離散型隨機(jī)變量及其概率分布

1、1一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布一、離散型隨機(jī)變量及其概率分布 對(duì)于離散型隨機(jī)變量對(duì)于離散型隨機(jī)變量X X，它的取值有限個(gè)或無限可列個(gè)，它的取值有限個(gè)或無限可列個(gè). .我們我們關(guān)心的問題是：關(guān)心的問題是：X X的所有可能的取值是什么？取每一個(gè)值的概的所有可能的取值是什么？取每一個(gè)值的概率是多少？將這兩個(gè)問題綜合起來就是概率分布率是多少？將這兩個(gè)問題綜合起來就是概率分布. . 2.2 離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量D.r.v.及其概率分布及其概率分布1 1. .概率分布的定義概率分布的定義 定義定義：若離散型隨機(jī)變量：若離散型隨機(jī)變量X 所有可能的取值為所有可能的取值為 x 1 , x 2 , ,

2、 對(duì)應(yīng)的概率為對(duì)應(yīng)的概率為 p 1 , p 2 , ， 稱稱 P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, (1)為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量 X 的的概率分布概率分布或或概率函數(shù)概率函數(shù)或或 分布律分布律.注注（1）為了直觀，概率分布表示為：）為了直觀，概率分布表示為：X x 1 x 2 x n P p1 p2 pn (2) (X=x1 ), (X=x2 ), , (X=xn) ，構(gòu)成完備事件組構(gòu)成完備事件組.2 2 2. .概率分布的性質(zhì)概率分布的性質(zhì)(1) pk0， k = 1,2, ； 11)2(kkpP (X= xk ) = pk , k = 1, 2, 注意注意：任一任一具有上述

3、兩個(gè)性質(zhì)的數(shù)列具有上述兩個(gè)性質(zhì)的數(shù)列pk ，都都有資格作為有資格作為某一個(gè)隨機(jī)變量某一個(gè)隨機(jī)變量 X 的分布列。的分布列。這是判別某個(gè)數(shù)列是否成為分布列的充要條件！這是判別某個(gè)數(shù)列是否成為分布列的充要條件！用于驗(yàn)證用于驗(yàn)證概率函數(shù)概率函數(shù)的正確與否。的正確與否。練習(xí)練習(xí)1 下面給出的是不是概率函數(shù)？下面給出的是不是概率函數(shù)？1 1(1) ()( ) ,0,1,2,2 31(2) ()( ) ,1,2,2kkP XkkP Xkk解解0(1) ()kP Xk 由由于于1(2)()( )0,1,2,2kP Xkk 由由于于k0k)31(21 43311121 k0k)31(21 所以這不是概率函數(shù)所

4、以這不是概率函數(shù)因此這是概率函數(shù)因此這是概率函數(shù)1()kP Xk 且且121121)21(k1k 練習(xí)練習(xí)2設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的的概率函數(shù)為概率函數(shù)為 求求 c 的值的值2()( ) ,1,2,33kP Xkck 解解 由性質(zhì)知由性質(zhì)知232221(1)(2)(3)( )( )( )333P XP XP Xccc3827c 解得解得5例例1 1 擲一枚擲一枚骰子骰子，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率分布，求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)的概率分布及及P(X3) . 解：設(shè)解：設(shè)X表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則 X=1，2，3，4，5，6.P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6

5、)=1/6.所以，所以，X的概率分布為：的概率分布為： P(X=k) =1/6 , k =1,2,3,4,5,6.或或X 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 3 3. .會(huì)求概率分布及相關(guān)概率會(huì)求概率分布及相關(guān)概率P(X3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=1/2練習(xí)：書練習(xí)：書P35，例，例1 求分布律求分布律6 例例2 2 袋中有袋中有5 5個(gè)黑球、個(gè)黑球、3 3個(gè)白球，每次從中取一個(gè)，不放回，個(gè)白球，每次從中取一個(gè)，不放回，直到取到黑球?yàn)橹怪钡饺〉胶谇驗(yàn)橹? . 求取到白球數(shù)目求取到白球數(shù)目X X的概率分布，并求的概率分布，并求P(-1X

6、0)，P(1X3)， P(X3).解：解：X=0，1，2，3 P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)= 351587565832558765632151876556概率分布為：概率分布為：X 0 1 2 3P 5/8 15/56 5/56 1/56=0=P(X=2)=5/56=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = 17若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X的的概率分布為：概率分布為：P (X= xk ) = pk , k = 1, 2, I )( )(kkxkIxkpxXPIXP則則若離散型隨機(jī)變量若離散型隨機(jī)變量X X的概率分布為：的概率分布為： )x

7、X()bXa(bxaii bxaibxaiiip)xX(P)bXa(P bxaibxaiiip)xX(P)bXa(P 則：則：證明：證明： 由概率的可加性知：由概率的可加性知： 解解 由題知由題知X 的的概率函數(shù)概率函數(shù)為為1 2 3 4 5Xpk1/15 2/15 3/15 4/15 5/15則則 (1)P(X =1 或或X =2)=(2) P ( X )=(3) P( 1 X 2)=P(1X 2)=2125P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5P(X=2)= 2/15P(X=1 )+P(X=2)= 1/15 + 2/15=1/5P(X=1 )+P(X=2)= 1/1

8、5 + 2/15=1/5練習(xí)練習(xí)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的的概率函數(shù)為概率函數(shù)為(),1,2,3,4,515kP Xkk 求求 (1)P(X =1 或或X =2)；(2) P ( X )； (3) P( 1 X 2)，P(1X 2)2125會(huì)求離散型隨機(jī)變量的概率分布（確定常數(shù)）；會(huì)求離散型隨機(jī)變量的概率分布（確定常數(shù)）；已知離散型隨機(jī)變量的概率分布，會(huì)求隨機(jī)變量的取值落在一已知離散型隨機(jī)變量的概率分布，會(huì)求隨機(jī)變量的取值落在一個(gè)范圍的概率；個(gè)范圍的概率；要求：要求：10二、二、 常用離散分布常用離散分布 1. 1. 退化分布退化分布若若 X 的概率分布為：的概率分布為：P ( X = a )

9、= 1 , a 為某一常數(shù)為某一常數(shù), 則稱則稱 X 服服從從 a 處的退化分布處的退化分布.此時(shí)隨機(jī)變量退化成了一個(gè)常數(shù)此時(shí)隨機(jī)變量退化成了一個(gè)常數(shù). .11若若X的概率分布為：的概率分布為：X 0 1 P 1- 1-p pP( X=x1 ) =p, P( X=x2 ) = 1-p . (0p1) 2. 2.兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布的兩點(diǎn)分布.注注0-1分布中分布中X的實(shí)質(zhì)：的實(shí)質(zhì)：設(shè)設(shè)P(A)=p，X“一次試驗(yàn)中一次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)”，則，則X服從服從0-1分分布布.甲投籃的投中率為甲投籃的投中率為0.40.4，一次投籃中投中的次數(shù)，一次投籃中

10、投中的次數(shù)X X的分布？的分布？練習(xí)：練習(xí)：X 0 1P 0.6 0.4若若X服從服從x1=1 , x2=0 處參數(shù)為處參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則稱的兩點(diǎn)分布，則稱X服從服從0-1分布。分布。另如另如 1 1o o 進(jìn)行一次射擊進(jìn)行一次射擊，設(shè)事件，設(shè)事件A =擊中擊中 ， P(A)= p 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X=一次一次射擊射擊中中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X0-1分布分布(p) 2 2o o 進(jìn)行一次投籃進(jìn)行一次投籃，設(shè)事件，設(shè)事件A=投中投中， P(A)= p 隨機(jī)變量隨機(jī)變量X=一次一次投籃投籃中中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則X0-1分布分布(p)3 3o o 從一批產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)

11、進(jìn)行檢驗(yàn)，從一批產(chǎn)品中任意抽取一個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)， 設(shè)事件設(shè)事件A=廢品廢品，P(A)= p ，隨機(jī)變量隨機(jī)變量X=一次一次抽取抽取中中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X0-1分布分布(p)例：例：拋擲硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)事件拋擲硬幣的試驗(yàn)中，設(shè)事件A =正面向上正面向上 ， P(A)= p 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X=一次拋擲中一次拋擲中A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則 X0-1分布分布(p)13若若X的概率分布為：的概率分布為： P (X = xk ) = 1/n , k = 1, 2, , n .且當(dāng)且當(dāng) i j 時(shí)，時(shí)， x i x j ，則稱則稱 X 服從離散型服從離散型均勻分布均勻分布.例例 擲一枚

12、擲一枚骰骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X服從均勻分布服從均勻分布. . 3. 3. 均勻分布均勻分布P(X=k)=1/6 k=1，2，3，4，5，6.X 1 2 3 4 5 6P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/614若若X表示表示“n重貝努里試驗(yàn)中事件重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)”， X的可能取的可能取值為值為0,1,2, , n ,對(duì)應(yīng)的概率分布為：對(duì)應(yīng)的概率分布為：(), kkn knP XkC p qk = 0, 1, 2, , n. ( 0p 0 為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布，的泊松分布，簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為X P( ). 定義定義

13、隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X的概率分布為的概率分布為 (), 0, 1, 2,!kP Xkekk( (滿足二屬性滿足二屬性) ) 5. 5. 泊松泊松分布分布泊松分布的圖形泊松分布的圖形kO12 P( )泊松分布泊松分布( )1 2 345 6 7 8 910 12 14 16 18 20 22 240.120.100.080.060.040.02P( )特征如右圖所示特征如右圖所示. .注注： 歷史上，歷史上， 泊松泊松分布是作為二分布是作為二項(xiàng)分布的近似，項(xiàng)分布的近似，于于18371837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的. .泊松分布產(chǎn)生的一般條件泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和現(xiàn)

14、實(shí)生活中，在自然界和現(xiàn)實(shí)生活中， 常遇到在常遇到在隨機(jī)時(shí)刻隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件出現(xiàn)的某種事件. .把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列稱為隨機(jī)事件流隨機(jī)事件流. . 若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件若隨機(jī)事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性，則稱該事件流為流為泊松事件流泊松事件流( (泊松流泊松流).).平穩(wěn)性平穩(wěn)性在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生事件發(fā)生k次次)0( k的概率只依賴于區(qū)間長(zhǎng)度而與區(qū)間端點(diǎn)無關(guān)的概率只依賴于區(qū)間長(zhǎng)度而與區(qū)間端點(diǎn)無關(guān). .無后效性無后效性在不相重疊的時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生相互獨(dú)立在不相重疊的

15、時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生相互獨(dú)立. .普通性普通性如果時(shí)間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的如果時(shí)間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計(jì)概率可忽略不計(jì). .下列事件都可視為泊松流：下列事件都可視為泊松流：某電話交換臺(tái)一定時(shí)間內(nèi)收到的用戶的呼叫數(shù)；某電話交換臺(tái)一定時(shí)間內(nèi)收到的用戶的呼叫數(shù)；到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)；到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù)；某售票窗口接待的顧客數(shù)；某售票窗口接待的顧客數(shù)；一紡錠在某一時(shí)段內(nèi)發(fā)生斷頭的次數(shù)；一紡錠在某一時(shí)段內(nèi)發(fā)生斷頭的次數(shù)；對(duì)泊松流，對(duì)泊松流，在任意時(shí)間間隔在任意時(shí)間間隔), 0(t內(nèi)，內(nèi)， 事件發(fā)事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)為生的次數(shù)服從參數(shù)為的泊松分布，的泊松分布

16、， 稱為稱為泊松流的強(qiáng)度泊松流的強(qiáng)度. . 泊泊松松分布的優(yōu)點(diǎn)：有關(guān)計(jì)算可查表分布的優(yōu)點(diǎn)：有關(guān)計(jì)算可查表.泊松分布常與單位時(shí)間（單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計(jì)數(shù)過泊松分布常與單位時(shí)間（單位面積、單位產(chǎn)品等）上的計(jì)數(shù)過程相聯(lián)系程相聯(lián)系. .28例例1 1 設(shè)設(shè)X P( 5 ) ，求求P（X =2）P（X=5） P（X=20）=0.084224=0.1754670.00000029例例2 某電話交換臺(tái)每分鐘收到的用戶呼喚次數(shù)某電話交換臺(tái)每分鐘收到的用戶呼喚次數(shù) X X 服從參數(shù)服從參數(shù) =3=3的的泊松分布，寫出泊松分布，寫出X X的概率分布，并求一分鐘內(nèi)呼喚的概率分布，并求一分鐘內(nèi)呼喚5 5次的概

17、率次的概率. .解：解： X的概率分布為的概率分布為35! 53)5(eXP33 (), 0, 1, 2,!kP Xkekk1008190.也可以求一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)不超過也可以求一分鐘內(nèi)呼喚次數(shù)不超過5次的概率次的概率P(X5).50(5)()0.916kP XP Xk 30每月的銷售數(shù)量為每月的銷售數(shù)量為X，則則X P(5 ).例例3（書（書P40，例，例7） 由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)量可由某商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)量可以用參數(shù)以用參數(shù) = =5 5的泊松分布來描述，為了以的泊松分布來描述，為了以9595以上的把握保證以上的把握保證不脫銷，問商店在

18、月初至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？（假定上個(gè)月沒不脫銷，問商店在月初至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？（假定上個(gè)月沒有存貨）有存貨）解：解：事件事件“不脫銷不脫銷”即（即（ X m） 查表知，查表知，m=9 .設(shè)商店在月初至少應(yīng)進(jìn)該商品設(shè)商店在月初至少應(yīng)進(jìn)該商品N N件件. .現(xiàn)已知現(xiàn)已知P(X m） 95% 505()95%!kNkp Xmek85050.9319060.95!kkek95050.9681720.95!kkek泊松分布的圖形泊松分布的圖形二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系（2）二項(xiàng)分布的泊松近似二項(xiàng)分布的泊松近似泊松定理泊松定理1nnkkkn knnnn

19、nnAp ,nnp,k,lim P Xk limCp(p )ek! 在在 重重伯伯努努利利實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)中中，事事件件 在在每每次次實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)中中發(fā)發(fā)生生的的概概率率為為如如果果時(shí)時(shí)，則則對(duì)對(duì)任任定定理理( (泊泊松松定定理理) )意意給給定定的的有有二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布n n很大很大, , p p 很小很小注注： 00 11n10kkknknnpb( n, p )n)p( p. )( np )e.kp ()!pnp 當(dāng)當(dāng)二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布的的參參數(shù)數(shù) 很很大大（，而而 很很小小時(shí)時(shí)，可可用用參參數(shù)數(shù)為為的的泊泊松松分分布布C C來來近近似似，即即書：書：np 10 1033 解：解： X

20、 “該單位患有這種疾病的人數(shù)該單位患有這種疾病的人數(shù)”，則則X b(5000,0.001) . .P(X2)= 500014999500010.9990.001 0.999C X可以可以近似地服從參數(shù)為近似地服從參數(shù)為 = n p=5 的泊松分布的泊松分布 P(X 2） 15051!kkek 例例4 已知某種疾病的發(fā)病率為已知某種疾病的發(fā)病率為1/10001/1000，某單位共有，某單位共有50005000人，問人，問該單位至少有該單位至少有2 2人患有這種疾病的概率有多大？人患有這種疾病的概率有多大？所求的概率為：所求的概率為：=1-0.006738-0.03369=0.95957234 例

21、例5 某人向某目標(biāo)射擊，命中率為某人向某目標(biāo)射擊，命中率為0.2 0.2 . .現(xiàn)在不斷地進(jìn)行射擊，直現(xiàn)在不斷地進(jìn)行射擊，直到命中目標(biāo)為止，求命中時(shí)射擊次數(shù)的分布到命中目標(biāo)為止，求命中時(shí)射擊次數(shù)的分布. .解：解：X表示表示“命中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)命中目標(biāo)時(shí)的射擊次數(shù)”，則，則X=1，2，(X= =k)表示射擊到第表示射擊到第k次才命中目標(biāo)，即次才命中目標(biāo)，即前前k-1次次不中，第不中，第k次擊中次擊中. .由獨(dú)立性可求出：由獨(dú)立性可求出： P(X=k)=(1-0.2)k-1 0.2 k =1,2,35若若X的概率分布為：的概率分布為：P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k

22、= 1, 2, 則稱則稱 X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 p 的幾何分布的幾何分布. 例例11 設(shè)某批電子管的合格品率為設(shè)某批電子管的合格品率為0.750.75，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行，現(xiàn)對(duì)該批電子管進(jìn)行有放回地測(cè)試，設(shè)第有放回地測(cè)試，設(shè)第X X次首次測(cè)到合格品，求次首次測(cè)到合格品，求X X的概率函數(shù)的概率函數(shù) . . X 的可能取值為：的可能取值為：1, 2, .事件事件 (X = k ) 表示表示“第第 k 次才測(cè)到合格品次才測(cè)到合格品”，則，則P (X = k ) = 0.25 k - - 1 0.75, k = 1, 2, 解：解：幾何分布滿足概率分布的二屬性幾何分布滿足概率分布的二屬性. .

23、6. 6. 幾何分布幾何分布在獨(dú)立試驗(yàn)序列中在獨(dú)立試驗(yàn)序列中P(A)=p, X “事件事件A 首次發(fā)生時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)首次發(fā)生時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)”.注注X G( p)記記作作 解解 用X表示汽車因遇紅燈而停止前所經(jīng)過的交叉路口數(shù)，則X的所有可能取值為0，1，2，3，4.X=0表示第一個(gè)路口是紅燈，所以PX=0=0.4,而X=1 表示第一個(gè)路口是綠燈而第二個(gè)路口是紅燈，所以 ，同理(1)0.6 0.40.24P X 2(2)0.60.40.144P X 3(3)0.60.40.0864P X 4(4)0.60.1296P X 例例1 1 某汽車將要經(jīng)過的路線上有某汽車將要經(jīng)過的路線上有4 4個(gè)交叉

24、路口個(gè)交叉路口. .假設(shè)在每個(gè)假設(shè)在每個(gè)交叉路口遇到紅燈的概率都是交叉路口遇到紅燈的概率都是0.40.4，且各路口的紅綠燈，且各路口的紅綠燈是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的. .求該汽車在因遇到紅燈而停止前所經(jīng)過求該汽車在因遇到紅燈而停止前所經(jīng)過的交叉路口個(gè)數(shù)的分布列的交叉路口個(gè)數(shù)的分布列. .幾何分布的無記憶性幾何分布的無記憶性定理定理 （幾何分布的無記憶性）設(shè)（幾何分布的無記憶性）設(shè)X G(p),則對(duì)任意正整數(shù)則對(duì)任意正整數(shù)m與與n有有()()P Xmn XmP Xn 定理表明：在一列貝努利試驗(yàn)序列中，若首次成功（定理表明：在一列貝努利試驗(yàn)序列中，若首次成功（A）出現(xiàn)的）出現(xiàn)的試驗(yàn)次數(shù)試驗(yàn)次數(shù)X服

25、從幾何分布，在前服從幾何分布，在前m次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A沒有出現(xiàn)的條沒有出現(xiàn)的條件下，則在接下來的件下，則在接下來的n次試驗(yàn)中次試驗(yàn)中A仍未出現(xiàn)的概率只與仍未出現(xiàn)的概率只與n有關(guān)，有關(guān)，而與以前的而與以前的m次試驗(yàn)無關(guān)，似乎忘記了前次試驗(yàn)無關(guān)，似乎忘記了前m次試驗(yàn)結(jié)果，這就是次試驗(yàn)結(jié)果，這就是無記憶性無記憶性.|P XmnP Xmn XmP Xm 證證明明1111kk m nkk mqpqp nq P Xn(1)(1)m nmqpqq pq 38 引例引例 某班有某班有20名學(xué)生，其中有名學(xué)生，其中有5名女生名女生.今從班上任選今從班上任選4名學(xué)生去名學(xué)生去參觀，求被選到的女生數(shù)參觀，求

26、被選到的女生數(shù)X的概率分布的概率分布.解：解：X=0，1，2，3，4. )4, 3, 2, 1 , 0()(4204155kCCCkXPkk 7. 7. 超幾何分布超幾何分布事件事件(X=k)表示選取的表示選取的4人中有人中有k名女生名女生.則則X 39 (1)(1)定義定義 設(shè)設(shè) N個(gè)元素分成兩類，第一類有個(gè)元素分成兩類，第一類有N1個(gè)元素，第二類個(gè)元素，第二類有有N2個(gè)元素個(gè)元素(N1+ N2=N).從從N個(gè)元素中任取個(gè)元素中任取n個(gè)，個(gè)， X表示取出的表示取出的n個(gè)個(gè)元素中第一類元素的個(gè)數(shù)，則元素中第一類元素的個(gè)數(shù)，則X的概率分布為的概率分布為nNC()P XkkNC1knNNC 1)m

27、in( 2 1 01n,N.,k 稱稱X服從服從超幾何分布超幾何分布.其中其中 n， N1 ，N 都是正整數(shù)，且都是正整數(shù)，且 1n N， N1 N 。注意注意，若出現(xiàn)，若出現(xiàn) 或或 的情況，規(guī)定此時(shí)的情況，規(guī)定此時(shí)的的 . .1kN2nkN120kn kNNCCX 服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3例例1 1：1o 100個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)產(chǎn)品中有 3 個(gè)廢品，從中任取個(gè)廢品，從中任取 5 個(gè)，求取到個(gè)，求取到的次品數(shù)的次品數(shù) X 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。53100 35100() , 0, 1, 2,

28、3kkC CP XkkC 解：解：（2）舉例）舉例X 服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3 2 2o o100個(gè)產(chǎn)品中有個(gè)產(chǎn)品中有 5 個(gè)廢品，從中任取個(gè)廢品，從中任取 3 個(gè)，求取到的個(gè)，求取到的次品數(shù)次品數(shù) X的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。35100 53100() , 0, 1, 2, 3kkC CP XkkC 解：解：X服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：服從超幾何分布，其概率函數(shù)為：隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的可能取值為的可能取值為 0, 1, 2, 3, 4。例例2 2：一袋子中有一袋子中有 20 個(gè)球，其中有個(gè)球

29、，其中有 5 個(gè)白球?，F(xiàn)從中任取個(gè)白球?，F(xiàn)從中任取4個(gè)個(gè)球，求被選到的白球數(shù)球，求被選到的白球數(shù)X 的概率函數(shù)。的概率函數(shù)。4520 5420() , 0, 1, 2, 3, 4kkC CP XkkC 其概率分布表為：其概率分布表為：解：解：（3）超幾何分布的二項(xiàng)分布逼近）超幾何分布的二項(xiàng)分布逼近 對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行有放回的抽樣時(shí)，有放回的抽樣時(shí)，產(chǎn)品的次品率始終保持產(chǎn)品的次品率始終保持不變，這時(shí)次品數(shù)服從不變，這時(shí)次品數(shù)服從二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布。若進(jìn)行若進(jìn)行不放回抽樣不放回抽樣，其次品，其次品數(shù)服從數(shù)服從超幾何分布超幾何分布。但當(dāng)批量。但當(dāng)批量 N 很大，而很大，而 n 相對(duì)很小時(shí)，抽取相對(duì)很小時(shí)，抽取一件產(chǎn)品后不放回，對(duì)次品率影響不大，可以近似地認(rèn)為次品一件產(chǎn)品后不放回，對(duì)次品率影響不大，可以近似地認(rèn)為次品率近乎不變，這時(shí)從率近乎不變，這時(shí)從 N 件產(chǎn)品中抽取件產(chǎn)品中抽取 n 件所得次品數(shù)件所得次品數(shù) X 近似服近似