2016年高考天津文科數(shù)學試題及答案(word解析版)

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）數(shù)學（文科）參考公式：如果事件A，B互斥，那么P（AUB）=P（A）+P（B）；如果事件A，B相互獨立，那么P（AB）=P（A）P（B）；柱體的體積公式V=Sh，其中S表示柱體的底面面積，h表示柱體的高;錐體體積公式V=-Sh，其中S表示錐體的底面面積，h表示錐體的高.3第I卷（共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.（1）【2016年天津，文1，5分】已已知集合A=1,2,3），B=yIy=2x-1,xea,則AAB=（）（A）1,3（B）1,2（C）2,3（D）1,2,3【答案】A

2、【解析】B=1,3,5,APIB=1,3,故選A.【點評】本題重點考查集合的運算，容易出錯的地方是審錯題意，誤求并集，屬于基本題，難點系數(shù)較小.一要注意培養(yǎng)良好的答題習慣，避免出現(xiàn)粗心錯誤，二是明確集合交集的考查立足于元素互異性，做到不重不漏.（2）2016年天津，文2,5分】甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是1,甲獲勝的概率是1，則甲不輸?shù)?2概率為（）(B)-5(C)1(D)13(A)56【答案】A【解析】甲不輸概率為-+1=5,236故選A.【點評】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.運用概率加法的前提是事件互斥，不輸包含贏與和，兩種互斥，可用概率加法.對

3、古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當正面問題比較復雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.（3）2016年天津，文3,5分】將一個長方形沿相鄰三個面的對角線截去一個棱錐，得到的幾何體的正視圖與俯視圖如圖所示，貝y該幾何體的側(cè)（左）視圖為（）(B)11【解析】由題意得截去的是長方體前右上方頂點，故選B.【點評】1、解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖.2、三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點、線、面之間的位置關(guān)系

4、及相關(guān)數(shù)據(jù).（4）2016年天津，文4,5分】已知雙曲線蘭-竺=1（a>0,b>0）的焦距為用，且雙曲線的一條漸近線與直a2b2線2x+y=0垂直，則雙曲線的方程為（）（A）丁-y2=1【答案】A竺-型=1205(D)辺-込=1520【解析】由題意得c=5,2=a=2,b=1n-1，故選A.a241點評】求雙曲線的標準方程關(guān)注點：(1)確定雙曲線的標準方程也需要一個“定位”條件，兩個“定量”條件，“定位”是指確定焦點在哪條坐標軸上，“定量”是指確定a,b的值，常用待定系數(shù)法.(2)利用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時應注意選擇恰當?shù)姆匠绦问?，以避免討?若雙曲線的焦點不能確定時，可設

5、其方程為Ax2By2-1(AB<0).m2x2n2y2-九(九北0).若已知漸近線方程為mx+ny-0，則雙曲線方程可設為(5)【2016年天津，文5，5分】設x>0，ygR，貝lj“x>y”是“x>|y|”的()(A)充要條件(B)充分而不必要條件(C)必要而不充分條件(D)既不充分也不必要條件【答案】C【解析】3>-4,3<|-4，所以充分性不成立；xlyl>ynx>y，必要性成立，故選C.【點評】充分、必要條件的三種判斷方法.1、定義法：直接判斷。若p則q”、“若q則p”的真假并注意和圖示相結(jié)合，例如“pnq”為真，則p是q的充分條件.2、

6、等價法：利用pnq與非qn非p，qnp與非pn非q，pOq與非qO非p的等價關(guān)系，對于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運用等價法.3、集合法：若A匸B，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A-B，則A是B的充要條件.(6)【2016年天津，文6,5分】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間(-©0)上單調(diào)遞增，若實數(shù)a滿足f(2ia-ii)>f)，則a的取值范圍是()A)f1-g,_(B)f1、-g,_uf3、(C)f13(D)f3,+8L2丿L2丿L2丿L2'2丿L2丿答案】C【解析】由題意得f(-2a-1)>f)n-2a-1>V2n2a-1<

7、n|a1|<丄n<a<，故選C.2 22點評】不等式中的數(shù)形結(jié)合問題，在解題時既要想形又要以形助數(shù)，常見的“以形助數(shù)”的方法有：(1)借助數(shù)軸，運用數(shù)軸的有關(guān)概念，解決與絕對值有關(guān)的問題，解決數(shù)集的交、并、補運算非常有效(.2)借助函數(shù)圖象性質(zhì)，利用函數(shù)圖象分析問題和解決問題是數(shù)形結(jié)合的基本方法，需注意的問題是準確把握代數(shù)式的幾何意義實現(xiàn)“數(shù)”向“形”的轉(zhuǎn)化.(7)2016年天津，文7,5分】已知AABC是邊長為1的等邊三角形，點D,E分別是邊AB,BC的中點，連接DE并延長到點F，使得DE-2EF，則AF-BC的值為()(A)-5(B)-(C)-(D)118848【答案】B

8、1>133-【解析】設BA-a，BC-b，：DE=一AC=(b-a)，DF=DE=(b-a)，2224>>>1-3-5-35一3531AF-AD+DF-a+(b-a)-a+b，:AF-BC-a-b+b2-，故選B244444848點評】研究向量數(shù)量積，一般有兩個思路，一是建立直角坐標系，利用坐標研究向量數(shù)量積；二是利用一組基底表示所有向量，兩種實質(zhì)相同，坐標法更易理解和化簡.平面向量的坐標運算的引入為向量提供了新的語言“坐標語言”，實質(zhì)是“形”化為“數(shù)”.向量的坐標運算，使得向量的線性運算都可用坐標來進行，實現(xiàn)了向量運算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密結(jié)合起來.(8)【2016

9、年天津，文8,5分】已知函數(shù)f(x)-sin2竺+tinox-1(0)，xgR若f(x)在區(qū)間G,2兀)內(nèi)A)f0,11(B)f0丄1u(C)f0,51(D)f0,11u_15-L8JL4L8丿L8L8JL48J沒有零點，則o的取值范圍是()【答案】D_222【解析】f(x)=上竺竺+皿-1J2sinfox-珂，f(x)=0nsin仏x-打-0，所以2222I4丿(4丿k兀+_x=4電(兀,2兀),(kez),因此o纟r11Ur55、ur99u=r1丄ur5),+8184；184丿(84；184；(8丿=*(0,8”4,8故選d.【點評】對于三角函數(shù)來說，常常是先化為y=Asin(ox+*)+

10、k的形式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解.三角恒等變換要堅持結(jié)構(gòu)同化原則，即盡可能地化為同角函數(shù)、同名函數(shù)、同次函數(shù)等，其中切化弦也是同化思想的體現(xiàn)；降次是一種三角變換的常用技巧，要靈活運用降次公式.第II卷(共110分)二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.(9)【2016年天津，文9，5分】i是虛數(shù)單位，復數(shù)z滿足(1+i)z=2，則z的實部為.【答案】1【解析】(1+i)z=2nz=1-i，所以z的實部為1.1+i【點評】本題重點考查復數(shù)的基本運算和復數(shù)的概念，屬于基本題.首先對于復數(shù)的四則運算，要切實掌握其運算技巧和常規(guī)思路，如(a+bi)(c+di)=(a-bd)+(ad+bc

11、)i,(a,b,cdeR)，空=a+翌)+呼-皿",(a,b,cdeR).其次要熟悉復數(shù)相關(guān)基本概念，如復數(shù)a+bi(a,beR)的c+dic2+d2實部為a、虛部為b、模為52+b2、共軛為a-bi.(10)【2016年天津，文10,5分】已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex，廣(x)為f(x)的導函數(shù)，則廣(0)的值為.【答案】3【解析】T廣(x)=(2x+3)ex.廣(0)=3.【點評】求函數(shù)的導數(shù)的方法：(1)連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導(2)根式形式：先化為分數(shù)指數(shù)幕，再求導；(3)復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導；4)復合函數(shù)：確定復

12、合關(guān)系，由外向內(nèi)逐層求導;(5)不能直接求導的：適當恒等變形，轉(zhuǎn)化為能求導的形式再求導.(11) )2016年天津，文11,5分】閱讀右邊的程序框圖，運行相應的程序,則輸出S的值為答案】4【解析】第一次循環(huán)：S=8,n=2；第二次循環(huán)：S=2,n=3；第三次循環(huán)：S=4,n=4；結(jié)束循環(huán)，輸出S=4.【點評】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學問題(是求和還是求項.(12) )2016年天津，文12】已知圓C的圓心在x軸的正半軸上，點

13、MC,“5)在圓C上，且圓4苗心到直線2x-y=0的距離為心，則圓c的方程為5【答案】(x-2)2+y2=9【解析】設C(a,0),(a0)，則骨=壬5na=2,r*22+5=3，故圓C的方程為(x-2)2+y2=9.【點評】求圓的方程有兩種方法：(1)代數(shù)法：即用W寺定系數(shù)法”求圓的方程.若已知條件與圓的圓心和半徑有關(guān)，則設圓的標準方程，列出關(guān)于a，b，r的方程組求解.若已知條件沒有明確給出圓的圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組求解.(2)幾何法：通過研究圓的性質(zhì)，直線和圓的關(guān)系等求出圓心、半徑，進而寫出圓的標準方程.BD(13)【2016年天津，文13,5分】如圖，

14、AB是圓的直徑，弦CD與AB相交于點E，BE=2AE=2，BD=ED，則線段CE的長為【答案】22【解析】設CE=x，則由相交弦定理得DE-CE=AE-BE,DE=,又BD=DE=,所以AC=AE=1，因為xxAB是直徑，則BC=*3212=,AD=,.9，在圓中ABCEADAE,則色£=-，即=蘭x2ADAEI41X點評】1、解決與圓有關(guān)的成比例線段問題的兩種思路：（1）直接應用相交弦、切割線定理及其推論；（）當比例式（等積式）中的線段分別在兩個三角形中時，可轉(zhuǎn)化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形-比例式-等積式”.在證明中有時還要借助中間比來代換,解題時應靈活把握.2、應用

15、相交弦定理、切割線定理要抓住幾個關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、與圓有關(guān)的相似三角形等（14）016年天津，文14,5分】已知函數(shù)f（x）=;；（：:了0（a>°Ka主1在r上單調(diào)遞減，且a關(guān)于X的方程If（x）|=2扌恰有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是答案】【解析】由函數(shù)f（X）在R上單調(diào)遞減得-4a>°，°<a<1，3a>1n|<a<4，又方程f（x）|=2|恰有兩11因此a的取值范圍是個不相等的實數(shù)解，所以3a<2,11<6na>丄a37點評】已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍

16、常用的方法和思路：（1）直接法：直接根據(jù)題設條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解三、解答題：本大題共6題，共80分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟._（15）【2°16年天津，文15,13分】在AABC中,內(nèi)角A,B,C所對應的邊分別為a,b,c,已知asin2B=43bsinA.(1) 求B；若cosA=3，求sinC的值.解：(1)在AABC中，由"=，可得asinB=bsinA，又由asin2B

17、=3bsinAsinAsinB得2asinBcosB=<3bsinA=、3asinB，所以cosB=二，得B=；26車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為2萬元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為3萬元.分別用x,y表示生產(chǎn)甲、乙兩種肥料的車皮數(shù).2)由cosA=3得sinA=¥，則sinC=sin兀(A+B)=sin(A+B),所以sinC=sinA+cosA=22/6+16點評】三角函數(shù)是以角為自變量的函數(shù)，因此解三角函數(shù)題，首先從角進行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的變換角的變換涉及誘導公式、同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角和與差公式、二倍角公式、配角公式等，選用恰當?shù)墓?，是解決三角問

18、題的關(guān)鍵，明確角的范圍，對開方時正負取舍是解題正確的保證（16）【2016年天津，文16,13分】某化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，需要A,B,C三種主要原料.生產(chǎn)1車皮甲種肥料和生產(chǎn)1車皮乙中肥料所需三種原料的噸數(shù)如下表所示：現(xiàn)有A種原料20°噸，B種原料36°噸，C種原料30°噸，在此基礎上生產(chǎn)甲乙兩種肥料.已知生產(chǎn)1轉(zhuǎn)AC甲4g5廠10(1) 用x，y列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學關(guān)系式，并畫出相應的平面區(qū)域；(2) 問分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？并求出此最大利潤.4x+5y<2008x+5y<360解：(1)由已知x，y滿足的數(shù)

19、學關(guān)系式為3x+10y<300，該二元一次不等式組所表示的區(qū)域為圖中的陰影部x>0、y>0分.(2) 設利潤為z萬元，則目標函數(shù)z=2x+3y，這是斜率為-2，隨z變化的一族平行直線.三為直線在y軸3 3上的截距，當3取最大值時，z的值最大.又因為x，y滿足約束條件，所以由圖可知，當直線z=2x+3y經(jīng)過可行或中的點M時，截距3的值最大，即z的值最大解方程組4x+5y=200八c/得點M的坐標為3x+10y=300M(20,24)，所以z=2x20+3x24=112.答生產(chǎn)甲種肥料20車皮，乙種肥料24車皮時利潤最大，x+5y=360x+5y=360O103x+10y=300

20、2x+3y=z5y=200且最大利潤為112萬元.【點評】解線性規(guī)劃應用問題的一般步驟是：(1)分析題意,+5y=2003x+10y=300max設出未知量；(2)2列出線性約束條件和目標函數(shù)；(3) 作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答.而求線性規(guī)劃最值問題，首先明確可行域?qū)氖欠忾]區(qū)域還是開放區(qū)域、分界線是實線還是虛線，其次確定目標函數(shù)的幾何意義，是求直線的截距、兩點間距離的平方、直線的斜率、還是點到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標函數(shù)最值取法.(17)2016年天津，文17,13分】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED丄平面ABCD，EF/AB，AB=2，BC=EF=1

21、，AE=，DE=3，ZBAD=60?，G為BC的中占八、(1) 求證：FG/平面BED；(2) 求證：平面BED丄平面AED；(3) 求直線EF與平面BED所成角的正弦值.解:(1)取BD的中點為O,連接OE,OG，在ABCD中,因為G是BC的中點，所以OG/DC且OG=-DC=1，又因為EF/AB,AB/DC，所以EF/OG且EF=OG，即四邊形OGFE是平行四邊2形，所以FG/OE，又FG匸平面BED，OEu平面BED，所以FG/平面BED.(2) 在AABD中，AD=1,AB=2,ZBAD=600，由余弦定理可BD=叮3，進而可得ZADB=900，即BD丄AD，又因為平面AED丄平面AB

22、CD,BDu平面ABCD；平面AEDD平面ABCD=AD，所以BD丄平面AED.又因為BDu平面BED，所以平面BED丄平面AED.(3) 因為EF/AB，所以直線EF與平面BED所成角即為直線AB與平面BED所成角.過點A作AH丄DE于點H，連接BH，又因為平面BED"平面AED=ED，由（2）知AH丄平面BED，所以直線AB與平面BE。所成角即為如H在山AD中,AD=1,DE=3，AE八6,由余弦定理可得c°4DE-3'所以血ZADE十，因此AH二AD-Sin"DE二寧，在RtAAHB中,sinZABH二鬻二于，所以直線AB75與平面BED所成角的正弦

23、值為丄.6點評】垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直（4）證明面面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，進而轉(zhuǎn)化為證明線線垂直13分】已知a是等比數(shù)列，前n項和為S（neN*），且丄-丄-S63.nnaaa612318）【2016年天津，文18，（1）求a的通項公式；n（2）若對任意的neN*,b是loga和loga的等差中項，求數(shù)列n2n2n+1解：（1）設數(shù)列a的公比為q，由已知有丄-丄-丄，解之可得q2,q-1，又由S叫-q6）63知qH-1,b2n2n項和na

24、aqaq2n1-q111所以作63，解之得a1，所以a2n-1.1-21n（2）由題意得b1（loga+loga丄Gog2n-1+log2nn-1,即數(shù)列b是首項為丄，公差為1的n22n2n+12222n2等差數(shù)列.設數(shù)列-1）nb2的前n項和為T,nn則T(-b2+b2)+(-b2+b2)+(-b2+b2)-b+b+2n12342n-12n12【點評】分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若a=b土c，且b,nnnn'bn，n為奇數(shù)，c,n為偶數(shù)n2n（b+b）22+b二十2n-2n2.2n2c為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法n的數(shù)列，其中數(shù)列b,c是等比數(shù)列或nn求a的前n項和.（2）通

25、項公式為ann等差數(shù)列，可采用分組求和法求和（19）2016年天津，文19,14分】設橢圓蘭+蘭1a23其中O為原點，e為橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設過點A的直線l與橢圓交于點B（B不在x軸上），垂直于/的直線與/交于點M，與y軸交于點H,若BF丄HF，且ZMOAZMAO，求直線的/斜率.113e113c解：（1）設F（C,O）,由宀+宀三,即1+1-（,可得a2-C23C2,又Q2-C2b23,所以C21,OFOAI|FAcaa（a-cO、：3）的右焦點為F，右頂點為A，已知侖+fOA-命'因此a2=4，所以橢圓的方程為手+號=1-冬+22143，消去y，yk(x-2)

26、整理得Ck2+3)x2-16k2x+16k2120，解得x2或x,由題意得x,y-4k2+3B4k2+3B4k2+3“9-4k212k、（2）設直線的斜率為k（k豐0），則直線l的方程為y二k（x-2），設B（x,y）,由方程組BB由（1）知F（1,0），設H（0,乙），有FH=（-1,yH），BF二,由BF丄HF，得BF-HF=0,4k2+3'4k2+3丿所以瓷I+4k全°解得丁是因此直線MH的方程為y-kx+詈設M（xm，y”）194k2yx由方程組sk12k,消去y,得xy=k(x2)M20k2+912(k2+1)，在MAO中，ZMOA=ZMAOo|ma|二|mo|,即

27、(x2)2+y2=x2+y2，化簡得x=1，即型匕丈9=1,解得k二-上6或k二並,MMMMM12(k2+1)44所以直線l的斜率為k一空或k二空44點評】解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題直線與圓錐曲線位置關(guān)系的判斷、有關(guān)圓錐曲線弦的問題等能很好地滲透對函數(shù)方程思想和數(shù)形結(jié)合思想的考查，一直是高考考查的重點，特別是焦點弦和中點弦等問題，涉及中點公式、根與系數(shù)的關(guān)系以及設而不求、整體代入的技巧和方法，也是考查數(shù)學思想方法的熱點題型(20)【2016年天津，文20，14分】設函數(shù)f(x)=x3axb

28、，xeR，其中a,beR.(1) 求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2) 若f(x)存在極值點x，且f(x)=f(x)，其中x豐x,求證：x+2x=0;0101010(3) 設a0，函數(shù)g(x)=|f(x)|，求證：g(x)在區(qū)間-1,1上的最大值不小于1解：(1)由f(x)=x3axb，可得廣(x)=3x2-a，下面分兩種情況討論：V(1)知a0且x豐0.由題意得：f'(x)=3x2-a=0，即x2=纟.00003又f(2x)=8x3+2axb=一凹x+2axb=一絲xb=f(x),000300300，由題意及(1)知，存在唯一實數(shù)x滿足f(x)=f(x)，且x豐x，因此x=2x,1101010(2)因為f(x)存在極值點，所以由當a<0時，有f(x)=3x2a>0恒成立，所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-亞小.x(QL-3丿J3a3353V丿丿75a"