第五章剛體力學基礎習題課(第三講)13

1、1第五章第五章 剛體力學基礎習題課（第三講）剛體力學基礎習題課（第三講）大學物理（一）大學物理（一）主講：陳秀洪主講：陳秀洪一、小結一、小結二、二、 例題例題2tdd 1 1）每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉動平面；每一質(zhì)點均作圓周運動，圓面為轉動平面； 2 2）任一質(zhì)點運動任一質(zhì)點運動 均相同，但均相同，但 不同；不同；3 3）運動描述僅需一個坐標運動描述僅需一個坐標 . . ,a, v定軸轉動的定軸轉動的特點特點 00zziiRv Rvii iiRa 22 iiinRRvanaaainii iRi tdd )(t 1 1、剛體定軸轉動的描述、剛體定軸轉動的描述一、小結一、小結32 2、力矩、

2、力矩 Pz*OFdFrMo sinMFrd : :力臂力臂d 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉軸旋轉 , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且在轉動且在轉動平面內(nèi)平面內(nèi), 為由點為由點O 到力的到力的作用點作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrFrMo 對對o點點 的力矩的力矩 F0,0iiMF0,0iiMFFFFFM4zOkFr FFFz FrkMz sin rFMzzFF 1 1）若力若力 不在轉動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂不在轉動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量直于轉軸方向的兩個分量 F2 2）合）合力矩等于各分力矩的力矩等于各分力矩的矢量和矢量和 321MMMM 其中

3、其中 對轉軸的力對轉軸的力矩為零，故矩為零，故 對轉軸的對轉軸的力矩力矩zFF對對Z軸的力矩：軸的力矩：FrMo 沿沿Z軸的分量軸的分量5mrJrmJmjjjd,22 3 3、轉動慣量、轉動慣量 物理物理意義意義：轉動慣性的量度：轉動慣性的量度 . . 質(zhì)量離散分布剛體的轉動慣量質(zhì)量離散分布剛體的轉動慣量 2222112rmrmrmJjjj轉動慣性的計算方法轉動慣性的計算方法 質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉動慣量質(zhì)量連續(xù)分布剛體的轉動慣量mrrmJmjjjd22 ：質(zhì)量元：質(zhì)量元md轉動慣量的決定因素為：轉動慣量的決定因素為：轉軸的位置。轉軸的位置。質(zhì)量分布；質(zhì)量分布；總質(zhì)量；總質(zhì)量；6vrxyzom4

4、 4、轉動定律、轉動定律 JM 221 JEk 5 5、轉動動能、轉動動能 M與與具有：同軸性、同時性、同方向性。具有：同軸性、同時性、同方向性。 21d MA6、力矩的功、力矩的功7、 剛體繞定軸轉動的動能定理剛體繞定軸轉動的動能定理21222121d21 JJMA (1)(1)質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量vmrL 質(zhì)點以角速度質(zhì)點以角速度作半徑為作半徑為r 的的圓運動，相對圓心的角動量大圓運動，相對圓心的角動量大?。盒。?JmrL 2vrLLrpmo sinrmvL 大小大小8 8、角動量、角動量7（2 2）質(zhì)點系的角動量：）質(zhì)點系的角動量：（3 3）剛體作定軸轉動的角動量：）剛體作定軸轉動的

5、角動量： iiiiiiivmrPrL)()(質(zhì)點系內(nèi)部所有質(zhì)點對某一定點的角動量，即：質(zhì)點系內(nèi)部所有質(zhì)點對某一定點的角動量，即： 作定軸轉動的剛體，其作定軸轉動的剛體，其內(nèi)部所有質(zhì)點繞軸做半徑內(nèi)部所有質(zhì)點繞軸做半徑不等的圓周運動，具有相不等的圓周運動，具有相同的角速度：同的角速度： zzJL 矢量式：矢量式：00zz ziiizJrmL )(281010、角動量守恒定律、角動量守恒定律9、角動量定理：、角動量定理：外外MdtLd 122121LLLddtMLLtt 外外zzMdtdL 12zdM21zzttLLt （1 1）質(zhì)點系角動量定理）質(zhì)點系角動量定理（2 2）剛體定軸轉動角動量定理）剛

6、體定軸轉動角動量定理（1 1）質(zhì)點系角動量守恒定律）質(zhì)點系角動量守恒定律0: 外外條條件件 M常常矢矢量量結結論論 iiiiiivmrLL:（2 2）剛體定軸轉動角動量守恒定律）剛體定軸轉動角動量守恒定律0 zM條件：條件：結論：結論：常常量量 zzJL9定軸轉動定軸轉動角動量守恒定律討論：角動量守恒定律討論： 多個剛體，角動量守恒表達式多個剛體，角動量守恒表達式為：為：CJLiii 單個剛體，角動量守恒單個剛體，角動量守恒 即：即： =C 剛體作慣性轉動。剛體作慣性轉動。 zzJL 0 zM條件：條件：結論：結論：常常量量 zzJL )(212211JJJJ 1 2 01 02 z1J2J

7、0 z10質(zhì)點和剛體，角動量守恒表達式為：質(zhì)點和剛體，角動量守恒表達式為： JvmrJvmr 00注意：注意： 是質(zhì)點速度在是質(zhì)點速度在轉動平面內(nèi)的分量。轉動平面內(nèi)的分量。vv、0omr v00 0v Jrmvrmv 011對于非剛體，即轉動慣量變化。角動量守對于非剛體，即轉動慣量變化。角動量守 恒的表達恒的表達式：式：0 dJdJ)J(dLd 若動作后角速度增加，則若動作后角速度增加，則 與與d 同向，所以同向，所以 JJlnJJlndJdJdJdJJJ 0000000即即：例如：花樣滑冰運動員。例如：花樣滑冰運動員。問題：花樣滑冰運動員由伸臂到收臂動能問題：花樣滑冰運動員由伸臂到收臂動能

8、如何變化？如何變化？12 剛體力學習題課（剛體力學習題課（14） 1.質(zhì)量為質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，可以繞通過盤中心垂直于的勻質(zhì)圓盤，可以繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為盤的固定光滑軸轉動，繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為m，長為長為L的勻質(zhì)柔軟繩索的勻質(zhì)柔軟繩索(如圖如圖)，設繩與圓盤無相對滑，設繩與圓盤無相對滑動，試求當圓盤兩側繩長之差為動，試求當圓盤兩側繩長之差為S時，繩的加速度的時，繩的加速度的大小。大小。x01x2xs解解:受力分析如圖受力分析如圖:gxLm22Tr2T 1T NgrLmM)( gxLm11T二、二、 例題例題13x01x2xsgxLm22Tr2T 1T

9、 NgLmrM)( gxLm11T1111axLmTgxLm (1);2222axLmTgxLm (2) )21(2212rLmrMrrTrT (3);2211;TTTT (4) raaa 21(5)21xxrL (6)12xxs (7)解得解得:LMmsmga)2( 1a2a 142.固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸平對稱軸00轉動，設大小圓柱的半徑分別為轉動，設大小圓柱的半徑分別為R和和r，質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為M和和m，繞在兩柱體上的細繩分別與物體，繞在兩柱體上的細繩分別與物體m1和物體和物體m2相連，相連，m1和和m2則掛在

10、圓柱體的兩側，如圖則掛在圓柱體的兩側，如圖所示，設所示，設R =0.20m，r =0.10m，m=4kg，M=10kg，m1=m2=2kg，求柱體轉動時的角加速度及兩側繩中的，求柱體轉動時的角加速度及兩側繩中的張力。張力。1m2moo 解：受力分析如圖解：受力分析如圖)1(1111amTgm )2(2222amgmT 1mgm11T2mgm22T1T 2T )3()2121(2221 mrMRrTRT ).7();6();5();4(221121TTTTraRa ).(13. 62121)(222212221 sradrmRmmrMRgrmRm NRmgmTT2 .171111 NrmgmTT

11、8 .202222 1a2a153.長為長為L的均勻細桿可繞過端點的均勻細桿可繞過端點O的固定水平光滑軸轉動。把桿的固定水平光滑軸轉動。把桿抬平后無初速地釋放，桿擺至豎直位置時，剛好和光滑水平桌抬平后無初速地釋放，桿擺至豎直位置時，剛好和光滑水平桌面上的小球面上的小球m相碰，如圖所示，球的質(zhì)量和桿相同，設碰撞是相碰，如圖所示，球的質(zhì)量和桿相同，設碰撞是彈性的，求碰后小球獲得的速度彈性的，求碰后小球獲得的速度. 00 vL解解:機械能守恒機械能守恒:0)31(212202 mLLmg碰撞碰撞:角動量守恒角動量守恒,機械能守恒機械能守恒. )31()31(202mLmLvmL 222202)31(

12、2121)31(21 mLmvmL 解得解得:gLv321 (1)(2)(3)16ff 對于對于(2)式式,也可從如下得到也可從如下得到:設碰撞時間為設碰撞時間為:t v 0 對小球由質(zhì)點的動量定理對小球由質(zhì)點的動量定理:mvtf 對棒由角動量定理對棒由角動量定理:L0.)(0 JJtLf 231mLJ ff 0223131 mLmLmLv 174. 4. 一半徑為一半徑為R R0.30 m0.30 m，質(zhì)量為，質(zhì)量為M M15 kg15 kg，質(zhì)量均勻，質(zhì)量均勻分布的圓柱體，可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉分布的圓柱體，可繞與其幾何軸重合的水平固定軸轉動。現(xiàn)以一不能伸長的輕繩繞于柱面，而在繩

13、的下端動?，F(xiàn)以一不能伸長的輕繩繞于柱面，而在繩的下端懸一質(zhì)量懸一質(zhì)量m m8.0 kg8.0 kg的物體。不計圓柱體與軸之間的的物體。不計圓柱體與軸之間的摩擦，求物體自靜止下落，摩擦，求物體自靜止下落，5 s5 s內(nèi)下降的距離。內(nèi)下降的距離。 mMoR解：受力分析如圖解：受力分析如圖gmT T)1(maTmg )2(212 MRTR )3(TT )4( Ra Mmmgth 22解得：解得：)5(212ath )(2 .63m 18 例例1、 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點的竿可繞支點O自由自由轉動轉動 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支的子彈射入竿內(nèi)距

14、支點為點為 處，使竿的偏轉角為處，使竿的偏轉角為30 . 問子彈的初速率為問子彈的初速率為多少多少 ?vamm 解解 把子彈和竿看作一個系統(tǒng)把子彈和竿看作一個系統(tǒng) .子子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒 )31(22malmam voamv302233malmam v m射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統(tǒng)射入竿后，以子彈、細桿和地球為系統(tǒng) ，機械能守恒，機械能守恒 .)30cos1(2 lgm 222)31(21 malm)30cos1( mgamamalmmalmg6)3)(2)(32(22 v19 例例2：長為：長為L的勻質(zhì)細棒，一端懸于的勻質(zhì)細棒，一端懸于O點，自

15、由下垂，點，自由下垂，緊接緊接O點懸一單擺，輕質(zhì)擺繩的長為點懸一單擺，輕質(zhì)擺繩的長為L，擺球的質(zhì)量為，擺球的質(zhì)量為m，單擺從水平位置由靜止開始自由下擺，與細桿作完，單擺從水平位置由靜止開始自由下擺，與細桿作完全彈性碰撞，碰后單擺停止。全彈性碰撞，碰后單擺停止。 求：求：(1) 細桿的質(zhì)量；細桿的質(zhì)量； (2) 細桿擺動的最大角度細桿擺動的最大角度OLm解解: :) 1 (212mgLmv 球下擺機械能守恒球下擺機械能守恒)2( JmvL 球與細桿作完全彈性碰撞球與細桿作完全彈性碰撞角動量守恒：角動量守恒：機械能守恒：機械能守恒：)3(212122 Jmv )4()cos1(2212 LMgJ桿

16、擺動機械能守恒：桿擺動機械能守恒：解得解得: :31cos3 mM231MLJ v 20例題例題3、一均勻圓盤、一均勻圓盤,質(zhì)量為質(zhì)量為M,半徑為半徑為R,可繞鉛直軸可繞鉛直軸自由轉動自由轉動,開始處于靜止狀態(tài)開始處于靜止狀態(tài),一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m的人的人,在在圓盤上從靜止開始沿半徑為圓盤上從靜止開始沿半徑為r的圓周走動的圓周走動,如圖所示如圖所示.求當人走完一周回到盤上原位置時求當人走完一周回到盤上原位置時,圓盤相對于地面圓盤相對于地面轉過的角度轉過的角度. .rR rv解解: :,rv設設人人對對盤盤的的速速率率為為 圓盤繞軸的角速度為圓盤繞軸的角速度為 rvvr 人人對對地地速速度度為

17、為v 由人、圓盤組成的系統(tǒng)對鉛由人、圓盤組成的系統(tǒng)對鉛直軸角動量守恒直軸角動量守恒021)(2 MRrrvmr2221:MRmrmrvr 解得解得21. .rR rvvdtd :由由于于0, 0:0 t初初始始 trtMRmrdtmrvdt022021 trdtvMRmrmr02221222212MRmrmr 式中式中: :負號表示人走動的方向與圓盤轉動的方向相反負號表示人走動的方向與圓盤轉動的方向相反. .2221MRmrmrvr 22例例4：一根長為：一根長為l，質(zhì)量為，質(zhì)量為m的勻質(zhì)細桿，一端與光滑的勻質(zhì)細桿，一端與光滑的水平軸相連，可在豎直平面內(nèi)轉動，另一端固定的水平軸相連，可在豎直平

18、面內(nèi)轉動，另一端固定一質(zhì)量也是一質(zhì)量也是m的小球，且小球半徑的小球，且小球半徑Rl。設桿由水平。設桿由水平位置自由釋放。位置自由釋放。求：桿下擺至任意角度時的角速度和角求：桿下擺至任意角度時的角速度和角 加速度加速度 mgmgO23解：細桿在下擺過程中，解：細桿在下擺過程中，重力矩作用桿的質(zhì)心處，重力矩作用桿的質(zhì)心處，即：即： cos21 lmgM小球的重力矩：小球的重力矩： cos2 lmgM由轉動定律：由轉動定律：222131mlmlJJJJMM 球球桿桿 所以有：所以有： )31(coscos222mlmllmglmg 即：即：lg8cos9 mgmgO24 dlgdlgdddtdddd

19、td8cos98cos9 即即： 008cos9dlgd解得：解得：lg4sin9 mgmgO利用機械能守恒定律求解：利用機械能守恒定律求解：021sin2sin2 Jmglmgl2231mlmlJ 25 例題例題5、如圖、如圖,一矩形勻質(zhì)薄板一矩形勻質(zhì)薄板ABCD,長為長為l、寬、寬為為d、質(zhì)量為、質(zhì)量為m。板繞豎直軸。板繞豎直軸AB以初角速度以初角速度 轉動，轉動，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，阻力與薄板表面垂直并與面積及速度的平方成正比，比例系數(shù)為比例系數(shù)為k。問經(jīng)過多少時間后，薄板的角速度。問經(jīng)過多少時間后，薄板的角速度減為初角速度的一半？減為初角速度的一半？0 解：這

20、是定軸轉動問題，利用解：這是定軸轉動問題，利用定軸轉動定律求解。定軸轉動定律求解。如圖：取面元如圖：取面元ldxds x dxABCDld xo受阻力：受阻力：ldxxkdf2)( 對軸的阻力矩：對軸的阻力矩：dxlxkdM32 所有對軸的阻力矩：所有對軸的阻力矩：4203241ldkdxlxkMd 26x dxABCDld xo4203241ldkdxlxkMd 面密度：面密度：ldm ，板對軸的轉動慣量：，板對軸的轉動慣量：23023131mdldldxxJd 由定軸轉動定律：由定軸轉動定律：dtdJM dtdmdldk 2423141 即：即：22200034 dkldmdtt 解得：解

21、得：0234 kldmt 27 例題例題6.裝置如圖所示裝置如圖所示,繩的上端繞在圓柱上繩的上端繞在圓柱上,下端系一重下端系一重物物,質(zhì)量為質(zhì)量為m.重物自然下垂重物自然下垂,由靜止開始下落由靜止開始下落,并帶動圓柱并帶動圓柱自由轉動自由轉動.求重物降落高度為求重物降落高度為h時的速率時的速率v.已知圓柱的質(zhì)已知圓柱的質(zhì)量為量為M,半徑為半徑為R.(繩子的質(zhì)量不計且不可伸長繩子的質(zhì)量不計且不可伸長.) MhmvR解解: :恒恒地組成的系統(tǒng)機械能守地組成的系統(tǒng)機械能守Mm,222)21(2121 MRmvmgh （1 1） Rv （2 2）mMmghv22: 解解得得TT gm法二法二: :ma

22、Tmg 221MRTR RaTT ;Mmmga 22 ahv2mMmgh22 28 例題例題7.7.如圖所示如圖所示, ,兩個均勻圓柱各自繞自身的軸轉兩個均勻圓柱各自繞自身的軸轉動動, ,兩軸互相平行兩軸互相平行. .圓柱半徑分別為圓柱半徑分別為 質(zhì)量分別質(zhì)量分別為為 . .開始時兩柱分別以角速度開始時兩柱分別以角速度 同向旋轉同向旋轉. .然后緩緩移動它們?nèi)缓缶従徱苿铀鼈? ,使之相互接觸使之相互接觸. .求兩柱的最終角速求兩柱的最終角速度度 21,RR21,MM21, .,21 1M1 1R2M 2 2R 1M2M 1 2 1R2R1f2f解解: :2211 RR（1 1）)(111111

23、 JJdtfR(2)(2)(222222 JJdtfR（3 3）21ff （4 4）2222211121;21RMJRMJ （5 5）)(2112221111MMRRMRM )(2122221112MMRRMRM 29 例題例題8. 如圖，已知：如圖，已知：木板寬木板寬L=0.60m、質(zhì)量、質(zhì)量M =1kg，木板繞木板繞水平固定光滑水平固定光滑OO軸的轉動慣量為軸的轉動慣量為J=ML2/3。質(zhì)質(zhì)量為量為m=1010-3kg的的子彈子彈以以v0 =500m/s速率，距速率，距OO軸為軸為l = 0.36m處垂直射穿木板，處垂直射穿木板，子彈穿出木板后速率為子彈穿出木板后速率為v=200m/s。求求:（1）子彈給木板的沖量；）子彈給木板的沖量； （2）木板獲得的角速度。）木板獲得的角速度。OO Llv0vA30解解（1）由動量定理，得）由動量定理，得sNmvmvI 3)(0（2）由角動量守恒，得）由角動量守恒，得 Jmvllmv 0231MLJ 其中：其中：srad/9 解得：解得：OO Llv0vA木板給子彈的沖量木板給子彈的沖量sNmvmvI 30子彈給木板的沖量子彈給木板的沖量