(完整版)不等式知識(shí)點(diǎn)歸納

1、第1頁(yè)共 5 頁(yè)新課標(biāo)回歸教材不等式1、不等式的性質(zhì)名稱不等式名稱不等式對(duì)稱性abobb,bc=ac可加性aba+cb+c（充耍條件）同向不等式可加性：ab,cd=ciob+d異向不等式可減性：ab,ca-ob-d可乘性fab、c0=acheab,cv0=acb0.cd0=acbd異向正數(shù)不等式可駕戢：/abQ,Qcrrca乘方法則ahQ=anb11（/?eN.n2）開方法則ab0na凡gN、n2）倒數(shù)法則注：ab0.abb0a，R（充要條件）（僅是證明不等式的依據(jù).典例 J）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中，給出下列命題二ff=ac2；cic2be2=ab;abcrabb2;ab_ab_;abababa

2、b;cab0=;ab,=a0.b0.c-ac-bab其中正確的命題是.2）己知一 1x+y1,1x-ybc,且 a+b+c=0,則二的取值范圍是（-2,-.a22、不等式大小比較的常用方法:（1）作差:作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得岀結(jié)果;作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；分析法;（4）平方法;（5）分子（或分母）有理化;（6）利用函數(shù)的單調(diào)性;（7）尋找中間量或放縮法;（8）圖象法其中比較法（作差、作商）是最基本的方法.典例1）設(shè) ao 且 a 工 1,/o，比較噸 rfnlogLL1的大小2答案:當(dāng)a1 時(shí)丄 logtlog“（在/=I 時(shí)取2）己知 a0 衛(wèi)試比較“=的大小

3、.（答pq）I3）設(shè) a2,p=a+，q=2 一*2，試比較門q的大?。ù?pq）-ci-24）比較 l+logv3 與 210 缶 2（x0 且 xH1）的大小.4答:當(dāng) 0vxv1 或 x時(shí)，1十 log32log2;1xx第2頁(yè)共 5 頁(yè)44當(dāng) 1vx1 十 log3ba）+0.50.523. 利用重要不等式求函數(shù)最值:“一正二定三相等和定枳最大“枳定和最小”.典例1）下列命題中正確的是（B）A.y=x+的最小值是 2B.y=2-3x-?（x0）的最大值是 2-4也XXx2+34C.y=-1IJ小侗.是 2D.y=23x（%0）的最小值是 24;J+2x2）若x+2y=l，則2X+4V的

4、最小值是 20;823）已知x.yeR且”+y=l,則一+一的最小值為 18；兀 y_89變式:已知 0vxv1,則_+L 的最小值為 18;X1X412:己知 XW/?_,且_+_=9，則 x+y 的最大值為 1;xy3:己知 x,yeR+，且 xy=x+4），,則 x+y 的最小值為；4. 常用不等式有【（1）J-*-yfab（,be/?+,當(dāng) a=b 時(shí)取=號(hào)）丄+丄,ab22（a+by（2）a+b-2ab（a,be/?,當(dāng) a=/?時(shí)取=號(hào)）上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為:“平方和”不小于“和平方之半”不小于“積兩倍”.bb+m真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理:若ab0.7/70,則一 V（糖水的濃度問題）.

5、aa+m典例:若a.beR十，滿足ab=ci+b+3，則ab的取值范圍是9,+s）.5、證明不等式的方法:比較法、分析法、綜合法和放縮法.比較法的步驟是:作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與 1的大小，然后作出結(jié)論）常用的放縮技巧有111（否邊當(dāng)心 2時(shí)成立）nn+1/?（/?+1）n2nn-1）n-ln111bccrb+b2c+c2aab2+bc+ca2;2）已知a.b.ceR，求證:ci2b2+b2c2+c2cTabc（ci+b+c）;3）已知 w/t，且求證：兀歹；cibx+ay+ba+bb+cc+a4）若ci,b、c是不全相等的正數(shù)，求證:lg+lg+lglga+

6、lgb+lgc;2225）若W/V*,求證:J（+1）+1-（7?+1）V/?2+1_；6)求證 1+丄+_L+_L0(0;(2) 求根的情況:ax2+bx+c=0皿內(nèi)心瀏A0(=0,0)圖象得解.vr+i_vr=第3頁(yè)共 5 頁(yè)7I典例:解不等式-6*-x+2S0.(答:xe(-00,二 2一,+)32注:解一元二次不等式的過程實(shí)際上是一種函數(shù)、 方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過程,從中我們不難看出“三個(gè)二次”關(guān)系是核心， 即一元二次不等式解集定值端點(diǎn)(非正負(fù)無窮大)是對(duì)應(yīng)一元二次方程(函數(shù))的根(零點(diǎn)).典例:若關(guān)于x的不等式cur+bx+cQ的解集為x|x加，或 rn(nm0.(答:x|x-_L

7、)nm7. 簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法:標(biāo)根法：其步驟是(1)分解成若干個(gè)一次因式的積并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(奇穿偶回)；(3) 根據(jù)曲線顯現(xiàn)/(%)的符號(hào)變化規(guī)律,寫出不等式的解集.典例解不等式(x_l)(x+2)亠 0.(答xIxn1 或 x=-2);2) 不等式(x-2)yjx2-2x-30 的解集是xIx3,或 x=-1;3) 設(shè)函數(shù)/、 g(x)的定義域都是心且/(x)n0 的解集為xlx0 的解集為(-s.l)U2.+s);4) 要使?jié)M足關(guān)于 x 的不等式 2疋-9x+aV0(解集非空)的每一個(gè) x 的

8、值至少滿足不等式Q1F4x+30 和 x:-6x+80的解集為(1,+s),則關(guān)于 x 的不等式處+0 的解集為x2(-S.-l)U(2,+s).注:和一元二次不等式一樣，不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值.9.絕對(duì)值不等式的解法：(了解)(1)分域討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集)典例解不等式|2-2X|2-|A-+J|;(答：xeR),42利用絕對(duì)值的定義；(3)數(shù)形結(jié)合；典例:解不等式|兀|+|x-l|3;(答:(-s,-l)U(2,+s)兩邊平方典例:若不等式|3x+2 兇 2x+。|對(duì) xw/?恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 f310、含參不等式的解法通

9、法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類訐論是關(guān)鍵.”注意:解完之后要寫上:“綜上，原不等式的解集是二第4頁(yè)共 5 頁(yè)2按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集;但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.99典例1)若 log_0 時(shí),x|xz1 或 xv0;av0 時(shí),/vxv0,或 xv0)aci含參數(shù)的一元二次不等式的解法:三級(jí)討論法.一般地，設(shè)關(guān)于 X 的含參數(shù) d 的一元二次形式的不等式為：f(a)x2+g(a)x+r(a)0(0 時(shí),先觀察兩根;n,X2 大小是否確定，否則討論兩根的大小.注意:每一級(jí)的討論中，都有三種情況可能出現(xiàn)，即“”，“=”，“”，應(yīng)做到不重不漏.典例【1)解關(guān)于

10、x的不等式ax2-2x+a0(deR).答:當(dāng)時(shí)，xeD;當(dāng) 0cl 時(shí)，aa3當(dāng) d=0 時(shí),xe(0,+o);當(dāng)一 1Sa0 時(shí),/巳一“，口仏午2(1_仏，+s)aa當(dāng)a2x-ax(cieR).2答:當(dāng) a0 時(shí)，xe(-oo,+A在區(qū)間 D 上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間上/(x)A若不等式/(x)上/(x)對(duì)一切實(shí)數(shù) x 恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍a門2 的所有加都成立，則 x 的取值范圍(廳-1鳶+1)2，2n(-ir134) 若不等式(-1)6/0 對(duì) 0K1 恒成立，則in的取值范圍m-_22)能成立問題若在區(qū)間 D 上存在實(shí)數(shù) x 使不等式f(x)A成立，則等價(jià)于在區(qū)間 P/(A;若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù) x 使不等式/(A)B成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D 上的/(x)ni(x2-1)對(duì)滿足|w第5頁(yè)共 5 頁(yè)注意:若方程a=f(x)(xeD)有解，則等價(jià)于aeyy=f(x),xeD典例己知$-華+產(chǎn)-*l2)已知P=xx-4)2若方程 log(av2