大物習(xí)題解答-大學(xué)物理習(xí)題答案(許瑞珍_賈誼明)-第3章 剛體力學(xué)

1、第三章剛體力學(xué)31通風(fēng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)部分以初角速度3°繞其軸轉(zhuǎn)動(dòng)，空氣的阻力矩與角速度成正比，比例系數(shù)C為一常量。若轉(zhuǎn)動(dòng)部分對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間后其轉(zhuǎn)動(dòng)角速度減少為初角速度的一半？（2）在此時(shí)間內(nèi)共轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解：（1）由題可知：阻力矩M=-C，d®又因?yàn)檗D(zhuǎn)動(dòng)定理M=JP=J-dt®d®-C®=Jdt.J®d®=Jt-Cdt®0®0J®Cln=t®J00時(shí)-C二e-/0J。t=In2。C(2)角位移9=Jt®dt=Jcln2®e-jtdt0001J

2、®=2-C°'所以，此時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為9-®n=2k=4kC°32質(zhì)量面密度為b的均勻矩形板，試證其對(duì)與板面垂直的，通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=12ab（a2+b2）。其中a，b為矩形板的長，寬。證明一：如圖，在板上取一質(zhì)元dm=bdxdy，對(duì)與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為dJ二Jr2dmab=J2J2(x2+y2)bdxdyab-2-2b=ab（a2+b2）12證明二：如圖，在板上取一細(xì)棒dm=bbdx,對(duì)通過細(xì)棒中心與棒垂直的轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)1動(dòng)慣量為12dmb2，根據(jù)平行軸定理，對(duì)與板面垂直的、通過幾何中心的軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

3、2mg一T=2ma2T一mg=ma1(T-T)r=J2(T-T)r=J0,1a=rp，J=mr22聯(lián)立求出1a=g，4(1)(2)(3)(4)(5)11”5T=mg，T=丁mg，814圖3-28習(xí)題3-3圖dJ=dm-b2+dm(-x)2122=ob3dx+cb(-x)2dx122fl1oJ=JdJ=ob3a+ob3=ab(a2+b2)1212123-3如圖3-28所示，一輕繩跨過兩個(gè)質(zhì)量為m、半徑為r的均勻圓盤狀定滑輪，繩的兩端分別掛著質(zhì)量為2m和m的重物，繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸光滑，求重物的加速度和各段繩中的張力。解：受力分析如圖0圖3-29習(xí)題3-4圖3-4如圖3-29所示，一均勻

4、細(xì)桿長為L,質(zhì)量為m，平放在摩擦系數(shù)為卩的水平桌面上，設(shè)開始時(shí)桿以角速度®°繞過細(xì)桿中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，試求：（1）作用于桿的摩擦力矩；（2）經(jīng)過多長時(shí)間桿才會(huì)停止轉(zhuǎn)動(dòng)。（1）解：設(shè)桿的線九=彳，在桿上取一小質(zhì)元dm=Xdx1/df=pdmg=pAgdxdM=臥gxdx考慮對(duì)稱M=2J2Mgxdx=pmgl04(2)根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律M=Jp=JdfA-Mdt=J0Jdumglt=-ml2®412®l所以t=翥35質(zhì)量為m和m2的兩物體A、B分別懸掛在如本題圖所示的組合輪兩端。設(shè)兩輪的半徑分別為R和r,兩輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為J和J2,輪與軸承間的摩擦力略去不計(jì)，繩

5、的質(zhì)量也略去不計(jì)。試求兩物體的加速度和繩中的張力。解：分別對(duì)兩物體做如圖的受力分析。根據(jù)牛頓定律,有mg一T=ma1111T一mg=ma222又因?yàn)榻M合輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是兩輪慣量之和,根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有TR-Tr二（J+J）（x1212而且，管屜，a2-心，mR-mr:.a=i2gR1J+J+mR2+mr21212mR-mra=12gr2J+J+mR2+mr21212rJ+J+mr2+mRr=222m1J+J+mR2+mr211212J+J+mR2+mRrT=21img2J+J+mR2+mr22121236如本題圖所示裝置，定滑輪的半徑為r，繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,滑輪兩邊分別懸掛質(zhì)量為m和m2的物體A

6、、BoA置于傾角為e的斜面上，它和斜面間的摩擦因數(shù)為卩。若B向下作加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，求：（1）其下落加速度的大?。唬?）滑輪兩邊繩子的張力。（設(shè)繩的質(zhì)量及伸長均不計(jì)，繩與滑輪間無滑動(dòng)，滑輪軸光滑）解:A、B物體的受力分析如圖。根據(jù)牛頓定律有T-mgsin0-f=ma1111mg-T=ma2222對(duì)滑輪而言，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律有Tr-Tr=Ja21由于繩子不可伸長、繩與輪之間無滑動(dòng)，則a=a=ra122mg一mgsin0-pmgcos0a=a=2一一12mmg(1+sm0+卩cos0)+(sm0+卩cos0)mgJr2T=1211m+m+Jr212mmg(1+sm0+ycos0)+mgJr2T=1_2222

7、3-7如圖3-32所示，定滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半徑為r；物體的質(zhì)量為m,用一細(xì)繩與勁度系數(shù)為k的彈簧相連，若繩與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)，滑輪軸上的摩擦忽略不計(jì)。當(dāng)繩拉直、彈簧無伸長時(shí)使物體由靜止開始下落。求：（1）物體下落的最大距離；（2）物體的速度達(dá)最大值時(shí)的位置。解：（1）機(jī)械能守恒。設(shè)下落最大距離為hkh2=mgh2h=處k1711,（2）kx2+mv2+Jw2=mgx222圖3-32習(xí)題3-7圖2mgx-kx2丄Jm+r2dv小mg若速度達(dá)最大值，丁=0，x=-dxk3-8如圖3-33所示，一輕彈簧與一均勻細(xì)棒連接，裝置如圖所示,已知彈簧的勁度系數(shù)k=40N/m，當(dāng)0=0。時(shí)彈簧無形變，細(xì)棒的

8、質(zhì)量m=5.0kg，求在0=0。的位置上細(xì)棒至少應(yīng)具有多大的角速度w，才能轉(zhuǎn)動(dòng)到水平位置？解：機(jī)械能守恒11717mg+Jw2=kx2222圖3-33習(xí)題3-8圖根據(jù)幾何關(guān)系(x+0.5)2=1.52+12w=3.28rad-s-13-9如圖3-34所示，一質(zhì)量為m、半徑為R的圓盤，可繞過O點(diǎn)的水平軸在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。若盤從圖中實(shí)線位置開始由靜止下落，略去軸承的摩擦，求：（1）盤轉(zhuǎn)到圖中虛線所示的鉛直位置時(shí)，質(zhì)心C和盤緣A點(diǎn)的速率；（2）在虛線位置軸對(duì)圓盤的作用力。解：在虛線位置的C點(diǎn)設(shè)為重力勢(shì)能的零點(diǎn)，下降過程機(jī)械能守恒mgR=Jw22J=mR2+mR22：4g_3Rv=Rwc圖3-34習(xí)題3

9、-9圖F=mg+mRwy2=3mg方向向上3-10如圖3-35所示，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以v的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)。試證明：從直線外任意一點(diǎn)O到質(zhì)點(diǎn)的矢量r在相同的時(shí)間內(nèi)掃過的面積相同。解：質(zhì)點(diǎn)不受任何力作用才會(huì)作勻速直線運(yùn)動(dòng)，因而它對(duì)O點(diǎn)的力矩也為零，即對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量守恒mvrsin9=常量。另一方面,矢量r在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積：AS=*vrsin9=常量。圖3-35習(xí)題3-10圖3-11如圖3-36所示，質(zhì)量m的衛(wèi)星開始時(shí)繞地球作半徑為r的圓周運(yùn)動(dòng)。由于某種原因衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)方向突然改變了9=30°角，而速率不變，此后衛(wèi)星繞地球作橢圓運(yùn)動(dòng)。求(1)衛(wèi)星繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)的速率v；(2)衛(wèi)

10、星繞地球橢圓運(yùn)動(dòng)時(shí)，距地心的最遠(yuǎn)和最近距離r和r。12解：(1)由GmMr2v2GM=m，得v=-rr圖3-36習(xí)題3-11圖(2)衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過程中對(duì)地心的角動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒:r-mvcos30=r-mv=r-mv11221 小mM1小mM1小mMmv2一G=mv2一G=mv2一G2 r21r222r212其中，'v2分別是衛(wèi)星在遠(yuǎn)地點(diǎn)與近地點(diǎn)時(shí)的速率，可求出3 r=r，123-12求質(zhì)點(diǎn)與桿分別如本題圖所示，質(zhì)量為M長為L的均勻直桿可繞過端點(diǎn)o的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以水平速度v與靜止桿的下端發(fā)生碰撞，如圖示，若M=6m作完全彈性碰撞和完全非彈性碰撞后桿的角速度大小。一11

11、T1解:(1)質(zhì)點(diǎn)與桿完全彈性碰撞，則能量守恒2mv2=-Jw2+mv2又因?yàn)榻莿?dòng)量守恒Lmv=Lmv+Jw1J=3ML2，M=6m習(xí)題3-7圖2v3=3L完全非彈性碰撞，角動(dòng)量守恒Lmv=Lmv2+J3v=3L313如本題圖所示，A與BJ=10.0kg.m2,開始時(shí)B輪靜止，A輪以n1=600r/min的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng)，然后使A與B連接，因而B輪得到加速而A輪減速，直到兩輪的轉(zhuǎn)速都等于n=200r/min為止。求：（1）B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；（2）在嚙合過程中損失的機(jī)械能。解：（1）取兩飛輪為系統(tǒng)，嚙合過程中系統(tǒng)角動(dòng)量守恒，即兩飛輪的軸桿由摩擦嚙合器連接，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J3=(J+J)311一3=2兀n

12、3112所以B輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為n一n12Jn12=20.0kg-m2（2）嚙合過程中系統(tǒng)機(jī)械能變化AE=2（J+J)32一J32=一1.32X104J1222113-14如圖3-39所示，長為l的輕桿（質(zhì)量不計(jì)），兩端各固定質(zhì)量分別為m和2m的小球，桿可繞水平光滑固定軸O在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)軸O距兩端分別為*l和31。輕桿原來靜止在豎直位置。今有一質(zhì)量為m的小球，以水平速度v0與桿下端小球m作對(duì)心碰撞，碰后1以入v的速度返回，試求碰撞后輕桿所獲得的角速度。2o解：根據(jù)角動(dòng)量守衡有2 7/2l、Imvl=（一）2m3+（-3 o333-15如圖3-40所示，有一空心圓環(huán)可繞豎直軸OO自由轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣

13、量為J0，環(huán)的半徑為R初始的角速度為，今有一質(zhì)量為m的小球靜止在環(huán)內(nèi)A點(diǎn)，由于微小擾動(dòng)使小球向下滑動(dòng)。問小球到達(dá)B、C點(diǎn)時(shí)，環(huán)的角速度與小球相對(duì)于環(huán)的速度各為多少？（假O2圖3-39習(xí)題3-14圖x(2)當(dāng)小球滑至C點(diǎn)時(shí),故由機(jī)械能守恒，有mg(2R)=1mv22c設(shè)環(huán)內(nèi)壁光滑。)解：(1)小球與圓環(huán)系統(tǒng)對(duì)豎直軸的角動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑至B點(diǎn)時(shí)，有圖3-40習(xí)題3-15圖I=(I+mR2)0000該系統(tǒng)在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)小球相對(duì)于圓環(huán)的速率為VB，以B點(diǎn)為重力勢(shì)能零點(diǎn)，則有Io2+mgR=(I+mR2)02+mv2200202b聯(lián)立、兩式，得!Io2R2v='2gR+o_obI

14、+mR2電0I=I0=0c0c0y=l(sin0-sin0)01)2)將式(1)代入(3)得o23g(sin0-sin0)02l4)316長為2L的均勻細(xì)桿，一端靠墻上，另一端放在的水平地板上，如本題圖所示,所有的摩擦均可略去不計(jì)，開始時(shí)細(xì)桿靜止并與地板成e0角，當(dāng)松開細(xì)桿后，細(xì)桿開始滑下。問細(xì)桿脫離墻壁時(shí)，細(xì)桿與地面的夾角e為多大？解：如圖，以初始細(xì)桿的質(zhì)心為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則任意時(shí)刻質(zhì)心坐標(biāo)為x=l(cos0-cos0)0dx:.v=-losin0xdta=dv=-lo2cos0-1sin0xdtdt取初始位置的勢(shì)能為零，則根據(jù)機(jī)械能守恒有11mgy=mv2+Jo22c2c3)5)do=-竺cos0dt4l當(dāng)細(xì)桿與墻壁脫離接觸時(shí)，F(xiàn)1=max=06)將式（4）、（5）、（6）代入（2）解得20=arcsin（sin0）30317如本題圖所示，A、B兩個(gè)輪子的質(zhì)量分別為m和m2，半徑分別為片和r2。另有一細(xì)繩繞在兩輪上，并按圖所示連接。其中A輪繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。試求：（1）B輪下落時(shí)，其輪心的加速度；（2）細(xì)繩的拉力。解：如圖，取豎直向下為正方向。輪A作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)其角加速度為0，根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有AFr=mr201211a輪B作平面運(yùn)動(dòng)，設(shè)質(zhì)心加速度為ac，角加速度為0b，根據(jù)牛頓定律有mg一F=2根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定理有ma2CFr=mr202