幾種時頻分析綜述1——傅里葉變換和小波變換

1、幾種時頻分析方法綜述1傅里葉變換和小波變換夏巨偉(浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心)摘要：傳統(tǒng)的信號理論，是建立在Fourier分析基礎(chǔ)上的，而 Fourier變換作為一種全局性的變化，其有一定的局限性。在實際應(yīng)用中人們開始對 Fourier變換進行各種改進，小波分析由此產(chǎn)生了。小波變換與Fourier 變換相比，是一個時間和頻域的局域變換因而能有效地從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對 函數(shù)或信號進行多尺度細化分析(Multiscale Analysis),解決了 Fourier變換不能解決的許多困難問題。本文對傅里葉變換和小波變換進行了詳細介紹，并用算例分析指出了兩者的差別。關(guān)鍵詞：傅里葉

2、變換；小波變換；時頻分析技術(shù)；1 傅里葉變換(Fourier Transform)FT:H(f)= j-h(t) e7：ftdtIFT:h(t) = ：H(f) eftdt離散化(離散取樣)Twrrnwon-)DFT:H (NTN J)=h(kT)e-j2-nk/N01 N kIDFT:h(nT)h(上)ej2nk/NN 0 NT2 小波變換(Wavelet Transform)2.1 由傅里葉變換到窗 口傅里葉變換(Gabor Transform(Short Time Fourier Transform)/)從傅里葉變換的定義可知，時域函數(shù) h(t)的傅里葉變換H只能反映其在整 個實軸的性態(tài)

3、，不能反映h (t)在特定時間區(qū)段內(nèi)的頻率變化情況。如果要考察 h(t)在特定時域區(qū)間(比如：tCa,b)內(nèi)的頻率成分，很直觀的做法是將h(t)在區(qū)間tCa,b與函數(shù)f1 tE 1ab，然后考察h(t”式t)傅里葉變換。但是由1(t)=,110,t 三 la, b 1于4在t=a,b處突然截斷，導(dǎo)致中h乙出現(xiàn)了原來h (0中不存在的不連 續(xù)，這樣會使得h的傅里葉變化中附件新的高頻成分。為克服這一缺點，D.Gabor在1944年引入了 “窗口 ”傅里葉變換的概念，他的做法是，取一個光 滑的函數(shù)g(t),稱為窗口函數(shù)，它在有限的區(qū)間外等于0或者很快地趨于0,然后將窗口函數(shù)與h(t)相乘得到的短時時

4、域函數(shù)進行 FT變換以考察h(t)在特定時域內(nèi) 的頻域情況。STFT: Gf(f, ) = . ：h(t)g(t - )e%tISTFT： h(t)=：df Cg(t-T)Gf(fJ)e2nftdTwindowTimecbpnHdLuqI Short ITimeFou rierTransform2.2 STFT 算例圖：STFT示意圖cos（2二 10t） 0s _ t _ 5scos（2n25t） x（t）=cos（2二 50t）cos（2 二 100t）5s _ t _ 10s10s t 15s15s t 三 20s17E nw uinlriuuJOrmIK Ta. m125 ms wnd

5、ow11flif rmc winMcu#圖：四個余弦分量的STFT2.3窗口傅里葉變換（Gabor）到小波變換（Wavelet Transform）m圖：小波變換定義滿足條件：2一J：.f df .代一上-座正色 4?（0）=0u j（t）dt=0的平方可積函數(shù)巾（t）（即巾（t） e L2 （8, +oo）基本小波或小波母函 數(shù)。Stillrig njficbon pillW*vtl*l flfwHan pWoeQ400204 QI 0810 CJ 040,60 81Haar小波函數(shù)db3小波函數(shù)db4小波函數(shù)Srataxi kindiDn phidb5小波函數(shù)mexh小波函數(shù)圖：幾種常用的

6、小波函數(shù)令中ab(t)=L中 t- j, a、b 為實數(shù)，且 awo, a a+),定義稱4 ab為由母函數(shù)生成的有賴于參數(shù) a,b的連續(xù)小波函數(shù)。 設(shè)f(t) L2 (8, 其小波變換為：.1Wf a,b = f , .亦:與Fourier類似，小波變化也具有反演公式:dadb.Wf a,b ab t 畔a以及Parseval等式:dadb.Wf a,b 鞏 a,b 2C. ； f ,g ,- a11：雙 LoLWfia,“2 dadb2a華 J2Of(ti 出.小波變換雖然具有頻率愈高相應(yīng)時間或空間分辨率愈高的優(yōu)點，但其在頻率域上的分辨率卻相應(yīng)降低。這是小波變換的弱點，使它只能部分地克服Fourier變換的局限性。小波包變換將在一定程度上彌補小波變換的這一缺陷。圖：Wavelet應(yīng)用1探測數(shù)據(jù)突變點TimeTime Domain (Shannon)AmphtideFrequency Domain (Fourier)TimeWavelet Analysis圖：FT變換、STFT變換及Wavelet Analysis比較圖：Wavelet應(yīng)用1探測數(shù)據(jù)突變點（樹狀顯示）圖：Wavelet應(yīng)用2探測數(shù)據(jù)整體變化趨勢14 klM1疝wM I h血血血血 陽,