全國周培源大學生力學競賽輔導力學競賽靜力學專題PPT學習教案

1、會計學1全國周培源大學生力學競賽輔導力學競全國周培源大學生力學競賽輔導力學競賽靜力學專題賽靜力學專題材料力學基本部分專題部分理論力學基本部分專題部分第1頁/共150頁第2頁/共150頁第3頁/共150頁第4頁/共150頁第5頁/共150頁 公理公理1 力的平行四邊形規(guī)則力的平行四邊形規(guī)則 F1F2FRFROF1F2FR=F1+ F2 作用在物體上同一點的兩個力，可以合成為一個合力。合作用在物體上同一點的兩個力，可以合成為一個合力。合力的作用點也在該點，合力的大小和方向，由這兩個力為邊構力的作用點也在該點，合力的大小和方向，由這兩個力為邊構成的平行四邊形的對角線確定。成的平行四邊形的對角線確定。

2、A第6頁/共150頁 作用在剛體上的兩個力，使剛體保持平衡的充要條件是：作用在剛體上的兩個力，使剛體保持平衡的充要條件是： 這兩個力的這兩個力的大小相等大小相等，方向相反方向相反，且在同一直線上且在同一直線上。F1F2 公理公理2 二力平衡條件二力平衡條件 AB注意：注意： 公理對于剛體的平衡是公理對于剛體的平衡是充要充要條件，而對變形體僅為條件，而對變形體僅為 平衡的平衡的必要必要條件；條件；F1= F2第7頁/共150頁 公理公理3 加減平衡力系原理加減平衡力系原理 在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系在已知力系上加上或減去任意的平衡力系，并不改變原力系對剛體的作用對剛體的

3、作用 。 推理推理1 力的可傳性力的可傳性 作用于剛體上某點的力，可以沿著它的作用線移到剛體內(nèi)作用于剛體上某點的力，可以沿著它的作用線移到剛體內(nèi)任意一點，并不改變該力對剛體的作用。任意一點，并不改變該力對剛體的作用。AFABFF1 F2BAF2 作用于剛體上的力作用于剛體上的力 滑動矢量滑動矢量作用線取代作用點作用線取代作用點第8頁/共150頁 作用于剛體上三個相互平衡的力，若其中兩個力的作用線匯作用于剛體上三個相互平衡的力，若其中兩個力的作用線匯交于一點，則此三力必在同一平面內(nèi)，且交于一點，則此三力必在同一平面內(nèi)，且 第三個力的作用線通第三個力的作用線通過匯交點。過匯交點。CBOAF3F1F

4、2F1F2F12第9頁/共150頁 變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體剛化為變形體在某一力系作用下處于平衡，如將此變形體剛化為剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。剛體，其平衡狀態(tài)保持不變。第10頁/共150頁2 平面任意力系的平衡條件和平衡方程平面任意力系的平衡條件和平衡方程0)(00111niiOniyinixiMFFF平面任意力系平衡的解析條件：平面任意力系平衡的解析條件：所有各力在兩個任選的坐標軸所有各力在兩個任選的坐標軸上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代上的投影的代數(shù)和分別等于零，以及各力對于任意一點矩的代數(shù)和也等于零。數(shù)和也等于零。 幾點說明：幾點說明：（1）三個

5、方程只能求解三個未知量；）三個方程只能求解三個未知量；（2）二個投影坐標軸不一定互相垂直，只要不平行即可；）二個投影坐標軸不一定互相垂直，只要不平行即可；（3）投影坐標軸盡可能與多個未知力平行或垂直；）投影坐標軸盡可能與多個未知力平行或垂直；（4）力矩方程中，矩心盡可能選多個未知力的交點。）力矩方程中，矩心盡可能選多個未知力的交點。平衡方程平衡方程第11頁/共150頁0)(, 0)(, 0)(FFFCBAMMM（A、B、C 三點不得共線）三點不得共線）（x 軸不得垂直于軸不得垂直于A、B 兩點的連線）兩點的連線）0)(, 0, 0F FAyxMFF0)(, 0)(, 0F FF FBAxMMF

6、 平面任意力系平衡方程的形式平面任意力系平衡方程的形式FRBAx是否存在三投影式？是否存在三投影式？000321xxxFFF第12頁/共150頁0223, 0)(0223, 0)(023, 0)(aPMFaMaPMFaMMFaMBCABCAF FF FF FaMFPaMFPaMFCBA33233323332解上述方程，得解上述方程，得解：解：取三角形板取三角形板ABC為研究對象為研究對象FDECBAaaaP求：求：三桿對三角三桿對三角平板平板ABC的約束反力。的約束反力。PACaaaB第13頁/共150頁500NDCEFExFEyFDxFDy500N500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2

7、mFAxFAyFB求：求：D、E的約束反力。的約束反力。解：解：(1)取取CDE為研究對象為研究對象) 3(0, 0)2(0500, 0) 1 (045002, 0)(ExDxxEyDyyDyEFFFFFFFMF F解上述方程，得解上述方程，得N500,N1000EyDyFF(2)取整體為研究對象取整體為研究對象0650025004, 0)(BAFMFN1000BF解得解得:第14頁/共150頁GEBExF EyF FGxFGyFB(3) 取取BEG為研究對象為研究對象0224, 0)(EyExBGFFFMF FN1500ExF解得解得:N1500DxF500N500NDCEFExFEyFDx

8、FDy500NAHDCGEB2m2m2m2m2m2mFAxFAyFB1000NN,500,N1000BEyDyFFF代入（代入（3）式得）式得:N1000N1500DyDxFFN500N1500EyExFF第15頁/共150頁BDAFDyFDxFBxFByFAxFAy解：解：(1) 取整體為研究對象取整體為研究對象002, 0)(ByByCFaFM得F F(2) 取取DEF桿為研究對象桿為研究對象02, 0)(0, 0)( aPaFMaPaFMDxBDyEF FF F解得解得：PFPFDxDy2,(3) 取取ADB桿為研究對象桿為研究對象0, 00, 002, 0)(ByDyAyyBxDxAx

9、xDxBxAFFFFFFFFaFaFMF F解得：解得：PFPFPFAyAxBx,aBCDAFEPaaaFCxFCyFBxFByPDFEDxF DyF B求：求：A、D、B的約束反力的約束反力。第16頁/共150頁aBCDAFEPaaa(a)aBCDAFEPaaa(b)aBCDAFEaaaM(c)aBCDAFEaaaM(d)第17頁/共150頁PPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCByF FAyPBxF FAxAB求：求：A、D的約束反力。的約束反力。解：解：(1)取取BC桿為研究對象桿為研究對象) 3(0, 0)2(0, 0) 1 (02, 0)(CxBxxCyByyBy

10、CFFFPFFFaFPaMF F解得：解得：PFFCyBy5 . 0(2)取取AB桿為研究對象桿為研究對象0, 0022, 0)(0, 0BxAxxAyAxBByAyyFFFPaaFaFFMPFFF解得：解得：PFPFPFBxAyAx,5 . 1,代入（代入（3）式解得：）式解得：PFCx第18頁/共150頁CDPPABCDaaaa2a2aPFBxFByFCyFCxBCPFPFFCxCyBy,5 . 0ByF FAyPBxF FAxAB(3)取取CD桿為研究對象桿為研究對象022, 0)(0, 00, 0aFaFMFMFFFFFFCyCxDDCyDyyCxDxx解得：解得：PaMPFPFDDy

11、Dx5 . 0CxF CyF 第19頁/共150頁BCDqMEDqMABCDEH2m2m2m2m1m1mFNBFAxFAyFCxFCyFNBDxF DyF FDxFDyFNEH解：解：(1) 取取DE桿為研究對象桿為研究對象kN1100322, 0)(DXDxHFqFMMF F(2) 取取BDC桿為研究對象桿為研究對象kN3110031, 0)( NBNBDxCFFFMF F(3) 取整體為研究對象取整體為研究對象0326, 0)(02, 00, 0qFMMMqFFFFFNBAAAyyNBAxxF F0,100kNkN,3110AAyAxMFF解得：解得：求：求： A、B的約束反力的約束反力。

12、已知：已知：q=50kN/m, M=80kNm第20頁/共150頁桁架桁架由二力桿鉸接構成。由二力桿鉸接構成。求平面靜定桁架各桿內(nèi)力的兩種方法：求平面靜定桁架各桿內(nèi)力的兩種方法： 節(jié)點法：節(jié)點法：逐個考慮桁架中所有節(jié)點的平衡，利用平面匯交力逐個考慮桁架中所有節(jié)點的平衡，利用平面匯交力系的平衡方程求出各桿的內(nèi)力。應注意每次選取的節(jié)點其未知力系的平衡方程求出各桿的內(nèi)力。應注意每次選取的節(jié)點其未知力的數(shù)目不宜多于的數(shù)目不宜多于2個。個。 截面法截面法 ：截斷待求內(nèi)力的桿件，將桁架截割為兩部分，取其截斷待求內(nèi)力的桿件，將桁架截割為兩部分，取其中的一部分為研究對象，應用平面任意力系的平衡方程求出被截中的

13、一部分為研究對象，應用平面任意力系的平衡方程求出被截割各桿件的內(nèi)力。應注意每次截割的內(nèi)力未知的桿件數(shù)目不宜多割各桿件的內(nèi)力。應注意每次截割的內(nèi)力未知的桿件數(shù)目不宜多于于3。第21頁/共150頁PEF2F3F4F5FAxFAyF1A2F F6解：解：(1) 取整體為研究對取整體為研究對象象03, 0)(0, 00, 0aPaFMPFFFFFNBANBAyyAxxF3/, 3/2, 0PFPFFByAyAx解得解得：(2) 取內(nèi)部三角形為研究對象取內(nèi)部三角形為研究對象aaaaaaP21ABECD05 . 0sin5 . 0cos5 . 0, 0)(22aFaFaPMEF(3)取節(jié)點取節(jié)點A為研究對

14、象為研究對象0sin, 021FFFFAyy3/52PF PF1FAxFAyFNB求：求：桁架桁架1、2桿的力桿的力。 第22頁/共150頁F1F212345678910111213123456789101112131415161718192021222324求：求：圖示桁架中受力圖示桁架中受力為零的桿件。為零的桿件。 解：解：由節(jié)點法可知由節(jié)點法可知圖中受力為零的圖中受力為零的桿件有：桿件有：3、12、9。(b) 圖中受力為零的圖中受力為零的桿件有：桿件有：1、3、4、11、12、13、14、17、21。第23頁/共150頁小結：小結： 其它各種平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平其它各

15、種平面力系都是平面任意力系的特殊情形，其平衡方程如下：衡方程如下：力力 系系 名名 稱稱獨立方程的數(shù)目獨立方程的數(shù)目平平 衡衡 方方 程程0iF0iM00yixiFF0)(0iOiMF FF1122第24頁/共150頁平衡方程的快速練習平衡方程的快速練習第25頁/共150頁第26頁/共150頁第27頁/共150頁第28頁/共150頁第29頁/共150頁第30頁/共150頁第31頁/共150頁如何截斷？第32頁/共150頁第33頁/共150頁3 空間力系空間力系1. 空間力的投影和分解空間力的投影和分解coscoscosFFFFFFzyxOxyFzF = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+

16、Fz k第34頁/共150頁yzOxFFxycossinsincossinFFFFFFzyxFFFFFFFFFFzyxzyx),cos(),cos(),cos(222kFjFiFF = Fx+Fy+Fz= Fx i+Fy j+Fz k第35頁/共150頁3-2 力對點的矩和力對軸的矩力對點的矩和力對軸的矩1. 力對點的矩力對點的矩OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)空間的力對空間的力對O點之矩取決于點之矩取決于：（1）力矩的）力矩的大小大??；（2）力矩的）力矩的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)向；（3）力矩）力矩作用面方位作用面方位。 須用一矢量表征須用一矢量表征 MO(F) =Fh=2OAB )(FMO第36頁

17、/共150頁OA(x,y,z)BrFhyxzMO(F)(FMOkjiFkjirzyxFFFzyxMO(F)定位矢量定位矢量kjikjiFrFM)()()()(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyx第37頁/共150頁2. 力對軸的矩力對軸的矩BAFOxyzhFxybFz 力對軸的矩等于力在垂力對軸的矩等于力在垂直于該軸的平面上的投影對直于該軸的平面上的投影對軸與平面交點的矩。軸與平面交點的矩。 力對軸之矩用來表征力對軸之矩用來表征力對剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動效應力對剛體繞某軸的轉(zhuǎn)動效應。 當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。當力與軸在同一平面時，力對該軸的矩等于零。第38頁/共

18、150頁yzOxFFxyA(x,y,z)FzFxFyFyFxBabxyxyzzxyyzxyFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFFxyyOxOxyOzyFxFMMMM)()()()(FFFFkjiFFFFzyxzyxFFF第39頁/共150頁3. 力對點的矩與力對軸的矩的關系力對點的矩與力對軸的矩的關系)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM 力對點的矩矢在通過力對點的矩矢在通過該點的某軸上的投影，等該點的某軸上的投影，等于力對該軸的矩。于力對該軸的矩。kjikjiFrFM)()()()(xyzxyzzyxOyFxFxFzFzFyFFFFzyxxyzzxyyzx

19、yFxFMxFzFMzFyFM)()()(FFF第40頁/共150頁Mz(F)(x,y,z)）FxyOABO 2)(FM OabOABcos)(cos)(FFMzOM)()(FFMzzOM)()()()()()(FFFFFFzzOyyOxxOMMMMMM第41頁/共150頁求：求： MO(F) 已知：已知：F、 a、b、解：解：(1) 直接計算直接計算zyxOFFFzyxkjiFrFM)( )sinsin(cos sincoscos )OFbFaFbFaMFijksincoscossincos0FFFFFFzbyaxzyx第42頁/共150頁( )( )( )( )sinsin(cos sin

20、cos cos )OxyzM FMMFbFaFbFaM FiF jF kijk(2) 利用力矩關系利用力矩關系( )sin( )sin( )cossincos cosxzyzzxyMFbFbMF aFaMF bF aFbFa FFF第43頁/共150頁zPOabcAxy222cos)()(cbaPabMOOAPMP已知：已知： P 、 a、b、c求：求： 力力P 對對OA軸之矩軸之矩MO(P)ikjiPrPMPbPbO0000)(解：解：（1）計算）計算 MO(P)（2）利用力矩關系）利用力矩關系力對點的矩矢在通過該點的某軸力對點的矩矢在通過該點的某軸的投影，等于力對該軸的矩。的投影，等于力對

21、該軸的矩。第44頁/共150頁OABCFDkjikjiFrFM222222/2/002/)(FbFbFbFFbbBD已知：已知： OA=OB=OC =b, OAOBOC.求：求：力力 F 對對OA 邊的中點邊的中點D之矩在之矩在AC方向的投影方向的投影。解：解：利用力矩關系利用力矩關系xyzjirkjFbbFFB22222第45頁/共150頁OABCFDkjiFM22222)(FbFbFbDxyzkin2121AC4)2121()22222()()(FbFbFbFbMACDACkikjinFMF第46頁/共150頁AB= A eBAeBB第47頁/共150頁3-3 空間任意力系的簡化空間任意力

22、系的簡化zABCF1F2F3OxyOyxzM22F M11F M33F xzyORF MOnnFF,FF,FF2211)()()(2211nOnOOFMM,FMM,FMMniiOOniiR11)(FMMFF主矢主矢FRMO主矩主矩第48頁/共150頁xzyORF MOOzOOyOOxOzyxOMMMMMMMMMM)(),cos()(),cos()(),cos()()()(222FkMFjMFiMF FF FF FRzRRyRRxRzyxRFFFFFFFFFF),cos(),cos(),cos()()()(222kFjFiF第49頁/共150頁3-4 空間任意力系的簡化結果分析空間任意力系的簡化

23、結果分析 niiOO1)(FMM 由于力偶矩矢與矩心位置無關，因此，在這種情況下由于力偶矩矢與矩心位置無關，因此，在這種情況下，主矩與簡化中心的位置無關。，主矩與簡化中心的位置無關。第50頁/共150頁oRF Moo1FR o1FRFRRF do 合力的作用線通過簡化中心合力的作用線通過簡化中心第51頁/共150頁 ORF RF MoORF MoOORF 力螺旋力螺旋左螺旋左螺旋右螺旋右螺旋第52頁/共150頁ORF MoMo OFRO1ModORF MosincosOOOOMMMM ROROdFMFM sin 一般情形下空間任意力系可合成為力螺旋一般情形下空間任意力系可合成為力螺旋 原力系平

24、衡原力系平衡第53頁/共150頁總結：總結： 空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程0)(, 0)(, 0)(0, 0, 0FFFzyxzyxMMMFFF空間匯交力系空間匯交力系平面任意力平面任意力系系000zyxFFF 空間力偶系空間力偶系 空間平行力空間平行力系系0)(0)(0)(FFFzyxMMM0)(0)(0FFyxZMMF0)(00FzyxMFF第54頁/共150頁OxyzF1F2FFF21ABCDEGH棱長為棱長為 a 的正方體上作用的力系如的正方體上作用的力系如圖示。則圖示。則（1）力系的主矢量；）力系的主矢量；（2）主矢量在）主矢量在 OE 方向投影的大小；方向投影的大小

25、；（3）力系對）力系對AC軸之矩；軸之矩；（4）力系最終可簡化為力螺旋，其中力）力系最終可簡化為力螺旋，其中力 偶矩大小。偶矩大小。.2245sin;2245cos;045cos45cos2121FFFFFFFFFRzRyRx解解: （1）力系的主矢量）力系的主矢量)(22kjFFR第55頁/共150頁OxyzF1F2FFF21ABCDEGH（2）主矢量在主矢量在 OE 方向投影的大小方向投影的大小)(22kjFFR)(33kjinOEFOEOER36nFFR（3）力系對）力系對 AC 軸之矩軸之矩2202200022220FFaFFaaAkjikjiM第56頁/共150頁OxyzF1F2FF

26、F21ABCDEGHjMFaA22FaFaMACAAC21)(2222)(jijnMF)(22kjFFR（4）力系最終可簡化為力螺旋，其中力偶矩大?。┝ο底罱K可簡化為力螺旋，其中力偶矩大小FaFaMA21)(2222kjj第57頁/共150頁PPPabc作業(yè)題：作業(yè)題：1. 沿長方體的不相交且不平行的三條棱邊作用三個沿長方體的不相交且不平行的三條棱邊作用三個相等的力相等的力P，如圖示，欲使此力系能簡化為一個力，則，如圖示，欲使此力系能簡化為一個力，則a、b、c應滿足關系：應滿足關系： 。 作業(yè)題：作業(yè)題：2. 棱長為棱長為 a 的正方體上作用的力的正方體上作用的力系如圖示。則其簡化的最后結果是

27、：系如圖示。則其簡化的最后結果是： 。oxyzF1F2F3FFFF2321oxyzF1F2F3F4FFFFFF2;4321第58頁/共150頁4-1 滑動摩擦滑動摩擦FPFNFsPFN兩個表面粗糙的物體，當其接觸表面之間兩個表面粗糙的物體，當其接觸表面之間有相對滑動趨勢或相對滑動時，彼此作用有相對滑動趨勢或相對滑動時，彼此作用有阻礙相對滑動的阻力有阻礙相對滑動的阻力滑動摩擦力滑動摩擦力FFFsx, 0 靜滑動摩擦力的大小必須由平衡方程確定靜滑動摩擦力的大小必須由平衡方程確定第59頁/共150頁FPFNFs靜靜摩摩擦擦系系數(shù)數(shù)sNsfFfFmaxmax0FFs靜摩擦定律：靜摩擦定律：最大靜摩擦力

28、的大小與兩物體最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力成正比間的正壓力成正比3. 動滑動摩擦力動滑動摩擦力sNdffffFF且且動動摩摩擦擦系系數(shù)數(shù), ,第60頁/共150頁4-2 考慮摩擦時物體的平衡問題考慮摩擦時物體的平衡問題 檢驗物體是否平衡；檢驗物體是否平衡； 臨界平衡問題；臨界平衡問題； 求平衡范圍問題。求平衡范圍問題。1. 平衡方程式中除主動、約束力外還出現(xiàn)了摩擦力，因而未知平衡方程式中除主動、約束力外還出現(xiàn)了摩擦力，因而未知數(shù)增多。數(shù)增多。2. 除平衡方程外還可補充關于摩擦力的物理方程除平衡方程外還可補充關于摩擦力的物理方程 FsfsFN 。3. 除為避免解不等式，可以解臨界情況，即

29、補充方程除為避免解不等式，可以解臨界情況，即補充方程Fmax = fsFN 。第61頁/共150頁PQFsFN解：解：取物塊為研究對象，并假定其平衡取物塊為研究對象，并假定其平衡。030sin30cos, 0030sin30cos, 0QPFFFPQFNysx解得解得N1499,N6 .403NsFFN8 .299maxNsFfF 已知：已知：Q=400N，P=1500N，fs=0.2，f = 0.18。問：問：物塊是否靜止，并求此時摩擦力的大小和方向。物塊是否靜止，并求此時摩擦力的大小和方向。maxFFs因因為為物塊不可能靜止，而是向下滑動。物塊不可能靜止，而是向下滑動。N8 .269NdF

30、fF此時的摩擦力應為動滑動摩擦力，方向沿斜面向上，大小為此時的摩擦力應為動滑動摩擦力，方向沿斜面向上，大小為第62頁/共150頁PPPPFF1243FsFsPF1FsF12FN1P2解：解：（1）取整體為研究對象取整體為研究對象042, 0PFFsyFs=20NN80,2FFfFss（2）取書）取書1為研究對象為研究對象N100, 01212FFPFFsyN100,112FFfFs（3）取書）取書2為研究對象為研究對象FN1F12FN2F23N00, 0232312FPFFFyN100minF 已知：已知： P=10N， fs1 =0.1， fs2 = 0.25。問：問：要提起這四本書需加的最

31、小壓力。要提起這四本書需加的最小壓力。第63頁/共150頁PQFmaxFN解：解：取物塊為研究對象，先求其最大值。取物塊為研究對象，先求其最大值。NsNyxFfFQPFFFPQFmaxmaxmaxmax0sincos, 00sincos, 0sincoscossinmaxssffPQ解得解得：（2）求其最小值。）求其最小值。sincoscossinminssffPQ解得解得：求：求：平衡時水平力平衡時水平力 Q 的大小。的大小。已知：已知：P，fsPQFmaxFNNsNyxFfFQPFFFPQFmaxminmaxmin0sincos, 00sincos, 0sincoscossinsincos

32、cossinssssffPQffP第64頁/共150頁MeaABdbABOFNAFAD解：解：取推桿為研究對象取推桿為研究對象022, 0)(0, 00, 0dFdFbFFaFMFFFFFFFABNBDBAyNBNAx考慮平衡的臨界情況，可得補充方程考慮平衡的臨界情況，可得補充方程NBsBNAsAFfFFfFsfba2極限已知：已知：fs，b 。求：求：a為多大，推桿才不致被卡。為多大，推桿才不致被卡。FNBFBF第65頁/共150頁ABCQ5cm10cm30BFBCPFBAFBAFNFmaxAOP解解: (1) 取銷釘取銷釘B為研究對象為研究對象030sin, 0QFFBAyFBA=2Q(2

33、) 取物塊取物塊A為研究對象為研究對象 處于滑動的臨界平衡狀態(tài)時處于滑動的臨界平衡狀態(tài)時 NsBANyBAxFfFFPFFFFFmaxmax030sin, 0030cos, 0N03.4293max1PffQss已知：已知： P=1000N， fs =0.52求：求：不致破壞系統(tǒng)平衡時的不致破壞系統(tǒng)平衡時的Qmax第66頁/共150頁FBAFNFmaxAOPN03.4293max1PffQss 處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時處于翻倒的臨界平衡狀態(tài)時0530cos5 . 230sin5 . 20)(BABAOFFPFMN83.405) 5 . 03(2max2PQN83.405maxQ第67頁/共15

34、0頁已知：已知：d=5cm, h=20cm, fs =0.5，水平接觸面均光滑。水平接觸面均光滑。求：求：當當F=2nP 時，能保持平衡時，能保持平衡n的最大值。的最大值。如圖（如圖（a），有），有 2n 塊相同的均塊相同的均質(zhì)磚塊在作用于物塊質(zhì)磚塊在作用于物塊H上的水平上的水平力力F 的作用下保持平衡。的作用下保持平衡。解解: 取右半部分的取右半部分的 n 塊磚為為研究對塊磚為為研究對象，臨界平衡時，受力如圖（象，臨界平衡時，受力如圖（b）。）。nPnPffFFnPFnPFFssNsssy20, 0臨臨界界平平衡衡時時有有hFndnPMN2, 016maxn第68頁/共150頁ACBFBPF

35、oACBFBDFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC解解: (1) 取取AB桿為研究對象桿為研究對象02, 0)(lFlFFMBNCA設設 C 處達到臨界狀態(tài)，則有處達到臨界狀態(tài)，則有：NCCCCFfFFmax解得：解得：FNC=100N， FC=40N(2) 取輪為研究對象取輪為研究對象060sin60cos0060cos60sin, 00, 0)( NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF已知：已知： P=100N，F(xiàn)B=50N ，fc =0.4， 求：求：(1) 若若fD =0.3， 輪心輪心O的水平推力的水平推力Fmin =60，AC = CB = l

36、/2， r。 (2) 若若fD =0.15， 輪心輪心O的水平推力的水平推力Fmin第69頁/共150頁ACBFBFAxFAyFNCFCoDFPFDFNDFCFNC設設 C 處達到臨界狀態(tài)，則有處達到臨界狀態(tài)，則有：NCCCCFfFFmax解得：解得：FNC=100N， FC=40N(2) 取輪為研究對象取輪為研究對象060sin60cos, 0060cos60sin,0, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFFrFrFMF解得：解得：FD=40N ，F(xiàn) = 26.6N，F(xiàn)ND=184.6NN39.556 .1843 . 0maxNDDDFfF由于由于 FDFDmax，D處無

37、滑動，上述假定正確處無滑動，上述假定正確N6 .26minF第70頁/共150頁oDFPFDFNDFCFNC(3) 當當 fD =0.15 時時N7 .276 .18415. 0maxNDDDFfF因因 FDFdmax 故應設故應設 D 處達到臨界狀態(tài)處達到臨界狀態(tài)060sin60cos, 0060cos60sin, 00, 0)(NDCNCyDCNCxDCOFPFFFFFFFFrFrFMF補充方程補充方程：NDDDDFfFFmax解得：解得：FD= FC =25.86N ，F(xiàn) = 47.81NN40N86.25maxNCCCCFfFF而而此此時時故上述假定正確故上述假定正確N81.47min

38、FACBFBFAxFAyFNCFC第71頁/共150頁解：解：梯子梯子 AB 靠在墻上，與水平面成靠在墻上，與水平面成角。梯子長角。梯子長 AB = l，重量可略去，如圖所示。已知梯子與地面、墻面，重量可略去，如圖所示。已知梯子與地面、墻面間的靜摩擦因素為間的靜摩擦因素為 fsA，fsB。重量為。重量為 P 的人沿梯上登的人沿梯上登，他在梯上的位置，他在梯上的位置 C 不能過高，即距離不能過高，即距離 AC = s，如，如超過一定限度，則梯子即將滑倒。試求超過一定限度，則梯子即將滑倒。試求 s 的范圍。的范圍。梯子梯子AB 研究對象研究對象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax:0yi

39、F:0 xiF0maxANBFF(1)(2)0maxPFFBNA:0AiM0cossincosmaxmaxlFlFPsBNB(3)臨界平衡時有臨界平衡時有：NAsAAFfFmax(4)NBsABFfFmax(5)第72頁/共150頁解：解：梯子梯子AB 研究對象研究對象PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmax:0yiF:0 xiF0maxANBFF(1)(2)0maxPFFBNA:0AiM0cossincosmaxmaxlFlFPsBNB(3)臨界平衡時有臨界平衡時有：NAsAAFfFmax(4)NBsABFfFmax(5)解上述方程，解上述方程，得得lffffssBsAsBsA1)(t

40、anmax(6)所求所求 s 值值為為lffffssBsAsBsA1)(tan0(7)設設= 60, fsA= 0.4 , fsB= 0.2則：則：smax = 0.7156 l。第73頁/共150頁討論：討論：PFNAFAmaxFBmaxFNBxysmaxlffffssBsAsBsA1)(tanmax(6)（1）當 時，)90tan(cot1tanfAfAsAf即：即： ，此時有此時有fA90lsmax（2）當當 fsB = 0，即墻面為光滑時，由式（即墻面為光滑時，由式（6）得）得lfssA)tan(max但當?shù)?fsA = 0，即地面為光滑時，由式（即地面為光滑時，由式（6）得）得0m

41、axs此時此時 , 人無法登上梯子。人無法登上梯子。第74頁/共150頁思考題思考題2：均質(zhì)桿重均質(zhì)桿重P，長，長l，置于，置于粗糙的水平面上，兩者間的靜摩粗糙的水平面上，兩者間的靜摩擦系數(shù)為擦系數(shù)為fs?，F(xiàn)在桿的一端施加與。現(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的力桿垂直的力F，試求使桿處于平衡，試求使桿處于平衡時的時的設桿的高度忽略不計。設桿的高度忽略不計。F思考題思考題3：重量均為重量均為 的小球的小球A、B用一不計重量的桿連結。用一不計重量的桿連結。放置在水平桌面上，球與桌面放置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為間摩擦系數(shù)為 ，一水平力一水平力作用于作用于A球，系統(tǒng)平衡時球，系統(tǒng)平衡時 30ABF思

42、考題思考題1：有人想水平地執(zhí)持一迭書，他用手在這迭書的兩端加有人想水平地執(zhí)持一迭書，他用手在這迭書的兩端加一壓力一壓力225N。如每本書的質(zhì)量為。如每本書的質(zhì)量為0.95kg，手與書間的摩擦系數(shù)為，手與書間的摩擦系數(shù)為0.45，書與書間的摩擦系數(shù)為，書與書間的摩擦系數(shù)為0.40。求可能執(zhí)書的最大數(shù)目。求可能執(zhí)書的最大數(shù)目。第75頁/共150頁思考題：思考題：均質(zhì)桿質(zhì)量為均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長，長l，置于粗糙的水平面上，兩者，置于粗糙的水平面上，兩者間的靜摩擦系數(shù)為間的靜摩擦系數(shù)為fs?，F(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的力?，F(xiàn)在桿的一端施加與桿垂直的力F，試，試求使桿處于平衡時的求使桿處于平衡時的。設桿的高

43、度忽略不計。設桿的高度忽略不計。xOFABl解：解：取桿取桿 AB 為研究對象為研究對象220,()0()( )0,022ssyssOmgfmgfFFxlxllmgf xmgf lxMFF xllsmgfFlx) 12(22max第76頁/共150頁思考題：思考題：重量均為重量均為 的小球的小球A、B用一不計重量的桿連結。放用一不計重量的桿連結。放置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為置在水平桌面上，球與桌面間摩擦系數(shù)為 ，一水平力一水平力作用作用于于A球，系統(tǒng)平衡時球，系統(tǒng)平衡時 30ABFAFAFSAFSAFSBFmax解：解：（1）取取小球小球 A 為研究對象為研究對象sSAPfF（2）取

44、取小球小球 B 為研究對象為研究對象sSBPfFsSBSAPfFFF330cos)(max第77頁/共150頁4-3 摩擦角和自鎖現(xiàn)象摩擦角和自鎖現(xiàn)象1. 摩擦角摩擦角FRAFNFsAFRA=FN+FS全約束反力全約束反力 摩擦角摩擦角全約束反力與法線間夾角的最大值全約束反力與法線間夾角的最大值 fffFRAAFNsNNsNffFFfFFmaxtan摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)摩擦角的正切等于靜摩擦系數(shù)AfFmaxFNFRA第78頁/共150頁2. 自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象物塊平衡時，物塊平衡時，0 F Fmax , 因此因此 0 f 如果作用于物塊的全部主動力的如果作用于物塊的全部主動力的合力的作用線

45、在摩擦角之內(nèi)，則無論合力的作用線在摩擦角之內(nèi)，則無論這個力怎樣大，物塊必保持平衡。這個力怎樣大，物塊必保持平衡。fAFRAFR第79頁/共150頁（2）非自鎖現(xiàn)象）非自鎖現(xiàn)象 如果作用于物塊的全部主動力的合力如果作用于物塊的全部主動力的合力的作用線在摩擦角之外，則無論這個力怎的作用線在摩擦角之外，則無論這個力怎樣小，物塊一定會滑動。樣小，物塊一定會滑動。fAFRFRA第80頁/共150頁PF30問題問題1 已知摩擦角已知摩擦角 f= 20，F(xiàn)=P，問問物塊動不動？為什么？物塊動不動？為什么？問題問題2 已知摩擦角均為已知摩擦角均為 f ，問欲使楔子問欲使楔子打入后不致滑出，在兩種情況下的打入后

46、不致滑出，在兩種情況下的 ，物角應為若干？物角應為若干？FNAFNBFSBFSAFRAFRBf2第81頁/共150頁PQmaxFR fPQminFRfFRPQmaxf+)tan(maxfPQ)tan(minfPQ)tan()tan(ffPQP用幾何法求解例用幾何法求解例3PQminFRf -第82頁/共150頁極限aCFABObad解解: 由圖示幾何關系得由圖示幾何關系得bdadafftan)2(tan)2(極限極限sffbba2tan2極極限限用幾何法求解例用幾何法求解例4ff第83頁/共150頁F1F2RF1F2dtnF+dFFdFNdFSdF=dFSdFN=FddFS=fsdFNdF=F

47、fsd012,dfFdFdfFdFsFFssfseFFfFF2121,ln為維持皮帶平衡，應有為維持皮帶平衡，應有sfeFF21例例10 皮帶（或繩索）繞在半徑為皮帶（或繩索）繞在半徑為R的圓柱上，其包角為的圓柱上，其包角為 ，摩擦系摩擦系數(shù)為數(shù)為fs，其兩端的拉力為，其兩端的拉力為F1及及F2 ，求平衡時，求平衡時F1與與F2的關系的關系。第84頁/共150頁F1F2接上題，如果將繩在圓柱上繞兩接上題，如果將繩在圓柱上繞兩周，且知周，且知F2 =1kN，求繩平衡時，求繩平衡時F1的范圍，繩與圓柱間的摩擦系數(shù)的范圍，繩與圓柱間的摩擦系數(shù)為為fs =0.5。解解: 將數(shù)據(jù)代入將數(shù)據(jù)代入 上題公式

48、上題公式F2 =1kN, fs =0.5, =4kN5 .535145 . 021eeFFsf如果允許如果允許 F1 F2 ，將數(shù)據(jù)代入，將數(shù)據(jù)代入 kN002. 0/1,45 . 0112eFeFFsf故故：kN2 .535kN002. 01F第85頁/共150頁4-3 滾動摩阻的概念滾動摩阻的概念FPFNFsOAFPOAPFOAFRMPFFNFsOAM滾滾動動摩摩阻阻系系數(shù)數(shù)NFMmaxmax0MM FPOAFsFNdNFMdmaxd第86頁/共150頁PFFNFsOAMPfFfFFFFFsNsssx0, 0PRRFRMFFRMFMNA0, 0)(保證滾子不滑動：保證滾子不滑動：保證滾子不

49、滾動：保證滾子不滾動：sfR通通常常PRF第87頁/共150頁ACO1FSAFNAMAMCFSCFNCBDO2FSBFNBMBMDFSDFNDNCCNAASCSACAONANCySCSAxFMFMrFrFMMFMFFFFFF121,0, 0)(0, 00, 0rFFFNASCSA2)(21rFFFNBSDSB2)(21PFABCDO1O2r解解: （1）取滾子）取滾子A為研究對象為研究對象（2）取滾子）取滾子B為研究對象，同理可得為研究對象，同理可得已知：已知：P，r ，1 ， 2求：求：系統(tǒng)保持平衡時系統(tǒng)保持平衡時Fmax第88頁/共150頁PFmaxMAFNAFSAMBFNBFSBABPr

50、rFFFFFNBNASBSA22)(2121max0, 00, 0maxPFFFFFFFNBNAySBSAx（3）取平板為研究對象）取平板為研究對象若已知若已知：P =10kN, r =7.5cm, 1 =0.2cm, 2 =0.05cm。代入上式解得代入上式解得Fmax=0.167kNrFFFNASCSA2)(21rFFFNBSDSB2)(21第89頁/共150頁結論與討論結論與討論1. 摩擦現(xiàn)象分為摩擦現(xiàn)象分為滑動摩擦滑動摩擦和和滾動摩阻滾動摩阻兩類。兩類。2. 滑動摩擦力是在兩個物體相互接觸的表面之間有相對滑動趨滑動摩擦力是在兩個物體相互接觸的表面之間有相對滑動趨勢或有相對滑動時出現(xiàn)的切

51、向阻力。前者自然稱為靜滑動摩擦力勢或有相對滑動時出現(xiàn)的切向阻力。前者自然稱為靜滑動摩擦力，后者稱為動滑動摩擦力。，后者稱為動滑動摩擦力。 （1）靜摩擦力的方向與接觸面間相對滑動趨勢的方向相反，靜摩擦力的方向與接觸面間相對滑動趨勢的方向相反，它的大小應根據(jù)平衡方程確定。當物體處于平衡的臨界狀態(tài)時它的大小應根據(jù)平衡方程確定。當物體處于平衡的臨界狀態(tài)時，靜摩擦力達到最大值，因此靜摩擦力隨主動力變化的范圍在，靜摩擦力達到最大值，因此靜摩擦力隨主動力變化的范圍在零與最大值之間，即零與最大值之間，即max0FFs第90頁/共150頁靜靜摩摩擦擦系系數(shù)數(shù)sNsfFfFmax靜摩擦定律：靜摩擦定律：最大靜摩擦

52、力的大小與兩物體間的正壓力成正比最大靜摩擦力的大小與兩物體間的正壓力成正比 （2）動摩擦力的方向與接觸面間相對滑動的速度方向相反，動摩擦力的方向與接觸面間相對滑動的速度方向相反，它的大小為它的大小為動動摩摩擦擦系系數(shù)數(shù)fFfFN3. 摩擦角為全約束反力與法線間夾角的最大值，且有摩擦角為全約束反力與法線間夾角的最大值，且有sfftan當主動力的合力作用線在摩擦角之內(nèi)時發(fā)生當主動力的合力作用線在摩擦角之內(nèi)時發(fā)生自鎖現(xiàn)象自鎖現(xiàn)象。4. 物體滾動時會受到阻礙滾動的滾動阻力偶作用。物體滾動時會受到阻礙滾動的滾動阻力偶作用。max0MM NFMmax第91頁/共150頁靜力學練習題靜力學練習題第92頁/共

53、150頁第93頁/共150頁第94頁/共150頁靜力學專題靜力學專題第95頁/共150頁第96頁/共150頁第97頁/共150頁第98頁/共150頁第99頁/共150頁第100頁/共150頁第101頁/共150頁第102頁/共150頁第103頁/共150頁第104頁/共150頁第105頁/共150頁第106頁/共150頁第107頁/共150頁第108頁/共150頁第109頁/共150頁第110頁/共150頁第111頁/共150頁第112頁/共150頁第113頁/共150頁第114頁/共150頁第115頁/共150頁第116頁/共150頁第117頁/共150頁第118頁/共150頁第119頁/共

54、150頁第120頁/共150頁第121頁/共150頁第122頁/共150頁第123頁/共150頁第124頁/共150頁部分競賽題部分競賽題第125頁/共150頁一、在圖示機構中，已知：懸掛一、在圖示機構中，已知：懸掛著的三腳架的重量是著的三腳架的重量是P，輪軸重，輪軸重P1, ,尺寸尺寸l1、 l2、 l3、 r1、 r2如圖如圖所示，所示，C、D處的靜摩擦系數(shù)均處的靜摩擦系數(shù)均為為f, ,且且l1 l2 ，滾動摩阻略去不，滾動摩阻略去不計。試求機構平衡時水平拉力計。試求機構平衡時水平拉力Q的最大值。的最大值。(20分分)20112011陜西省大學生力學陜西省大學生力學競賽理論力學題競賽理論力

55、學題第126頁/共150頁解：（解：（1）假設）假設C處先滑處先滑1）對三腳架）對三腳架00213lFlNPlMCCACCfNF 312()CfPlFlfl2）對輪）對輪2120()20DaCMQ rrFrCCFF )(2211232fllrrPflrQa（2）假設）假設D處先滑處先滑0AM0)2()(222121113rlFrrlQlNlPPlDbDDDfNF 1）對整體）對整體2）對輪）對輪02)(0221rFrrQMDbCmin)()()(22122111132babQQQfllrfllrlPPlfrQ，第127頁/共150頁 這幅浮雕（約公元前這幅浮雕（約公元前1900年）反映了奴隸們

56、搬運一個年）反映了奴隸們搬運一個石雕巨像的情景。仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：巨像放在滑板上，石雕巨像的情景。仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)：巨像放在滑板上，由由172個奴隸拉著，有一個人在指揮，有一人在滑板上將液個奴隸拉著，有一個人在指揮，有一人在滑板上將液體倒在地面上進行潤滑。資料中所給的巨像重量約為體倒在地面上進行潤滑。資料中所給的巨像重量約為60t。 二、二、 根據(jù)記載，古埃及人在四千年前就已懂得了摩擦學根據(jù)記載，古埃及人在四千年前就已懂得了摩擦學的原理，他們曾用滾子和滑板來搬運重物。的原理，他們曾用滾子和滑板來搬運重物。第128頁/共150頁看了這幅圖后，可以有幾個疑問：看了這幅圖后，可以有幾個疑問： （1）

57、為什么雕刻中有）為什么雕刻中有172個奴隸在拉石像？這個奴隸在拉石像？這個數(shù)目是隨意的還是有道理的？個數(shù)目是隨意的還是有道理的？（2）資料中所說石像有）資料中所說石像有60t，是否合理？，是否合理？（3）從力學角度看，這些人是否能拉動石像？）從力學角度看，這些人是否能拉動石像？第129頁/共150頁 首先估計巨像重量約為首先估計巨像重量約為60t是否可靠。是否可靠。 假設浮雕的畫面是按一定比例雕刻的，可測出巨假設浮雕的畫面是按一定比例雕刻的，可測出巨像中的法老身高約為奴隸身高的像中的法老身高約為奴隸身高的5倍，則體積應為倍，則體積應為5的的3次方即次方即125倍。設奴隸體重倍。設奴隸體重60k

58、g，密度約為，密度約為1g/cm3，石塊密度一般在石塊密度一般在3g/cm3左右，因此法老重量為左右，因此法老重量為601253=22500kg=22.5t再加上座椅及底座，因此巨像總重為再加上座椅及底座，因此巨像總重為60t是比較可靠是比較可靠的。的。 第130頁/共150頁 設滑板經(jīng)潤滑后與地面的摩擦系數(shù)為設滑板經(jīng)潤滑后與地面的摩擦系數(shù)為0.23（查（查摩擦學方面的手冊），則要搬動巨像，每個奴隸摩擦學方面的手冊），則要搬動巨像，每個奴隸的平均拉力至少應大于的平均拉力至少應大于0.23 60 1000 9.8780172MgFNn其次，對奴隸的拉力進行估計。其次，對奴隸的拉力進行估計。78N

59、780N7800N太輕松了太輕松了不可能實現(xiàn)不可能實現(xiàn)0有可能有可能第131頁/共150頁 但有一個問題，體重為但有一個問題，體重為60kg，拉力為，拉力為780N，那么摩擦系數(shù)不就大于那么摩擦系數(shù)不就大于1了嗎？了嗎？ 可以用一個簡單的試驗來驗證：把一枚硬幣放可以用一個簡單的試驗來驗證：把一枚硬幣放在手掌上，慢慢轉(zhuǎn)動手掌，可以明顯發(fā)現(xiàn)當傾角大在手掌上，慢慢轉(zhuǎn)動手掌，可以明顯發(fā)現(xiàn)當傾角大于于45時，硬幣并不會相對手掌滑動，由此證明皮時，硬幣并不會相對手掌滑動，由此證明皮膚與硬幣間的摩擦系數(shù)大于膚與硬幣間的摩擦系數(shù)大于1。 我們有理由認為奴隸們光著腳工作。而皮膚我們有理由認為奴隸們光著腳工作。而皮膚與地面的摩擦系數(shù)是可以大于與地面的摩擦系數(shù)是可以大于1的。的。第132頁/共150