反例在教學中的作用

1、 JIUJIANG UNIVERSITY 畢 業(yè) 論 文 題 目 反例在教學中的作用院 系 理學院 專 業(yè) 數(shù)學教育 姓 名 譚燕燕 年 級 B0912班 指導教師 孔祥文 2012年 4月 4 日目錄 摘要(3) 關(guān)鍵詞（3） 引言(3) 1反例的含義(3)2反例的來源與構(gòu)造（5）3、 反例在數(shù)學教學中的作用（5） 3.1能夠幫助學生正確全面地理解數(shù)學概念（6） 例題1（ 6） 3.2能夠增強學生發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤的觀念（8） 例題2 （8） 例題3（9） 3.3使學生理解并掌握數(shù)學中的有關(guān)定理、性質(zhì)（9） 例題4（9） 3.4加深學生對教學公式、法則的正確理解（9） 例5（10） 3.5提

2、高學生否定錯誤的命題的能力 （10） 例6（10） 4、運用反例必須注意一些問題（11） 5、總結(jié) （12）參考文獻(13) 反例在教學中的作用【摘要】數(shù)學是一門縝密的科學,它有自己獨特的思維方式和邏輯推理體系，在數(shù)學發(fā)展史中，反例與證明有著同等重要的地位。尤其是在揭示事物的虛假性時，有其特殊的魅力，起著十分重要的作用。所謂反例,通常是用來說明一個命題不成立的例,即符合命題的條件但與命題的結(jié)論相矛盾的例。在數(shù)學中要證明一個命題成立,就要嚴格地論證在符合題設(shè)的各種可能的情況下結(jié)論都成立,而要推翻一個命題,卻只要指出在符合題設(shè)的某個特殊情況下結(jié)論不成立,也就是只要舉出一個反例就行?！娟P(guān)鍵詞】 反例

3、 來源 構(gòu)造 辨證 作用 【引言】 反例，就是故意變換事物的本質(zhì)屬性使之質(zhì)變?yōu)槠渌R，在引導思辯中，從反面突出事物的本質(zhì)屬性的否定例證。在邏輯學中，反例是相對于某個全稱命題的概念。反例在數(shù)學、哲學和自然科學中都有重要的應用。舉例來說，對一個命題：所有的天鵝都是白色的。這是一個全稱命題，聲明對于某類事物全體（所有的天鵝），都有某個性質(zhì)（是白色的）。為了說明這個命題不是真的，只需要舉出一個例子，其對象屬于這類事物，但不具有命題中聲稱的性質(zhì)就可以了。這樣的例子稱為反例：一只不是白色的天鵝就是這個命題的反例。反例的威力來源于形式邏輯，它與證明是相反相成的兩種邏輯方法。論證是用已知為真的判斷，確定另一

4、個判斷的真實性；而反例是用已知為真的事實去揭露另一判斷的虛假性。它們都是為了揭示事物的本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系。美國數(shù)學家B.R.蓋爾鮑姆說：“冒著過于簡單的風險，我們可以說（撇開定義、陳述以及艱苦的工作不談）數(shù)學由兩大類證明和反例組成，而數(shù)學也是朝著兩個主要的目標提出證明和構(gòu)造反例”發(fā)展。數(shù)學中的反例通常是指符合某個命題的條件,但又與該命題結(jié)論相矛盾的例子,也 即指出某命題不成立的例子.在數(shù)學的發(fā)展史中,反例和證明有著同等重要的地位.一個正確的數(shù)學命題需要嚴密的證明,謬誤則靠反例即可否定.如何幫助學生學好數(shù)學?首要問題是幫助,促使學生掌握好基本概念和基本性質(zhì).解決這一問題的有效方式之一,是重視和恰當?shù)?/p>

5、使用反例. 因此,在數(shù)學的學習中,反例有著極為重要的意義,舉反例的方法在數(shù)學學習中應經(jīng)常為同學們所用,它會使同學們對概念,定理,公式的理解更全面,透徹, 它在發(fā)現(xiàn)和認識數(shù)學真理,強化數(shù)學基礎(chǔ)的理解和掌握,以及培養(yǎng)學生的思維能力和創(chuàng)造能力等方面的意義和作用是不可低估的. 在數(shù)學中，要證明一個命題成立，需嚴格地論證由已知條件推理出結(jié)論。而要證明一個命題錯誤，十分簡潔而又極具說服力的辦法就是舉反例。下面我將從反例的來源與構(gòu)造，反例在數(shù)學教學中的作用，運用反例應該注意的問題這三個方面來論述。 一， 反例的來源與構(gòu)造對于數(shù)學學科證明一個猜想是真實的,必須經(jīng)過嚴格的推理論證;證明一個猜想 是假的,只須找到

6、猜想命題的反例.在數(shù)學學習中,出現(xiàn)了這樣一種現(xiàn)象,教師為了說明一個命題為假命題, 舉出一個反例, 說明反例雖然滿足命題的條件, 卻無命題的結(jié)論, 但反例怎樣得到呢?教師很少分析甚至不做分析.學生感到老師確實高明,從肚子里能 掏出一個一個非常具有說服力的反例,就像舞臺上的魔術(shù)師,能從帽子里掏出一個又一個白鴿,雖然非常精彩,卻是觀眾學不會的. 與獲得證明的方法一樣,反例的獲得也需要經(jīng)過一系列深層次的思維活動,其方法 包括:觀察與實驗,歸納,分析與綜合,概括與抽象等,反例決不能憑空得到。 第一：從定義入手獲得反例 概念是數(shù)學學科的細胞,是反映事物本質(zhì)的思維形式.在邏輯學中,定義是明確概念內(nèi)涵的邏輯方

7、法.在數(shù)學問題中,若首先給出一個概念的定義,然后判斷一個猜想是否正確,則反例的獲得常常需要從定義入手。第二：運用特殊化,運動變化的思想獲得反例特殊化一般是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合中一上較小的集合或 僅僅一個對象,特殊化在求解問題時常常用到.二， 反例在數(shù)學教學中的作用 反例的尋找為新興學科的發(fā)展提供了源泉 被譽為大自然的幾何學的分形(Fractal)理論,是現(xiàn)代數(shù)學的一個新分支,但其本質(zhì)卻是一種新的世界觀和方法論.它與動力系統(tǒng)的混沌理論交叉結(jié)合,相輔相成.它承認世界的局部可能在一定條件下.過程中,在某一方面(形態(tài),結(jié)構(gòu),信息,功能, 時間,能量等)表現(xiàn)出與整體的相似性,它承認空

8、間維數(shù)的變化既可以是離散的也可以 是連續(xù)的,因而拓展了視野. 雖然分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學家曼德爾布羅特1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德國數(shù)學家維爾斯特拉斯構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù),集合論創(chuàng)始人康托德國數(shù)學家)構(gòu) 造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集.1890 年,意大利數(shù)學家皮亞諾構(gòu)造了 填充空間的曲線.1904 年,瑞典數(shù)學家科赫設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣 的一類曲線.1915 年,波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基設(shè)計了象地毯和海綿一 樣的幾何圖形.這些都是為解決分析與拓樸學中的問題而提出的反例,但它們正是分形幾何思想的源泉.以后,這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更多

9、人的注意,先驅(qū)們的工作只 是作為分析與拓撲學教科書中的反例而流傳開來.1，運用反例進行教學，能夠幫助學生正確全面地理解數(shù)學概念 數(shù)學概念的教學，不僅要運用正面的例子加以深刻闡明，而且要通過合適的反例，從另一個側(cè)面抓住概念的本質(zhì)，使學生對所學概念進一步反思，從而達到深刻理解和掌握該概念的目的。 例1：關(guān)于函數(shù)的概念，不少學生片面地認為：一個變量隨著另一個變量的變化而變化，它們之間的關(guān)系就是函數(shù)關(guān)系，為了幫助學生澄清、糾正這一錯誤認識，可向?qū)W生提出這樣的兩個問題： (1)人的身高與年齡成函數(shù)關(guān)系嗎？ (2)若 ， 則y是x的函數(shù)嗎？ 結(jié)果不少學生都認為(1)人的身高與年齡有關(guān)系，因而人的身高與年齡

10、構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。而(2)中由于，因變量y不隨x的變化(y1)，故y不是x的函數(shù)。老師學生一起參與討論。發(fā)現(xiàn)問題(1)里，盡管人的身高與年齡有關(guān)系，但年齡并不能確定人的身高，即當自變量(人的年齡)發(fā)生變化時，因變量(身高)沒有完全確定的值和它對應，因此不符合函數(shù)的定義。而在問題(2)里，對每一個給定的x值(在x的定義域內(nèi))，y隨x總有唯一確定的值(y1)和它對應，只不過當x變化時，y的值始終不變罷了。由此使學生認識到y(tǒng)是x的函數(shù)，并非一定要求y隨x的變化而變化。 通過所舉兩個反例的學習，學生便自覺地體會到：對變量x的每一個確定的值，變量y有唯一確定的值和它對應，這才是構(gòu)成函數(shù)關(guān)系的本質(zhì)。教學中，概

11、念、定理、公式一般采用正面闡述的形式，學生往往對一些關(guān)鍵性詞語認識不夠，對所給條件理解不透徹，不能抓住它的本質(zhì)屬性，只是機械地記憶概念、定理的名稱和公式的結(jié)構(gòu)。如果遇到概念、定理、公式的名稱相近或結(jié)構(gòu)類似，就容易造成理解上的混淆。比如“36的平方根是多少？”有的同學會不假思索回答：“6”。說明他們沒有把“一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)”這個概念搞清楚。此時只要舉出反例“”，就加深了理解，很有說服力。再如：“定理：對角線相等且互相平分的四邊形是矩形”與“定理：對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形”內(nèi)容很相近，公式與結(jié)構(gòu)形式相近，學生搞不清楚。因此在教學中，諸如此類的問題，講述時多舉反例

12、，（也可鼓勵學生舉反例），達到強化理解的作用。2、引入反例進行教學，能夠增強學生發(fā)現(xiàn)問題、糾正錯誤的觀念。學生在解題中經(jīng)常出現(xiàn)差錯且不易發(fā)現(xiàn)、糾正。對此，可以引入反例，讓學生學習、討論，幫助他們發(fā)現(xiàn)問題，分析錯誤原因，找出正確的解題方法。例2：學生在判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量是否成反比例的量時，往往不是很清楚，如下面的一個實例：小美總共要做10道數(shù)學題，已經(jīng)做了的題和沒有做的題是否是成反比例的。錯解：已經(jīng)做了的題和沒有做的題是成反比例的。 有大多數(shù)的學生認為這是對的，他們沒有充分理解成反比例的三個條件，這個題只滿足了前面的兩個而沒有滿足第三個：兩個量的乘積一定。這個題是兩個量的和一定，此刻學生便清楚地

13、意識到上面錯解的原因，從而更加深刻的理解成反比例的三個條件。例3：學生解有關(guān)分式方程去分母時，往往會出現(xiàn)漏乘現(xiàn)象，如下面的一個實例： 解方程： 錯解:方程兩邊同乘以， 得： , 即x0 經(jīng)檢驗知x0是原方程的解。 學生們看完后竟有一半人認為這個解答正確，理由是由把x0代入方程兩邊相等。于是，我又舉了一個簡單的分式方程如何去分母？此刻學生便清楚地意識到上面錯解的原因是去分母時漏乘(方程右邊未乘以，于是學生便迅速地得出正確解法。 通過上面兩個例子的教學，例2:使學生能更好的理解成反比例的三個條件是缺一不可的，要同時滿足三個條件才是成反比例的量。例3加深了學生對解分式方程去分母不要漏乘的印象。同時，

14、也使學生認識到，解答結(jié)果對并不能保證解題過程的正確。(有時計算結(jié)果往往一種偶然的巧合)，收到了較好的教學效果。在教學實踐中，經(jīng)常會遇到學生證明命題時會出現(xiàn)錯誤或無據(jù)可依。構(gòu)造反例不僅可使學生發(fā)現(xiàn)錯誤，澄清是非，更重要的是從反例中得到較、好的補救。找出自己的漏洞，獲得正確的結(jié)論。3、構(gòu)造反例進行教學，能夠使學生理解并掌握數(shù)學中的有關(guān)定理、性質(zhì) 學生在學習一個新的定理、性質(zhì)時，往往會忽略定理、性質(zhì)中的關(guān)鍵詞語，從而造成解題的錯誤。為了克服這一現(xiàn)象，教學中要善于構(gòu)造反例，幫助學生牢記關(guān)鍵詞語，達到正確理解并掌握定理、性質(zhì)。 例4，垂徑定理的推論1“平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦”，學生常會忽略括號

15、中的限制條件，誤記為“平分弦的直徑垂直于弦”。教學時可以構(gòu)造反例，如：圓中任意兩條直徑，雖然它們互相平分，但不一定互相垂直，由此來糾正這一錯誤，加深對限制條件的理解。4、引用反例進行教學，能夠加深學生對教學公式、法則的正確理解而達到靈活運用 學生在學習有關(guān)公式、法則時，經(jīng)常會忽略這些公式、法則的運用范圍，使用時不注意分析具體條件而生搬硬套，鑄成錯誤。因此，教學中不僅要向?qū)W生講清、交代公式、法則的適用條件，而且要適當引用一些反例，加深他們對這些公式、法則的理解而達到有效的掌握。例5：先化簡，再求值，當a=2時。甲：原式:=0乙：原式=2 你認為誰正確，為什么？此例是有絕對值的化簡公式的應用，導致

16、兩種截然相反結(jié)果的原因是絕對值中a-3的值是大于0還是小于0，由題意知a=2時 ，因此故乙正確。通過此例甲、乙兩同學計算過程的對比，讓我們明顯體會到今后在化簡有絕對值式子時，一定要注意絕對值內(nèi)a的符號，否則會出現(xiàn)兩種完全不同的結(jié)果。 5、運用反例進行教學，能夠提高學生否定錯誤的命題的能力 判斷一句話（或一種理論）的真?zhèn)?，首當其充的方法選擇就是構(gòu)造反例。這是由反例自身的特點決定的。它具有直觀、簡明、清晰、說服力強等特點，因而在澄清是非，揭示錯誤，否定命題時顯示出它特殊的震撼力。數(shù)學中有些問題，若從正面角度講，學生會感到模糊、理解不透，甚至還會產(chǎn)生錯誤的判斷，為了提高學生正確識別、判斷能力，教學時

17、應突出反例，借助于反例來提高學生否定錯誤的能力。 例6，負數(shù)就是在一個數(shù)的前面加一個負號。許多學生都認為是正確的，其實，它是一個假命題，只要構(gòu)建一個反例即能說明。如果這個數(shù)本來就是一個負數(shù)，在它的前面再加一個負號那么這個數(shù)就變成了一個正數(shù)了。再如果這個數(shù)是0，在0的前面加個負號還是0。所以這句話是錯誤的。反例的功能是顯而易見的，通過上面簡單探討，不難看出它是理解數(shù)學概念的有力工具，也是糾正錯誤的有效方法，還是強調(diào)條件的得力措施，更是否定謬論的銳利武器。數(shù)學是一門縝密的科學,它有自己獨特的思維方式和邏輯推理體系。在數(shù)學學習中,讓學生掌握嚴密的邏輯推理的同時,應鼓勵學生多去舉反例,這才能更深刻掌握

18、數(shù)學基礎(chǔ)知識,多層面、多角度觀察思考問題,提高其數(shù)學修養(yǎng)與培養(yǎng)科學研究能力，“反例的運用可以強化推理的嚴謹性,培養(yǎng)思維的批判性,發(fā)展逆向思維想象力和創(chuàng)造性，“舉反例的過程,就是使我們的數(shù)學能力逐步提高的過程”?？偨Y(jié)：反例在數(shù)學學習中要注意的一些問題在學習中重視和恰當運用反例,不僅可以調(diào)動我們的積極性,養(yǎng)成重視條件,嚴格 推理的習慣,而且還可以提高我們的數(shù)學能力和學習能力.三反例的功能和作用雖然很大，但在學習中,運用反例必須注意一些問題:1注意主次.學習中主要學習概念,定理和方法,對于基本的命題和結(jié)論應予以嚴格的 證明和推導.但舉反例重在說明結(jié)構(gòu),辯清是非,故我們對反例掌握要求不能太高,它應是圍繞主要內(nèi)容而進行的有效的輔助學習手段。 2, 注意適當.反例應是經(jīng)過挑選的,既要簡單又要能說明問題.學生自己構(gòu)造的反例難度應當適當,以免浪費很多時間和精力,且容易有挫敗感.不同的學習內(nèi)容,對運用不同的反例,有不同的要求. 總之, 只有符合學習的實際情況, 才能使反例在數(shù)學的學習中發(fā)揮真正的作用?？偨Y(jié)：反例能培養(yǎng)學生良好的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性思維。在數(shù)學教學過程中，教師往往過于偏重演釋論證的訓練，注意培養(yǎng)學生的邏輯思維能力上。要知道解決問題固然重要，