高等數(shù)學(xué) 洛必達(dá)法則

1、三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00第二節(jié)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)法則 第三三章 )()(limxgxf微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限 轉(zhuǎn)化00( 或 型)()(limxgxf本節(jié)研究本節(jié)研究:洛必達(dá) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、一、0)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf0)( xF且定理定理 1.型未定式型未定式00(洛必達(dá)法則) 機(jī)動 目錄 上頁 下

2、頁 返回 結(jié)束 ( 在 x , a 之間)證證: 無妨假設(shè), 0)()(aFaf在指出的鄰域內(nèi)任取,ax 則)(, )(xFxf在以 x, a 為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯0)(lim)(lim) 1xFxfaxax故)()()()()()(aFxFafxfxFxf)()(Ff)()(limxFxfax)()(limFfax)()(limxFxfax)3定理?xiàng)l件定理?xiàng)l件: 西定理?xiàng)l件,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 )()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?),)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf0)( xF且推論推論1. 定理 1 中ax 換為, ax,ax,xx之一,推論推論 2. 若)()

3、(limxFxf滿足定且型仍屬)(, )(,00 xFxf理1條件, 則)()(lim)()(limxFxfxFxf)()(limxFxf 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理 1 仍然成立.,x)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax洛必達(dá)法則定理1 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 求.123lim2331xxxxxx解解: 原式 lim1x型00266lim1xxx23注意注意: 不是未定式不能用洛必達(dá)法則 !266lim1xxx166lim1x332x1232 xx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 求.arctanlim12xxx解解: 原式 limx型00

4、221limxxx1211x21x11lim21xx思考思考: 如何求 nnn12arctanlim( n 為正整數(shù)) ?型機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、型未定式型未定式)(lim)(lim) 1xFxfaxax)()(lim)3xFxfax存在 (或?yàn)?()(limxFxfax定理定理 2.證證: )()(limxFxfax僅就極限存在的情形加以證明 .)()(limxFxfax(洛必達(dá)法則)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,)()()()2內(nèi)可導(dǎo)在與axFxf0)( xF且1)0)()(limxFxfax的情形)()(limxFxfax limax)(1xF)(1xf l

5、imax)()(12xFxF)()(12xfxf)()()()(lim2xfxFxFxfax)()(lim)()(lim2xfxFxFxfaxax)()(lim)()(lim1xfxFxFxfaxax)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax從而型00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2)0)()(limxFxfax的情形. 取常數(shù),0k,0 kkxFxfax)()(lim)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfax)()()(limxFxFkxfaxkxFxfax)()(lim)()(lim)()(limxFxfxFxfaxax可用 1) 中結(jié)論機(jī)動

6、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3)()(limxFxfax時(shí), 結(jié)論仍然成立. ( 證明略 )說明說明: 定理中ax 換為之一, 條件 2) 作相應(yīng)的修改 , 定理仍然成立., ax, ax,xx,x定理2 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3. 求. )0(lnlimnxxnx解解:型原式11limnxxxnnxxn1lim0例例4. 求求解解: (1) n 為正整數(shù)的情形.原式0 xnxexn1limxnxexnn22) 1(limxnxen!lim. )0, 0(limnexxnx型機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例4. 求. )0, 0(limnexxnx(2) n 不為正整數(shù)的

7、情形.nx從而xnexxkexxkex1由(1)0limlim1xkxxkxexex0limxnxex用夾逼準(zhǔn)則kx1kx存在正整數(shù) k , 使當(dāng) x 1 時(shí),機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 . )0(0lnlimnxxnx例3. 例4. )0, 0(0limnexxnx說明說明:1) 例3 , 例4 表明x時(shí),lnx后者比前者趨于更快 .例如,xxx21lim21limxxxxxx21lim而xxx21lim11lim2xx1)0(xe, )0( nxn用洛必達(dá)法則2) 在滿足定理?xiàng)l件的某些情況下洛必達(dá)法則不能解決 計(jì)算問題 . 機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3) 若,)()()(

8、lim時(shí)不存在xFxf.)()(lim)()(limxFxfxFxf例如例如,xxxxsinlim1cos1limxx極限不存在)sin1 (limxxx1機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、其他未定式三、其他未定式:,0 ,00,1型0解決方法解決方法:通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例5. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 型. )tan(seclim2xxx解解: 原式)cossincos1(lim2xxxxxxxcossin1lim2xxxsin

9、coslim20例例6. 求機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例7. 求.lim0 xxx型00解解: xxx0limxxxeln0lim0e1例5 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 通分轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化000取倒數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化0010取對數(shù)轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化例例8. 求.sintanlim20 xxxxx解解: 注意到xsin原式30tanlimxxxx22031seclimxxx2203tanlimxxxxx22tan1sec31x型00機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 nnnneln11例例9. 求. ) 1(limnnnn分析分析: 為用洛必達(dá)法則 ,

10、 必須改求. ) 1(lim121xxxx法法1 用洛必達(dá)法則型0但對本題用此法計(jì)算很繁 ! 21 limnn法法2) 1(lim121nnnn1ln1nne21limnnnnln121lnlimnnn0u1ue原式例3 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型00,1 ,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111gfy 令取對數(shù)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè))()(limxgxf是未定式極限 , 如果)()(xgxf不存在 , 是否)()(xgxf的極限也不存在 ? 舉例說明 .極限)1ln()cos1 (cossin3lim

11、. 2120 xxxxxx說明 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原式xxxxx120cossin3lim21)1ln(xx)03(2123分析分析:分析分析:203cos1limxxx30 limxx3.xxxx1sin1cotlim0原式xsinx1coslim0 xxxxsin222103limxxxxcos1221x6161機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xxxxxx20sin)sin(coslim,1xt 則2011221limtttt4. 求xxxxx122lim23解解: 令原式tt2 lim021)21 ( t21)1 (t2)1 ()21 (lim2323210ttt41機(jī)動

12、 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè) P137 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16), 4第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 洛必達(dá)洛必達(dá)(1661 1704)法國數(shù)學(xué)家, 他著有無窮小分析(1696), 并在該書中提出了求未定式極限的方法, 后人將其命名為“ 洛必達(dá)法的擺線難題 , 以后又解出了伯努利提出的“ 最速降 線 ” 問題 , 在他去世后的1720 年出版了他的關(guān)于圓錐曲線的書 .則 ”. 他在15歲時(shí)就解決了帕斯卡提出機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 求下列極限 :;)11ln(lim) 12xxxx解解:tttt1)1ln(1lim2020)1ln(limtttt.cossec)1ln()1ln(lim)3220 xxxxxxx;1lim)2211000 xxex)11ln(lim) 12xxxx)1 (2lim0tttt備用題備用題ttt21lim11021)1(xt 令機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 令,12xt 則ttet50lim原式 =txet50lim0ttet4950lim2110001lim)2xxex解解:tte!50lim(用