垂直平分線的性質(zhì)

1、 經(jīng)過線段經(jīng)過線段中點(diǎn)中點(diǎn)并且并且垂直垂直于這條線段的直線，叫做這于這條線段的直線，叫做這條線段的條線段的垂直平分線垂直平分線。垂直平分線垂直平分線: :圖形軸對稱的性質(zhì)圖形軸對稱的性質(zhì): : 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸對稱軸是任是任何一對何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。的垂直平分線。 類似地，軸對稱圖形的類似地，軸對稱圖形的對稱軸對稱軸，是任何一對，是任何一對對應(yīng)點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)所連線段所連線段的垂直平分線。的垂直平分線。線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點(diǎn)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的距離相等。的距離相等。線段垂直平分線的

2、性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì): :證明證明:直線直線MNAB于于C且且AC=CB，點(diǎn)點(diǎn)P在在MN上上.題設(shè)：題設(shè)：ABPMNC線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點(diǎn)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的距離相等。的距離相等。一、線段垂直平分線的性質(zhì)一、線段垂直平分線的性質(zhì): :結(jié)論：結(jié)論：PA=PB求證：求證：已知：已知：直線直線MNABMNAB于于C C，AC=CBAC=CB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在MNMN上上PA=PBPA=PB一、線段垂直平分線的性質(zhì)一、線段垂直平分線的性質(zhì): :數(shù)學(xué)表達(dá)：數(shù)學(xué)表達(dá)：直線直線MNMN垂直平分垂直平分ABAB，點(diǎn)，點(diǎn)P P在在MNMN上上PA=PBPA=PBABPM

3、NC也可以說：也可以說：P P是線段是線段ABAB垂直平分線上的點(diǎn)，垂直平分線上的點(diǎn)，PA=PB PA=PB 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等還可以說：還可以說：依據(jù)是：依據(jù)是：證明證明: 線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點(diǎn)點(diǎn)與這條線段兩個(gè)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)的距離相等。的距離相等。線段的線段的垂直平分線垂直平分線可以看作是和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有可以看作是和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的點(diǎn)的集合集合。 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義：已知：如圖，已知：如圖，ABCABC中，中，AC=16cmAC=1

4、6cm，DEDE為為ABAB的垂直平分線，的垂直平分線， BCEBCE的周長為的周長為26cm26cm，求，求BCBC的長。的長。做一做做一做解解:DEDE是是ABAB的垂直平分線的垂直平分線EA=EB(EA=EB(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等） C CBCEBCE=CE+EB+BC=CE+EB+BC又又AC=CE+EA=CE+EBAC=CE+EA=CE+EB BC=C BC=CBCE - (CE+EB) =C =CBCEBCE-AC-AC =10cm =10cm解解:做一做做一做已知：如圖，已知：如圖，P P為為MON

5、MON內(nèi)一點(diǎn)，內(nèi)一點(diǎn)，OMPAOMPA于于E E，ONPBONPB于于F F，EA=EPEA=EP，F(xiàn)B=FPFB=FP，若，若ABAB長為長為15cm15cm，求，求PCDPCD的周長。的周長。OMPAOMPA于于E E，EA=EPEA=EP，點(diǎn)，點(diǎn)C C在在OMOM上，上，CA=CP(CA=CP(線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）同理，同理，ONPBONPB于于F F，F(xiàn)B=FPFB=FP，點(diǎn)，點(diǎn)D D在在ONON上，上，DB=DPDB=DP C CPCDPCD=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB=CP+CD+DP

6、=CA+CD+DB=AB又又AB=15cmAB=15cm C CPCDPCD=15cm=15cm二、線段垂直平分線的判定二、線段垂直平分線的判定: :與一條線段兩個(gè)與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)距離相等的距離相等的點(diǎn)點(diǎn)，在這條線段的，在這條線段的垂直垂直平分線平分線上。上。證明證明: :題設(shè)題設(shè): : CA=CBCA=CB結(jié)論結(jié)論: : C C在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上已知已知: :求證求證: :證明證明: : 過過C作作COAB于于O 則則 AOC= BOC=90 在在 RtAOC和和Rt BOC中，中， AC=BC OC=OC RtAOC Rt BOC（HL） OA=OB 又又COA

7、B于于O C在在AB的垂直平分線上的垂直平分線上如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)呢？如何用數(shù)學(xué)語言表達(dá)呢？已知已知: :如圖如圖,AC=AD,AC=AD，BC=BDBC=BD，求證：求證：ABAB垂直平分垂直平分CDCD。AC=ADAC=AD點(diǎn)點(diǎn)A A在在CDCD的垂直平分線上（的垂直平分線上（ ）證明證明: 與一條線段兩與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上平分線上同理，同理，BC=BDBC=BD點(diǎn)點(diǎn)B B在在CDCD的垂直平分線上的垂直平分線上ABAB垂直平分垂直平分CDCD（兩點(diǎn)確定一條直線）（兩點(diǎn)確定一條直線）如圖，如圖，ABCABC中，邊中，邊

8、ABAB、BCBC的垂直平的垂直平分線交于點(diǎn)分線交于點(diǎn)P P。結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（2 2）點(diǎn)）點(diǎn)P P是否也在邊是否也在邊ACAC的垂直平分線的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？上呢？由此你能得出什么結(jié)論？（1 1）求證：）求證：PA=PB=PCPA=PB=PC。證明證明:點(diǎn)點(diǎn)P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上PA=PBPA=PB（線段垂直平分線上的點(diǎn)與線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）同理，同理，點(diǎn)點(diǎn)P P在在BCBC的垂直平分線上的垂直平分線上PB=PCPB=PCPA=PB=PCPA=PB=PCPA=PCPA=PC點(diǎn)點(diǎn)P P在在ACAC的垂直平分線上（的垂直平分線上（與一條線段與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上）垂直平分線上）解解:與一條線段兩個(gè)與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)端點(diǎn)距離相等的距離相等的點(diǎn)點(diǎn)，在這條線段的，在這條線段的垂直平分垂直平分線線上。上。一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：PA=PBPA=PB點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的垂直的垂直平分線上平分線上與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上線段