彈性力學模擬練習題

1、、判斷題1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿,不留下任何空隙.2、如果某一問題中,OzizxTzy=0,只存在平面應力分量%外,刈,且它們不沿z方向變化,僅為x,y的函數(shù),此問題是平面應力問題.3、如果某一問題中,時=餐二14,只存在平面應變分量x-y且它們不沿z方向變化,僅為x,y的函數(shù),此問題是平面應變問題.4、當物體的形變分量完全確定時,位移分量卻不能完全確定.5、當物體的位移分量完全確定時,形變分量即完全確定.6、在有限單元法中,結(jié)點力是指結(jié)點對單元的作用力.7、在平面三結(jié)點三角形單元的公共邊界上應變和應力均有突變.10、體力作用于物體內(nèi)部的各個質(zhì)點上,所以它屬

2、于內(nèi)力.解答：外力.它是質(zhì)量力.(X)11、在彈性力學和材料力學里關于應力的正負規(guī)定是一樣的.(X)解答：兩者正應力的規(guī)定相同,剪應力的正負號規(guī)定不同.12、當問題可當作平面應力問題來處理時,總有解答：平面應力問題,總有C'z='xz=yz=0013、當物體可當作平面應變問題來處理時,總有zxzyz0=0解答：平面應變問題,總有,zxzyz014、位移分量函數(shù)u=kix2+y2v=k2xy,ki,k2為常數(shù),由它們所求得形變分量不一定能滿足相容方程.(X)解答：由連續(xù)可導的位移分量按幾何方程求得的形變分量也一定能滿足相容方程.由于幾何方程和相容方程是等價的.15、形變狀態(tài),=&

3、amp;272%=靖=如,2°是不可能存在的.(X)解答：所給形變分量能滿足相容方程,所以該形變分量是可能存在的.16、在y為常數(shù)的直線上,如u=0,那么沿該線必有=0.,22、,217、應變狀態(tài)6=kxy,%=ky,xy=2kxy,k.0是不可能存在的.乂改：所給應變分量滿足相容方程,所以該應變狀態(tài)是可能存在的.18、圖示工字形截面梁,在平衡力偶系的作用下,只在右端局部區(qū)域產(chǎn)生應力.X改：對于一些薄壁桿件和薄殼等物體在應用圣維南原理時,必須滿足下述必要條件,即力系作用區(qū)域的尺寸與該區(qū)域物體的最小尺寸相當.在本例中,力系作用區(qū)域的尺寸是工字形截面高和寬遠遠大于該區(qū)域物體的最小尺寸腹板

4、和翼緣的厚度.19、物體變形連續(xù)的充分和必要條件是幾何方程或應變相容方程.X改：一：物體當是單連體時；改：二：對于多連體,還有位移單值條件.20、對于應力邊界問題,滿足平衡微分方程和應力邊界的應力,必為正確的應力分布.X改：應力還要滿足相容方程,對于多連體,還要看它是否滿足位移單值條件.21、在體力是常數(shù)的情況下,應力解答將與彈性常數(shù)無關.X改：如果彈性體是多連體或有位移邊界,需要通過虎克定理由應力求出應變,再對幾何方程積分求出位移,將其代入位移邊界和位移單值條件,并由此確定待定常數(shù)時,將與彈性常數(shù)有關.22守i；2：j,且仃x=2"Xx.仃y=2"Yy22、在體力不是常量

5、情況下,引入了應力函數(shù)0yox產(chǎn):,xy=一一么,一八、不一甌3平衡微分方程可以自動滿足.X改：在常體力情況下,句,G,且仃x=-TXx,仃y23、在常體力下,引入了應力函數(shù)0y平衡微分方程可以自動滿足.24、某一應力函數(shù)所能解決的問題與坐標系的選擇無關.改：三次及三次以上的應力函數(shù)所能解答的問題與坐標系的選取有關.25、三次或三次以下的多項式總能滿足相容方程.,答：相容方程中的每一項都是四階導數(shù).26、對于純彎曲的細長的梁,由材料力學得到的撓曲線是它的精確解.(,)解：對于純彎曲的細長的梁,材力和彈力得到的撓曲線方程是一樣的.27、對承受端荷載的懸臂梁來說,彈性力學和材料力學得到的應力解答是

6、相同的(V)解答：端部切向面力必須按拋物線規(guī)律分布于端部,否那么得到的是圣維南近似解.、填空題1、彈性力學研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應力、形變和位移.2、在彈性力學中規(guī)定,線應變以伸長時為正、縮短時為負、與正應力的正負號規(guī)定相適應.3、在彈性力學中規(guī)定,切應變以直角變小時為正.變大時為負.與切應力的正負號規(guī)定相適應.4、物體受外力以后,其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力,它的集度稱為應力.與物體的形變和材料強度直接有關的,是應力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量,也就是正應力和切應力.應力及其分量的量綱是L-1MT-2q5、彈性力學的某本假定為連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同

7、性.6、平面問題分為平面應力問題和平面應變問題.7、一點處的應力分量仃x=00MPa,0y=50MPa,Txy=1O50MPa,那么主應力6=150MPa、吁0MPa,.產(chǎn)35話.8、一點處的應力分量,仃x=200MPa,<=0MPa,%=-400MPa,WJ主應力巴=512MPa,g2-312MPa,5=-37°57'.9、一點處的應力分量,Ox=-2000MPa,仃y=1000MPa,%y=-400MPa,WJ主應力6=1052MPa,3=-2052MPa,%=-8232'.10、在彈性力學里分析問題,耍考慮靜力學、幾何學和物理學三方面條件.分別11、表示應

8、力分量與體力分量之間關系的方程為平衡微分方程.12、邊界條件表示邊界卜位移與約束,或應力與面力才間的關系式.分為位移初界條件、應力邊界條件和混合邊界條件.13、按應力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法14、有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)、然后再用結(jié)構(gòu)力學位移法進行求解.其具體步驟分為單元分析和整體分析兩局部.15、每個單元的位移一般總是包含著兩局部：一局部是由本單元的形變引起的,另一局部是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的.16、每個單元的應變一般總是包含著兩局部：一局部是與該單元中各點的位置坐標有關的,是各點不相同的,即所謂變量應變；另一局部是與位置坐標無關的,是各點相同的,即所

9、謂常量應變.17、為了能從有限單元法得出正確的解答,位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應變,還應當盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性.18、為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù),必須把位移模式取為坐標的單值連續(xù)函數(shù),為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù),就不僅要使它們在公共結(jié)點處具有相同的位移時,也能在整個公共邊界上具有相同的位移.19、在有限單元法中,單元的形函數(shù)Ni在i結(jié)點N=1；在其他結(jié)點Ni=Q及三Ni=1.20、為了提升有限單元法分析的精度,一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小,以便較好地反映位移和應力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式,使位移和應力的精度提升.簡做題1 .試寫出彈性

10、力學平面問題的根本方程,它們揭示的是那些物理量之間的相互關系在應用這些方程時,應注意些什么問題答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應力分量與體力分量間的相互關系.應注意兩個微分方程中包含著三個未知函數(shù)ox、6v、txy=tyx,因此,決定應力分量的問題是超靜定的,還必須考慮形變和位移,才能解決問題.8G+£=0,為弘一上+?+F=必a應注意當物體的位平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關系.移分量完全確定時,形變量即完全確定.反之,當形變分量完全確定時,位移分量卻不能完全確定.葭=、仆=.尸燈=+-dK/士川平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應力分量間的相互

11、關系.應注意平面應力問題和平面應變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關系.g=L-4仃凡三二卷底一月G"十111J/-g工為>V/-Qg工>T中一工叱2 .根據(jù)邊界條件的不同,彈性力學問題分為那幾類邊界問題試作簡要說明.答：根據(jù)邊界條件的不同,彈性力學問題分為位移邊界問題、應力邊界問題和混合邊界問題.位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是的,也就是位移的邊界值是邊界上坐標的函數(shù).應力邊界問題中,物體在全部邊界上所受的面力是的,即面力分量在邊界上所有各點都是坐標的函數(shù).混合邊界問題中,物體的一局部邊界具有位移,因而具有位移邊界條件；另一部分邊界那么具有應力邊界條件.3.彈性體任意一點

12、的應力狀態(tài)由幾個應力分量決定試將它們寫出.如何確定它們的正負號答：彈性體任意一點的應力狀態(tài)由6個應力分量決定,它們是：6、取Gz、和、飛z、加.正面上的應力以沿坐標軸正方向為正,沿坐標軸負方向為負.負面上的應力以沿坐標軸負方向為正,沿坐標軸正方向為負.4.在推導彈性力學根本方程時,采用了那些根本假定什么是“理想彈性體試舉例說明.答：答：在推導彈性力學根本方程時,采用了以下根本假定：(1)假定物體是連續(xù)的.(2)假定物體是完全彈性的.(3)假定物體是均勻的.(4)假定物體是各向同性的.(5)假定位移和變形是微小的.符合(1)(4)條假定的物體稱為“理想彈性體.一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可近似視

13、為“理想彈性體.5 .什么叫平面應力問題什么叫平面應變問題各舉一個工程中的實例.答：平面應力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力,同時體力也平行于板面并且不沿厚度變化.如工程中的深梁以及平板壩的平板支墩就屬于此類.平面應變問題是指很長的柱型體,它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿長度變化的面力,同時體力也平行于橫截面而且也不沿長度變化,即內(nèi)在因素和外來作用都不沿長度而變化.6 .在彈性力學里分析問題,要從幾方面考慮各方面反映的是那些變量間的關系答：在彈性力學利分析問題,要從3方面來考慮：靜力學方面、幾何學方面、物理學方面.平面問題的靜力學方面主要考慮的是

14、應力分量和體力分量之間的關系也就是平面問題的平衡微分方程.平面問題的幾何學方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關系,也就是平面問題中的幾何方程.平面問題的物理學方面主要反映的是形變分量與應力分量之間的關系,也就是平面問題中的物理方程.7 .根據(jù)邊界條件的不同,彈性力學平面問題分為那幾類試作簡要說明答：根據(jù)邊界條件的不同,彈性力學平面問題可分為兩類：1平面應力問題：很薄的等厚度板,只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力.這一類問題可以簡化為平面應力問題.例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題.在該種問題中只存在CTx、仃V、Exv=Evxm個應力分量.XyXyyX2平面應變問題：很長的

15、柱形體,在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力,而且體力也平行于橫截面且不沿長度變化.這一類問題可以簡化為平面應變問題.例如擋土墻和重力壩的受力分析.該種問題Zxz=Ezx=0；7yz=、y=0而一般仃z并不等于零.8 .什么是圣維南原理其在彈性力學的問題求解中有什么實際意義圣維南原理可表述為：如果把物體的一小局部邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力主矢量相同,對于同一點的主矩也相同,那麼近處的應力分布將有顯著的改變,但遠處所受的影響可以不計.彈性力學的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達明確的情況而將問題解決.還可解決邊界條件不完全滿足的問題

16、的求解.9 .什么是平面應力問題其受力特點如何,試舉例予以說明.答：平面應力問題是指很薄的等厚度板,只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力,這一類問題可以簡化為平面應力問題.例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題.在該種問題中只存在crx、仃y、Exy=%X三個應力分量.10 .什么是“差分法試寫出根本差分公式.答；所謂差分法,是把根本方程和邊界條件一般為微分方程近似地改用差分方程代數(shù)方程來表示,把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題.根本差分公式如下：三f1-f3x02h：2ffif32f022x20h211、彈性力學中引用了哪五個根本假定五個根本假定在建立彈性力學根本方程時有

17、什么用途答：彈性力學中主要引用的五個根本假定及各假定用途為：答出標注的內(nèi)容即可給總分值1連續(xù)性假定：引用這一假定后,物體中的應力、應變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的,因此,建立彈性力學的根本方程時就可以用坐標的連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律2完全彈性假定：這一假定包含應力與應變成正比的含義,亦即二者呈線性關系,復合胡克定律,從而使物理方程成為線性的方程.3均勻性假定：在該假定下,所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是相同的.因此,反響這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)如彈性模量E和泊松比仙等就不隨位置坐標而變化.4各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是相同的也就是說,物體的彈性常數(shù)也不隨方

18、向變化.5小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時,不用考慮物體尺寸的改變,而仍然根據(jù)原來的尺寸和形狀進行計算.同時,在研究物體的變形和位移時,可以將它們的二次幕或乘積略去不計,使得彈性力學的微分方程都簡化為線性微分方程四、分析計算題1、試寫出無體力情況下平面問題的應力分量存在的必要條件,并考慮以下平面問題的應力分量是否可能在彈性體中存在.1%=Ax+By,<=Cx+Dy,%=Ex+Fy;222仃x=Ax+y,Oy=Bx+y,%=Cxy;其中,A,B,C,D,E,F為常數(shù)解：應力分量存在的必要條件是必須滿足以下條件：(1)在區(qū)域內(nèi)的平衡微分方美xdTyxJ程彳"囚；(2)在區(qū)域內(nèi)

19、的相容方程iUkxWyR;(3)在邊界匚yfxyc：x；yu.:y：:xr.flQx+mTvxl=fx(s),上的應力邊界條件xyxs_;(4)對于多連體的位移單值條件.J'm"-'y1'xys=fyS(1)此組應力分量滿足相容方程.為了滿足平衡微分方程,必須A=-F,D=-E.此外還應滿足應力邊界條件.(2)為了滿足相容方程,其系數(shù)必須滿足A+B=U;為了滿足平衡微分方程,其系數(shù)必須滿足A=B=-C/20上兩式是矛盾的,因此,此組應力分量不可能存在.2、應力分量ox=-Qxy2+C1x3,cry=-2C2xy2,Txy=-C2y3-C3x2y,體力不計,Q為

20、常數(shù).試利用平衡微分方程求系數(shù)G,G,C2.解：將所給應力分量代入平衡微分方程廣仃x4Tyxx+=UIix寺I；y二xy=UJ:y:xr_2,22_2_-Qy+3Cix-3C2y-C3x=U-_3C2xy_2C3xy=U(3C1-C3x2-(Q+3c282=UJ3C22C3Xy=U由x,y的任意性,得3cl-C3=UQ+3C2=U、3C2+2C3=U由此解得,C1=?,C2=-6q,C3;Q3、應力分量仃x=-q,3320y=-q,%y=U,判斷該應力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程.解：將應力分量ay=-q,%可,代入平衡微分方程'x-yxxX=0.xFy-y-xyY=0.:y：:

21、x可知,應力分量.=-q,仃丫=-q,Txy=0一般不滿足平衡微分方程,只有體力忽略不計時才滿足.按應力求解平面應力同題的相容方程:xy(一二x)=2(1工y將應力分量3=-q,Oy=-q,1=0代入上式,可知滿足相容方程.接應力求解平面應變問題的相容方程:.2(一二,)95-匚3=C：22-ixy1-x:y將應力分量3=-q,=-q,4=0代入上式,可知滿足相容方程.4、試寫出平面問題的應變分量存在的必要條件,并考慮以下平面問題的應變分量是否可能存在.(D守Axy,%=By-xy=C-Dy2A+2By=C(1分)；這組應力分量假設存在,那么須滿足：B=0,2A=C.0二C;這組應力分量右存在

22、,那么須兩足：C=0,那么=0,8y=0,xy=0(1分);(2)%=Ay2,%=Bx2y,.=Cxy;(3)%=0,%=0,'xy=Cxy；其中,A,B,C,D為常數(shù).解：應變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件,即f2；xf2；y1xy=-2-2-y二x二xy將以上應變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程,可知：(1)相容.(2)(3)5、證實應力函數(shù)邛4y2能滿足相容方程,并考察在如下圖的矩形板和坐標系中能解決什么問題(體力不計,b/0)ol/2h/2Oh/2l/2y解：將應力函數(shù)中=by2代入相容方程2:-=0.2.2.4xcycy可知,所給應力函數(shù)=by2能滿足相容方程.由于不計體力,

23、對應的應力分量為二2；二2；仃=2b0=0f=0X2y2xy_y:x；xy對于圖示的矩形板和坐標系,當板內(nèi)發(fā)生上述應力時,根據(jù)邊界條件,上下左右四個邊上的面力分別為：h上邊,y=,1=.,m=1,fx=-(%y)hR,fy=(仃y)h=.；2y,y,h下邊,y=二,l=0,m=,fx=(Txy)h=0,fy=(ay)h=0；2y%y=2l左邊,x=-,1=-1,m=0,fx=-(Ox)1=-2b,fy=Wxy)1=0；xx=一x=_422右邊,x=,1N,m=0,fx=(ax)1=2b,fy=(Txy)1=0.9x=x=:422可見,上下兩邊沒有面力,而左右兩邊分別受有向左和向右的均布面力2b

24、.因此,應力函數(shù)=by2能解決矩形板在x方向受均布拉力(b>0)和均布壓力(b<0)的問題.6、證實應力函數(shù)5=axy能滿足相容方程,并考察在如下圖的矩形板和坐標系中能解決什么問題體力不計,l/2a#0)0h/2Oh/2l/2y解：將應力函數(shù)中=axy代入相容方程可知,所給應力函數(shù)=axy能滿足相容方程.由于不計體力,對應的應力分量為F2；,:仃x=T_2_=0,°y=72=0,7xy=-TTT=-a二y:x二x：y對于圖示的矩形板和坐標系,當板內(nèi)發(fā)生上述應力時,根據(jù)邊界條件,上下左右四個邊上的面力分別為：h上邊,y=二,l=0,m=1,fx=(%y)h=a,fy=-9y

25、)h=0；2=2y,h下邊,y,1=°,m=1,fx=(7xy)h=-a,fy=(仃y)h=0；233左邊,l,-丁,、-丁,、x=-,1=-1,m=0,fx=-(-x)1=0,fy=-(xy)2x,i=a;x=_2右邊,1x=,1=1,m=0,fx=(；-x)1=0,fy=(xy)9x二42iaox二2可見,在左右兩邊分別受有向下和向上的均布面力a,而在上下兩邊分別受有向右和向左的均布面力a.因此,應力函數(shù)*=axy能解決矩形板受均布剪力的問題7、如下圖的矩形截面的長堅柱,密度為P,在一邊側(cè)面上受均布剪力,試求應力分量.解：根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況,可以假定縱向纖維互不擠壓,即設仃

26、x=0.由此可知.：2nx=2=0:y將上式對y積分兩次,可得如下應力函數(shù)表達式x,y=f1(x)yf2(x)將上式代入應力函數(shù)所應滿足的相容方程那么可得4-4-d_f1(x)df2(x)y44-0dxdx這是y的線性方程,但相容方程要求它有無數(shù)多的解(全柱內(nèi)的y值都應該滿足它),可見它的系數(shù)和自由項都應該等于零,即4-d"4-df2(x)=0dx4這兩個方程要求f1(x尸Ax3Bx2CxI,f2(x)=Dx3Ex2JxK代入應力函數(shù)表達式,并略去對應力分量無影響的一次項和常數(shù)項后,使得=y(Ax3Bx2Cx)Dx3Ex2對應應力分量為、二=y(6Ax2B)6Dx2EDgy:x-2C

27、2c.=-3Ax2-2Bx-Cxy-:x.y以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定0左邊,x=0,l=-1,m=0,沿y方向無面力,所以有_(xy)x=0=C-0右邊,x力,l=1,m=0,沿y方向的面力為q,所以有2(xy)x±=3Ab2Bb=q上邊,y=0,l=0,m=-1,沒有水平面力,這就要求鼠在這局部邊界上合成的主矢量和主矩均為零,即b*Xy)ydX=0將Exy的表達式代入,并考慮到0=0,那么有j(_3Ax2_2Bx)dx=Ax3Bx2b=-Ab3Bb2=0b而0Qxy)y衛(wèi)0dx=0自然滿足.又由于在這局部邊界上沒有垂直面力,這就要求by在這局部邊界上合成的主矢量和主矩均為零,即

28、bbg(Oy)y且dx=0,(Oy)ygxdx0將仃y的表達式代入,那么有j(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Exb=3Db2+2Eb=0j(6Dx+2E)xdx=2Dx3+Ex：0=2Db3+Eb2=0由此可得A=""B=9C=0D=0,E=0b2b應力分量為3=0,3=2q51-3：-Pgy,21b<bJbVbJ雖然上述結(jié)果并不嚴格滿足上端面處(y=0)的邊界條件,但根據(jù)圣維南原理,在稍遠離y=0處這一結(jié)果應是適用的.8、證實：如果體力分量雖然不是常量,但卻是有勢的力,即體力分量可以表示為fx=-fy=,其中V是勢函數(shù),那么應力分量亦可用應力函數(shù)表示x二y二2：二

29、2：,：2；：為,ox=",*=一,=,試導出相應的相容方程.x2y2xy:y二xtxy證實：在體力為有勢力的情況下,按應力求解應力邊界問題時,應力分量仃X,Oy,%y應當滿足平衡微分方程%30=0改為改八-(1分)二xyN八-0J3:義二y還應滿足相容方程22-2c+c220y：以十、*(1+NWx+*I£xdyj對于平面應力問題二x上對于平面應變問題并在邊界上滿足應力邊界條件1分.對于多連體,有時還必須考慮位移單值條件.首先考察平衡微分方程.將其改寫為于.Id.一；：y-V>:y這是一個齊次微分方程組.為了求得通解,：xyOy=0fx將其中第一個方程改寫為根據(jù)微分方程理論,一定存在某一函數(shù)A(x,y,使得同樣,將第二個方程改寫為-、,治-x-V,二yFAT-yx-excV-v)=cy-T)(1分)JJ二y二x可見也一定存在某一函數(shù)Bx,y,使得、,汨:-V=y二x汨-yx=一二y由此得竺：x因而又一定存在某一函數(shù)叭x,y,使得B二：:x代入以上各式,得應力分量F2:二x二一2V二y:2:二x-yyx為了使上述應力分量能同量滿足相容方程,應力函數(shù)叫x,y)必須滿足一定的方程,將上述應力分量代入平面應力問題的相容方程,得£+£佇之+vLi+n詼fy人ex,二2二2.x2+,2VMI+HyyJ；x2簡寫為將上述應力分量代入平面應變問題的