第一節(jié) 二重積分的概念與性質第二節(jié) 二重積分的計算(j sun)法第三節(jié) 二重積分的應用第1頁/共37頁第二頁，共38頁。一、曲頂柱體的體積(tj)柱體體積=底面積高特點(tdin)：平頂.),(yxfz D柱體體積=？特點：曲頂.第2頁/共37頁第三頁，共38頁。XZyODM如右圖的立體，底是XOY面上的有界閉區(qū)域D，側面(cmin)是以D的邊界曲線為準線，而母線平行于z軸的柱面，頂是曲面z=f(x,y)。當點(x,y)在D上變動時，高f(x,y)也隨著變動。第3頁/共37頁第四頁，共38頁。利用與求曲邊梯形(txng)面

2、積類似的辦法來求曲頂柱體的體積。（1）分割 用一曲線網把閉區(qū)域D分成n個小閉 區(qū)域則原來的曲頂柱體被分為n個小曲頂柱體。12,n（2）近似代替 以 為底的小曲頂柱體可近似地看作以 為高的平頂柱體。i,iif （3）求和 11,nniiiiiiVVf 則 為曲頂柱體體積。01lim,niiiif （4）取極限令每個小閉區(qū)域直徑中的最大值（記為 ）趨于0第4頁/共37頁第五頁，共38頁。xzyoi),(ii第5頁/共37頁第六頁，共38頁。第6頁/共37頁第七頁，共38頁。第7頁/共37頁第八頁，共38頁。第8頁/共37頁第九頁，共38頁。第9頁/共37頁第十頁，共38頁。第10頁/共37頁第十一

3、頁，共38頁。二、二重積分 1、對二重積分定義的說明：(1) 在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是在二重積分的定義中，對閉區(qū)域的劃分是任意的任意的.(2)當當),(yxf在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式在閉區(qū)域上連續(xù)時，定義中和式的極限必存在，即二重積分必存在的極限必存在，即二重積分必存在.（1）當被積函數大于零時(ln sh)，二重積分是柱體的體積2、二重積分的幾何(j h)意義（2）當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積(tj)的 負值；（3） 當被積函數有正也有負，則二重積分等于xoy面上方的柱體體積減去xoy面下方的柱體體積。第11頁/共37頁第十二頁，共38頁。在直角坐標(zh jio

4、 zu bio)系下用平行于坐標軸的直線網來劃分區(qū)域D，則面積(min j)元素為故二重積分可寫為xyo第12頁/共37頁第十三頁，共38頁。3、二重積分的性質(xngzh)性質(xngzh)1性質(xngzh)2性質3二重積分在閉區(qū)域上有可加性。（與定積分有類似的性質）第13頁/共37頁第十四頁，共38頁。性質(xngzh)4在閉區(qū)域(qy)D上f(x,y)=1， 為D的面積。幾何意義： 高為1的平頂柱體的體積(tj)在數值上等于柱體的底面積。性質5在閉區(qū)域D上 ,f x yg x y則,DDf x y dg x y d第14頁/共37頁第十五頁，共38頁。性質(xngzh)6M、m是f(x

5、,y)在D上的最大值和最小值，則有性質7（中值定理）設f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)， ，則在D上至少存在一點 ，使, ,Df x y df 第15頁/共37頁第十六頁，共38頁。一、利用(lyng)直角坐標計算設 ，則 等于以D為底，以曲面z=f(x,y)為頂的曲頂柱體體積。,0f x y ,Df x y d現用 ， 來表示(biosh)底面區(qū)域D。 ， 在a,b均連續(xù)。 a0 xbzyx),(yxfz )(1xy)(2xy0 xab第16頁/共37頁第十七頁，共38頁。下面(xi mian)用元素法求曲頂柱體體積a0 xbzyx),(yxfz )(1xy)(2xy0 xab再在a,b上取一點

6、 ,用同樣方法得到另一曲邊梯形.0 xdx紅色曲邊梯形面積為在a,b上取一點 ，作平行于yoz的平面，它截得曲頂柱體所得截面是一個以區(qū)間 為底，曲線為曲邊的曲邊梯形。 12xyx0 x0,zf xy第17頁/共37頁第十八頁，共38頁。以曲邊梯形為底的薄柱體體積,即體積元素為20100,xxdVf xy dy dx則以dV作為被積表達式的定積分即為曲頂柱體體積20100,bxaxVf xy dydx 將上式中 一般化,得到二次積分公式0 x 21( , ),bxaxDf x y df x y dy dx 第18頁/共37頁第十九頁，共38頁。當給出的積分(jfn)區(qū)域D為則)(2yx )(1y

7、x Dcdcd)(2yx )(1yx D第19頁/共37頁第二十頁，共38頁。 若積分(jfn)區(qū)域D可用 , 表示也可用 , 表示,則由此可見,二次積分(jfn)的積分(jfn)次序可以調換.-xdyyxfdx1010),(例1 改變 的積分(jfn)次序第20頁/共37頁第二十一頁，共38頁。例2 計算 ，其中(qzhng)D由直線y=1、X=2及y=x所圍成的三角形閉區(qū)域。第21頁/共37頁第二十二頁，共38頁。例3 計算 ，其中D是由x軸、y軸及拋物線 所圍成的在第一象限內的閉區(qū)域。223Dx y d21yx - 可以看出，X-型與Y-型公式的選取很重要，主要是由積分區(qū)域(qy)D的特

8、點來定。 但是這也不能絕對化，還要顧及到被積函數，應盡量使求積過程簡單。第22頁/共37頁第二十三頁，共38頁。例4 計算 ，其中(qzhng)D是由拋物線 及直線y=x-2所圍成的閉區(qū)域。第23頁/共37頁第二十四頁，共38頁。例5 計算 ，其中(qzhng)D與上例相同.第24頁/共37頁第二十五頁，共38頁。例6 求兩個(lin )半徑相等的直交圓柱面所圍成立體的體積。第25頁/共37頁第二十六頁，共38頁。二、利用(lyng)極坐標計算二重積分根據(gnj)二重積分定義1、用從極點發(fā)出的一族射線和以極點為中心(zhngxn)的一族同心圓把閉區(qū)域D分成n個小閉區(qū)域。Ox第26頁/共37頁

9、第二十七頁，共38頁。二重積分直角坐標到極坐標的轉換(zhunhun)公式只要(zhyo)把x,y換成 ， dxdy 換成 即可。dxdy 稱為(chn wi)直角坐標系中的面積元素， 稱為(chn wi)極坐標系中的面積元素。第27頁/共37頁第二十八頁，共38頁。2、極坐標系中二重積分的計算(j sun)（1）設極點(jdin)在閉區(qū)域D外，且區(qū)域D用 表示。OX 1 2 2 1 第28頁/共37頁第二十九頁，共38頁。（2）極點在閉區(qū)域(qy)的邊界上 D第29頁/共37頁第三十頁，共38頁。（3）極點(jdin)在區(qū)域D內 D第30頁/共37頁第三十一頁，共38頁。例1 試導出極坐標計

10、算閉區(qū)域(qy)D的面積公式。例3 計算 ，其中閉區(qū)域D為22xyDedxdy-222xya例2 課本(kbn)第145頁第3題。第31頁/共37頁第三十二頁，共38頁。例3 求球體 與圓柱體 的公共(gnggng)部分的體積。第32頁/共37頁第三十三頁，共38頁。一、曲面(qmin)的面積第33頁/共37頁第三十四頁，共38頁。第34頁/共37頁第三十五頁，共38頁。例 求半徑(bnjng)為a的球的表面積。第35頁/共37頁第三十六頁，共38頁。第36頁/共37頁第三十七頁，共38頁。NoImage內容(nirng)總結會計學。則原來的曲頂柱體被分為(fn wi)n個小曲頂柱體。（2）當被積函數小于零時，二重積分是柱體的體積的。（3） 當被積函數有正