高中數(shù)學(xué)平面向量知識點總結(jié)及常見題型

1、平面向量一.向量的基本概念與基本運算1向量的概念: 向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：AB幾何表示法AB，a；坐標(biāo)表示法a=xi+yj=（x,y）向量的大小即向量的模（長度），記作IAB|、即向量的大小，記作丨a|+向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大小 零向量：長度為o的向量，記為0，其方向是任意的，0與任意向量平行零向量a=ooIa1=0+由于0的方向是任意的，且規(guī)定0平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行（共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量”這個條件.（注意與0的區(qū)別） 單位向量：模為1個單位長度的向量向量a為單位向量o|

2、ai=ioo 平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量任意一組平行向量都可以移到同一直線上方向相同或相反的向量，稱為平行向量記作ab由于向量可以進行任意的平移（即自由向量），平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量 相等向量：長度相等且方向相同的向量相等向量經(jīng)過平移后總可以重合，記為a=b大小相等，方向相同（Xryi）=（,y2）x=x12兒=y.122向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設(shè)AB=a,BC=b，貝ya+b二AB+BC二AC（1）0+a=a+0=a；（2）向量加法滿足交換律與結(jié)合律；向量加法有“三角形法貝”與“平行四邊形法貝”：（1）用平行四邊形法貝時，

3、兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量（2）三角形法貝的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的終點當(dāng)兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法貝；當(dāng)兩向量是首尾連接時，用三角形法貝向量加法的三角形法貝可推廣至多個向量相加：PQ+QR=AR,但這時必須“首尾相連”3向量的減法相反向量：與a長度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量記作-a,零向量的相反向量仍是零向量關(guān)于相反向量有：(i)-(-a)=a；(ii)a+(-a)=(-a)

4、+a=0；(iii)若a、b是互為相反向量，則a=b,b=一a,a+b=0 向量減法：向量a加上b的相反向量叫做a與b的差，記作：a-b=a+(-b)求兩個向量差的運算，叫做向量的減法 作圖法：a-b可以表示為從b的終點指向a的終點的向量(a、b有共同起點)4實數(shù)與向量的積：實數(shù)入與向量a的積是一個向量，記作入a，它的長度與方向規(guī)定如下：(I) ka=|九|-|a|；(II) 當(dāng)九0時，入a的方向與a的方向相同；當(dāng)九量ab是個數(shù)ab=xx+yy1212ab=ba的數(shù)a=0或b=0時，(Xa)b=a(Xb)=X(ab)量積ab=o(a+b)c=ac+bca豐0且b豐0時，ia2=IaI2，|aI

5、=Jx2+y2ab=aiibicosiabi已知兩個向量a=(x,y),b=(x,y)，則ab=xx+yy112212128向量的夾角：已知兩個非零向量a與b,作OA=a,OB=b，則ZAOB=0(0oe1800)叫做向量a與b的夾角cos0二cos=xx+yy1212.x2+y2x2+y21122當(dāng)且僅當(dāng)兩個非零向量a與b同方向時，e=Oo,當(dāng)且僅當(dāng)a與b反方向時9=1800,同時0與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題9垂直：如果a與b的夾角為9Oo則稱a與b垂直，記作a丄b10兩個非零向量垂直的充要條件:a丄boab=ooxx+yy=0平面向量數(shù)量積的性質(zhì)1212題型1.基本概念判斷正誤

6、：(1) 共線向量就是在同一條直線上的向量.(2) 若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點.(3) 與已知向量共線的單位向量是唯一的.(4) 四邊形ABCD是平行四邊形的條件是AB=CD.(5) 若AB=CD，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形.(6) 因為向量就是有向線段，所以數(shù)軸是向量(7) 若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.(8) 若ma=mb，則a=b.(9)若ma=na，貝ym=n.(10)若a與b不共線，則a與b都不是零向量.(11)若a-b=1aI-1bI，則a/b.(12)若Ia+b1=1abI，則a丄b.題型2.向量的加減運算_1. 設(shè)a表示“向東走8km”,b表

7、示“向北走6km”，則Ia+bI=,2. 化簡(AB+MB)+(BO+BC)+OM=.3.已知IOAI=5,IOBI=3，則IABI的最大值和最小值分別為4. 已知AC為AB與AD的和向量，且AC=a,BD=b，則AB=，AD=.5. 已知點C在線段AB上，且AC=IAB，則AC=BC，AB=BC.題型3.向量的數(shù)乘運算1. 計算：(1)I(a+b)2(a+b)=(2)2(2a+5bIc)3(2a+Ib2c)=一一_1-2. 已知a=(1,一4),b=(3,8)，則3a一b=.題型4作圖法球向量的和1 3f已知向量a,b，如下圖，請做出向量3a+=b和2a一乂b.2 2題型5.根據(jù)圖形由已知向

8、量求未知向量1. 已知在AABC中,D是BC的中點，請用向量AB，C表示AD.2. 在平行四邊形abcd中，已知Ac=a,BD=b，求AB和AD.題型6.向量的坐標(biāo)運算1. 已知AB=(4,5)，A(2,3)，則點B的坐標(biāo)是.2. 已知PQ=(3,5)，P(3,7)，則點Q的坐標(biāo)是.3. 若物體受三個力F=(,F=(一2,3),F=(一1,4)，則合力的坐標(biāo)為1234.已知a=(3,4),b二(5,2)，求a+b,ab,3a2b.5. 已知A(l,2),B(3,2),向量a=(x+2,x一3y一2)與AB相等，求x,y的值.6. 已知AB=(2,3),BC=(m,n),CD=(1,4)，則DA

9、=7.已知O是坐標(biāo)原點，A(2,1),B(4,8)且AB+3BC=0求OC的坐標(biāo).題型7.判斷兩個向量能否作為一組基底1. 已知e,z是平面內(nèi)的一組基底，判斷下列每組向量是否能構(gòu)成一組基底：12A.e+e和eeb.3e2e和4e6ec.e+3e和e3ed.e和ee1212122112212212. 已知a=(3,4)，能與a構(gòu)成基底的是()34a.(55)B.34c.(-5,-5)D.(J一4)題型8.結(jié)合三角函數(shù)求向量坐標(biāo)1.已知O是坐標(biāo)原點，點A在第二象限，IOA1=2，ZxOA=150。，求OA的坐標(biāo).2.已知O是原點，點A在第一象限，IOA1=4品，ZxOA=60。，求OA的坐標(biāo).題型

10、9.求數(shù)量積1. 已知Iai=3,ibi=4，且a與b的夾角為60，求a-b，(2)a-(a+b)，(3) (a-b)-b，(4)(2ab)-(a+3b).2. 已知a=(2,6),b=(8,10)，求(1)IaI,IbI，(2)a*b，(3)a-(2a+b),(4) (2ab)*(a+3b).題型10.求向量的夾角1. 已知Ia1=8,1b1=3,a-b=12，求a與b的夾角.2. 已知a=(3,1),b=(一2、，32)，求a與b的夾角.3. 已知A(1,O),B(0,1),C(2,5)，求cosABAC.題型11求向量的模1. 已知Iai=3,1bi=4，且a與b的夾角為60，求(1)I

11、a+bI,12a3b1.2. 已知a=(2,6),b=(8,10)，求(1)IaI,IbI，(5)Ia+bI，(6)IabI.23. 已知IaI=1,IbI=2，I3a2bI=3，求I3a+bI.a題型12.求單位向量【與a平行的單位向量：e=】IaI1. 與a=(12,5)平行的單位向量是.2. 與m=(1,|)平行的單位向量.題型13.向量的平行與垂直1. 已知a=(6,2)，b=(3,m)，當(dāng)m為何值時，(1)a/b?(2)a丄b？2. 已知a=(1,2)，b=(3,2)，(1)k為何值時，向量ka+b與a3b垂直？(2)k為何值時，向量ka+b與a3b平行？3. 已知a是非零向量，a-

12、b=a-c，且b主c，求證：a丄(bc).題型14.三點共線問題1.已知A(0,2)，B(2,2)，C(3,4)，求證：A,B,C三點共線.2.設(shè)AB=(a+5b),BC=2a+8b,CD=3(ab)，求證：A、B、D三點共線.23. 已知AB=a+2b,BC=-5a+6b,CD=7a2b，則一定共線的三點是4.已知A(l,3),B(8,1)，若點C(2a-1,a+2)在直線AB上，求a的值.5.已知四個點的坐標(biāo)0(0,0)，A(3,4)，B(1,2)，C(1,1)，是否存在常數(shù)t，使OA+tOB=0C成立？題型15.判斷多邊形的形狀1.若AB=3e，CD=5e，且1AD|=|BC1,則四邊形

13、的形狀是2.已知A(1,0)，B(4,3)，C(2,4)，D(0,2)，證明四邊形ABCD是梯形.3. 已知A(2,1)，B(6,3)，C(0,5)，求證：AABC是直角三角形.4. 在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，0A=(1,8),0B=(4,1),0C=(1,3),求證：AABC是等腰直角三角形.題型16.平面向量的綜合應(yīng)用-1. 已知a=(1,0)，b=(2,1)，當(dāng)k為何值時，向量kab與a+3b平行？2. 已矢口a=(、325)，且a丄b，Ib1=2，求b的坐標(biāo).A-*3. 已知a與b同向，b=(1,2)，則a-b=10，求a的坐標(biāo).3.已知a=(1,2)，b=(3,1)，c=(5,4)，則c=

14、a+b.4. 已知a=(5,10),b=(一3,-4),c=(5,0)，請將用向量a,b表示向量c.5. 已知a=(m,3),b二(2,-1),(1)若a與b的夾角為鈍角，求m的范圍；(2)若a與b的夾角為銳角，求m的范圍.6. 已知a=(6,2)，b=(-3,m)，當(dāng)m為何值時，(1)a與b的夾角為鈍角？(2)a與b的夾角為銳角？7. 已知梯形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A(-1,2)，B(3,4)，D(2,1)，且AB/DC，AB-2CD，求點C的坐標(biāo).8. 已知平行四邊形ABCD的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(2,1)，B(-1,3)，C(3,4)，求第四個頂點D的坐標(biāo).9. 一航船以5km/h的速度向垂直于對岸方向行駛，航船實際航行方向與水流方向成30角，求水流速度與船的實際速度.10. 已知AABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(3,4)，B(0,0)，C(c,0)，(1)若AB-AC=0，求c的值；(2)若c=5，求sinA的值.【備用】1.已知Ia1=3,1b1=4,1a+b1=5，求Ia-bI和向量a,b的夾角.2已知x=a+b，亍=2a+b，且IaI=IbI=1，a丄b，求x,y的夾角的余弦.1.已知a=(1,3),b=(-2,-1)，則(3a+2b)-(2a5b)=.*-*-*，-*-4.已知兩向量a=(3,4),b=(2,-1)，求當(dāng)a+xb與a-b垂直時