第七章一維波動方程的解題方法及習(xí)題答案

1、第二篇數(shù)學(xué)物理方程物理問題中的二階線性偏微分方程及其解法Abstracts:1、根據(jù)物理問題導(dǎo)出數(shù)理方程一偏微分方程；2、給定數(shù)理方程的附加條件：初始條件、邊界條件、物理?xiàng)l件（自然條件，連接條件），從而與數(shù)理方程一起構(gòu)成定解問題；3、方程齊次化；4、數(shù)理方程的線性導(dǎo)致解的疊加。一、數(shù)理方程的來源和分類（狀態(tài)描述、變化規(guī)律）1、來源I質(zhì)點(diǎn)力學(xué)：牛頓第二定律Fmr&弦2u(r，t)連續(xù)體力學(xué)流體力學(xué)：質(zhì)量守恒律：一t(V)°；熱力學(xué)物態(tài)方程：rr(V)V二&f0(Eulereq.).彈性體力學(xué)桿振動:（彈性定律）（）膜22rau(r,t)0（波動方程）;II. 麥克斯韋方

2、程已DdrdD;EdirB&dsEB&已Bdr0B0;Hd；（D）dSHHjDEu,BA,u,A滿足波動方程。Lorenz力公式力學(xué)方程；Maxwelleqs.+電導(dǎo)定律電報(bào)方程。III. 熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)物理°(Laplaceequation).熱傳導(dǎo)方程：寸k2t°；特別：穩(wěn)態(tài)（0）t擴(kuò)散方程：一D20.tIV. 量子力學(xué)的薛定諤方程:t£2m2uVu.2.分類而速度為ut，加速度為Utt.物理過程方程數(shù)學(xué)分類振動與波波動方程2u12U0a2t2雙曲線輸運(yùn)方程能量：熱傳導(dǎo)U2r、kU0質(zhì)量：擴(kuò)冃攵t拋物線穩(wěn)態(tài)方程Laplaceequation2U0橢

3、圓型、數(shù)理方程的導(dǎo)出推導(dǎo)泛定方程的原則性步驟：（1）定變量：找出表征物理過程的物理量作為未知數(shù)（特征量），并確定影響未知函數(shù)的自變量。（2）立假設(shè)：抓主要因素，舍棄次要因素，將問題“理想化”-“無理取鬧”（物理趣樂）。（3）取局部：從對象中找出微小的局部（微元），相對于此局部一切高階無窮小均可忽略-線性化。（4）找作用：根據(jù)已知物理規(guī)律或定律，找出局部和鄰近部分的作用關(guān)系。（5）列方程：根據(jù)物理規(guī)律在局部上的表現(xiàn)，聯(lián)系局部作用列出微分方程。Chapter7一維波動方程的傅里葉解第一節(jié)一維波動方程-弦振動方程的建立弦橫振動方程的建立（一根張緊的柔軟弦的微小振動問題）（1）定變量：取弦的平衡位置為

4、x軸。表征振動的物理量為各點(diǎn)的橫向位移u（X,t），從(2)立假設(shè)：弦振動是微小的，|i，因此，sintan,cos1，又Q_Utan，_U1;弦是柔軟的，即在它的橫截面內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)xx力，則在拉緊的情況下弦上相互間的拉力即張力T(x,t)始終是沿弦的切向(等價(jià)于弦上相互間有小的彈簧相連)；所有外力都垂直于x軸，外力線密度為F(x,t):設(shè)弦的線密度(細(xì)長)為(x,t)，重力不計(jì)。(3)取局部：在點(diǎn)x處取弦段dx,dx是如此之小，以至可以把它看成質(zhì)點(diǎn)(微元)。質(zhì)量微元：h2(x,t)dx;微弧長：ds加du2$_Udxdx(即這一小段的長度在振動過程中可以認(rèn)為是不變的，因此它的密度x,t不隨時間

5、變化，另外根據(jù)Hooke定律fkx可知，張力T(x,t)也不隨時間變化，我們把它們分別記為x和T(x).(4)找作用：找出弦段所受的力。外力：F(x,t)dx，垂直于x軸方向；張力變化：Tcos|xdxTcos|xT(xdx)T(x),x方向緊繃，Tsin|xdxTsin|xTUx|xdxTUx|xTUxxdx,垂直于x軸方向。(5)列方程：根據(jù)牛頓第二定律T(xdx)T(x)0,因x方向無位移，故T(xdx)T(x)T.(x)dxu(tF(x,t)dxTuxxdxF(x,t)dxTuxxdx即,UttTuxxf(x,t)，其中f(X,t)仏衛(wèi)是單位質(zhì)量所受外力。如果弦是均勻的，即為常數(shù)，則可

6、寫a為弦振動的傳播速度，則2UttaUxxf(x,t).2自由振動(f0):UttaUxx0(齊次方程)。小結(jié)1:對于弦的橫振動、桿的縱振動方程(一根彈性均勻細(xì)桿的微小振動問題)、薄膜的橫振動方程(張緊的柔軟膜的微小振動問題)，在不受外力情況下，其振動的微分方程為:Utta22u（齊次方程）其中a為振動的傳播的速度。當(dāng)單位質(zhì)量所受外力為f時，其振動微分方程為：Utta22uf（非齊次方程）定解問題第一節(jié)從物理問題和相應(yīng)的物理定律導(dǎo)出了其所滿足的偏微分方程，但總是選擇物體內(nèi)部，不含端點(diǎn)或邊界，對一小部分來討論其運(yùn)動狀況，僅反映了物體內(nèi)部各部分之間的相互聯(lián)系，且在區(qū)域內(nèi)部相鄰之間、相繼時刻之間的這

7、種聯(lián)系（規(guī)律）通常與周圍環(huán)境（邊界上）和初始時刻對象（體系）所處的狀態(tài)無關(guān)。僅有方程還不足以確定物體的運(yùn)動，因?yàn)橥饨绲淖饔猛ǔＪ峭ㄟ^物體邊界“傳”到內(nèi)部的；一個方程可能有多個解，通解中含若干任意常數(shù)（函數(shù)），初始條件和邊界條件就是確定它們的條件。求一個微分方程的解滿足一定初始條件和邊界條件的問題稱為定解問題：初始條件泛定方程&定解條件邊界條件銜接條件自然條件1. 初始條件u（x,t）t0（X），即已知初位移（X）和初速度（X）Ut（X,t）t0（X）.2. 邊界條件i.第一類邊界條件-狄利克雷條件（Dirichlet邊界條件）：直接給出了未知函數(shù)在邊界上的值。ii.第二類邊界條件-諾依

8、曼條件（Neumann邊界條件）：給出未知函數(shù)在邊界上法向?qū)?shù)的值。自由端點(diǎn)邊界（端點(diǎn)不受外力，自由振動，意味著弦張力在振動方向無分量）屬于此類，邊界條件為ux（0,t）0或ux（l,t）0iii.第三類邊界條件-羅賓條件：給出未知函數(shù)和其邊界法向?qū)?shù)在邊界上的線性關(guān)系。彈性支撐邊界(端點(diǎn)受到彈簧的約束而無外力)屬于此類，邊界條件為：Ux(O,t)hu(O,t)0Note:初始條件和邊界條件是場運(yùn)動規(guī)律的極限。例1.對弦的橫振動問題導(dǎo)出下列情況的定解條件：弦的兩端點(diǎn)x0和xl固定，用手將弦上的點(diǎn)xc(0cl)拉開使之與平衡位置的偏離為h(hl)，然后放手。解：兩端固定，所以邊界條件為：u(0,

9、t)0,u(l,t)0由點(diǎn)xc的初始位移求出其他點(diǎn)的初始位移，它們是兩段直線方程，容易求得：hx,(0xc)u(x,0)(x)c-(lx),(cxl)lc顯然，初速度為零：ut(x,0)0第二節(jié)齊次方程混合問題的傅里葉解分離變量法本征值問題Abstract:求解數(shù)理方程定解問題的方法有分離變量法、行波法、積分變換法、變分法、復(fù)變函數(shù)論等，這些方法各有千秋。分離變量法普遍適用，在其使用條件下，自然導(dǎo)致了問題的核心一本征值問題。求解常微分方程：一般先求通解，再用初始/邊界條件定其參數(shù)；求解偏微分方程，即使求得通解，亦難于由定解條件來定解(含任意函數(shù))一本征值問題可解決此類問題。利用分離變量法求解齊

10、次弦振動方程的混合問題分離變量法：把二元函數(shù)u(x,t)表示為兩個一元函數(shù)相乘u(x,t)X(x)T(t)；然后帶入函數(shù)的二階偏微分齊次方程utta2uxx0,把偏微分方程化為兩個常微分方程；把偏微分方程的邊界條件轉(zhuǎn)化為常微分方程的邊界條件。題型I:方程和邊界條件都是齊次的，而初始條件是非齊次的例題1:下面以兩端固定弦的自由振動為例(第一類齊次邊界條件):2UttaUxx0Oxi,Ux00；Uxl0,ut0(x)；Utto(x).注意這里的邊界條件。第一步，分離變量，將二階偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。設(shè)u(x,t)X(x)T(t)取此特解形式，可得駐波解：T(t)是振蕩函數(shù)，而與x無關(guān),X

11、(x)是幅度函數(shù)，與t無關(guān),將此u(x,t)X(x)T(t)代入泛定方程，即得2X(x)T(t)aX(x)T(t).等式兩端除以a2X(x)T(t)，就有T(t)2aT(t)X(x)X(x)注意在這個等式中，左端只是t的函數(shù)，與x無關(guān)，而右端只是x的函數(shù)，與t無關(guān)。因此，左端和右端相等，就必須共同等于一個既與x無關(guān)、又與t無關(guān)的常數(shù)。令這個常數(shù)(參數(shù))，即,Ta2T(t)X(x)X(x)由此得到兩個常微分方程:()()2T(t)aT(t)0X(x)X(x)0第二步，將U(x,t)原來的邊界條件轉(zhuǎn)化為X(x)的邊界條件。將此u(x,t)X(x)T(t)代入邊界條件，得X(0)T(t)0，X(l)

12、T(t)0,轉(zhuǎn)化為X(x)的邊界條件：X(0)0，X(l)0因?yàn)門(t)不可能恒為0,否則u(x,t)恒為0()這樣就完成了分離變量法求解偏微分方程定解(亦定界)問題的前兩步：分離變量。在這兩步中，假設(shè)所要求的是變量分離形式的非零解u(x,t)X(x)T(t)，導(dǎo)出了函數(shù)X(x)應(yīng)該滿足的常微分方程和邊界條件，以及T(t)所滿足的常微分方程。分離變量之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，是因?yàn)樵瓉淼钠⒎址匠毯瓦吔鐥l件都是齊次的(可分離變量)第三步,求解本征值問題上面得到的函數(shù)X(x)的常微分方程定解問題，稱為本征值問題。其特點(diǎn)是：常微分方程X(x)X(x)0中含有一個待定常數(shù)，而定解條件X(0)0,X(l)0是一

13、對齊次邊界條件。這樣的定解問題不同于我們過去熟悉的常微分方程的初值問題。下面將看到，并非對于任何值，都有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某些特定值時，才有既滿足齊次常微分方程，又滿足齊次邊界條件的非零解X(x).的這些特定值稱為本征值(eigenvalue)，相應(yīng)的非零解稱為本征函數(shù)(eigenfunction).通過討論分析得出只有0時，方程()的解才有意義。因此,0時解()式得,X(x)Acos、xBsinx.將這個通解代入邊界條件()，就有A°_即AAcos、lBsin、l0.Bsin、l0.A和B不能同時為0，否則X(x)恒為零，u(x,t)恒為(平

14、凡解，雖然零解無物理意義,但至少說明數(shù)學(xué)上可能行得通)，因此只能是,sin一l0，即1,2,3,曰是,只能取如下的一系列值:1,2,3,；相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(x)sin丨x不同的B值給出的是線性相關(guān)這樣求得的本征值有無窮多個,這里取B1，因?yàn)槲覀兯蟮谋厝恢皇蔷€性無關(guān)解。的。由于同樣的原因，我們也不必考慮n為負(fù)整數(shù)的情形。他們可以用正整數(shù)n標(biāo)記，因此，我們把本征值和本征函數(shù)分別記為n和Xn(x).第四步,求特解，并進(jìn)一步疊加出一般解：對于每一個本征值n，由T(t)a2T(t)0()解出相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)nCncosatlDnsinat.因此，也就得到了滿足偏微分方程和邊界條件

15、的特解Un(X,t)nnnCncosatDnsinatsinxnlnlln1,2,3,這樣的特解有無窮多個n1,2,3,。每一個特解都同時滿足齊次偏微分方程和齊次邊界條件。它們是一系列的駐波。但是,般來說，單獨(dú)任何一個特解都不能滿足定解問題中的初始條件。然而，由于偏微分方程和邊界條件都是齊次的，把它們的特解線性疊加起來,u(x,t)n丄Cncosatn1nlDnsinatnl.nsinx.l這樣得到的u(x,t)也仍然是齊次偏微分方程在齊次邊界條件下的解(當(dāng)然要求此級數(shù)收斂且可以逐項(xiàng)求二階偏導(dǎo)，即求和和求導(dǎo)可以交換次序)。這種形式的解稱為一般解?，F(xiàn)在根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)(x)和(x)定出疊

16、加系數(shù)Cn和Dn.將上面的一般解代入初始條件，得n(x)CnSinx,(7.4)n1l(x)n-DnsinX.(7.5)n1ll注：(x)是已知函數(shù)而非任意函數(shù)x).u(x,t)既要滿足方程又要滿足條件。un(x,t)由Xn(x)構(gòu)成，(X)亦由Xn(x)構(gòu)成。初、邊條件僅是其內(nèi)部規(guī)律的極限。第五步,利用本征函數(shù)的正交性確定疊加系數(shù)：設(shè)Xn(x)si和Xm(x)si是分別對應(yīng)本征值n和m的兩個本征函數(shù)，nm(即nm).顯然，它們分別滿足()()()Xn(x)nXn(x)0,Xn(0)0,Xn(l)0.Xm(X)mXm(X)0,()Xm(O)0,Xm(l)0.用Xm(x)乘以，用Xn(x)乘以，

17、相減并在區(qū)間0,1上積分，即得llnm0Xn(X)Xm(X)dX°Xn(X)Xm(X)Xm(X)Xn(X)dXXn(X)Xm(X)Xm(X)Xn(X)00,其中利用了Xn(X)和Xm(X)所滿足的邊界條件()和().考慮到.m，因此，就證得本征函數(shù)的正交性l0Xn(x)Xm(x)dx0,nm進(jìn)一步計(jì)算還可以得到本征函數(shù)的模方：|Xn(X)：Xn2(X)dX1所以,因此，在式兩端同乘以(x)sinmxdxlXm(x)sin牛x，并逐項(xiàng)積分，就得到0n1CnsinsindxlliCnsinn0n1nx.mxsinlidxCm2Cn2lo(x)sin.同樣可以得到,nxl21Dn(x)si

18、nna0nx,dx.l(實(shí)為傅里葉級數(shù)的奇延拓)這樣，根據(jù)初始條件中的已知函數(shù)(x)和(X)，計(jì)算出積分，就可以得到疊加系數(shù)Cn和Dn，從而就求得了整個定解問題的解。Step6,解的物理解釋先觀察特解:Un(X,t)cn丄.nCncosatDnSinllatsinXNnsinntnSinknX,l其中,nan，knl午，NncosnCn，NnsinnDn.因此，Un(X,t)代表個駐波，NnSinknX表示線上各點(diǎn)的振幅分布,sinntn表示點(diǎn)諧振動。n是駐波的圓頻率，稱為兩端固定弦的固有頻率或本征頻率，與初始條件無關(guān);kn稱為波數(shù)，是單位長度上波的個數(shù)；n稱為位相，由初始條件決定。在knXm

19、，即xm.knmnI,m0,1,2,n的各點(diǎn)上，振動的幅度恒為0,稱為波節(jié)。包括弦的1兩個端點(diǎn)在內(nèi)，波節(jié)點(diǎn)共有n1個。在knxm，即2x2m12kn2m1I.2n,m0,2,n1的各點(diǎn)上，振幅的絕對值恒為最大，稱為波腹。波腹共有n個。整個問題的解則是這些駐波的迭加。正是因?yàn)檫@個原因，這種解法也稱為駐波法（agenerizedmethodoftheseparationvariables）.就兩端固定弦來說，固有頻率中有一個最小值，即1，稱為基頻。其它固有頻率l都是它的整數(shù)倍，稱為倍頻。弦的基頻決定了所發(fā)聲音的音調(diào)。在弦樂器中，當(dāng)弦的質(zhì)料一定（即一定）時，通過改變弦的繃緊程度（即改變張力T的大小）

20、，就可以調(diào)節(jié)基頻1的大小?；l和倍頻的迭加系數(shù)Cn和Dn的相對大小決定了聲音的頻譜分布，即決定了聲音的音色。小結(jié)2:對于弦振動的齊次方程和第一類齊次邊界條件的混合問題，即:2uttaUxx00xl0,0;ut0(x);utt0(x).（注意：這里的x的范圍和函數(shù)的邊界條件的表示）它的解是：u(x,t)CncosatDnsinatsinxI0I其中:Cn(x)sindx(x)sindx習(xí)題七的1-6題屬于例題1類型例題2，弦振動的齊次邊界條件中存在第二類邊界條件，如:2uttauxx0OxiUx0;ut0(X)；ut0,(x).注意：邊界條件與例題1不一樣第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個

21、常微分方程。令u(x,t)X(x)T(t)，并代入泛定方程，即得X(x)T(t)a2X(x)T(t)等式兩端同時除以X(x)T(t)，就有X(x)T(t)X(x)a2T(t)由此得到兩個常微分方程：X(x)X(x)0,T(t)a2T(t)0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對齊次邊界條件，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0得X的邊界條件為:X(0)0，X(l)0第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題：X(x)X(x)0,X(0)0，X(l)0.0才有解解得：X(x)Acos.xBsin-x.得到：X(x)、

22、.Asinx廣Bcosx代入邊界條件，就有B°_即B0;_AcoslBsin.l0.Acosl0.A和B不能同時為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是cosi丨0，即'一l(n-)20,123,曰是,只能取如下的一系列值:2(n1)了n0,1,2,3,相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(X)1cos(n)x.2l第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y)，疊加得出一般解。對于每一個本征值n，可以求出相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)Cncos(n1)2a1aytDnSin(n?)亍t.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解Un(X,t)Cn

23、C0S2)aTt1 a1Dnsin(n)tcos(n)x.2 l2l把這些特解疊加起來,就得到一般解u(x,t)CnC0S(ni)aTt1 a1Dnsin(n)tcos(n)x.2 l2l第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:2i1Cn-0(x)cos(n2)jXdx,4i1xDn(0(x)cos(n1)nrdx例題3，弦振動的齊次方程和齊次第一類、第二類邊界條件x00；Uxxt0(x);Ut0uu02UttaUxxi0,(x).注意：邊界條件與例題1、例題2都不一樣。第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。令u

24、(x,t)X(x)T(t)，并代入泛定方程，即得X(x)T(t)a2X(x)T(t)等式兩端同時除以X(x)T(t)，就有X(x)T(t)X(x)a2T(t)由此得到兩個常微分方程：X(x)X(x)0,2T(t)aT(t)0.第二步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對齊次邊界條件，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0，這時也可以分離變量，得X的邊界條件為:X(0)0，X(l)0.第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題：X(x)X(x)0,X(0)0，X(l)0.0才有解解得：X(x)Acos*xBsin、x.得到：X

25、(x)、Asin、xBcosx以上兩式代入邊界條件，就有_即A0；_A.,sin廣I,_Bcos廠l0.Bcos廠l0.A和B不能同時為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是_1cos0，即J(n-)0,123,曰是,只能取如下的一系列值:2(n扌)n0,1,2,3,相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(X)1sin(n)x.2l第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解Un(x,y)，疊加得出一般解。對于每一個本征值n，可以求出相應(yīng)的Tn(t)：因此，也就得到了滿足邊界條件的特解Un(X,t)1aCncos(n2)arta1atDnSin(n“1a1Dnsin(n

26、2)artsin(n2)rx-把這些特解疊加起來,就得到一般解u(x,t)1aCnC0S(n打1a1Dns"(n/J吋跖m第五步，由本征函數(shù)的正交歸一性，得到系數(shù)，確定解。將上面的一般解代入初始條件，根據(jù)本征函數(shù)的正交性得系數(shù)為:Cn-'(x)sin(n)_xdx,ni02I4i1xDn0(x)sinKn/丁皿小結(jié)3:對于弦的自由振動，針對齊次邊界條件中存在第二類邊界條件的兩類例題:2UttaUxx0Oxi例題2Uxx00；uxi0,ut0(x)；Utt0(x).的解為u(x,t)Cncos(n1a1t5/JCOS訣其中Cn1(x)cos(n)xdx,2lDn(2n1)al1

27、x0(x)cos(n?)-pdx2uttauxx00xl例題3u00;uxl0,x07xxl1Ut0(x);Utt0(x).的解為U(x,t)Cncos(n1a1tDns"(n/TU刑52)Tx.其中Cn1(x)sin(n)xdx,2lDn(2n1)a0l1x(x)sin(n?)Tdx習(xí)題七的13題屬于例題2類型題型II:方程為齊次，邊界條件為非齊次。以習(xí)題10為例：求解長為I的弦的振動問題2UttaUxx00Xl(1)Ux0E;uxl0,Ut00;utt00.注意邊界條件，邊界條件為非齊次，直接用分離變量法無法求出解，所以需將非齊次邊界條件處理成齊次邊界條件，再用分離變量法。解題方

28、法：用輔助函數(shù)法，把非齊次邊界條件轉(zhuǎn)化為齊次邊界條件。令函數(shù)u(x,t)V(x,t)s(x,t)，其中s(x,t)為已知函數(shù)。已知函數(shù)s(x,t)的選取條件是:必須能夠使得V(x,t)滿足齊次邊界條件的混合問題，即：Vtta2Vxx00xl,V(0,t)0；V(l,t)0,解：第一步，找出已知函數(shù)令u(x,t)V(x,t)(4)第二步，把上式帶入u(x,t)的混合問題，轉(zhuǎn)化為V(x,t)的齊次邊界條件的混合問題。把公式(4)帶入公式(1)得：2VttaVxx(5)將公式(2)帶入公式(4)得：V(0,t)0；V(l,t)0(6)將公式(3)帶入公式(4)得：V(x,0)片如(7)Vt(x,0)

29、0(8)這樣，函數(shù)V(x,t)滿足的混合問題為：Vtta2VxX00xl,V(0,t)0;V(l,t)0,(xl)V(x,0)(x)E;Vt(x,0)(x)0第三步，解關(guān)于V(x,t)的混合問題V(x,t)的混合問題為例題1所以V(x,t)解為V(x,t)nCncosatiInDnsinatsinnI其中:nxo(x)sinjdx2Dn(x)sinIE(xI).nxsindx0IInxdx0I第四步，寫出原方程的解。(Ix)EI由u(x,t)V(x,t)得:u(xt)TeCncosIatDnsinatsinxII(0).(x)為充分光滑的已知函數(shù)。習(xí)題七第12題:x00;uxl0t0(x);5

30、t0(x)(3)0(1)uuxI其中h是一個充分小的正數(shù)，(x),2UttaUxx2hut分析：泛定方程(1)式除了u,不存在第二個函數(shù)項(xiàng)，所示是齊次微分方程，(2)式為邊界條件而且是齊次的，所以該題可以用分離變量法。解：第一步，分離變量，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為兩個常微分方程。令U(x,t)X(x)T(t)將(4)式代入方程(1)，即得2X(x)T(t)aX(x)T(t)2hX(x)T(t)等式兩端同時除以X(x)T(t)，把關(guān)于x和t的函數(shù)分移至等號兩邊，有X(x)T(t)2hT(t)2X(x)aT(t)由此得到兩個常微分方程:X(x)X(x)0(5)2T(t)2hT(t)aT(t)0(6)第二

31、步，將原函數(shù)的邊界條件化為分離變量后函數(shù)的邊界條件將u(x,t)X(x)T(t)代入關(guān)于x的一對齊次邊界條件(2)式，得X(0)T(t)0，X(l)T(t)0，這時也可以分離變量，得X函數(shù)的邊界條件為:X(0)0，X(l)0(7)第三步，解X(x)本征值問題。這樣，我們得到本征值問題X(x)X(x)0,X(0)0，X(l)0.解得：X(x)Acos、xBsinix.代入邊界條件，就有A0;AcosiIBsinI0.A0;BsinI0.A和B不能同時為0,否則X(x)恒為零，因而u(x,t)恒為0(平凡解)。因此只能是sin、丨0，即lnn1,2,3,L曰是,只能取如下的一系列值:n(f)2n1

32、,2,3,L;相應(yīng)的本征函數(shù)就是:Xn(x)nsin(x)l(8)第四步，解T(t)的微分方程，得到u(x,t)的特解un(x,y)，疊加得出一般解。解(6)式：T(t)2hT(t)a2T(t)(6)式的特征函數(shù)為r22hra20，其特征根為:rhi-a2h2因此(6)式解為:T(t)Ce(hiah)tDe(hiah)teht(Ccos.h2tDsin、.t)對于每一個本征值n，相應(yīng)的Tn(t):Tn(t)ehtCnCOstJ(a+)2h2DnSintj(a十)2h2.因此，也就得到了滿足邊界條件的特解：htn22In22nUn(x,t)eCnCOst,.(al)hDnSinti(aJhsin

33、(-px)把這些特解疊加起來，就得到一般解：u(x,t)ehtCncostj(a牛)2h2DnSin店牛)2h2sin(牛x)(9)第五步，由本征函數(shù)的正交性，得到系數(shù)，確定解。將初始條件u(x,0)(x)代入上面的一般解，得：u(x,0)Cnsin(x)(x)n1l根據(jù)本征函數(shù)sinGx)的正交性得系數(shù)為:(10)21nCn-0(x)sin(-px)dx(9)式對t求導(dǎo)為:Ut(x,t)hehtCncost#(a午)2h2Dnsint#(a-j)2h2sin(nTx)ehtC.(a：)2n11lh2sintj(a午)2h2DnJ(a*)2h2cos'(ap)2h2sin()將初始條件

34、ut(x,0)(x)帶入上求導(dǎo)式，得ut(x,0)hCnsin(:x)n1lh2sin(dx)(x)根據(jù)本征函數(shù)sin(丄x)的正交性，得:lhcgDn2(anl)2h2|n0(x)sin(x)dx把（10）式帶入，得到n(x)sin(x)dx(x)sin(x)dx(11)該題的解為（9）式，（10）式和（11）式為（9）式中的系數(shù)。第四節(jié)非齊次振動方程求解前面所討論的問題中的偏微分方程都是齊次的，現(xiàn)在來討論非齊次偏微分方程的解法。為方便起見，以長為I兩端固定的弦的強(qiáng)迫振動為例，所用方法對其它類型的方程也適合。即考慮定解問題22(4.1)(4.2)(4.3)2a2專f(x,t)(0xl,t0)

35、,txUx00,uxl0(t0),x(0xI).uUt0x,tt0由所給的定解問題可以看出：弦兩端固定，所以做的是強(qiáng)迫振動方法1：直接利用本征函數(shù)來求解，即把解展開成本征函數(shù)的形式，求出參數(shù)。（該方法的前提條件是要知道此定解問題對應(yīng)的齊次方程的本征函數(shù)）由上節(jié)例題1可知：兩端固定的弦的自由振動在弦上形成駐波形式，其本征值為n（）2，本征函數(shù)為sin_x。則該弦在強(qiáng)迫力f（x,t）作用下仍作類似該駐波形式的II振動，因此，直接利用本征函數(shù)來求解。第一步，將上述定解問題中未知函數(shù)u（x,t）、已知函數(shù)f（x,t）、（x）和（X）都展開成本征函數(shù)sinnx的級數(shù)形式。令I(lǐng)U(x,t)Tn(t)sinxn1I（）f(x,t)fn(t)sinx（）n1I(x)nSinxn1I（）/、n(x)nsinxn1I（）由本征函數(shù)的正交性可知：2in冗，fn(t)-0f(x,t)sinxdx(x)sinnxdx(x)sinxdx()()()第二步，通過比較系數(shù)，得出參