2022年高考數學模擬題1

1、2022年高考數學考前模擬題1.如圖所示，ZVIBC是等邊三角形，DE/AC, DF/BC,二面角O - AC - B為直二面角,AC=CD=AD=DE=2DF=2.（1）求證：EFLBC；（2）求平面4CQE與平面BE/所成銳二面角的正切值.【分析】（1）證明ABC是等邊三角形，得到邊角的值，然后在/中，由余弦定理求出EF,結合勾股定理和平行公理即可證明；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出點的坐標，利用待定系數法求出平面BEF的法 向量，然后利用向量的夾角公式以及同角三角函數關系求解即可.【解答】（1）證明：因為。EAC, DF/BC,所以ABC是等邊三角形，所以NECF=NACB=60&

2、#176; ,又 AC=DE=BC=2DF=2,在4EDF 中，由余弦定理可得，EF = V22 + I2 - 2 x 1 x 2 x cos60° = V3,所以 EF2+DF1=DE2,故所以 EFJ_BC；（2）解：設線段AC的中點為。，連結80, DO,因為ABC和AC。都是等邊三角形，所以BOJ_AC, DOLAC,故N8OO即為二面角。-AC-8的平面角，由于二面角C-AC-B是直二面角，所以NBO£>=90° ,建立空間直角坐標系如圖所示，則4（0, - 1, 0）, B（遮，0, 0）, E（0, -2, V3）, G（亭,0）,>&g

3、t;叵 Q所以8E =（一2, V3）/ EF = AG = （-2 *0）,設平面的法向量為1 = （%, y, z）,則有巧,呼=。,U - FF = 0-V3x - 2y + /3z 0字x + % = 0令二通，則y = -l, z =亭，所以£ =（遍， L 亭）,>-¥又08 = （b，0, 0）,且OB是平面ACOE的一個法向量,所以cos Vn,0B> =£08|n|0B|則stn<5L 0B> =T T7所以tan<n,。8> =于2故平面ACDE與平面8EF所成銳二面角的正切值為3【點評】本題考查了立體幾何的

4、綜合應用，在求解空間角的時候，一般會建立合適的空間直角坐標系，將空間角問題轉化為空間向量問題進行研究，屬于中檔題.2.如圖，在四棱錐 P-A8CD 中，平面以B_L平面 48CD, AD/BC, AB±AD, ABLPA,點、E 為 BC 上一點且 BC=2AB=2AD4BE.（1）求證：平面PED_L平面以C；（2）若直線PE與平面以C所成的角的正弦值為個，求二面角A - PC-。的余弦值.【分析】（1）由面面垂直的性質定理證出R4J平面A8CD,從而得到AS、AD, AP兩兩垂直，因此以A8、AD. AP為x軸、y軸、z軸，建立坐標系。-冷% 得A、。、E、C、P的坐標，進而得到

5、AC、4P、CE的坐標.由數量積的坐標運算公式算出DE»C=O且DEAP =0,從而證出DEA.AC H DELAP,結合線面垂直判定定理證出EC平面PAC, 從而得到平面PEC平面PAC；>>>(2)由(1)得平面以C的一個法向量是。E,算出DE、PE夾角的余弦，即可得到直線PE與平面C所成的角。的正弦值，由此建立關于。的方程并解之即可得到入=2.利用垂直向量數量積為零的方法，建立方程組算出 = (1, - 1, - 1)是平面平面PCO的TT T一個法向量，結合平面附C的法向量DE = (2, - 1, 0),算出n與。E的夾角余弦，再結 合圖形加以觀察即可得到

6、二面角A - PC-D的平面角的余弦值.【解答】(1)證明：.平面平面A8C。，平面網8。平面A8CO=4B, AB1PA, 平面 48CO, 5LABLAD.分別以AB、AD, AP為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系。-孫z,可得 A (0, 0, 0) D (0. 2, 0), E (2, 1, 0), C (2, 4, 0), P (0, 0, A)(入>0).：.AC = (2, 4, 0), AP = (0, 0,入)，DE = (2, - 1, 0). » »> >由DE=4-4+0=0, DE AP =0,：.DEA.AC S.DE1AP

7、,：4C、AP是平面雨C內的相交直線，.£>，平面PAC.'：E£)u平面 PED, .平面 PE£)_L平面 PAC；(2)解：由(1)得平面FC的一個法向量是法=(2, - 1, 0),尾=(2, 1, - A).設直線PE與平面MC所成的角為。，則 sin0 = |cos <PE, DE >|=邛，解得入=±2.pe-de Vs-Js+a2:入>0, ：.X=2,可得尸的坐標為(0, 0, 2).設平面PC£>的一個法向量為蔡=(x, y, z), >>DC = (2, 2, 0), DP

8、 = (0, - 2, 2),.(n - DC = 2% + 2y = 0人 , 伯t z, t 1、由J -'，令x=l,得n = (1, - 1, - 1).(n DP = -2y + 2z = 0,.cos<n,而>=>空 =塔 n-DE b由圖形可得二面角A - PC- D的平面角是銳角,【點評】本題考查線面垂直、面面垂直的判定定理，訓練了利用空間向量研究直線與平面所成角和二面角大小的方法，屬于中檔題.3.如圖，在直三棱柱4BC-4B1C1中，平面AB1C,其垂足。落在直線B1C上.(1)求證:AC1B1C；(2)若尸是線段AB上一點，BD=W，BCAC=2,

9、三棱錐Bi - B4c的體積為餐，求 二面角P- 81C-A的平面角的正弦值.【分析】(1)利用線面垂直的性質定理以及直三棱柱的性質，可得ACLBBi, AC1BD, 從而可證明ACJ_平面881clC,即可證明ACL81C；(2)連接A。，過點P作尸。8£)交4。于點0,過點P作PELBiC, E為垂足，連接 OE,通過證明BiCLLOE, BiCl-PE,可得/PE0為二面角尸-BiC - A的平面角，在三 角形中利用邊角關系求解即可.【解答】（1）證明：因為三棱柱ABC-AiBiCi是直三棱柱，所以 AUL881,又 BO_L平面 ABiC,所以 ACJ_BD,又 BDCBBi

10、 = B,所以 AC_L平面 881clC,又 8iCu平面 881clC,故 ACLB1C；（2）解：由（1）可知，4cL平面B8C1C,所以 AC_LBC,又 AB=AC=2,貝I AB= 2魚，設 AP=x,則Sapac = *, * '=孝4，因為 BD±BC,則 RtABBiCsRtABDC,BC=2, BD= V3,所以 881= 2g,則/PAC = g x號x x 2V3 =亨，解得 =宇， 4Pl所以=PB 3連接AO,過點P作尸。8。交AO于點0,則 P0=*,過點P作尸E_L8C, E為垂足，連接因為 BiCJ-PE, 81C1P0, PECP0=P,則8iC_L平面尸0E,又OEu平面P0E,所以BiCLOE,故NPEO為二面角P-BiC-A的平面角,在?81c 中，可得