利用空間向量解立體幾何

1、向量法解立體幾何引言立體幾何的計算和證明常常涉及到二大問題：一是位置關系，它主要包括線線垂直，線面垂直，線線平行，線面平行；二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，面面所成角等。教材上講的比較多的主要是用向量證明線線、線面垂直及計算線線角，而如何用向量證明線面平行，計算點到平面的距離、線面角及面面角的例題不多，給老師對這部分內(nèi)容的教學及學生解有關這部分內(nèi)容的題目造成一定的困難，下面主要就這幾方面問題談一下自己的想法，起到一個拋磚引玉的作用?；舅悸放c方法一、基本工具1 .數(shù)量積：ababcos2 .射影公式：向量a在b上的射影為加b3 .直線AxByC0的法向量為A,B

2、,方向向量為B,A4 .平面的法向量（略）二、用向量法解空間位置關系1 .平行關系線線平行兩線的方向向量平行線面平行線的方向向量與面的法向量垂直面面平行兩面的法向量平行2 .垂直關系線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直線面垂直線與面的法向量平行面面垂直兩面的法向量垂直三、用向量法解空間距離1 .點點距離點PXi,yi,Zi與QX2,y2,z2的距離為PQJ(X2Xi)2(y2yi)2匕1)22 .點線距離求點PXo,yo到直線l:AxByC0的距離:方法：在直線上取一點Qx,y,則向量PQ在法向量nA,B上的射影PQnAXoByoC|lnlJA2B2即為點P到l的距離.3 .點面距離求點P

3、Xo，yo到平面的距離：方法：在平面上去一點QX,y,得向量由計算平面的法向量n,計算與在上的射影，即為點P到面的距離.四、用向量法解空間角i.線線夾角（共面與異面）線線夾角兩線的方向向量的夾角或夾角的補角4 .線面夾角求線面夾角的步驟:先求線的方向向量與面的法向量的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，則取其補角；再求其余角，即是線面的夾角.5 .面面夾角(二面角)若兩面的法向量一進一出，則二面角等于兩法向量的夾角；法向量同進同出，則二面角等于法向量的夾角的補角.實例分析一、運用法向量求空間角向量法求空間兩條異面直線a,b所成角0,只要在兩條異面直線a,b上各任取一個向量AABB',則角&

4、lt;M',BB'>=0或兀-0,因為0是銳角，所以cos0=產(chǎn)可，AA'BB'1、運用法向量求直線和平面所成角設平面的法向里為n=(x,y,線AB和平面0c所成的角0的正弦值為sin0=cos(j-0)=|cos<abAB?n向相2、運用法向量求二面角設二面角的兩個面的法向號為n,不需要用法向量。A1),則直/tn,n>1=/:n2，則<n1,n2>或兀-<nn,1>是所求角。這時要借助圖形來判斷所求角為銳角還是鈍角，來決定<”2>是所求，還是兀-<n1,n2>是所求角。:、運用法向量求空間距離

5、1、求兩條異面直線間的距離設異面直線a、b的公共法向量為n在a、b上任取一點A、B,則異面直線a、d=ABcos/BAA=|AB?n|n|，、，一一，一一一/，一，一，略證：如圖，EF為a、b的公垂線段，a為過F與a平行的直線，在a、b上任取一點A、B,過A作AA=EF,交a于A,貝UAFn,所以/BAA=<BA,n>（或其補角）1-I-異面直線a、b的距離d=ABcos/BAA=|AB?n|*|n|n?a0n?b0其中，n的坐標可利用a、b上的任一向量a,b（或圖中的AE,BF）,及n的定義得解方程組可得n2、求點到面的距離求A點到平面口的距離，設平面口的法向量法為n（x，y，1

6、）,在口，-I-內(nèi)任取一點B,則A點到平面口的距離為d=理組，n的坐標由n與|n|平面口內(nèi)的兩個不共線向量的垂直關系，得到方程組（類似于前面所述，若方程組無解，則法向量與XOYf面平行，此時可改設n(i,y,0),下同)。3、求直線到與直線平行的平面的距離距離d=0!|n|求直線a到平面0c的距離，設平面0c的法向量法為n(x,y,1),在直線a上任取一點A,在平面0c內(nèi)任取一點B,則直線a到平面口的|n|a/n1/n24、求兩平行平面的距離設兩個平行設平面%、(3的公共法向量法為n(x,y,1),在平面、，I-B內(nèi)各任取一點AB,則平面0c到平面B的距離d=幽生1三、證明線面、面面的平行、垂

7、直關系設平面外的直線a和平面口、B,兩個面口、B的法向量為R,n2,a/n四、應用舉例：例1:如右下圖，在長方體ABCD-AiBGD中，已知AB=4,AD=3,AAi=2.E、F分別是線段ABBC上的點，且EB=FB=1.(1)求二面角C-DE-C的正切值；(2)求直線EC與FD所成的余弦值.解：(I)以A為原點，AB,AD,AA1分別為X軸，y軸,Z軸的正向建立空間直角坐標系，|則D(0,3,0)、D(0,3,2)、E(3,0,0)、F(4,1,0)、叩C(4,3,2)_于是，DE(3,3,0),ECi(1,3,2),FDi(4,2,2)(x,y,2)與平面CiDE垂直，則有nDE3x3y0

8、nEC1x3y2z0設法向量n1,1,2),二向量AAi(0,0,2)與平面CDE垂直n-1所成的角為二面角CDE。1的平面角cosn?AA1tan|n|AAi|,22101022，114004E°x(II)設EC與FD所成角為(3,則cos1(4)3222|ECi|FDi|23222.(4)22222,2114例2:如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABC慮菱形，/DAB=60,PDL平面ABCDPD=AD點E為AB中點，點F為PD中點。(1)證明平面PEDL平面PAB(2)求二面角P-AB-F的平面角的余弦值證明：(1)面ABC虛菱形，/DAB=6&.ABD等邊三角形，又E

9、是AB中點，連結BD./EDB=30,/BDC=60/EDC=90如圖建立坐標系D-ECP設AD=AB=1貝UPF=FD1，ED=,P(0,0,1),E(J,0,0),B(於2，0).PB=(0，-1)，平面PED的一個法向量為DC=（0,1,0）,設平面PAB的法向量為n=(x,y,1)nPBnPE、31(x,y,1)?(,1)22c、萬(x,y,1)?(,0,1)2.3x2.3x212y1230,0,1)vDCn=0即Den.平面PEDL平面PAB解：由（1）知：平面pab的法向量為n=23,0,1),設平面FAB的法向量為n1=(x,y,-1)由（1）知:一，1、F(0,0,；)FB=F

10、En1FB(x,y,n1FE(x,y,311)?(,-,22、.31)?(,0,21).3x2.3x212yP-AB-F的平面角的余弦值cos=|cos<n,n1>|5.714例3:在棱長為4的正方體ABCD-AiCD中，O是正方形ABGDi的中DC>|=43333心，點放棱CG上，且CC=4CP.(I)求直線APW平面BCGB所成的角的大小(結果用反三角函數(shù)值表示)；(H)設Q電在平面DA吐的射影是H,求證：Dhl±AP;(田)求點PIU平面AB前距離.解：(I)如圖建立坐標系D-ACD丁棱長為4.A(4,0,0),B(4,4,0),P(0,4,1)/.AP=(-

11、4,4,1),顯然DC=(0,4,0)為平面BCCB的一個法向量直線APW平面BCCBi所成的角0的正弦值sin0=|cos<AP,e為銳角,二直線A府平面BCCB所成的角e為arcsin4333(m)設平面ABD的法向量為n=(x,y,1),;AB=(0,4,0),ADi=(-4,0,4)t一,f一,-一y0由n，AB,n，AD得yn=(1,0,1),4x40點PiU平面ABD勺距離d=3%?2例4:在長、寬、高分別為2,2,3的長方體ABCD-A1C1D中，O是底面中心，求AO與BC的距離解：如圖,建立坐標系D-ACD,則O（1,1,(2,2,3),C(0,2,0)二AO(1,1,3

12、)BiC(2,0,設AO與BC的公共法向量為n(x,y,l),3)ABi(0,2,0)nAO(x,y,1)?(1,1,3)03而(x,y,1)?(2,0,3)0xy302x30y|帝).A1O與BC的距離為-0,2,0?,1jd=|AB?n|2233/22丁32321有干例5:在棱長為1的正方體ABCD-ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點，求A到面BDFE勺距離。解：如圖，建立坐標系D-ACD,則B(1,1,0),A(1,0,1),1-BD(1,1,0)BE(,0,1)A1B(0,1,1)2設面BDFE勺法向量為3(x,y,1),則(x,y,1)?(1,1,0)0nBD1nBE(x,y,1)?(,0,1)02xy01x102n(2,2,1).A1到面BDFEE勺距離為d=|A1B?n|0,1,1?2,2,1二1|n|,222213五、課后練習：1、如圖，已知正四棱柱ABCD-ABGD,AB=1,AAi=2，點E為CC中點,點F為BD中點.（1）證明EF為BD與CC的公垂線