高中數(shù)學(xué)拋物線解題方法總結(jié)歸納

1、圓錐曲線拋物線知識點歸納1拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線l叫做拋物線的準線2拋物線的圖形和性質(zhì)： 頂點是焦點向準線所作垂線段中點。 焦準距：FK=p通徑：過焦點垂直于軸的弦長為2p。頂點平分焦點到準線的垂線段：OF=OK=f3拋物線標(biāo)準方程的四種形式：y2二2px，y2=一2px，x2二2py，x2=一2py。特點：焦點在一次項的軸上，開口與“土2p”方向同向4拋物線y2二2px的圖像和性質(zhì)：焦點坐標(biāo)是：-,0，準線方程是：x-匕。12丿2焦半徑公式：(稱為焦半徑)是：PF-x+，02焦點弦長公式：過焦點弦長PQ=x

2、i+|+x2+彳=xi+x2+p拋物線y過點(一3,2)的拋物線方程為;；2=4x或x2=9y,32焦點在直線x2y4=0上的拋物線方程為y2=16x或x2=8y，=2px上的動點可設(shè)為P,y)或P(2pt2,2pt)2p05一般情況歸納:方程圖象隹占八、八、準線定義特征y2=kxk>0時開口向右(k/4,0)x=-k/4到焦點(k/4,0)的距離等于到準線x=-k/4的距離k<0時開口向左X2=kyk>0時開口向上(0,k/4)y=-k/4到焦點(0,k/4啲距離等于到準線y=-k/4的距離k<0時開口向下題型講解例1根據(jù)下列條件填空：(3) 拋物線八左疋僅的焦點坐標(biāo)

3、為；丿(4) 已知拋物線頂點在原點，焦點在坐標(biāo)軸上，拋物線上的點成門廠®到焦點F的距離為5,則拋物線方程為；b=土加或宀士血或(5)已知點A(3,4),F是拋物線y2二8x的焦點,M是拋物線上的動點，當(dāng)MA+MF最小時,M點坐標(biāo)是(2,4)例2.斜率為1的直線l經(jīng)過拋物線y2二4x的焦點F，且與拋物線相交于A、B兩點,求線段AB的長.解：法一通法法二設(shè)直線方程為y=x-1,A(x,y)、B(x,y),1122則由拋物線定義得IAB1=1AFI+1FB1=1ACI+1BD1=x+P+x+匕=x+x+p,122212又A(x,y)、B(x,y)是拋物線與直線的交點，由°兀得x2

4、-6x+1=0,1 122y=x-1,則x+x=6，所以丨AB1=8.例3.求證：以通過拋物線焦點的弦為直徑的圓必與拋物線的準線相切.證明：(法一)設(shè)拋物線方程為y2=2px，則焦點F(匕,0)，準線x=-P.設(shè)以過焦點F的弦AB為2 2直徑的圓的圓心M,A、B、M在準線l上的射影分別是A、B、M,111則丨AAI+1BB1=1AFI+1BF1=1ABI,11又IAAI+1BB1=2IMMI,111IMMI=丄丨ABI，即IMMI為以AB為直徑的圓121的半徑，且準線/丄MM,命題成立.1(法二)設(shè)拋物線方程為y2=2px,則焦點F(匕,0),準線x=-p.過點F的拋物線的弦的兩個端點A(x,

5、y),B(x,y)，線段AB的21122中點M(x,y)，則IABI=x+x+=x+x+p,00122212以通過拋物線焦點的弦為直徑的圓的半徑r=11ABI=丄(x+x+p).2212點M到準線x=-2的距離d=x0+1二苓+1=2(xi+x2+勿，：圓M與準線相切.例4.正三角形的一個頂點位于坐標(biāo)原點，另外兩個頂點在拋物線y2二2px(p>0)上，求這個正三角形的邊長.解：設(shè)正三角形OAB的頂點A、B在拋物線上，且設(shè)點A(x,y),B(x,y)，則y2=2px,112211y2=2px，又IOA1=1OBI，所以x2+y2=x2+y2，221122即(x2一x2)+2p(x一x)=0

6、，1212(x一x)(x+x+2p)=0.1212*.*x>0，x>0，2p>0，:x=x.1212由此可得IyI=IyI，即線段AB關(guān)于x軸對稱.12因為x軸垂直于AB，且ZAOx=30°，所以=tan30°=-x31/x=豊，y=2運p，IABI=2y=4p.12p11例5A,B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點，滿足OA丄OB(O為坐標(biāo)原點)求證：(1)A,B兩點的橫坐標(biāo)之積，縱坐標(biāo)之積為定值；直線AB經(jīng)過一個定點.解：設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y12=2px1,y22=2px2,y12y22=4p2x1x2,VOA丄OB,x

7、1x2+y1y2=0,由此即可解得：x1x2=4p2,y1y2=-4p2(定值)直線AB的斜率k=Z1=-x2-x1蘭一22y1+y22p2p直線AB的方程為y-y1=2p(x-孕),y1+y22p3更多精品講義請關(guān)注微信公眾號：備課寶或者beikehere即y(y1+y2)-y1y2=2px,由可得y=?(x-2p),12直線AB過定點C(2p,0)例6.定長為3的線段AB的兩端點在拋物線y2=x上移動，設(shè)點M為線段AB的中點，求點M到y(tǒng)軸的最小距離.解：拋物線焦點F(4,0)，準線1:x=-4,設(shè)點A、B、M在準線1上的射影分別是A、B、M，設(shè)點M(x,y),11100則IAAI+1BB1

8、=1AFI+1BF1>1ABI,11又IMMI=1(IAAI+1BBI)>11ABI,12112又IMM=x+1,IABI=3,1041355x+1>-，所以x>-，即x的最小值是o420404點M到y(tǒng)軸的最小距離是|，當(dāng)且僅當(dāng)AB過點F是取得最小距離例7設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準線上，且BCx軸證明直線AC經(jīng)過原點O分析：證直線AC經(jīng)過原點O，即證O、A、C三點共線，為此只需證kOC=kOA本題也可結(jié)合圖形特點，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識去解決證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，

9、得y22pmyP2=02由韋達定理，得yAyB=p2，即yB=yABCx軸，且C在準線x=£上,2則kOC=丸=爲(wèi)=kOA故直線AC經(jīng)過原點O證法二：如圖，記準線l與x軸的交點為E,過A作AD丄1，垂足為D則ADEFBC連結(jié)AC交EF于點N，則IENI=ICNI=IBFIINFI=IAFI、IADI一IACI一IABI'BC一IABIVIAFI=IADI，IBFI=IBCI，AIENI=IADI-IBFI=IAFI-IBCI=INFI，ABIIABI即N是EF的中點從而點N與點O重合，故直線AC經(jīng)過原點O點評：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力在涉及解析思想較多的證

10、法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB=p2這個重要結(jié)論還有些證法充分利用了平面幾何知識，這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目例8、已知拋物線八工肌小)，點A(2,3),F為焦點，若拋物線上的動點到更多精品講義請關(guān)注微信公眾號：備課寶或者beikehere備課寶出品A、F的距離之和的最小值為，求拋物線方程.分析：在解析幾何中，關(guān)于到兩個定點的距離之和的最小值（或距離之差的最大值）問題，運用純代數(shù)方法解，導(dǎo)致復(fù)雜運算，因而常運用幾何方法與相關(guān)曲線的定義。解：注意到拋物線開口大小的不確定性(M+ML=KI=（1）當(dāng)點A和焦點F在拋物線的異側(cè)時，由三角形性質(zhì)得(f

11、-2)2+9=10，解得p=2或p=6。注意到p=6時，拋物線方程為，此時若x=2,則，與點A所在區(qū)域不符合；當(dāng)p=2時，拋物線方程為宀也，當(dāng)x=2時，宀2,符合此時的情形。（2）當(dāng)點A和焦點F在拋物線的同側(cè)時（如圖），作MN丄準線丨于點N，人百丄!于丑，得網(wǎng)+阿=聞|+阿|土|朋|十阿沖）込=牡”卜質(zhì)°，解得"麗-可易驗證拋物線宀4麗2）符合此時情形。于是綜合（1）、（2）得所求拋物線方程為尸=%或尸=丸麗-嘰點評：求解此題有兩大誤區(qū)：一是不以點A所在的不同區(qū)域分情況討論，二是在由（1）（或（2）導(dǎo)出拋物線方程后不進行檢驗。事實上，在這里不論是A在什么位置，總得M+成立，

12、本題進行的檢驗是必要的.例9已知拋物線y2二-x與直線y=k（x+1）相交于A、B兩點， 求證;OA丄OB; 當(dāng)AOAB的面積等于時，求k的值分析：根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式或應(yīng)用向量解證明：設(shè)A（-y2,y）,B（-y2,y）;N（-1,0）1122B更多精品講義請關(guān)注微信公眾號：備課寶或者beikehere5更多精品講義請關(guān)注微信公眾號：備課寶或者beikehere備課寶出品na=(1-y;，y1)NB=(1-y2,y)，由A,N,B共線22y121(y2一人)=yiy2(叮y2)，又yi豐y2yiy2更多精品講義請關(guān)注微信公眾號：備課寶或者beikehere11OA丄OBOAOB=yiy2

13、+yi2y廠yiy2(1+yiy2)=0解SAOAB=2-i2打由j；：+i)得ky2+y-k二0S=-1-|yy|=+4=、.：i0,k=±aoab22F2k26解法2:由OM丄AB知點M的軌跡是以原點和點(2p,0)為直徑的圓(除去原點)立即可求出學(xué)生練習(xí)1拋物線y二x2的焦點坐標(biāo)為()A(0,4)B(0，4)C(4，0)D(4，0)答案:A解析:從初中學(xué)的拋物線(二次函數(shù))到高中的拋物線2已知點A(3,4),F是拋物線y2二8x的焦點,M是拋物線上的動點，當(dāng)|MA|+|MF|最小時,M點坐標(biāo)是A(0,0)B(3,2j6)C(2,4)D(3,2.6)答案：C解析：把MF轉(zhuǎn)化為m到

14、準線的距離MK撚后求MA+MK的最小值3過拋物線y2=4x的焦點作直線交拋物線于A(x,y),B(x,y)，若x+x=6,112212那么|ab|等于()A10B8C6D4答案:B解析：|AB|=|AF|+|BF|=x+-+x+-=x+x+p1222124拋物線頂點在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在直線x-y+2=0上,則其方程為()Ay2=4x或x2=一4yBx2=4y或y2=-4xCx2=8y或y2=-8xD不確定答案：C解析：解直線與兩軸交點坐標(biāo),進而求p5過點(0,2)與拋物線y2二8x只有一個公共點的直線有()A1條B2條C3條D無數(shù)條答案:C解析：相切與相交均能產(chǎn)生一個公共點6一個酒杯

15、的軸截面為拋物線的一部分，它的方程為x2二2y(0<y<20)，在杯內(nèi)放一個玻璃球，要使球觸及到杯的底部，則玻璃球的半徑r的范圍為()A0<r<1B0<r<1C0<r<1D0<r<2答案:C解析：設(shè)圓心A(0,t)，拋物線上的點為P(x,y),列出|PA|=,x2+(y-1)2=Jy2+(2-2t)y+12轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題7拋物線y2=2px(p>0)的動弦AB長為a(a>2p)，則AB中點M到y(tǒng)軸的最短距離是()apAB22答案:D解析：可證弦AB通過焦點F時,所求距離最短8直線l過拋物線y2=a(x+1)(a>

16、0)的焦點，并且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為4,則a=()14答案:A解析：所截線段長恰為通徑a二49過拋物線y=ax2(a>0)的焦點F作一直線交拋物線于P、Q兩點，若PF與FQ的長分別為p、q,則丄+-等于()pqA2a1B2aC4a答案:C解析：考慮特殊位置，令焦點弦PQ平行于X軸，10設(shè)拋物線y2二2px,（p>0）的軸和它的準線交于E點，經(jīng)過焦點F的直線交拋物線于P、Q兩點（直線PQ與拋物線的軸不垂直），則ZFEP與ZQEF的大小關(guān)系為()AZFEP>ZQEFBZFEP<ZQEFCZFEP=ZQEFD不確定答案:C解析：向量解法：由A、F、B共線得y

17、y二-p2（重要結(jié)論），進而得出12k=kPEQE11已知拋物線y二x2-1上一定點B（-1,0）和兩動點P、Q，當(dāng)P點在拋物線上運動時,BP丄PQ，則點Q的橫坐標(biāo)的取值范圍是（）A(8,3B1,+8)C-3,-1D(8,3U1,+8)答案:D12過拋物線焦點F的直線與拋物線交于兩點A、B,若A、B在拋物線準線上的射影為A,B,則ZAFB=(1111)A45。B60。C90。D120。答案:C解析：FA=（丄-彳,y),FB=（丄-,y）,因為A、F、B三點共線所2p212p22以y-y2y#y=2-yy2令yy=p22p12222p122112FA1-FB1=(-,yi)-(-,y2)=-2

18、+yiy2=013在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5,則-的值為A1B12C2D4答案：C解析：拋物線的準線方程為x=-p，由拋物線的定義知4+p=5,解得22P=214設(shè)aH0,aR，則拋物線y=4ax2的焦點坐標(biāo)為A(a,0)B(0,a)C(0,丄)D隨a符號而定16a答案：C解析：化為標(biāo)準方程15以拋物線y2=2px(p>0)的焦半徑丨PF丨為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為A相交B相離C相切D不確定答案：C解析：利用拋物線的定義16以橢圓蘭+Zi=1的中心為頂點，以橢圓的左準線為準線的拋物線與橢圓右2516準線交于A、B兩點，則IABI的值為<解：中心為(0,0

19、),左準線為x=-25，所求拋物線方程為y2=100x又橢圓右準線方程為x=25，聯(lián)立解得A(25,50)、B(蘭,-50)3 3333T答案：10017對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為(2,1)能使這拋物線方程為y2=10x的條件是(要求填寫合適條件的序號)解析：由拋物線方程y2=10x可知滿足條件答案：18拋物線y2=2x的焦點弦AB,求OAOB的值y2=2x2得y2-y-OA-OB=xx+yy212=0,.y1y2=-113=4yiy2+y1y2=-419設(shè)一動直線過定點A(2,0)且與拋物線y二x2+2相交于B、C兩點，點B、C在x軸上的射影分別為B,C,P是線段BC上的點，且適合竺=JBB1，求11PC|CC|APOA的重心Q的軌跡方程，并說明該軌跡是什么圖形解析:設(shè)B(x,y),C(x,y),P(x,y),Q(x,y)112200.BP=PC|CCIy0=y+L-y1y