復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與解析函數(shù)1

1、第 九 節(jié)復(fù) 變 函 數(shù) 的 導(dǎo) 數(shù)與 解 析 函 數(shù)一、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分,)(0的鄰域內(nèi)有定義在點(diǎn)設(shè)函數(shù)zzfw ,)(,)()()()(,0,000000的導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)則稱此極限為函數(shù)的極限存在比值時(shí)趨于即當(dāng)時(shí)趨于若當(dāng)zzfzzfzzfzzzfzfzwzzz1 1、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、復(fù)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù).)()(lim )()(limlim)(),(000z000z000zzfzzfzzzfzfzwzfzfzz即記為2 2、復(fù)變函數(shù)的微分、復(fù)變函數(shù)的微分,)(0可導(dǎo)在點(diǎn)設(shè)函數(shù)zzfw |).(|)( ),(lim000zzozzfwzfzw即于是z.)(d,)( ).(dd,)(z)(0000zf

2、wzzfzfwzzfwzf即可微在點(diǎn)此時(shí)也稱或記為處的微分在點(diǎn)為稱3 3、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系、復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)與可微的關(guān)系4 4、區(qū)域內(nèi)可微、區(qū)域內(nèi)可微若函數(shù)若函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，則稱內(nèi)的每一點(diǎn)都可微，則稱在在 D 內(nèi)可微內(nèi)可微. ( )f z( )f z例例1. 求求 ( 為正整數(shù)為正整數(shù) ) 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù). nf zzn 解：解： 00limlimnnzzfzzfzzzzfzzz 122101limnnnnznnzC zzznz 1nnznz 00lim limzzf zzf zzzzzz 000limlim1xyyxi yi yxi yi y 而而000limli

3、m1yxxxi yxxi yx 例例2可導(dǎo)必可導(dǎo)必連續(xù)連續(xù),連連續(xù)不一續(xù)不一定可導(dǎo)定可導(dǎo)000limlimzxyzxi yzxi y 7:求導(dǎo)公式 0C 1nnznz f zg zfzgz 2( )(0)fzfz g zfzgzg zg zgz ( )( )f z g zfz g zf z gz ( ( )( ( )f g zfg z gz 二、解析函數(shù)及其簡單性質(zhì).)(,)(,)( 內(nèi)解析在區(qū)域或稱內(nèi)的解析函數(shù)區(qū)域?yàn)閯t稱內(nèi)可微在區(qū)域若函數(shù)DzfDzfDzfw 1 1、解析函數(shù)的定義、解析函數(shù)的定義.)()(內(nèi)的奇點(diǎn)在內(nèi)不解析的點(diǎn)為在稱DzfDzf.)()(平面上處處解析在為正整數(shù)znzzfn

4、2 2、解析函數(shù)的簡單性質(zhì)、解析函數(shù)的簡單性質(zhì)(1)(1)四則運(yùn)算四則運(yùn)算(2)(2)復(fù)合運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算.,z;函數(shù)的奇點(diǎn)而分母為零的點(diǎn)就是該處處解析平面上除分母為零的外有理函數(shù)在平面上處處解析多項(xiàng)式函數(shù)在z.,0z1)(:其余點(diǎn)處都解析為奇點(diǎn)平面上以在例zzzf三、Cauchy-Riemann條件 000000000,limxu xx yiv xx yu xyiv xyx 000000000,limxu xx yiv xx yu xyiv xyx uvixx 00000000000,limyu xyyiv xyyu xyiv xyi y uvxyvuxy vuiyyC.R.條件條件2 ( ),

5、 ( ,), ( ,)1,0,0,1,f zzxiy u x yx v x yyuuvvuvvuxyxyxyxy 如如例例中中 ，定理定理1 （可導(dǎo)的必要條件）可導(dǎo)的必要條件）例例3( )ReIm,f zzzxy 0( ,0)(0,0)(0,0)lim0(0,0)xyxu xuuvx 證明：證明：0(0, )(0,0)(0,0)lim0(0,0)yxyuyuuvy ( , ), ( , )0u x yxy v x y 00limzfzfz 不不存存在在 2(1)00()0limlim(1)1zkixxkxkfzfzkixki 例例 3 說明說明CR 條件不是復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充分條件。條件不是復(fù)變

6、函數(shù)可導(dǎo)的充分條件。 定理定理2 （可微的充要條件）可微的充要條件）,uuvvxyxy在點(diǎn)在點(diǎn)00(,)xy處連續(xù)。處連續(xù)。(得到推論得到推論 1) 推論推論1 （可微的充分條件）可微的充分條件） 0012()()()()f zzf zui vaibxi yixi y 122122220000lim0, lim0()()()()xxyyxyxyxyxy 而而 0000()(lim0)zfzzfzfzzz 0000()limzf zzf zfzz 1221()a xb yxyi b xa yxy 1221ua xb yxyvb xa yxy 由定理由定理2即得：即得：定理定理3 （解析的充要條件

7、）解析的充要條件）,uuvvxyxy在在 D 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)。(得到推論得到推論 2) 推論推論 21( )(cossin)xf zeyiy （）( )(cossin )( )xxxfzuiveyiyf z 解：解：( , )cos , ( , )sinxxu x yey v x yey ，cos ,sin ,xxxyuey uey sin,cosxxxyvey vey 2( )f zxyixy （ ）( , ), ( , )u x yxy v x yxy ，解：解：1,1,xyxyuuvy vx 23( )f zxiy （）2( , ), ( , )u x yx v x yy ，解解:2 ,0

8、,0,1xyxyux uvv 11(),()22xzzyzzi 111()()()()2222xxyyxyyxiuivuivuvuvi證明證明: wwxwyzxzyz 0wz 四、調(diào)和函數(shù)四、調(diào)和函數(shù)21( )( )2xxxxC 解：解：222211( )(2)22f zuivxyxyixyyxC 2122( )2yxvuxyvxyyx ( )112fiiC 22( )2xyvuyxyxyx 2211222vxyyxC 222(1)22iizzCizCi 2( )(1)22iif zz 五五. 初等函數(shù)初等函數(shù)1. 1. 指數(shù)指數(shù)函數(shù)函數(shù)(cossin )zxweeyiy10,2(0, 1,

9、2,)zxzeeArgeykk （）性質(zhì)：性質(zhì)：11212122(3),zzzzzzzzee eeee注意注意：2.2.三角函數(shù)三角函數(shù)i-ii-ie -eeesin, cos2i2zzzzzz 性質(zhì)：性質(zhì)：22sincos1zz ， 121221sin()sincossincoszzzzzz， 121212cos()coscossinsinzzzzzz3. 3. 對數(shù)對數(shù)函數(shù)函數(shù)LnlniArglni(arg2)wzzzzzk ,2lnln,Arg )urevkurzvz 說明：說明：lnlnargzziz Lnz的主值支的主值支 Lnln2 (1, 2,)zzk ik ln( 1)ln1arg( 1)Ln( 1)ln( 1)2(21)iiikki 如如性質(zhì)：性質(zhì)：33Lnln(arg2)wzzizk 解解:5( )ln(arg2)(2)22w iiiikiki 1k 3( 2 )ln2(arg( 2 )2 )ln22wiiiii344.4.冪函數(shù)冪函數(shù)(lniArg )Ln(ln2i)eezzzzkwze 0, 1, 2,)k （ （0,z 為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù)） 性質(zhì)：性質(zhì)：351()zz (ln 1( 1)( 1)(1)1iiArgiiLnee （）解：解：2(lniArg( )222 ieiiLnie （）(21) i(21)0, 1, 2,)ikkee