(完整版)利用導(dǎo)數(shù)求最值

1、利用導(dǎo)數(shù)求最值導(dǎo)數(shù)是研究數(shù)學(xué)和其他自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是研究客觀事物變化率和優(yōu)化問(wèn)題的有利工具，研究導(dǎo)數(shù)，有利于對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)和價(jià)值的認(rèn)識(shí)。導(dǎo)數(shù)的工具性已滲透到數(shù)學(xué)的很多分支在函數(shù)的研究中得到充分的體現(xiàn)，主要涉及到研究曲線的切線問(wèn)題、函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值、最值等。下面就利用導(dǎo)數(shù)求最值作一闡述，供參考。一、函數(shù)的最大值與最小值在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(x)在a,b上求最大值與最小值的步驟：先求f(x)在(a,b)內(nèi)的極值；再將f(x)的各極值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟：首先：求導(dǎo)數(shù)廣(x)；再求導(dǎo)數(shù)廣(x)=0的根

2、；最后：檢查廣(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取極小值。二、利用導(dǎo)數(shù)求最值112例1、設(shè)x>0，求Inx+二(xI)2+(xI)3的最小值。x23112解：設(shè)f(x)=Inx+(x1)2+(x1)3，貝yx23f'(x)=丄一(x1)+2(x1)2=(x1)(x1)+2(x1)2xx2x21r1x2r1+x)一1+2(x1)=(x1)+2(x1)=(x1)2_x2_x2(x2丿=(x1)3匕x2令f(x)=0，由x>0，解得x=1。列表:x(0，1)f'(x)f(x)1(1,+s)0+最

3、小值/由表可知，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)有最小值1。評(píng)注：利用導(dǎo)數(shù)求最值，先確定函數(shù)的極值是關(guān)鍵，同時(shí)，最值通常應(yīng)在極值及端點(diǎn)處取得。a,b當(dāng)函數(shù)f(x)為連續(xù)函數(shù)且在上單調(diào)時(shí)，其最大值、最小值在端點(diǎn)處取得；當(dāng)連續(xù)函數(shù)f(x)在(a,b)內(nèi)只有一個(gè)可疑點(diǎn)時(shí)，若在這一點(diǎn)處f(x)有極大(小)值，則可以判定f(X)在該點(diǎn)處取得最大(小)值，這里(a,b)也可以是無(wú)窮區(qū)間。練習(xí)1：已知a>,0函數(shù)f(X)=(X22ax)ex，當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)取得最小值?并證明你的結(jié)論；三、利用導(dǎo)數(shù)求最值的運(yùn)用(一) 求函數(shù)的值域例2、求函數(shù)f(x)=5x+2:x+3.4x的值域.x+3n0解：由仁、八得f(

4、x)的定義域?yàn)?<x<4。14x>0因?yàn)?廣(x)=(5M+ziw-&口5+臺(tái)+4>0，所以歹最小=_15口x=4時(shí)'f(x)在3,4故當(dāng)x=3時(shí)，y最疔20+2釣。所以值域?yàn)?5臣20+歷1評(píng)注：求函數(shù)的值域轉(zhuǎn)化為求f(x)在閉區(qū)間L3,4上的最大值和最小值的問(wèn)題，考慮其單調(diào)性易求值域，必須注意函數(shù)的定義域。練習(xí)2：已知x，y為正實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式x22x+4y2二0，求xy的最大值。(二) 利用最值求參數(shù)的值(或范圍)23J6例3、設(shè)3<a<1，函數(shù)f(x)=x32ax2+b(1<x<1)的最大值為1，最小值為刁-，求a，b的

5、值。解：f'(x)二3x23ax=3x(xa)，當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)變化情況列表如下:x1(1，0)0(0，a)a(a，1)1f'(x)+00+f(x)13人1a+b2/b、a3+b213人1a+b2當(dāng)x=0時(shí)，f(x)取極大值b,而f(0)>f(a)，f(一1)<f，故需比較f(0)與f(1)的大小。3*.*f(0)一f(1)=a一1>0,.°.f(x)最大值為f(0)=b=1。又f(1)一f(a)=2(a33a一2)=2(a+1)2(a一2)<0。f(X)min=f(T)，-3a-1+b二-3a二-竺,222a衛(wèi),b31

6、。評(píng)注：這是一道求函數(shù)的最值的逆向思維問(wèn)題。本題的關(guān)鍵是比較極值和端點(diǎn)處的函數(shù)值的大小，列表解題一目了然，從而確定出a,b的值。(三) 利用最值研究恒成立問(wèn)題例4、設(shè)函數(shù)f(x)=X3-x2-2x+5,若對(duì)于任意xe-1，2都有f(x)<m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。2解：f(x)二3x2-x一2,令f(x)=0,得x=一3或x二1。22.當(dāng)x<-3或x>1時(shí)，f(x)>0,y=f(x)在(8,3)和(1,+8)上為增函數(shù),22在(-3,1)上為減函數(shù)，f(x)在x=-3處有極大值，在x二1處有極小值。222極大值為f(-3)=5-7,而f(2)=7,f(x)在-1,2上

7、的最大值為7。若對(duì)于任意xe-1,2都有f(x)<m成立，得m的范圍m>7。評(píng)注：利用最值可以研究一類恒成立問(wèn)題，一般地，f(x)三a對(duì)xWR恒成立°f(x)的最小值三a成立；f(x)Wa對(duì)xWR恒成立°f(x)的最大值Wa成立。2練習(xí)2：已知函數(shù)/(x)=x3+ax2+bx+c在x=-3與x=1時(shí)都取得極值。求a、b的值；若對(duì)xe-1,2,f(x)pc2恒成立，求c的取值范圍。四、利用最值證明不等式例5、已知f(x)二ax3+cx+d(a豐0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x=1時(shí)，f(x)取得極值-2。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)對(duì)任意x,xe(-1,1)

8、，求證：不等式12If(x1)f(x2)|<4恒成立。解：(1)Tf(x)是奇函數(shù)，xeR，.f(0)=0,.d=0因此f(x)二ax3+cx,f'(x)二3ax2+c由條件f(1)=-2為f(x)的極值，:f(1)=0.a+c-23a+c0解之得：a=1,c=-3貝9f(x)x33x,f'(x)3x23，令f'(x)0，得x±1f(x)的單調(diào)減區(qū)間是-1,1,f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(-8,-1和1,+8)當(dāng)x=T時(shí)，f(x)有極大值2。(2)證明：由知f(x)在-1,1上是減函數(shù)，且f(x)在-1,1上有最大值f(-1)=2,有最小值f(1)=-2對(duì)任

9、意X,x2e(-1,1),恒有f(X)-f(x<f(-1)-f(1)|=4評(píng)注：本題(2)借助于最值證明不等式，最值的研究利用了導(dǎo)數(shù)法，同時(shí)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，某點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件是這點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0；某一點(diǎn)是極值點(diǎn)的充分條件是在這點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)。此外，函數(shù)的極值點(diǎn)也可能是不可導(dǎo)點(diǎn)。附練習(xí)答案：1、解：(1)對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)數(shù)，得f(x)=(x22ax)ex+(2x2a)ex=x2+2(1-a)x-2aex。令f(x)=0,得X2+2(1-a)x-2aex=0.從而X2+2(1a)x2a=0。解得x=a1v1+a2x=a1+v1+a212，其中XVx2。當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化如

10、下表：(一8,x1)x1(x1,筆)x2(x2,+8)f'(x)f(x)極大值極小值當(dāng)f(x)在x=x1處取到極大值，在x=x2處取到極小值.當(dāng)a>0時(shí)，XV1,x2>0,f(x)在(X,x2)為減函數(shù)，而當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=x(x2a)ex>0；當(dāng)x=0時(shí)，f(x)=0.Ix=a1+'x-1+a2時(shí),f(x)取得最小值。所以當(dāng)解：由題意,2、當(dāng)0<x<2時(shí),在(x2，+w)為增函數(shù).1.1-xy=xy2x-x2(0<x<2)，設(shè)f(x)=x2x-x2(0<x<2)。22f'(x)=x(32x)，令f'(x)=0，得x=3或x=0(舍去)。2p2x-x22X(3)°込V2丿32(2)22y/+0一y,3爲(wèi)極大值：80當(dāng)x在(0,2】?jī)?nèi)變化時(shí)，y/,y有如下變化情況:由上表可知，當(dāng)x