2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊 1.1從梯子的傾斜程度談起(第1課時)教案 北師大版

1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)下冊1.1從梯子的傾斜程度談起（第1課時）教案北師大版直角三角形中邊角之間的關(guān)系是現(xiàn)實世界中應(yīng)用廣泛的關(guān)系之.銳角三角函數(shù)在解決現(xiàn)實問題中有著重要的作用.如在測量、建筑、工程技術(shù)和物理學(xué)中，人們常常遇到距離、高度、角度的計算問題，一般來說，這些實際問題的數(shù)量關(guān)系往往歸結(jié)為直角三角形中邊與角的關(guān)系問題.本節(jié)首光從梯子的傾斜程度談起。引入了第個銳角三角函數(shù)正切.因為相比之下，正切是生活當(dāng)中用的最多的三角函數(shù)概念，如刻畫物體的傾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是類比正切的概念得到的.所以本節(jié)從現(xiàn)實情境出發(fā)，讓學(xué)生在經(jīng)歷探索直角：三角形邊角關(guān)系的過程中，

2、理解銳角三角函數(shù)的意義，并能夠舉例說明；能用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中兩邊的比，并能夠根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系進行計算.本節(jié)的重點就是理解tanA、sinA、cosA的數(shù)學(xué)含義并能夠根據(jù)它們的數(shù)學(xué)意義進行直角三角形邊角關(guān)系的計算，難點是從現(xiàn)實情境中理解tanA、sim4、cosA的數(shù)學(xué)含義.所以在教學(xué)中要注重創(chuàng)設(shè)符合學(xué)生實際的問題情境，引出銳角三角函數(shù)的概念，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，鼓勵他們有條理地進行表達和思考，特別關(guān)注他們對概念的理解.1.1從梯子的傾斜程度談起（一）教學(xué)目標(biāo)（一）教學(xué)知識點1. 經(jīng)歷探索直角三角形中邊角關(guān)系的過程.理解正切的意義和與現(xiàn)實生活的聯(lián)

3、系.2能夠用tanA表示直角三角形中兩邊的比，表示生活中物體的傾斜程度、坡度等，外能夠用正切進行簡單的計算.（二）能力訓(xùn)練要求1經(jīng)歷觀察、猜想等數(shù)學(xué)活動過程，發(fā)展合情推理能力，能有條理地，清晰地闡述自己的觀點.2體驗數(shù)形之間的聯(lián)系，逐步學(xué)習(xí)利用數(shù)形結(jié)合的思想分析問題和解決問題提高解決實際問題的能力.3體會解決問題的策略的多樣性，發(fā)展實踐能力和創(chuàng)新精神.（三）情感與價值觀要求1.積極參與數(shù)學(xué)活動，對數(shù)學(xué)產(chǎn)生好奇心和求知欲.2. 形成實事求是的態(tài)度以及獨立思考的習(xí)慣.教學(xué)重點1. 從現(xiàn)實情境中探索直角三角形的邊角關(guān)系.2.理解正切、傾斜程度、坡度的數(shù)學(xué)意義，密切數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系.教學(xué)難點理解正切的

4、意義，并用它來表示兩邊的比.教學(xué)方法引導(dǎo)探索法.教具準(zhǔn)備FLASH演示教學(xué)過程1. 創(chuàng)設(shè)問題情境，引入新課用FLASH課件動畫演示本章的章頭圖，提出問題，問題從左到右分層次出現(xiàn)：問題1在直角三角形中，知道一邊和一個銳角，你能求出其他的邊和角嗎?問題2隨著改革開放的深入，上海的城市建設(shè)正日新月異地發(fā)展，幢幢大樓拔地而起.70年代位于南京西路的國際飯店還一直是上海最高的大廈，但經(jīng)過多少年的城市發(fā)展“上海最高大廈”的桂冠早已被其他高樓取代，你們知道目前上海最高的大廈叫什么名字嗎?你能應(yīng)用數(shù)學(xué)知識和適當(dāng)?shù)耐緩降玫浇鹈髲B的實際高度嗎?通過本章的學(xué)習(xí)，相信大家一定能夠解決.這節(jié)課，我們就先從梯子的傾斜程

5、度談起.（板書課題1.1.1從梯子的傾斜程度談起）.II.講授新課用多媒體演示如下內(nèi)容：師梯子是我們?nèi)粘Ｉ钪谐Ｒ姷奈矬w.我們經(jīng)常聽人們說這個梯子放的“陡”，那個梯子放的“平緩”，人們是如何判斷的?“陡”或“平緩”是用來描述梯子什么的?請同學(xué)們看下圖，并回答問題(用多媒體演示)(1) 在圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的?你有幾種判斷方法？生梯子AB比梯子EF更陡.師你是如何判斷的?生從圖中很容易發(fā)現(xiàn)ZABOZEFD，所以梯子AB比梯子EF陡.生我覺得是因為AC=ED，所以只要比較BC、FD的長度即可知哪個梯子陡.BCFD，所以梯子AB比梯子EF陡.師我們再來看一個問題(用多媒體演示

6、)(2) 在下圖中，梯子AB和EF哪個更陡?你是怎樣判斷的？師我們觀察上圖直觀判斷梯子的傾斜程度，即哪一個更陡，就比較困難了.能不能從第(1)問中得到什么啟示呢?生在第(1)問的圖形中梯子的垂直高度即AC和ED是相等的，而水平寬度BC和FD不一樣長，由此我想到梯子的垂直高度與水平寬度的比值越大，梯子應(yīng)該越陡.師這位同學(xué)的想法很好，的確如此，在第(2)問的圖中，哪個梯子更陡，應(yīng)該從梯子AB和EF的垂直高度和水平寬度的比的大小來判斷.那么請同學(xué)們算一下梯子AB和EF哪一個更陡呢？生,梯子EF比梯子AB更陡.多媒體演示：想一想如圖，小明想通過測量B1C1:及Aq,算出它們的比，來說明梯子的傾斜程度；

7、而小亮則認為，通過測量b2C2及ac2,算出它們的比，也能說明梯子的傾斜程度你同意小亮的看法嗎？(1) 直角三角形ABC和直角三角形ABC有什么關(guān)系？1122(2) 和有什么關(guān)系?(3) 如果改變B2在梯子上的位置呢？由此你能得出什么結(jié)論？師我們已經(jīng)知道可以用梯子的垂直高度和水平寬度的比描述梯子的傾斜程度,即用傾斜角的對邊與鄰邊的比來描述梯子的傾斜程度.下面請同學(xué)們思考上面的三個問題，再來討論小明和小亮的做法.生在上圖中，我們可以知道RtAABC，和RtAABC是相似的.因為ZBCA=ZBCA11222211=90,ZBAC=ZBAC，根據(jù)相似的條件，得RtAABCsRtABC.2211112

8、2生由圖還可知：BC丄AC，BC丄AC，得BC/BC，RtAABCsRtABC.22211122111122生相似三角形的對應(yīng)邊成比例，得BCACBCBC14二即11二一2_2BCACACAC222112如果改變B2在梯子上的位置，總可以得到RtAB2C2AsRtARtABA，仍能得到因此，無論B2在梯子的什么位置（除A外），總成立.師也就是說無論B2在梯子的什么位置（A除外），ZA的對邊與鄰邊的比值是不會改變的.現(xiàn)在如果改變ZA的大小，ZA的對邊與鄰邊的比值會改變嗎？生ZA的大小改變，ZA的對邊與鄰邊的比值會改變.師你又能得出什么結(jié)論呢?生ZA的對邊與鄰邊的比只與ZA的大小有關(guān)系，而與它所在

9、直角三角形的大小無關(guān).也就是說，當(dāng)直角三角形中的一個銳角確定以后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.師這位同學(xué)回答得很棒，現(xiàn)在我們再返回去看一下小明和小亮的做法，你作何評價?生小明和小亮的做法都可以說明梯子的傾斜程度，因為圖中直角三角形中的銳角A是確定的，因此它的對邊與鄰邊的比值也是唯一確定的，與BB2在梯子上的位置無關(guān)，即與直角三角形的大小無關(guān).生但我覺得小亮的做法更實際，因為要測量B1C1的長度，需攀到梯子的最高端，危險并且復(fù)雜，而小亮只需站在地面就可以完成.師這位同學(xué)能將數(shù)學(xué)和實際生活緊密地聯(lián)系在一起，值得提倡.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)就是為了更好地應(yīng)用數(shù)學(xué).由于直角三角形中的銳角A確定以后，它的對邊與

10、鄰邊之比也隨之確定，因此我們有如下定義：（多媒體演示）如圖，在RtAABC中，如果銳角A確定，那么ZA的對邊與鄰邊之比便隨之確定，這個比叫做ZA的正切（tangent）,記作tanA，即tanA=.1. tanA是一個完整的符號，它表示ZA的正切，記號里習(xí)慣省去角的符號“乙”.2. tanA沒有單位，它表示一個比值，即直角三角形中ZA的對邊與鄰邊的比.3. tanA不表示“tan”乘以“A”.4初中階段，我們只學(xué)習(xí)直角三角形中，ZA是銳角的正切.思考：1ZB的正切如何表示?它的數(shù)學(xué)意義是什么？2. 前面我們討論了梯子的傾斜程度，課本圖13，梯子的傾斜程度與tanA有關(guān)系嗎?生1.ZB的正切記作

11、tanB，表示ZB的對邊與鄰邊的比值，即tanB二.2. 我們用梯子的傾斜角的對邊與鄰邊的比值刻畫了梯子的傾斜程度，因此，在圖13中，梯子越陡，tanA的值越大；反過來，tanA的值越大，梯子越陡.師正切在日常生活中的應(yīng)用很廣泛，例如建筑，工程技術(shù)等正切經(jīng)常用來描述山坡的坡度、堤壩的坡度.如圖，有一山坡在水平方向上每前進100m，就升高60m,那么山坡的坡度（即坡角a的正切tana就是tana=a.這里要注意區(qū)分坡度和坡角.坡面的鉛直高度與水平寬度的比即坡角的正切稱為坡度.坡度越大，坡面就越陡.III例題講解多媒體演示例1如圖是甲，乙兩個自動扶梯，哪一個自動扶梯比較陡?分析：比較甲、乙兩個自動

12、電梯哪一個陡，只需分別求出tana、tanp的值，比較大小，越大，扶梯就越陡.解：甲梯中，_Za的對邊_5_5anZa的鄰邊132-5212乙梯中tanp=.因為tanptana，所以乙梯更陡.例2在厶ABC中，ZC=90,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.分析：要求tanA，tanB的值，根據(jù)勾股定理先求出直角邊AC的長度.解：在AABC中，ZC=90,所以AC=AB2BC2_、；202122=16(cm),ZA的對邊BC123十a(chǎn)口A二ZA的鄰邊AC164ZB的對邊AC164BZB的鄰邊BC123.所以tanA=，tanB=.W,隨堂練習(xí)1.如圖,ABC是等腰直角三

13、角形，你能根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)求出tanC嗎?分析：要求tanC需從圖中找到ZC所在的直角三角形，因為BD丄AC，所以ZC在RtABDC中然后求出ZC的對邊與鄰邊的比，即的值.解：ABC是等腰直角三角形，BD丄AC,CD=AC=X3=1.5.在RtABDC中，tanC=1.2.如圖，某人從山腳下的點A走了200m后到達山頂?shù)狞cB,已知點B到山腳的垂直距離為55m，求山的坡度（結(jié)果精確到0.001）分析：由圖可知，ZA是坡角，ZA的正切即tanA為山的坡度.解：根據(jù)題意：在RtAABC中，AB=200m，BC=55m,AC=2002552=5J1479-5x38.46=192.30(m).TanA=

14、所以山的坡度為0.286.V.課時小結(jié)本節(jié)課從梯子的傾斜程度談起，經(jīng)歷了探索直角三角形中的邊角關(guān)系，得出了在直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定，并以此為基礎(chǔ)，在Rt”中定義了tanA=.接著，我們研究了梯子的傾斜程度，工程中的問題坡度與正切的關(guān)系，了解了正切在現(xiàn)實生活中是一個具有實際意義的一個很重要的概念.課后作業(yè)1.習(xí)題1.1第1、2題.2.觀察學(xué)校及附近商場的樓梯，哪個更陡.活動與探究（xx年江蘇鹽城）如圖，RtAABC是一防洪堤背水坡的橫截面圖，斜坡AB的長為12m，它的坡角為45，為了提高該堤的防洪能力，現(xiàn)將背水坡改造成坡比為1：1.5的斜坡AD,求DB的長.（結(jié)

15、果保留根號）過程要求DB的長，需分別在RtAABC和RtAACD中求出BC和DC.根據(jù)題意，在RtABC中，ZABC=45,AB=12m,則可根據(jù)勾股定理求出BC；在RtAADC中，坡比為1：1.5,即tanD=1：1.5，由BC=AC，可求出CD.結(jié)果根據(jù)題意，在RtAABC中，ZABC=45，所以ABC為等腰直角三角形設(shè)BC=AC=xm，貝yX2+X2=122，x=6，所以BC=AC=6.在RtAADC中，tanD=,即CD=9.所以DB=CD-BC=9-6=3（m）.板書設(shè)計1.1.1從梯子的傾斜程度談起（一）1. 當(dāng)直角三角形中的銳角確定之后，它的對邊與鄰邊之比也隨之確定.2. 正切的定義：在RtAABC中，銳角A確定，那么ZA的對邊與鄰邊的比隨之確定，這個比叫做ZA的正切,記作tanA，即tanA=.注：（1）tanA的值越大.梯子越陡.（2）坡度通常表示斜坡的傾斜程度，是坡角的正切.坡度越大，坡面越陡.3. 例題講解（略）4. 隨堂練習(xí)5. 課時小結(jié)備課資料例1（xx年浙江沼興）若某人沿坡度i=3：4的斜坡前進10米，則他所在的位置比原來的位置升高米