高中新課程數(shù)學(xué)（新課標(biāo)人教A版）選修4-4《24漸開(kāi)線與擺線》課件2

1、四四 漸開(kāi)線與擺線漸開(kāi)線與擺線1、漸開(kāi)線、漸開(kāi)線2、擺線、擺線1、漸開(kāi)線1、漸開(kāi)線的定義探究：探究：P41P41 把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的把一條沒(méi)有彈性的細(xì)繩繞在一個(gè)圓盤(pán)上，在繩的外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切外端系上一支鉛筆，將繩子拉緊，保持繩子與圓相切而逐漸展開(kāi)，那么鉛筆會(huì)畫(huà)出一條曲線。而逐漸展開(kāi)，那么鉛筆會(huì)畫(huà)出一條曲線。 這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？這條曲線的形狀怎樣？能否求出它的軌跡方程？動(dòng)點(diǎn)（筆尖）滿足什么幾何條件？動(dòng)點(diǎn)（筆尖）滿足什么幾何條件？ABMO設(shè)開(kāi)始時(shí)繩子外端（筆尖）位于點(diǎn)A，當(dāng)外端展開(kāi)到點(diǎn)M時(shí)，因?yàn)槔K子對(duì)圓心角 的一段弧AB

2、，展開(kāi)后成為切線，所以 切線BM的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)，這是動(dòng)點(diǎn)（筆尖）滿足的幾何條件。我們把筆尖畫(huà)出的曲線叫做我們把筆尖畫(huà)出的曲線叫做圓的漸開(kāi)線，圓的漸開(kāi)線，相應(yīng)的定圓叫做相應(yīng)的定圓叫做漸開(kāi)線的基圓。漸開(kāi)線的基圓。ABMOxy2 2、漸開(kāi)線的參數(shù)方程、漸開(kāi)線的參數(shù)方程 以基圓圓心以基圓圓心O為原點(diǎn)，直線為原點(diǎn)，直線OA為為x軸，建立平面軸，建立平面直角坐標(biāo)系。直角坐標(biāo)系。設(shè)基圓的半徑為設(shè)基圓的半徑為r，繩子外端，繩子外端M的坐標(biāo)為（的坐標(biāo)為（x，y）。）。顯然，點(diǎn)顯然，點(diǎn)M由角由角 唯一確定。唯一確定。B取 為參數(shù)，則點(diǎn) 的坐標(biāo)為（rcos ,rsin ）,從而(cos ,sin),|.BMxry

3、rBMr 1(cos ,sin )eOB 由于向量是與同方向的單位向量，2(sin , cos )eBM 因而向量是與向量同方向的單位向量。2(),BMre 所以即(cos ,sin )(sin , cos )BMxryrr (cossin )()(sincos )xryr解得 是參數(shù) 。這就是這就是圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程圓的漸開(kāi)線的參數(shù)方程。2 2、漸開(kāi)線的參數(shù)方程、漸開(kāi)線的參數(shù)方程ABMOxy(cossin )()(sincos )xryr是參數(shù) 。漸開(kāi)線的應(yīng)用：漸開(kāi)線的應(yīng)用：由于漸開(kāi)線齒行的齒輪磨損少，傳動(dòng)平穩(wěn)，制造安裝較為方便，由于漸開(kāi)線齒行的齒輪磨損少，傳動(dòng)平穩(wěn)，制造安裝較為方便，因此

4、大多數(shù)齒輪采用這種齒形。因此大多數(shù)齒輪采用這種齒形。設(shè)計(jì)加工這種齒輪，需要借助圓的漸開(kāi)線方程。設(shè)計(jì)加工這種齒輪，需要借助圓的漸開(kāi)線方程。 在機(jī)械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動(dòng)力。在機(jī)械工業(yè)中，廣泛地使用齒輪傳遞動(dòng)力。2、擺線3、擺線的定義思考：思考：P43P43 如果在自行車(chē)的輪子上噴一個(gè)白色印記，那么自行車(chē)在筆直如果在自行車(chē)的輪子上噴一個(gè)白色印記，那么自行車(chē)在筆直的道路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫(huà)出什么樣的曲線？的道路上行使時(shí)，白色印記會(huì)畫(huà)出什么樣的曲線？同樣地，我們先分析圓在滾動(dòng)過(guò)程中，圓周上的這個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件。同樣地，我們先分析圓在滾動(dòng)過(guò)程中，圓周上的這個(gè)動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件。我們把點(diǎn)我們把

5、點(diǎn)M的軌跡叫做的軌跡叫做平擺線平擺線，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱擺線擺線，又叫，又叫旋輪線。旋輪線。 上述問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題就是：上述問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題就是：當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周當(dāng)一個(gè)圓沿著一條定直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)，圓周上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡是什么？上一個(gè)定點(diǎn)的軌跡是什么？OABMOAMAOAr線段的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)，即。 擺線在它與定直線擺線在它與定直線的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)之間的部分叫做的部分叫做一個(gè)拱一個(gè)拱。xyO DAEBMC3 3、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程O(píng)ABM 根據(jù)點(diǎn)根據(jù)點(diǎn)M滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為滿足的幾何條件，我們?nèi)《ㄖ本€為X軸，定點(diǎn)軸，定點(diǎn)M滾動(dòng)時(shí)落在定滾動(dòng)

6、時(shí)落在定直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。直線上的一個(gè)位置為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系。設(shè)圓的半徑為設(shè)圓的半徑為r。MxAB設(shè)開(kāi)始時(shí)定點(diǎn)在原點(diǎn)，圓滾動(dòng)了 角后與 軸相切于點(diǎn) ，圓心在點(diǎn) 。MABxCD從點(diǎn)分別做， 軸的垂線，垂足分別是 ， 。( , ),Mx yM設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為取 為參數(shù)，根據(jù)點(diǎn)滿足的幾何條件，有sin ,xODOADAOAMCrrcos .yDMACABCBrr所以，擺線的參數(shù)方程為：所以，擺線的參數(shù)方程為：(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)xyO DAEBMC3 3、擺線的參數(shù)方程、擺線的參數(shù)方程O(píng)ABM(sin ),()(1 cos ).xryr為參數(shù)擺線的參數(shù)方程