拋物型方程的計算方法

1、分類號：O241.82俠、力沖展丸學SHAANXINORMALUNIVERSITY本科生畢業(yè)論文（設計）題目：一類拋物型方程的計算方法作者單位數(shù)學與信息科學學院作者姓名專業(yè)班級2011級數(shù)學與應用數(shù)學創(chuàng)新2班指導教師論文完成時間二Q五年四月一類拋物型方程的數(shù)值計算方法（數(shù)學與信息科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)2011級創(chuàng)新2班）指導教師摘要：拋物型方程數(shù)值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。差分方法是一種對方程直接進行離散化后得到的差分計算格式，有限元方法是基于拋物型方程的變分形式給出的數(shù)值計算格式.本文首先給出拋物型方程的差分計算方法，并分析了相應差分格式的收斂性、穩(wěn)定性等基本理論問題.然后，

2、給出拋物型方程的有限元計算方法及理論分析.關鍵詞：差分方法，有限元方法，收斂性，穩(wěn)定性NumericalcomputationmethodsforaparabolicequationYanqian(Class2,Grade2011,CollegeofMathematicsandInformationScience)Advisor:NiehuaAbstract:Thecommonmethodstosolveparabolicequationsincludedifferentialmethod,finiteelementmethodetc.Themainideaofdifferentialmeth

3、odistoconstructdifferentialschemesbydiscretizingdifferentialequationsdirectly.Finiteelementschemeisbasedonthevariationalmethodofparabolicequations.Inthisarticle,wegivesomedifferentialschemesforaparabolicequationandanalyzetheirconvergenceandstability.Moreover,thefiniteelementmethodandthecorresponding

4、theoreticalanalysisforparabolicequationareestablished.Keywords:differentialmethod,finiteelementmethod,convergence,stability1緒論1.1 引言自然界里中熱的傳播，溶質(zhì)在液體中彌散，多孔介質(zhì)中滲流等隨時間發(fā)展的現(xiàn)象和過程，都可以用拋物型方程來描述.因此，拋物型方程是刻畫自然界的一類很重要的方程.然而，很多的方程我們并不能求出它的精解確，或者表達式過于復雜，所以需要采用數(shù)值方法去計算它們的近似解.拋物型方程最基本的計算方法當屬有限差分法1,通過離散化便可得到計算格式，該方法構造

5、簡單，易于操作.但是在處理一些復雜的邊值問題時計算會很復雜，因此我們需要探討一些新的處理手段.有限元計算方法起源于橢圓型方程的計算，它將求解橢圓型方程的解轉換為求解其變分形式的解1,從而極大地豐富了偏微分方程的計算手段.正式由于其在橢圓型方程計算中的巨大優(yōu)勢，以及拋物型方程與橢圓型方程的密切聯(lián)系，所以該方法很自然的被推廣到了拋物型方程初邊值問題的計算上4.本文系統(tǒng)的總結了一類拋物型方程的計算方法，包括有限差分法和有限元方法.并且通過數(shù)值算例給出了兩類方法的一個比較.為此,本文需要先給出一些基本的分析知識作為研究該問題的基礎6,7,下來就給出了拋物型方程的變分形式，這個是構造有限元計算格式的基礎

6、，在此基礎上，給出了有限元計算格式并討論了其收斂性和穩(wěn)定性.1.2 準備知識(1.1.1)拋物型偏微分方程是一類典型的發(fā)展方程，其一般形式如下:其中u(x,t)是空間自變量線性橢圓型微分算子，即-L(u)=f(x).tX=(X1.Xn)和時間t的未知函數(shù)，L是關于空間變量的(n/2n內(nèi)L三士工aj+£bi,i,jCXiGXjicXi其系數(shù)aij,bijd右端項f為自變量X=(*.Xn)的實函數(shù)，且在方程(1.1.1)的定義域jRn中滿足橢圓性條件nn2'aij(x)ij-：(x)vi(1.1.2)i,j1i1«(x)>0,V(.1)wRZt,Vx-Q當L是非線

7、性橢圓型微分算子或者f是u的非線性函數(shù)時，則稱相應的拋物型方程為非線性的.(1.1.3)(1.1.4)(1.1.5)(1.1.6)下面給出拋物型方程的定解條件：初值條件，不妨設初始時刻t=0,則u(x,0)=u°(x),-xc第一類邊值條件：u(x,t)=uD(x,t),-x,/：.:,-t0第二類邊值條件：:u,(x,t)=g(x,t),一x:.，一t0.:v第三類邊值條件：.二u(一：u)(x,t)=g(x,t),_x-:,_t0ft其中uD,g,a是u(x,t)的已知函數(shù)40,且至少在一部J&aJfe叫，v為EC的單位外法向量.2,有限差分法本章將給出拋物型方程最基本的

8、計算方法一有限差分法。我們以一維熱傳導方程為例，給出其差分格式并討論其收斂性，穩(wěn)定性等基本問題.本章內(nèi)容主要引用文獻1.用差分法計算拋物型方程的初邊值問題時，可以先考慮在區(qū)域。上引入空間網(wǎng)格，例如在直角坐標系中采用平行于坐標軸的等距離直線族形成的矩形網(wǎng)格，其次，將定義在QXR+上的函數(shù)u(x,t)替換成定義在空間網(wǎng)格節(jié)點集上的離散函數(shù)U(t);然后，用適當?shù)牟罘指袷綄⑽⒎炙阕覮替換成差分算子Lh,這一過程稱為半離散化.對由半離散化得到的常微分方程初值問題，再進一步對時間離散化，選用適當?shù)那蠼獬Ｎ⒎址匠坛踔祮栴}的數(shù)值方法，就得到求解拋物型方程的初邊值問題的全離散化格式.接下來，將按照這一處理思路

9、對熱傳導方程的差分計算格式進彳T探討.2.1 差分格式考慮一維熱傳導方程：二二2四=a±4+f(x),0<t<T(2.1.1)t:x其中a是正常數(shù)，f(x)連續(xù)。下面給出兩類定解條件：第一，初值問題：求可微函數(shù)u(x,t),滿足(1.1.1)和初始條件：第二，初邊值問題：求可微函數(shù)u(x,t),滿足方程(1.1.1)和初始條件：u(x,0)=#(x),0<x<l(2.1.3)以及邊值條件u(Qt)=u(l,t)=0,0<t<T(2.1.4)現(xiàn)在考慮邊值問題(1.2.1),(1.2.3),(1.2.4)的差分格式.取步長空間h=%和時間步長丁二%,其

10、中J,N都是自然數(shù).用兩族平行直線x=xj=jh(j=0,1.J)和t=tn=”6=0,1一.3)將矩形域G=0<x<l;0<t<T分割成矩形網(wǎng)格，網(wǎng)格節(jié)點為(xj,tn).以Gh表示網(wǎng)格內(nèi)點集合，即位于開矩形G的網(wǎng)點集合；Gh表示所有位于閉矩形G的網(wǎng)點集合；Th=GhGh是網(wǎng)格界點集合.其次，用u；表示定義在網(wǎng)點(xj,tn)上的函數(shù)0WjWJQWnWN,用適當?shù)牟钌檀娣匠?1.2.1)中相應的偏微商，便得到以下幾種最簡單的差分格式.2.1.1 向前差分格式考慮n-1nnnnUj-ujUj2Uj+Uj，(2.1.5)=afj，i其中fj=f(xj)，j=1,2.JT

11、u0=j=(xj)；=u：=0n=0,1N-1以二a%2表示網(wǎng)比，將(2.2.5)整理成易于計算的形式，使得第n層值，即上標為n在等式右邊，第n+1層值在等式左邊，則可得到u；41=run七十(12r)un+run+小(2.1.6)這樣的話，又(2.1.6)取n=0,利用初值條件/=%和邊值條件口01=山=0可計算出u1.再將n=1的值帶入計算，從而就可逐次迭代計算出所以的u；,并且視其為精確解u(xj,tn)的近似，由于第(n+1)層的值通過第n層值明顯表示，無需求解線性代數(shù)方程組，如此差分格式稱為顯示格式.下來給出這種計算格式的誤差分析：；：2uLu-a2t；x(1)nLhUjn：；1nn

12、nnuj-ujuj1-2ujujja72h11二2c顯然截斷誤差(2.1.7)2220(.2h2)=0(.h2)2.1.2 向后差分格式將上式改寫為n1nuj一uj一ah2uj=j=(Xj),u；=uJ=0,fj，(2.1.8J=1,2.J-1,N=0,1.N-1一ru：+(1+2r)u：4ru：=u：+fj.(2.1.9)顯然，第（n+1）層的值不能用第n層值明顯表示，而是由線性代數(shù)方程組（2.1.9）確定，這樣的差分格式稱為隱格式.n1nUj-uj-aTnFn1n"1uj2ujh2則截斷誤差為R：(u)=L(；)u(Xj,tn)-Lu；=-A"(2.1.10)0(2h2

13、)=0(h2).此外，還有六點差分格式以及Richardson格式，具體可以參見文獻1,都是簡單的拋物型方程差分格式.2.2差分格式的穩(wěn)定性與收斂性差分格式的穩(wěn)定性概念見文獻1，此處本文只給出相關的穩(wěn)定性定理及實例分析.2.2.1 判別穩(wěn)定性的直接估計法(矩陣法)命題11(必要條件)以P(C)表示矩陣C(e)的譜半徑，則差分格式穩(wěn)定性的必要條件是存在與T無關的常數(shù)M使P(C)<1+MT(P(C)<1+O(z)(2.2.1)命題2(充分條件)若C(e)是正規(guī)矩陣，及C和它的共腕轉置C成績可交換：CCC,則(2.2.1)也是差分格式穩(wěn)定的充分條件.推論1若S是對稱矩陣，C(。是矩陣S的

14、實系數(shù)有理函數(shù)：C(t)=R(S),則差分格式穩(wěn)定的充要條件是myKl)M1+MT,其中*是S的特征值。(只需注意R(S)是實數(shù)和矩陣S的四則運算)下面引出兩個例子，來具體分析有限差分計算的穩(wěn)定性判定：例1對向前差分格式(以下設(2.2.4)中的l=1),則C=(1-2r)I+rS,*=12r+2rcosjnh=14rsin2jh,為使<1+Mr或1-MrE*=1-4rsin2MhE1十Mr當且僅當jj24rsin2圮M2+MEj=1,2,J-1，從而4r<2,r<1.所以向前差分格式當r<2221 時穩(wěn)定，當r_1時不穩(wěn)定.22.2.2收斂性與斂速估計如最簡差分格式，

15、考慮熱傳導方程的初邊值問題：UcLu=-a.2二u二f(x),0二x：l,0<t<T,(2.2.2u(x,0)=(x),u(0,t)=u(l,t)=0.相應的差分格式為Lun=fj,j=1,2,.,J-1,n=0,1,.,N-1,J(2.2.3)u0"：(x)U=un=0.其向量形式如U"=CUn+叭¥,其中C為增長矩陣.那么差分逼近的截斷誤差R：(u)=Lhu(Xj,tn)-Lu；(2.2.4)u(x,t)是0MxMl,0SWT上的任一充分光滑函數(shù)，稱差分算子Lh是邊值問題(2.2.2)的相容逼近，如果相容條件成立，其中Rn是分量為Rn（u）的向量，

16、II是RJ中的范數(shù).先對差分解作出某種估計：將（2.2.3）的解分解為nnnUjtVjWj其中v；滿足零初值和非齊右端方程:Vn1=C(.)VnAF(V°=0)而w；滿足非零初值和齊右端方程:Wn1=C(.)Wn(W0=U°)其中Vn,Wn依次為以V；,w；為分量的向量。若差分格式按初值穩(wěn)定，則亦按右端穩(wěn)定，于是有常數(shù)Ki,K2,使Vn<KiF,Wn<K2W0=K2U0從而(2.2.6)Un|<K(|U0|+|F|),K=max(Ki，K2)現(xiàn)在估計差分解的誤差：設u（x,t）是熱傳導方程（2.2.2）的解，u；是差分方程（2.2.3）的解，誤差e；=u（

17、Xj,tn）-u；=u；-u；那么R；(u)=Lhu；-Lu=Lhu；-fj=Lhu；-Lhu；=Lhe；,即誤差e；滿足差分方程：Lhe；=R；(u),e：=0,j=1,2,.,J-1,其向量形式為En1=C()EnARn,這里En,Rn依次為以e；,Rjn為分量的向量.由估計式（2.2.5）得若相容條件(2.2.4)成立，則-un|=0,其中un表小以U(Xj,tn)為分量的向量.證明了如下：定理11:若差分方程滿足相容條件，且按初值穩(wěn)定，則差分解收斂到熱傳導方程的解，且有誤差估計式(2.2.7).推論1川：當網(wǎng)比r414時，向前差分格式的解有收斂階O(e+h2)。對任何網(wǎng)比r>0,

18、向后差分格式的解有收斂階O(i+h2),六點對稱格式的解有收斂階0(2h2).3,有限元計算有限元計算方法產(chǎn)生于橢圓型方程的計算網(wǎng)，其優(yōu)越的計算性能使得很多學者開始探索將其用于發(fā)展方程的計算之中，文獻3給出了這方面的具體研究.本章給出熱傳導方程的有限元計算格式，首先給出有限元計算的基本理論，之后建立熱傳導方程的變分形式，從而在此基礎上給出有限元計算格式.3.1 基本理論本節(jié)先給出有限元計算的基本數(shù)學理論，包括索伯列夫空間初步和初邊值條件下解的存在性與正則性1,6,7, Sobolev空間構造如下Sobolev空間:Wm'p(J)=vLloc。)：/|m,DvLp(c)賦范

19、數(shù)忖皿(。)=|DPvP)；p,1<p<«(3.1.1):加p,ZesssupDmv,p=o0(3.1.2)p寶Qq定理3.17上述賦范數(shù)的Sobolev空間是Banach空間.特別的，當p=2,Wm,2(C)記為Hm(C),引入下述內(nèi)積(u,v)mQ=£(D%,D°v)(3.1.3)：'.m定理3.2口Hm(C)是Hilbert空間.另外，用記號C(0,T;X)表示映射族v(t):(0,T)TX),其中任一v關于tw(0,T)按空間X的度量是連續(xù)的.類似的記號還有L2(0,T;X),U°(0,T;X).3.1.2 解的存在性，正則性

20、先給出如下定理9,假定u0wHstfwL2(0,T；Hs),s之0為整數(shù)，則初邊值問題(2.2.1)-(2.2.4)存在唯一的解u(x,t),滿足uL2(0,T；Hs2),UtL2(0,T;Hs)t20|2(£|d%(,7)|dT<C0(|u0|Hs+I"Hs和估計式2f(d)|sdT).(3.1.4)Hs3.2 有限元計算格式本節(jié)討論初邊值問題(1.1.1)-(1.1.4)的有限元近似.首先，給出其變分形式.記H0=vwH1:v=0當xw!7.設fwC(0,T;H),用函數(shù)v(x)wH；與(1.1.(1) 1.1.4)的兩端做內(nèi)積，有(型,v)十(Au,v)=(f,

21、v)利用格林公式，；:tdd.dd-(Au,v)=(二:ajcuv)dx-.(.-ag-)vdx,1 iijd二為二為二yj二二xj因v=0當x-T,故上式右端第二項為零，引進雙線性泛函dd_a(u,v)=(-a。cuv)dx,1yjw%K那么可得，:u1(,v)+a(u,v)=(f,v),VvH0ftu(；0)=u°()(3.1.5)則稱(3.1.5)為問題(1.1.1)-(1.1.4)的變分形式.有限元方法的第一步，就是將求解區(qū)域C刨分成有限個互不重疊的子區(qū)域，稱其為單元.用hmax表示刨分中單元的最大直徑，記相應的刨分為I=Uh,0<h<hmax)，其代表了一個刨分

22、族.以P(K)和仃(K)表示h中單元的外接圓和內(nèi)切圓的直徑.如果存在不依賴于h的常數(shù)C,使得P(K)/<r(K)<C,則稱刨分族I='h,0<h<hmax是正則的.第二步是構造H0的一族有限維子空間Sh,0<h<h。,要求它具有如下逼近性質(zhì)：對于某一整數(shù)r之2,有infv-Vh|hv-Vh1<Chsvs,1<s<r,Vh-Sh對任意VWHscH0.(3.1.6)一般，&是通過在刨分上作分片多項式差值的方法去構造的.由索伯列夫空間插值理論7,當刨分族h=九0<卜<歐為正則時，由T；上所有屬于C(C)的,次數(shù)Er-1

23、的分片多項式組成的子空間Sh滿足條件.對于給定有限元空間&UH0后，初邊值問題(1.1.1)-(1.1.4)的有限元近似定義為：求映射Uh(t):=0,TT&,它滿足(-,W)a(Uh,vh)=(f,/),一叫S7、ct(3.1.7)Uh(0)=u0其中u；wSh是函數(shù)u0(x)的某個近似.這里，可以看出(3.1.7)是變分問題(3.1.5)的一個近似.設%(x)N%是空間6的一個基底，則近似問題(3.1.5)又可以表示為：求解函數(shù)表達式NhUh(x,t)-%：j(t)j(x)j1即確定其中系數(shù)j(t)NL使得NhNh工;j(t)(j,i)':j(t)a(j,i)=(f

24、,i)j1j1i=1,2.Nh,(3.1.8)%(0)=小j=1,2.Nh,.diNh其中叫=,勺為/(x)=£j*(x)的系數(shù).dtJjT所以，(3.1.8)是以%(t)NZ為未知函數(shù)的一個一階常微分方程組.由于此處時間t仍然是一個連續(xù)變量，所以說(3.1.8)是問題(1.1.1)-(1.1.4)的一個半離散格式.引入一些記號：M=(mj)Nh5網(wǎng)=(一,j),B=(bj)NhNhM=a(i,)a(t)=(t),.二Nh(t)TF=(."),=(f,i),r=(r1.rNh)T,其中M是一個Gram矩陣，它是非退化的，從而可以將(3.1.8)改寫為矩陣形式，即«

25、(t)+MB"(t)=MF,0<t<T,(3.1.9)：(0)=r.由常微分方程基本理論可知，初值問題(3.1.9)對于任意F和r存在唯一的解口(t),從而近似問題存在唯一解Uh(X,t).3.3收斂性分析和誤差估計本節(jié)介紹拋物問題有限元的理論分析，將通過能量估計證明有限元法的收斂性和近似解的誤差估計.首先給出方程dd_-'、(aij(x)c(x)w=f,x凸jT為因(3.1.10)w=0,x三.利用上一節(jié)的有限元空間ShUH0,可以得到(3.1.10)的一個有限元近似：求Wh亡Sh,使得a(Wh,Vh)=(f,Vh),VVheSh(3.1.11)其中a(；)是上

26、節(jié)中所定義的的雙線性泛函.因為a(,)正定，通過Lax-Milgram定理6可以得到，有限元方程(3.1.10)存在唯一的解Wh-Sh.下面，本文將不加證明的給出關于拋物型方程有限元計算方法的收斂性分析和誤差估計，具體證明過程可以參考文獻3,4.定理1假定空間3具有逼近性質(zhì)(3.1.6)，邊值問題(3.1.10)的解wWHscH；,則由(3.1.11)所定義的近似解Wh是收斂的，并且滿足|wh-w|+h|wh-w|1<Chs|Ws,1«s«r.(3.1.12)定理2(Gronwall不等式)設y(t)于0,T)連續(xù)且滿足(3.1.13)ty(t)-y0,()y()d,

27、0其中九之0且九(7產(chǎn)L1(0,T),則ty(t)<y0exp(z(x)dT)(3.1.14)-0對于半離散非齊次方程(3.1.7),此處將給出其解所滿足的一個先驗估計式.定理3半離散方程(3.1.7)的解5(t),0MtwT滿足ttNh(t)|+.|UhI*-Uh(0)|+*f巫.(3.1.15)估計式(3.1.15)給出了半離散問題(3.1.7)的適定性.特別的，當f=0時，由上面定理可知：|Uh(t)|4/(0)|,口>0,即半離散齊次方程的解在L2。)范數(shù)意義下是穩(wěn)定的.下面給出非齊次半離散問題(3.1.7)解的誤差估計：定理4假定空間Sh，0<h<h。具有逼近

28、性質(zhì)(3.1.6)，并且近似初值U0滿足u0-u0|<Chr|u0|r,(3.1.16)則半離散問題(3.1.7)的解uh(t)滿足uh(t)-u(t)|<Chr|u0|r+J0|ut(T)|rdi(3.1.17)至此，本節(jié)就給出了拋物型問題有限元法的收斂性和誤差估計，也就意味著本論文的目標，拋物型方程(熱傳導)的有限元計算方法完整的給出.4,總結將有限元方法推廣到拋物型方程，可以豐富這類方程的計算手段，同時也可以有效的解決傳統(tǒng)的差分格式存在的缺陷.近年來，自適應有限元計算方法成為這一領域的研究前沿9-12,它在傳統(tǒng)的有限元方法的基礎上增加了“智能”的因素，使得該方法可以更好的刻畫

29、客觀世界.本文詳細的給出了拋物型方程的簡單差分計算格式和有限元計算格式.通過構造計算格式，得出數(shù)值計算的矩陣方程，以及給出了收斂性，穩(wěn)定性，誤差估計等一些基本的理論，比較全面的介紹了拋物型方程的一些基本計算方法.更為詳盡的資料可以參考文獻4.當然，本文只給出了拋物型方程計算的半離散格式，并沒有對時間變量t進行離散化，如何給出拋物型方程的全離散格式，以及探討拋物型方程的其他計算方法，包括偏微分方程的應用，例如現(xiàn)在有學者通過凸幾何的相關內(nèi)容如Brunn-Minkowski不等式來研究偏微分方程的凸性等12,14,這些都是自己今后學習的方向.參考文獻1 李榮華.微分方程數(shù)值解法M.北京：高等教育出版社,20022 李志平.偏微分方程數(shù)值解講義M.北京：北京大學出版社,20093 黃明