初中數(shù)學(xué)各種公式(包括應(yīng)用題)

1、中考數(shù)學(xué)各種常用公式及性質(zhì)1. 乘法與因式分解(a+b)(ab)=a2b2；(a土b)2=a2±2ab+b2；(a+b)(a2ab+b2)=a3+b3；(ab)(a2+ab+b2)=a3b3；a2+b2=(a+b)22ab；(ab)2=(a+b)24ab。2. 冪的運算性質(zhì)amXan=am+n；aman=am-n；(am)n=amn；(ab)n=anbn；(纟)n=竺；bbna-n=，特別：(專)-n=(善)n；ao=l(aO)。an3. 二次根式©(石)2=a(a>0)；聲=丨a丨；!=商x府；石=孑(a>0,b>0)o4. 三角不等式lai-|b|&l

2、t;|a±b|<|a|+|b|(定理)；加強條件：llal-|b|<|a±b|<|a|+|b|也成立，這個不等式也可稱為向量的三角不等式(其中a,b分別為向量a和向量b)|a+b|<|a|+|b|；la-b|<|al+lbl；|a|<b<=>-b<a<b；la-b|>|a|-lbl;-|a|<a<|a|;5. 某些數(shù)列前n項之和1+2+3+4+5+6+7+8+9+.+n=n(n+l)/2；l+3+5+7+9+ll+13+15+.+(2n-1)=n2;2+4+6+8+10+12+14+.+(2n)=

3、n(n+l)；12+22+32+42+52+62+72+82+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6；13+23+33+43+53+63+.n3=n2(n+1)2/4;1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+.+n(n+l)=n(n+l)(n+2)/3;6. 一元二次方程對于方程:ax2+bx+c二0: 求根公式是x二一b土.b24ac，其中=b2-4ac叫做根的判別式。2a當(dāng)厶>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)厶二0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)厶v0時，方程沒有實數(shù)根注意：當(dāng)>0時，方程有實數(shù)根。 若方程有兩個實數(shù)根X和x2,則二次三項式ax2+bx+c可分解為a(x

4、-x1)(x-x2)o 以a和b為根的一元二次方程是x2-（a+b）x+ab=0o7一次函數(shù)一次函數(shù)y二kx+b（好0）的圖象是一條直線（b是直線與y軸的交點的縱坐標，稱為截距）。 當(dāng)k>0時，y隨x的增大而增大（直線從左向右上升）; 當(dāng)kvO時，y隨x的增大而減?。ㄖ本€從左向右下降）; 特別地：當(dāng)b二0時，y=kx（k0）又叫做正比例函數(shù)（y與x成正比例），圖象必過原點。8反比例函數(shù)反比例函數(shù)y¥（好0）的圖象叫做雙曲線。 當(dāng)k>0時，雙曲線在一、三象限（在每一象限內(nèi)，從左向右降）； 當(dāng)kvO時，雙曲線在二、四象限（在每一象限內(nèi)，從左向右上升）。9二次函數(shù)（1）定義：一

5、般地，如果y二ax2+bx+c（a,b,c是常數(shù)，aH0）,那么y叫做x的二次函數(shù)。（2）.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點。 a的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a>0時，開口向上；當(dāng)a<0時，開口向下;|a|相等，拋物線的開口大小、形狀相同。 平行于y軸（或重合）的直線記作x二h.特別地，y軸記作直線x二0。（3）.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向y=ax2y=ax2+k當(dāng)a>0時y=a(x-h)2開口向上y=a(x-hb+k當(dāng)a<0時y=ax2+bx+c開口向下對稱軸頂點坐標x=0(y軸)(0,0)x=0(y軸)(0,k)x=h(h,0)x=

6、h(h,k)bx=-2ab4ac-b2(,)2a4a第1頁共12頁3（4）求拋物線的頂點、對稱軸的方法公式法:y=ax2+bx+c=a(b)x+I2a丿4ac-b2+4a°頂點是（-，2a4ac-b24a），對稱軸是直線x=b同號)時，對稱軸在y軸2a配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為y二a(x-h)2+k的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線x二h。 運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，對稱軸與拋物線的交點是頂點。若已知拋物線上兩點(xi,y)、y)(及y值相同)，則對稱軸方程可以表示為：x=號2(5)拋物線y二ax2+bx+C中，a,b,c的作

7、用 a決定開口方向及開口大小，這與y二ax2中的a完全一樣。 b和a共同決定拋物線對稱軸的位置由于拋物線的對稱軸是直線x=-，故：b二0時，對稱軸為y軸；->0(即a2aa左側(cè)；-<0(即a、b異號)時，對稱軸在y軸右側(cè)。a c的大小決定拋物線y=ax2+bx+c與y軸交點的位置。當(dāng)x二0時，y二c，:拋物線y=ax2+bx+c與y軸有且只有一個交點(0，c)： C=0，拋物線經(jīng)過原點；c>0,與y軸交于正半軸；c<0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，則-<0。a6)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式 一般式：已知圖

8、像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式. 頂點式：y二a(x-h)2+k.已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式。 交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x、x，通常選用交點式：y=a(x-x)C-x)。1212(7)直線與拋物線的交點 y軸與拋物線y=ax2+bx+c得交點為(0,c)。 拋物線與x軸的交點。亠_二次函數(shù)+c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x、x，是對應(yīng)一元二次方程12ax2+bx+c=0的兩個實數(shù)根拋物線與x軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：a有兩個交點O(A>0)O拋物線與x軸相交；b有一交點(頂點在x軸上)o(A=0)o拋物線與x軸相切；c沒有交點o

9、(A<0)o拋物線與x軸相離。平行于x軸的直線與拋物線的交點同一樣可能有0個交點、1個交點、2個交點當(dāng)有2個交點時，兩交點的縱坐標相等，設(shè)縱坐標為k，則橫坐標是ax2+bx+c=k的兩個實數(shù)根。 一次函數(shù)y二kx+n(k豐0)的圖像l與二次函數(shù)y=ax2+bx+c(aH0)的圖像G的交點，由方程組y=kx+n的解的數(shù)目來確定：,y=ax2+bx+ca方程組有兩組不同的解時ol與G有兩個交點；b方程組只有一組解時ol與G只有一個交點；c方程組無解時ol與G沒有交點。 拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y=ax2+bx+c與x軸兩交點為A(x,)B(x,)，則AB=lx-xI121121

10、10統(tǒng)計初步(1) 概念:所要考察的對象的全體叫做總體，其中每一個考察對象叫做個體從總體中抽取的一部份個體叫做總體的一個樣本，樣本中個體的數(shù)目叫做樣本容量在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)(有時不止一個)，叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，把處在最中間的一個數(shù)(或兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位(2) 公式：設(shè)有n個數(shù)xx2,，x，那么:12n平均數(shù)為：x+x+xx=T2n；n極差：用一組數(shù)據(jù)的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，即：極差=最大值-最小值； 方差：數(shù)據(jù)x、x,x的方差為sxx2xx12 標準差：方差的算術(shù)平方根。數(shù)據(jù)x、x,x的

11、標準差s,12n+xn一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大，越不穩(wěn)定。,x1則s=12n第3頁共12頁611.頻率與概率（1）頻率頻率=頻數(shù)，各小組的頻數(shù)之和等于總數(shù)，各小組的頻率之和等于1，頻率分布直方圖中各總數(shù)個小長方形的面積為各組頻率。概率 如果用P表示一個事件A發(fā)生的概率，則0<P（A）<1；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0； 在具體情境中了解概率的意義，運用列舉法（包括列表、畫樹狀圖）計算簡單事件發(fā)生的概率。 大量的重復(fù)實驗時頻率可視為事件發(fā)生概率的估計值；12銳角三角形設(shè)上人是厶ABC的任一銳角，則ZA的正弦：sinA二魂,ZA的余弦：cosA二鐲評,ZA的正

12、切：tanA二書黑.并且sin2A+cos2A=1。0vsinAv1,0vcosAv1,tanA>0.ZA越大，ZA的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。余角公式：sin(90°-A)=cosA,cos(90°-A)=sinA。特殊角的三角函汎值:sin30°二cos60°二士,sin45°二cos45°二sin60°=cos30°二單,tan30°二單,tan45°=1,tan60°=再。斜坡的坡度：心水垂寬度=7設(shè)坡角為a，則心tana諾。13正（余）弦定理（1）正弦定理a/s

13、inA=b/sinB=c/sinC=2R；注：其中R表示三角形的外接圓半徑。正弦定理的變形公式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；(2)sinA:sinB:sinC=a:b:c(2) 余弦定理b2=a2+c2-2accosB；a2=b2+c2-2bccosA；c2=a2+b2-2abcosC；注：ZC所對的邊為c,ZB所對的邊為b,ZA所對的邊為a14三角函數(shù)公式(1)兩角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-sinBcosAcos(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sin

14、AsinBtan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)第5頁共12頁5ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA)ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)(2)倍角公式tan2A=2tanA/(1-tan2A)ctg2A=(ctg2A-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a(3) 半角公式sin(A/2)=(l-cosA)/2)sin(A/2)=-(l-cosA)/2)cos(A/2)=(l+cosA)/2)co

15、s(A/2)=-(l+cosA)/2)tan(A/2)=(l-cosA)/(l+cosA)tan(A/2)=-(l-cosA)/(l+cosA)ctg(A/2)=(l+cosA)/(l-cosA)ctg(A/2)=-(l+cosA)/(l-cosA)(4) 和差化積sinA+sinB=2sin(A+B)/2)cos(A-B)/2cosA+cosB=2cos(A+B)/2)sin(A-B)/2)tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosBtanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosBctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB-ctgA+ctgBsin(A+B)/sin

16、AsinB(5) 積化和差2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)15平面直角坐標系中的有關(guān)知識(1) 對稱性：若直角坐標系內(nèi)一點P(a,b),則P關(guān)于x軸對稱的點為P1(a,-b),P關(guān)于y軸對稱的點為P2(-a,b),關(guān)于原點對稱的點為P3(-a,-b)。(2) 坐標平移：若直角坐標系內(nèi)一點P(a,b)向左平移h個單位，坐標變?yōu)镻(a-h,b),向右平移h個單位，坐標變?yōu)镻(a+h,b)；向上平移h個單位，坐標變?yōu)?/p>

17、P(a,b+h),向下平移h個單位，坐標變?yōu)镻(a,b-h)如：點A(2,-1)向上平移2個單位，再向右平移5個單位，則坐標變?yōu)锳(7,1)o16多邊形內(nèi)角和公式多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°(n>3,n是正整數(shù))，外角和等于360°17平行線段成比例定理(1)平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應(yīng)線段成比例。如圖：abc,直線11與12分別與直線a、b、c相交與點A、B、C和DEF,1819(1(2(3(4(5(6(7(8(920(1則有蘭=DE,蘭=DE,竺=EFBCEFACDFACDF2)推論：平行于三角形一邊的直線截其

18、他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例。相交與點D、E，則有：如圖：ABC中,DE/BC,DE與AB、ACAC直角三角形中的射影定理DBAD_AEADAE_DEDBECDBEC''AB貝U有：(1)CD2=AD-BD(2)AC2=AD-AB(3)BC2=BD-ABA圓的有關(guān)性質(zhì))垂徑定理：如果一條直線具備以下五個性質(zhì)中的任意兩個性質(zhì)：經(jīng)過圓心；垂直弦; 平分弦；平分弦所對的劣弧；平分弦所對的優(yōu)弧，那么這條直線就具有另外三個性質(zhì)注：具備,時，弦不能是直徑。兩條平行弦所夾的弧相等。圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。圓周角等于它所對

19、的弧的度數(shù)的一半。同弧或等弧所對的圓周角相等。在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等。)90°的圓周角所對的弦是直徑，反之，直徑所對的圓周角是90°，直徑是最長的弦。、圓內(nèi)接四邊形的對角互補。三角形的內(nèi)心與外心)三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心三角形的內(nèi)心就是三內(nèi)角角平分線的交點。第3頁共12頁11(2)三角形的外接圓的圓心叫做三角形的夕卜心三角形的外心就是三邊中垂線的交點.常見結(jié)論:RMABC的三條邊分別為ab、(c為斜邊幾則它的內(nèi)切圓的半徑r=°+b一c;2S=Ir厶ABC的周長為l，面積為S,其內(nèi)切圓的半徑為r,貝U221弦切角定理及其推論(1)弦切角

20、:頂點在圓上，并且一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。如圖:ZPAC2皿為弦切角。(2)弦切角定理：弦切角度數(shù)等于它所夾的弧的度數(shù)的一半。如果AC是©O的弦，PA是©O的切線，A為切點，則ZPAC=1AC=2推論：弦切角等于所夾弧所對的圓周角(作用證明角相等)如果AC是©O的弦，PA是©O的切線，A為切點，則ZPAC=ZABC22相交弦定理、割線定理和切割線定理(1)相交弦定理：圓內(nèi)的兩條弦相交，被交點分成的兩條線段長的積相等。如圖，即：PAP=PCPD(2)割線定理:從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓交點的兩條線段長的積相等。如圖，即

21、：PAP=PCPD(3) 切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。如圖，即：PC2=pa.pb第8頁共12頁1423面積公式S；Ea二fX(邊長)2S平行四邊形二底X高. S菱形二底X高二4(對角線的積)， 巧弟形二2(上底+下底)x高=中位線x高S圓二nR2 1圓周長=2nR 弧長L二S_二S,+S亠=2nrh+2nr2全面積側(cè)底S圓錐側(cè)=lx底面周長x母線=nrb,S二S,+S亠=nrb+nr2全面積側(cè)底S扇形n兀r2360S圓柱側(cè)二底面周長x高=2nrh,初中數(shù)學(xué)各種應(yīng)用題公式平均數(shù)問題公式（一個數(shù)+另一個數(shù)）三2反向行程問題公式路程三（

22、大速+小速）同向行程問題公式路程三（大速一小速）行船問題公式同上列車過橋問題公式（車長+橋長）三車速工程問題公式速度和盈虧問題公式（盈+虧）三兩次的相差數(shù)利率問題公式總利潤F成本X100%盈虧（盈+虧）F兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)（大盈一小盈）F兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)（大虧一小虧）F兩次分配量之差二參加分配的份數(shù)相遇相遇路程二速度和X相遇時間相遇時間二相遇路程F速度和速度和=相遇路程三相遇時間追及追及距離二速度差X追及時間追及時間二追及距離F速度差速度差二追及距離F追及時間流水順流速度二靜水速度+水流速度逆流速度二靜水速度一水流速度靜水速度=（順流速度+逆流速度）F2水流速度=（順

23、流速度一逆流速度）三2濃度溶質(zhì)的重量+溶劑的重量=溶液的重量溶質(zhì)的重量F溶液的重量X100%=濃度溶液的重量X濃度=溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量F濃度=溶液的重量利潤與折扣利潤=售出價一成本利潤率=利潤F成本X100%=（售出價F成本一1）X100%漲跌金額二本金X漲跌百分比折扣=實際售價F原售價X100%（折扣V1）利息=本金X利率X時間稅后利息=本金X利率X時間X（120%）植樹問題1非封閉線路上的植樹問題主要可分為以下三種情形：如果在非封閉線路的兩端都要植樹，那么：株數(shù)=段數(shù)+1=全長F株距一1全長二株距X（株數(shù)一1）株距=全長F（株數(shù)一1）如果在非封閉線路的一端要植樹，另一端不要植樹，那么:株數(shù)=段數(shù)=全長F株距全長=株距X株數(shù)株距=全長F株數(shù)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹，那么：株數(shù)=段數(shù)一1=全長F株距一1全長=株距X（株數(shù)+1）株距=全長F（株數(shù)+1）2封閉線路上的植樹問題的數(shù)量關(guān)系如下株數(shù)=段數(shù)=全長F株距全長=株距X株數(shù)株距=全長F株數(shù)1每份數(shù)X份數(shù)=總數(shù)總數(shù)F每份數(shù)=份數(shù)總數(shù)F份數(shù)=每份數(shù)21倍數(shù)X倍數(shù)=幾倍數(shù)幾倍數(shù)F1倍數(shù)=倍數(shù)幾倍數(shù)F倍數(shù)=1倍數(shù)3速度X時間=路程路程F速度=時間路程F時間=速度4單價X數(shù)量=總價總價F單價=數(shù)量總價F數(shù)量=單價5工作效率X工作時間=工作總量工作總量F工作效率=工作時間工作總量F工作時間=工作效率6 加數(shù)+