大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)微分幾何復(fù)習(xí)題

1、一、填空題：(每小題2分)1. 向量r(t)=t,31,a具有固定方向，則a=。2. 非零向量r(t)滿足(r,r:r)=0的充要條件是。3. 設(shè)曲線在P點(diǎn)的切向量為a，主法向量為卩，則過(guò)P由a,p確定的平面是曲線在P點(diǎn)的。4. 曲線r=r(t)在點(diǎn)r(t)的單位切向量是a則曲線在r(t點(diǎn)的法平面方00程是。5曲線；=r(t)在t=1點(diǎn)處有y=2p，則曲線在t二1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處其撓率工(1)=。-8在旋轉(zhuǎn)曲面r=p(t)cos0,申(t)sin0，屮(t)中，是旋轉(zhuǎn)曲面的經(jīng)線。9-曲面z=z(x,y)在點(diǎn)(x,y,z)的法線方程是。00010直紋面的參數(shù)表示總可以寫成r=。11、向量函數(shù)r=r(t

2、)使(r,r'，r“)=0的充要條件是r=r(t)。12、若r(t)是曲線r=r(t)的正則點(diǎn)，則曲線r=r(t)在r(t)的密切平面方程0fiff0是。13、一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率工。15、曲面上一族坐標(biāo)曲線是測(cè)地線，另一族為它的正交軌線坐標(biāo)網(wǎng)是16、已知曲面r=r(u,v)的第一類基本量為E、F、G,則兩方向du:dv與5u:5v垂直的充要條件是。17、對(duì)曲面r=r(u,v)有dr2=4du2+3dv2,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t)從t0到t(tt)的弧長(zhǎng)s=。0_18、若曲面r=r(u,v)在(0,1)點(diǎn)處的第二基本形式II二-du2+3dv2，則在(

3、0,1)點(diǎn)處，rn=。其中n為曲面的單位法向量。fufu19、已知曲面r=r(u,v)的第二類基本量L、M、N,則曲面上漸近曲線的微分>>方程是。20、若曲面r=r(u,v)的第一基本形式為ds2=Edu2+Gdv2，曲面在一點(diǎn)的切向dr與U線的夾角為e,則曲面在這點(diǎn)沿切向dr的測(cè)地曲率k=。g21r(t)具有固定方向的充要條件是。22撓率的曲線其副法向量是常矢。23曲線r=r(t)在P(t)點(diǎn)的主法向量是卩，則曲線在P點(diǎn)的從切面方程是0。網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件是。26曲面上一曲線，如果它每一點(diǎn)的切方向都是主方向，則稱該曲線為。27半徑為R的球面的高斯曲率K=28.一個(gè)曲面為可展曲面

4、的充分必要條件是它的恒等于零。30在可展曲面上，測(cè)地三角形的三內(nèi)角之和兀。31.向量函數(shù)r=r(t)使(r,r'，r“)=0的充要條件是r=r(t)。32、若r(t)是曲線r=r(t)的正則點(diǎn)，則曲線r=r(t)在r(t)的密切平面方程0ffffff0是。33、一曲線的副法向量是常向量，則這曲線的撓率工。35、球面r=Rcosecos甲,Rcosesin甲,Rsine上，線是球面上的緯圓。36、已知曲面r=r(u,v)的第一類基本量為E、F、G,則兩方向du:dv與5u:5v垂直的充要條件是。37、對(duì)曲面r=r(u,v)有dr2=4du2+3dv2,則曲面上曲線u=u(t),v=v(t

5、)從t0到t(tt)的弧長(zhǎng)s=。0_38、若曲面r=r(u,v)在(0,1)點(diǎn)處的第二基本形式II=-du2+3dv2，則在(0,1)點(diǎn)處，rn=。其中n為曲面的單位法向量。fufu39、已知曲面r=r(u,v)的第二類基本量L、M、N,則曲面上漸近曲線的微分>方程是。40、若曲面r=r(u,v)的第一基本形式為ds2=Edu2+Gdv2，曲面在一點(diǎn)的切向dr與u線的夾角為e,則曲面在這點(diǎn)沿切向dr的測(cè)地曲率k=。g選擇填空題：(每小題3分)1、圓柱螺線x=cost,y=sint,z=t在點(diǎn)(1,0,0)的切線為.x1yzB、y+z0A、-=011cx1yzD、y一z01002、曲面的二

6、個(gè)基本形式之間的關(guān)系為A、III+2HII+KI=0B、III-2HII+KI=0C、III2KII+HI=0D、III2HIIKI=03、曲面的坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是。A、M=0B、L=N=0C、M=F=0D、F=04、下列曲面中不是可展曲面。A、柱面B、錐面C、一條曲線的切線曲面D、正螺面5、曲面上，不是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量。A、兩曲線的夾角B、曲線的弧長(zhǎng)6、曲線r=r(s)在P(s)點(diǎn)的基本向量是a,p，丫，曲率k(s)，撓率t(s)，則下式不正確。ffifA、akpB、P=ka+TyC、akpD、ytP7、曲面rr(u,v)在P點(diǎn)的第一、第二基本形式分別為I,II，曲面上曲線(C)在P點(diǎn)的

7、曲率k、沿切向dr的法曲率為k，(C)在P點(diǎn)的主法向量與曲面的單n位法向量n的夾角為e，則下式正確。IIiIIA、k=±B、kkcoseC、Ik1=D、kksinenInnIn8、L=N=0是曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為的充要條件。A、正交網(wǎng)B、漸近網(wǎng)C、曲率網(wǎng)D、半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)9、在圓柱面上，圓柱螺線是。A、平面曲線B、曲率線C、測(cè)地線D、漸近線10、以下各項(xiàng)中，不一定是測(cè)地線。A、球面上的大圓B、圓柱面上的螺旋線C、旋轉(zhuǎn)曲面上的經(jīng)線D、旋轉(zhuǎn)曲面上的緯線11、設(shè)曲面在一點(diǎn)的單位法向量n，切向量為dr，則dn-九dr的充分必要條件是。A、存在方向5r使dn-5r0_B、存在方向8r使dr-5r0

8、_C、存在方向5r使dn-5r0且dr-5r0D、沿dr有k=0n>12、對(duì)于球面r=RcosesinQRcosesin申,Rsin，以下判斷中不正確。A、沿其上任何曲線的球面的法線曲面是可展曲面B、其上大圓是漸近線1C、高斯曲率為正常數(shù)D、其上大圓的每一點(diǎn)的測(cè)地曲率為零R213、曲面r=r(u,v)上，曲線(C)在P點(diǎn)的基本向量是a,p,y，曲面在P點(diǎn)的單位法向量n，則在P點(diǎn)沿切向a的測(cè)地曲率k豐。g_A、kPxnB、(a,kp,n)C、(r,r,n)D、(Ka,p,n)14、若在曲面上一'點(diǎn)LN-M20，則曲面在該點(diǎn)的高斯曲率K。A、0B、0C、=0D、符號(hào)不確定15、下列直

9、紋面中，是可展曲面。A、雙曲拋物面B、撓曲線的副法線曲面C、撓曲線的切線曲面D、單葉雙曲面16、若曲線的所有密切平面經(jīng)過(guò)一定點(diǎn)，則此曲線是。A、直線B、平面曲線C、球面曲線D、圓柱螺線17、曲線r=r(t)在P(t)點(diǎn)的曲率為k,撓率為t，則下列式子不正確。A、B、krr3c、D、（卄嚴(yán)）（r，xr“）218、對(duì)于曲面的第一基本形式I=Edu2+2Fdudv+Gdv2,EG-F2A、0B、0C、0D、019、對(duì)于圓柱面r=rcos0,Rsin0,z，以下結(jié)論是不正確的。A、坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)B、沿同一直母線的切平面是同一個(gè)C、其上高斯曲率為零D、其上沒(méi)有拋物點(diǎn)20、以下結(jié)論正確的是。A、法曲率是法

10、截線的曲率B、法曲率是曲率向量r.在主法向量p上的投影C、法曲率0D、法曲率的絕對(duì)值是法截線的曲率21、設(shè)曲面r=r(u,v),n是其單位法向量，下列第二類基本量的計(jì)算中，_是不正確的。A、M=rnB、M=-rnC、M=-rnD、M=-rnuvuvuvvu22、球面上的大圓不可能是球面上的。A、測(cè)地線B、曲率線C、法截線一一D、漸近線一一23、正螺面r=ucosv,usinv,bv的坐標(biāo)網(wǎng)不是。A、正交網(wǎng)B、共軛網(wǎng)C、漸近網(wǎng)-D、半測(cè)地坐標(biāo)網(wǎng)24、曲面上每一點(diǎn)處的主方向。A、只有一個(gè)B、至少兩個(gè)C、只有兩個(gè)D、也可能不存在25、下列直紋曲面中，是可展曲面。A、雙曲拋物面C、撓曲面的切線曲面三、

11、計(jì)算題B、撓曲面的副法線曲面D、單葉雙曲面1、設(shè)曲線r:r=cht,sht,t，求 r在點(diǎn)(1,0,0)的曲率和撓率； r的切線曲面的高斯曲率。2、已知圓柱螺線r=cost，sint,t，試求(兀、在點(diǎn)0,1,一的切線和法平面。(2丿(2)曲率和撓率。3、對(duì)于圓柱面工：r=pcos0,psin0,u,試求(1)工的第一、第二基本形式；工在任意點(diǎn)處沿任意方向的法曲率；工在任意點(diǎn)的高斯曲率和平均曲率；試證工的坐標(biāo)曲線是曲率線。cosu,vsin5、設(shè)點(diǎn)P是曲面工上一個(gè)固定點(diǎn)，試證明工在P點(diǎn)沿任意互相垂直的兩個(gè)方向的法曲率之和是常數(shù)。6、設(shè)曲面工：r=tcos0,tsin0,t，求 工的第一、第二基

12、本形式； 工在點(diǎn)(1,比1)處沿任意方向的法曲率； 試證工的坐標(biāo)曲線是曲率線。7、求螺線x=cost,y=sint,z=t上點(diǎn)(1,0,0)的曲率和撓率。8、確定螺旋面x=ucosv,y=usinv,z=cv上的曲率線和在任一點(diǎn)的高斯曲率。9、求曲線r(t)=t,t2,et在t=0點(diǎn)的密切平面和主法線。10、求曲線r(t)=a(1sint),a(1cost),bt的曲率和撓率。求拋物面z=a(X2+y2)在(0,0)點(diǎn)的高斯曲率和平均曲率。11、求平面族xcosa+ysina一zsina=1的包絡(luò)。證明題：1、證明：如果曲線的所有密切平面垂直于某個(gè)固定直線，那么它是平面曲線。2、證明：如果曲線

13、的所有密切平面都經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，則此曲線是平面曲線。3、試證錐面是可展曲面，并證明它與平面成等距對(duì)應(yīng)。4設(shè)曲線r:r=r(t)上每上點(diǎn)的切線都平行于同一個(gè)固定平面，試證明r是平面曲線。5、設(shè)點(diǎn)P是曲面工上一個(gè)固定點(diǎn)，試證明工在P點(diǎn)沿任意互相垂直的兩個(gè)方向的法曲率之和是常數(shù)。6、證明曲面工：r:二cosv一(u+v)sinv,sinv+(u+v)cosv,u+2v是可展曲面。7、證明：曲面上的曲線是曲率線的充分必要條件是沿此曲線的曲面的法線組成一可展曲面。8、證明；如果曲面上非直線的測(cè)地線為平面曲線，則它必為曲率線9、證明：如果一條曲線的所有法平面包含常向量e，那么這條曲線是直線或平面曲線。10、

14、證明撓曲線(C)的主法線曲面不是可展曲面。一、填空題1. 曲線x=cost,y=sint,z=t在t=0處的切線方程是。2. 曲面上曲線的弧長(zhǎng)，交角，曲面域的面積等都是不變量。3. 若點(diǎn)(u0,v0)為曲面的正常點(diǎn)，貝ijrxr在(u0,v0)滿足。00uv004. 兩個(gè)曲面之間的一個(gè)變換是保角變換的充要條件是它們的。5. 若向量函數(shù)r(t)滿足r(t)xr'(t)=0，則r(t)具有固定的.6. 曲線r=r(t)的正常點(diǎn)是指滿的點(diǎn).7. 橢圓點(diǎn)對(duì)應(yīng)的杜邦指標(biāo)線是橢圓，雙曲點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是一對(duì)共軛雙曲線，拋物點(diǎn)對(duì)應(yīng)的是8. 平均曲率H=0的曲面稱為曲面.9. 曲面上的直線必曲線.10. 向量

15、函數(shù)r(t)具有固定方向的充要條件.11. 曲線的主法向量的正向總是指向.12. 在曲面上圓點(diǎn)，其第一、第二類基本量滿足關(guān)系.13. 曲面三個(gè)基本形式之間有關(guān)系.14. 曲線r=r(s)的曲率定義是。15. 空間曲線為一般螺線的充要條件是它的副法向量。16. 曲面上的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)為共軛網(wǎng)的充要條件是。17. 曲線r(t)=t3-t2-t,t2-2t+2,2上的點(diǎn)不是正常點(diǎn)的是t=。18. 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸進(jìn)網(wǎng)的充分必要條件是。19. 極小曲面是指的曲面。20. 向量函數(shù)r(t)具有固定長(zhǎng)的充要條件是。21. 曲線r=r(t)的撓率是。22. 曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充要條件。23. 向量函

16、數(shù)r(t)平行于固定平面的充要條件是.24. 以杜邦(Dupin)指標(biāo)線為分類標(biāo)準(zhǔn)，曲面上的點(diǎn)分為橢圓點(diǎn)，雙曲點(diǎn),，平點(diǎn).25. 曲面上一點(diǎn)的主曲率是曲面在這點(diǎn)所有方向的的最大值和最小值.26. 球面r=acosvcosu,acosvsinu,asinv的坐標(biāo)曲線就是。27. 曲面上曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是正交網(wǎng)的充要條件是。28. 兩個(gè)曲面之間的變換是保角變換的充要條件是。29. 在曲面的橢圓點(diǎn)處，高斯曲率。(這個(gè)空填符號(hào)，即填“大于零”、“等于零”、“小于零”)30. 一般螺線的曲率和撓率的關(guān)系是。31. 曲面上曲線的交角作為曲面的內(nèi)蘊(yùn)量是參數(shù)變換下的不變量。32. 曲面域的面積作為曲面的內(nèi)蘊(yùn)量是參數(shù)

17、變換下的不變量。33. 設(shè)曲面在點(diǎn)P處有兩個(gè)同號(hào)的主曲率，則按高斯曲率的符號(hào)分類，此點(diǎn)是曲面的。34. 曲面的曲紋坐標(biāo)網(wǎng)是漸近網(wǎng)的充分必要條件是。35. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的曲率，使法曲率達(dá)到最大值和最小值的方向是曲面的方向.36. 距離單位球面球心距離為d(0<d<1)的平面與球面的交線的曲率為，法曲率為37. 曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件是,坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是38. 曲率為0的曲線是,撓率為0的曲線是.39. 半徑為R的圓的曲率為,半徑為R的球面的法曲率為.40. 曲面的坐標(biāo)曲線網(wǎng)正交的充要條件是,坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是.41. 圓柱

18、面的高斯曲率為,極小曲面的平均曲率為.42. 在臍點(diǎn)處曲面的第一，第二類基本量滿把第二類基本量L=M=N=0的臍點(diǎn)稱為.43. 法曲率的最大值和最小值正好是,使法曲率達(dá)到最大值和最小值9的方向是方向.二、單項(xiàng)選擇題）B.曲面上曲線的測(cè)地曲率D.曲面的高斯曲率1. 下面各量中，不是內(nèi)蘊(yùn)量的是（A. 曲面上曲線的曲率C.曲面上測(cè)地三角形的內(nèi)角和2.設(shè)Illi而的第一，第二基本型分別是Z二Edu2+GdvII二Ldu2+Ndv1,則|11|而的兩個(gè)主曲率分別是A.疋1=齊擊2C.kl=k2B.D.133. 曲面上一點(diǎn)處的兩個(gè)主方向之間的夾角0為（）A.0二兀/2B.0=0C.。二兀D.不確定4. 等

19、距等價(jià)的兩曲面上，對(duì)應(yīng)曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有相同的（）A.曲率B.撓率C.法曲率D.測(cè)地曲率5. 過(guò)空間曲線C上點(diǎn)P（非逗留點(diǎn)）的切線和P點(diǎn)的鄰近點(diǎn)Q的平面n，當(dāng)Q沿曲線C趨于點(diǎn)P時(shí)，平面n的極限位置稱為曲線C在P點(diǎn)的（）A. 法平面B.密切平面C.從切平面D.不存在6. 曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是（）A.直線B.圓C.圓柱螺線D.平面曲線7. 下面關(guān)于曲面上主方向的說(shuō)法，不正確的一項(xiàng)是（）A. 臍點(diǎn)處，任何方向都是主方向B.非臍點(diǎn)處，主方向垂直C.臍點(diǎn)處，無(wú)主方向8. 下面各量中，不是內(nèi)蘊(yùn)量的是（）A.曲面上曲線的曲率C.曲線的弧長(zhǎng)9. 下面說(shuō)法不正確的是（）A.等距變換一定是保角變換C.平面

20、與圓柱面成等距對(duì)應(yīng)10. 平面曲線的密切平面與曲線所在平A.相交B.平行C.重合D.非臍點(diǎn)處，有且僅有兩個(gè)主方向B. 曲面域的面積D.高斯曲率B. 保角變換一定是等距變換D.平面與除去北極外的球面成保角對(duì)應(yīng)耳（）D.垂直11兩個(gè)曲面等距等價(jià)的充要條件是經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)膮?shù)選擇后，（）A.第一基本型相同B.第一基本型成比例C. 第二基本型相同D.第二基本型成比例在選取曲率線網(wǎng)作為參數(shù)曲線網(wǎng)時(shí)，曲面的兩個(gè)主曲率k1，k2為（）.,E,G,L,NA.K-i=-ft>E”k-i=-K-j=LN1E'G匸-鬲=-2=D.鬲=,2=g£NGE13.設(shè)曲面S:r=r（u,v）,（u,v）e

21、D的第一、二類基本量為E,F,G和L,M,N，則曲面的面積為A.=EG-F2dudv；B.LN-M2dudvD2-EGdudv；D./Lm2-LNdudv14. 下面曲線中是一般螺線的是（）A.平面曲線B.圓柱螺線C.直線D.以上全是15下列關(guān)于主方向，正確的說(shuō)法是（）A. 曲面上一點(diǎn)處至少有兩個(gè)主方向B. 除臍點(diǎn)處外，主方向是互相垂直的C. 沿主方向，法曲率達(dá)到最大值或最小值D. 以上全正確16. 下面各量中，不是內(nèi)蘊(yùn)量的是（）A.曲面上曲線的曲率B.曲面上曲線的法曲率C. 曲面的平均曲率D.曲面的高斯曲率17. 曲率和撓率均為非零常數(shù)的曲線是（）A.直線B.圓C圓柱螺線D.平面曲線18.

22、在橢圓點(diǎn)處，曲面的第二類基本量滿足（）A.LN-M2>0B.LN-M1<0CLN-M2=0D.以上都不對(duì)19. 在不含臍點(diǎn)的曲面上，坐標(biāo)曲線網(wǎng)成為曲率線網(wǎng)的充要條件是（）A.F=0B.F=M=0C.L=N=0D.M=020. 反映法曲率隨方向而變化的變化規(guī)律的歐拉（Euler）公式是（）A.kn-kYcos20+為sin2&B.=k；cos2<9+材sin?<9C. kn=cos+A2sin3D.kn=cos20+klsin20三、判斷下列各題，正確的在題后括號(hào)內(nèi)打“7”，錯(cuò)的打“X”。1. 曲線上的正常點(diǎn)是指曲率不為零的點(diǎn)。（）2. 如果兩條曲線在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的主法線互相平行，則在對(duì)應(yīng)點(diǎn)處的切線互相平行。（）3. 高斯曲率和平均曲率都是曲面的內(nèi)蘊(yùn)量。（）4. 密切面固