垂直平分線的性質(zhì)

1、 經(jīng)過線段經(jīng)過線段中點中點并且并且垂直垂直于這條線段的直線，叫做這于這條線段的直線，叫做這條線段的條線段的垂直平分線垂直平分線。垂直平分線垂直平分線: :圖形軸對稱的性質(zhì)圖形軸對稱的性質(zhì): : 如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸對稱軸是任是任何一對何一對對應(yīng)點所連線段對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。的垂直平分線。 類似地，軸對稱圖形的類似地，軸對稱圖形的對稱軸對稱軸，是任何一對，是任何一對對應(yīng)點對應(yīng)點所連線段所連線段的垂直平分線。的垂直平分線。線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點點與這條線段兩個與這條線段兩個端點端點的距離相等。的距離相等。線段垂直平分線的

2、性質(zhì)線段垂直平分線的性質(zhì): :證明證明:直線直線MNAB于于C且且AC=CB，點點P在在MN上上.題設(shè)：題設(shè)：ABPMNC線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點點與這條線段兩個與這條線段兩個端點端點的距離相等。的距離相等。一、線段垂直平分線的性質(zhì)一、線段垂直平分線的性質(zhì): :結(jié)論：結(jié)論：PA=PB求證：求證：已知：已知：直線直線MNABMNAB于于C C，AC=CBAC=CB，點，點P P在在MNMN上上PA=PBPA=PB一、線段垂直平分線的性質(zhì)一、線段垂直平分線的性質(zhì): :數(shù)學(xué)表達：數(shù)學(xué)表達：直線直線MNMN垂直平分垂直平分ABAB，點，點P P在在MNMN上上PA=PBPA=PBABPM

3、NC也可以說：也可以說：P P是線段是線段ABAB垂直平分線上的點，垂直平分線上的點，PA=PB PA=PB 線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等還可以說：還可以說：依據(jù)是：依據(jù)是：證明證明: 線段線段垂直平分線垂直平分線上的上的點點與這條線段兩個與這條線段兩個端點端點的距離相等。的距離相等。線段的線段的垂直平分線垂直平分線可以看作是和線段兩端點距離相等的所有可以看作是和線段兩端點距離相等的所有點的點的集合集合。 線段的垂直平分線的集合定義：線段的垂直平分線的集合定義：已知：如圖，已知：如圖，ABCABC中，中，AC=16cmAC=1

4、6cm，DEDE為為ABAB的垂直平分線，的垂直平分線， BCEBCE的周長為的周長為26cm26cm，求，求BCBC的長。的長。做一做做一做解解:DEDE是是ABAB的垂直平分線的垂直平分線EA=EB(EA=EB(線段垂直平分線上的點與這條線線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等）段的兩個端點的距離相等） C CBCEBCE=CE+EB+BC=CE+EB+BC又又AC=CE+EA=CE+EBAC=CE+EA=CE+EB BC=C BC=CBCE - (CE+EB) =C =CBCEBCE-AC-AC =10cm =10cm解解:做一做做一做已知：如圖，已知：如圖，P P為為MON

5、MON內(nèi)一點，內(nèi)一點，OMPAOMPA于于E E，ONPBONPB于于F F，EA=EPEA=EP，F(xiàn)B=FPFB=FP，若，若ABAB長為長為15cm15cm，求，求PCDPCD的周長。的周長。OMPAOMPA于于E E，EA=EPEA=EP，點，點C C在在OMOM上，上，CA=CP(CA=CP(線段垂直平分線上的點與這條線線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等）段的兩個端點的距離相等）同理，同理，ONPBONPB于于F F，F(xiàn)B=FPFB=FP，點，點D D在在ONON上，上，DB=DPDB=DP C CPCDPCD=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB=CP+CD+DP

6、=CA+CD+DB=AB又又AB=15cmAB=15cm C CPCDPCD=15cm=15cm二、線段垂直平分線的判定二、線段垂直平分線的判定: :與一條線段兩個與一條線段兩個端點端點距離相等的距離相等的點點，在這條線段的，在這條線段的垂直垂直平分線平分線上。上。證明證明: :題設(shè)題設(shè): : CA=CBCA=CB結(jié)論結(jié)論: : C C在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上已知已知: :求證求證: :證明證明: : 過過C作作COAB于于O 則則 AOC= BOC=90 在在 RtAOC和和Rt BOC中，中， AC=BC OC=OC RtAOC Rt BOC（HL） OA=OB 又又COA

7、B于于O C在在AB的垂直平分線上的垂直平分線上如何用數(shù)學(xué)語言表達呢？如何用數(shù)學(xué)語言表達呢？已知已知: :如圖如圖,AC=AD,AC=AD，BC=BDBC=BD，求證：求證：ABAB垂直平分垂直平分CDCD。AC=ADAC=AD點點A A在在CDCD的垂直平分線上（的垂直平分線上（ ）證明證明: 與一條線段兩與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上平分線上同理，同理，BC=BDBC=BD點點B B在在CDCD的垂直平分線上的垂直平分線上ABAB垂直平分垂直平分CDCD（兩點確定一條直線）（兩點確定一條直線）如圖，如圖，ABCABC中，邊中，邊

8、ABAB、BCBC的垂直平的垂直平分線交于點分線交于點P P。結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，這個點到三角形三個頂點的距離相等。（2 2）點）點P P是否也在邊是否也在邊ACAC的垂直平分線的垂直平分線上呢？由此你能得出什么結(jié)論？上呢？由此你能得出什么結(jié)論？（1 1）求證：）求證：PA=PB=PCPA=PB=PC。證明證明:點點P P在在ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上PA=PBPA=PB（線段垂直平分線上的點與線段垂直平分線上的點與這條線段的兩個端點的距離相等這條線段的兩個端點的距離相等）同理，同理，點點P P在在BCBC的垂直平分線上的垂直平分線上PB=PCPB=PCPA=PB=PCPA=PB=PCPA=PCPA=PC點點P P在在ACAC的垂直平分線上（的垂直平分線上（與一條線段與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上）垂直平分線上）解解:與一條線段兩個與一條線段兩個端點端點距離相等的距離相等的點點，在這條線段的，在這條線段的垂直平分垂直平分線線上。上。一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理：PA=PBPA=PB點點P P在線段在線段ABAB的垂直的垂直平分線上平分線上與一條線段兩個端點距離相等的與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上點，在這條線段的垂直平分線上線段