自動(dòng)控制原理第八章習(xí)題答案

1、第八章非線性控制系統(tǒng)分析練習(xí)題及答案8-2設(shè)一階非線性系統(tǒng)的微分方程為x=-x+x3試確定系統(tǒng)有幾個(gè)平衡狀態(tài)，分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性，并畫出系統(tǒng)的相軌跡。解令X=0得-X+X3=X(X2-1)=X(X-1)(X+1)=0系統(tǒng)平衡狀態(tài)x=0,1,+1X-2-1-1還01/v'312X-600.3850-0.38506X112010211其中：X=0:穩(wěn)定的平衡狀態(tài);eX=-1,+1：不穩(wěn)定平衡狀態(tài)。e計(jì)算列表，畫出相軌跡如圖解8-1所示。e可見：當(dāng)x(0)|<1時(shí)，系統(tǒng)最終收斂到穩(wěn)定的平衡狀態(tài);當(dāng)|x(0)|>1時(shí)，系統(tǒng)發(fā)散；x(0)<-1時(shí)，X(t)T-X;x(0)&g

2、t;1時(shí)，X(t)TS。注：系統(tǒng)為一階，故其相軌跡只有一條，不可能在整個(gè)XX平面上任意分布。8-3試確定下列方程的奇點(diǎn)及其類型，并用等傾斜線法繪制相平面圖。(1)X'+X+|X=0fX=X+X112IX=2x+X212解(1)系統(tǒng)方程為I:x+x+x二0(x>0)II:x+xx二0(x<0)令x'=x=0，得平衡點(diǎn)：x=0。e系統(tǒng)特征方程及特征根：I:s2+s+1二0,Vs1,22II:s2+s一1=0,x二f(x,x)二一x|xs=1.61&+0.6181,2dx.x二xxdx（穩(wěn)定的焦點(diǎn)）（鞍點(diǎn)）13x|=P|x|dx=dx1I:匕=1(x0)1II:a

3、=1(x<0)計(jì)算列表-3-1-1/301/313OOx0:a=11-1-2/302-4-2-4/3-1x<0:a=1+1/-1-4/3-2-4OO20-2/3-1用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相平面圖如圖解8-2（a）所示。5）x=x+x112圖解8-2（a）系統(tǒng)相平面圖由式：x=xx211式代入：(xx)=2x+(x1111x)1即x2xx=0111令x=x=011得平衡點(diǎn)：x=0e由式得特征方程及特征根為s22s1=0九=2.414(鞍點(diǎn))1,2I0.414畫相軌跡，由式.dx._.x=xi=xa=2x+x11dx111xx=1a2聞腿了一。（V.計(jì)算列表a22.530011.520=

4、1/(a-2)00210-1-200用等傾斜線法繪制系統(tǒng)相平面圖如圖解8-2(b)所示。8-4若非線性系統(tǒng)的微分方程為(1) x'+(3x-0.5)x+x+x2=0(2) x+xx+x二0試求系統(tǒng)的奇點(diǎn)，并概略繪制奇點(diǎn)附近的相軌跡圖。解(1)由原方程得x'=f(x,x)=-(3x-0.5)x-x-x2=-3x2+0.5x-x-x2令x=x=011得x+x2=x(x+1)=0解出奇點(diǎn)x二0,-1e在奇點(diǎn)處線性化處理。在x=0處:ex-=df(x，x)丄審(x,x)x+x=0x=0=(-1-2x)1x=x=0x-0.5x+x=0dx-xx=0x=0-x+(-6x+0.5)|x=x+

5、0.5xx=x=0dx特征方程及特征根0.5±J0.52-4s=1,22=0.25±j0.984不穩(wěn)定的焦點(diǎn))在x=-1處ex=(12x)x+(6x+0.5)x=x+0.5xx=-1x=0x=-1x=0特征根x-0.5x-x=0s1,20.5±*0.52+4I1.218-0.718鞍點(diǎn))概略畫出奇點(diǎn)附近的相軌跡如圖解8-4(1)所示:2)由原方程令x'二特征根x'=0得奇點(diǎn)x=0,在奇點(diǎn)處線性化ex尋dxx=x=0=(x1)xxx=x=0s=±j。奇點(diǎn)x=0(中心點(diǎn))處的相軌跡如圖解8-41,2e所示。8-5非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖8-36

6、所示。系統(tǒng)開始是靜止的，輸入信號r(t)=4x1(t)，試寫出開關(guān)線方程，確定奇點(diǎn)的位置和類型，畫出該系統(tǒng)的相平面圖，并分析系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。解由結(jié)構(gòu)圖，線性部分傳遞函數(shù)為C(s)=1M(s)s2'c'(t)=m(t)由非線性環(huán)節(jié)有0ei<2Im(t)=e(t)2e>2IIe(t)+2e<2III由綜合點(diǎn)得c(t)=r(t)一e(t)=4一e(t)將、代入得0|e|<2Ie(t)斗2-e(t)e>2II-2一e(t)e<-2III開關(guān)線方程為e(t)=±2i:e(t)二0e二c(常數(shù))II:e+e2二0令e二e二0得奇點(diǎn)eii二20特

7、征方程及特征根S2+1=0,s±j（中心點(diǎn)）1,2III：e+e+2二0令e二e二0得奇點(diǎn)eiii=-20特征方程及特征根s2+1=0,s=±j（中心點(diǎn)）1,2繪出系統(tǒng)相軌跡如圖解8-5所示，可看出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)呈現(xiàn)8-10已知具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)如圖8-38所示。圖8-38具有理想繼電器的非線性系統(tǒng)試用相平面法分析：（1）T=0時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)；d（2）T二0.5時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，并說明比例微分控制對改善系統(tǒng)性能的作用;d（3）T=2時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。d解依結(jié)構(gòu)圖，線性部分微分方程為周期振蕩狀態(tài)。非線性部分方程為e+Te>0Ide+Te<0IId開關(guān)線方程：由綜合口：

8、、代入并整理得在I區(qū)：解出：1e+Te>0d+1e+Te<0ddeeede2e1II2(e>0)拋物線）同理在II區(qū)可得：2e(e<0)拋物線）開關(guān)線方程分別為=0時(shí),e二0；T=0.5時(shí)，e=2e；dT=2時(shí)，e0.5e.d概略作出相平面圖如圖解8-7所示。由相平面圖可見：加入比例微分控制可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性；當(dāng)微分作用增強(qiáng)時(shí),系統(tǒng)振蕩性減小,響應(yīng)加快。8-12三個(gè)非線性系統(tǒng)的非線性環(huán)節(jié)一樣,線性部分分別為(1)s(O.ls+1)(2)G(s)二2s(s+1)(3)2(1.5s+1)s(s+1)(0.1s+1)試問用描述函數(shù)法分析時(shí)，哪個(gè)系統(tǒng)分析的準(zhǔn)確度高？解線性部分

9、低通濾波特性越好，描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度越高。分別作出三個(gè)系統(tǒng)線性部分的對數(shù)幅頻特性曲線如圖解8-10所示。由對數(shù)幅頻特性曲線可見，L2的高頻段衰減較快，低通濾波特性較好，所以系統(tǒng)(2)的描述函數(shù)法分析結(jié)果的準(zhǔn)確程度較高。8-14將圖8-40所示非線性系統(tǒng)簡化成環(huán)節(jié)串聯(lián)的典型結(jié)構(gòu)圖形式，并寫出線性部分的傳遞函數(shù)。圖8-40非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解(a)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解8-11(a)的形式。G(s)二G(s)1+H(s)11(b)將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解8-ll(b)的形式。G(s)=Hi(s)G(s)i1+G(s)i8-17已知非線性系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖842所示圖8-428-13題圖

10、2)判斷周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并計(jì)算穩(wěn)定周期運(yùn)動(dòng)的振幅和頻率。-1-(A+2)A+6一1=-1N(g)一4<01)N(A)-1=-1N(0)一3dN(A)圖中非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為A+6N(A)=氏(A>0)試用描述函數(shù)法確定：1)使該非線性系統(tǒng)穩(wěn)定、不穩(wěn)定以及產(chǎn)生周期運(yùn)動(dòng)時(shí)，線性部分的K值范圍;二1dA(A+2)2N(A)單調(diào)降，-1N(A)也為單調(diào)降函數(shù)。畫出負(fù)倒描述函數(shù)曲線-1N(A)和G(jw)曲線如圖解8-13所示，可看出，當(dāng)K從小到大變化時(shí)，系統(tǒng)會由穩(wěn)定變?yōu)樽哉?，最終不穩(wěn)定。求使ImG(jw)=0的®值：ZG(jw)=一90°-2arctgw=-180&

11、#176;arctgw=45°,G(悶0=1Ki2耐2+10=113可得出K值與系統(tǒng)特性之間的關(guān)系:解出2)8-182coK:02/3穩(wěn)定、自.振.不穩(wěn)定屮由圖解8-13可見，當(dāng)一1；N(A)和G(j°)相交時(shí)，系統(tǒng)一定會自振。由自振條件N(A)G(jo)|0=1=A+6K=-(A+6)K=-1A+222(A+2)(A+6)K=2A+46K-4A=2-K0=1非線性系統(tǒng)如圖8-44所示試用描述函數(shù)法分析周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，并確定系統(tǒng)輸出信號振蕩的振幅和頻率。解將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖等效變換為圖解8-15。010-1010G(jo)=一j一jo(jo+1)o2+10(o2+1)N(A)=nA：1-nA2.4X0.2-j.1-(0.2)2.0.2-j1-1N(A)一兀A1