2019學年高中數(shù)學新人教A版必修5學案：2.3等差數(shù)列的前n項和(第1課時)

1、2.3 等差數(shù)列的前 n 項和（第 1 課時）學習目標掌握等差數(shù)列前 n 項和的公式，并能運用公式解決簡單的問題 .了解等差數(shù)列前 n 項和的 定義，了解倒序相加的原理，理解等差數(shù)列前 n 項和公式推導的過程，記憶公式的兩種形式；用 方程思想認識等差數(shù)列前n 項和的公式，利用公式求 Sn,ai,d,n;等差數(shù)列通項公式與前 n 項和的公式共涉及五個量，已知其中三個量可求另兩個量；會利用等差數(shù)列通項公式與前n 項和的公式研究 S 的最值.合作學習一、設計問題，創(chuàng)設情境1. 一個堆放鉛筆的 V 形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支最上面一層放 100 支.這個 V 形架上共

2、放著多少支鉛筆？問題就是這是小學時就知道的一個故事，高斯的算法非常高明，回憶他是怎樣算的這實際上是一個求等差數(shù)列前 100 項和的問題，高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100 個數(shù)可以分為 50 組，第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組，第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組，第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，每組數(shù)的和均相等，都等于 101,50 個 101 就等于 5050.高斯算法將加法運算轉化為乘法 運算，迅速準確的得到了結果我們要求一般的等差數(shù)列的前幾項和，高斯算法對我們有何啟發(fā)？二、信息交流，揭示規(guī)律2.公式推導設等差數(shù)列an的首項為 a1,公差為 d,Sn=a1+a2+a3+an=?,由學生討論，研究高斯算法對

3、 般等差數(shù)列求和的指導意義.思路一：運用基本量思想，將各項用 a1和 d 表示，得Sn=a1+(a1+d)+(a1+2d)+(a1+3d)+ +,有以下等式 a1+=(a1+d)+=(a1+2d)+=，冋題是一共有 多少個 , 似乎與 n 的奇偶有關 . 這個思路似乎進行不下去了 .思路二：上面的等式其 實就是 ai+an=a2+an-i=a3+an-2=，為回避個數(shù)問題，做一個改寫S=ai+a2+a3+an-2+an-i+an,Sn=an+an-i+an-2+a3+a2+ai, 兩式左右分另U相力口 ,彳得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+ +(an-2+a3)

4、+(an-1+a2)+(an+a1)，2Sn=n(a1+an)于是有 . 這就是倒序相加法 . 思路三： 受思路二的啟發(fā) , 重新調整思路一 , 可得 2Sn=n, 于是 Sn=na1+d.綜合思路二和思路三得到了兩個公式：和 .三、運用規(guī)律 , 解決問題3.求和：(1)101+100+99+98+97+64;2+4+6+8+2n(結果用 n 表示).4. 等差數(shù)列 2,4,6, 中前多少項的和是 9900?5.2000 年 11 月 14 日教育部下發(fā)了 關于在中小學實施“校校通”工程的通知 .某市據 此提出了實施“校校通”工程的總目標：從 2001 年起用 10 年時間 , 在全市中小學建

5、成不同標 準的校園網 .據測算,2001 年該市用于“校校通”工程的經費為500 萬元.為了保證工程的順利實施,計劃每年投入的資金都比上一年增加 50 萬元.那么從 2001 年起的未來 10 年內,該市在校校通”工程中的總投入是多少四、變式訓練 , 深化提高6.等差數(shù)列an的前 n 項和為 S,已知 S3=6,a4=8,求公差 d.7.設 S 為等差數(shù)列an的前 n 項和,若滿足 an=an”2( n 2),且 Ss=9,求首項 ai.五、反思小結 , 觀點提煉參考答案一、 設計問題 , 創(chuàng)設情境1.“ 1+2+3+4+-+100=?二、 信息交流 , 揭示規(guī)律2. a1+ Sn= Sn=

6、Sn=na1+d三、運用規(guī)律 , 解決問題3. 解：(1)101,100,99,98,97,64可以看做是一個首項為101,公差為-1 的等差數(shù)列由等差數(shù)列的通項公式 , 可得 64=101+(n-1)(-1), 解得 n=38,于是 Sn=3135.另外也可用公式 S=na1+d 來求解,Sn=38X101+x(-1)=3135.2+4+6+8+2n 可以看做是等差數(shù)列2n的前 n 項和,2則 Sn=n+n,另外可運用公式 Sn=na1+d 來求解 .4. 解：由題知，等差數(shù)列首項 ai=2,公差 d=2,由 Sn=nai+d,得 2n +X2=9900,即 n2+n-9900=0,解得 n

7、=-100（舍去）,或 n=99,所以等差數(shù)列 2,4,6,中的前 99 項的和是 9900.5. 解：根據題意 , 從 20012019 年, 該市每年投入“校校通”工程的經費都比上一年增加50 萬元 .所以,可以建立一個等差數(shù)列 an, 表示從 2001 年起各年投入的資金 ,其中 a1=500,d=50.那么，到 2019 年（n=10）,投入的資金總額為Si0=10X500+X50=7250（萬元）答：從 20 0 1 2 0 1 9 年,該市在“校校通”工程中的總投入是7250 萬元.四、變式訓練 , 深化提高6. 解：等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,S3=6,即 a1+a2+a3=6 a2=