2022年高考數(shù)學考前訓練題及答案解析

1、2022年高考數(shù)學考前訓練題1 .如圖，在直三棱柱A8C-4B1C1中，M, N分別是棱BC, CG的中點，點E在棱4B1 1上，且 4E=/EBi.(1)證明：BE平面A1MN.(2) ABLBC, AB=3, BC=2, BBi=在,求平面4MN與平面ABC所成銳二面角 的大小.【分析】(1)連接BCi, CiE,延長MN,加。交于點凡 連接4F,分別證明CiE4i凡可得8。平面4M尸,CiE平面AMF,進一步得到平面8C1E平面AMF, 從而得到BE平面A1MN.(2)由(1)知，平面與平面A8C所成銳二面角等于平面BCiE與平面481。 所成的銳二面角，取C1E的中點”，連接BH, B

2、1H,可得平面8CiE與平面4助。所成 的銳二面角的平面角為求解三角形得答案.【解答】(1)證明：如圖，連接BCi, CiE,延長MN, BiCi交于點F,連接A1R由M, N分別是棱8C, CC1的中點，得8CiM凡 且GF = MC = *8傳1，B】Ci B】E=,從而 CE/AF,B1F B1A1,.BCiC平面 4M尸，M/u平面 AiMR CiEC平面 AiM凡 AiRz平面 AiMF,；.BCi 平面 AiMF, CiE平面 4MF,且 BCiCCiE=Ci,平面BCiE平面AMF,而BEu平面BCiE,.BE平面 AlMF.即 BE平面 AMN.(2)解：由(1)知，平面AiM

3、N與平面ABC所成銳二面角等于平面BOE與平面48iCi 所成的銳二面角，又 88i_L平面 AiBiCi, AB±BC, AB=3, BC=2, BB= y6,取CiE的中點“，連接8", BH,'：BE=BC=2, ：.BHLCE,可證 BAMCiE,平面BCiE與平面AifiiCi所成的銳二面角的平面角為由已知求得8/=夜，；tan4BHBi = * =b，一一7T即平面與平面48c所成銳二面角的大小為.【點評】本題考查平面與平面平行的判定與性質，考查空間想象能力與思維能力，訓練 了空間角的求法，考查運算求解能力是中檔題.2 .如圖在四棱錐P - ABCD中，

4、底面ABCD是矩形，尸E=l, AB=2BC=2, PC=PD, E 為CO的中點，面尸儀_1_面48。£).(1)證明：8七，面PAE；(2)求二面角B- PD-C夾角的余弦值.【分析】(1)利用面面垂直的性質定理、等腰三角形的性質可得再利用勾股定 理的逆定理可得：BELAE,利用線面垂直的判定定理即可證明結論：面以E.(2)取A8得中點F,分別以EF, EC, EP為x, y, z軸建立空間直角坐標系，可得面 PCO的一個法向量為加 = (1, 0, 0),利用數(shù)量積運算性質可得面PBO的一個法向量， 再利用向量夾角公式即可得出結論.【解答】證明：(1) 面PCOJ_面ABC。，

5、PC=PD, E為CO的中點，APElffi ABCD, B£cjg ABCD, ：.BE±PE-(2 分)又；ABC£)為矩形且 AB=2BC=2, :.BE = AE =立,AE1+BE1=AB2,BE .LAE - -(3 分)PEDAE=E, PEcffi PAE, AEu面 PAE,：.PAE.(5分)(2)解：取AB得中點凡 分別以防，EC, EP為x, y, z軸建立空間直角坐標系，：.B (1, 1, 0), P (0, 0, 1), D (0, - 1, 0), F (1, 0, 0)面PCD的一個法向量為6 =(1, 0, 0)(6 分)設面P

6、BD的一個法向量為 = (x, y, z),»»DP = (0, 1, 1),。8 = (1, 2, 0), T TT TVn - DP = y + z = 0, n - DB = % + 2y = 0, 令y= - 1 則x=2, z=l£ = (2, - 1, 1)(9 分)， cos(n, EF)=1=等(10 分)二面角B-尸。-C為銳角6 =(亡FF), /. cosd = cos(n, EF)=苧(12 分)X【點評】本題考查了面面垂直的性質定理、等腰三角形的性質、勾股定理的逆定理、線 面垂直的判定定理、法向量的應用、數(shù)量積運算性質、向量夾角公式，考查

7、了推理能力 與計算能力，屬于中檔題.3.如圖所示，已知四棱錐P-ABCO中，四邊形ABCO為正方形，三角形以8為正三角形， 側面附8,底面ABC。，M是棱4。的中點.(1)求證：PC1BA/：(2)求二面角8-PM-C的正弦值.【分析】(1)方法一：取48的中點0,連接OP, 0C,證明POLBM, BM1OC,推出8M，平面POC,即可證明BM_LPC.方法二：取AB的中點O,連接。尸，并過O點作BC的平行線0E,交CD于E,以O為坐標原點,08的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，通過PC 0M = 0, 證明PC±BM.(2)求出平面的一個法向量，平面尸MC的一個法向

8、量，錄音空間向量的數(shù)量積求 解二面角B - PM - C的正弦值即可.【解答】(1)證明：方法一：取AB的中點。，連接OP, 0C,.三角形PAB為正三角形且側面以底面ABCD,底面 ABC3,BMu底面 ABCD, ：.PO.LBM, : RtAABMRtABCO, :./AMB=NBOC,：.N48M+NAM8= NA8M+NBOC=90° , ：.BMtOC,POGOC=O, BM_L平面POC,TPCu 平面 POC, :.BMLPC.方法二：取AB的中點O,連接OP,并過。點作8C的平行線OE,交CD于E,則 三角形以3為正三角形，C.POLAB, 平面底面ABCD且平面%

9、BA底面ABCD=48, PO_L底面ABC。，以O為坐標原點，。8的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，令 =2,則 B (1, 0, 0), P(0, 0, V3), A7 ( - 1, 1, 0), C (1, 2, 0) PC = (1, 2, - V3),BM = (-2, 1, 0), PC - CW = 1 x (-2) + 2x14- (-V3) x 0 = 0,:.PC IBM.(2)解：PM = (-1, 1, - V3), CM = (-2, -1, 0),設平面PM8的一個法向量為薪=(x, y, z),則心少巾=0,即尸+ y 一任=°, tfiM - m = 0 lx + y = 0令x=l, m = (l, 2,設平面PMC的一個法向量為ri = (%, y , z),p&F = o,即CM - n = 0-x + y y/3z = 02x - y = 0令 x=l, n = (I